Định lí về giá trị trung bình ppt

Tóm tắt lý thuyết
a. Các định lí trung bình.
Định lí Ferma. Cho tập mở và hàm . Nếu f đạt cực trị tại thì
khả vi tại và .
Định lí Roll. Cho liên tục trên khoảng đóng [a, b] và khả vi trên khoảng mở (a, b.
Giả sử , khi đó tồn tại một số sao cho .
Định lí Cauchy. Giả sử hai hàm liên tục trên khoảng đóng [a, b] và khả vi trên
khoảng mở (a, b). Khi đó tồn tại một số sao
cho
.
Nếu thì .
Định lí Lagrange. Nếu liên tục trên khoảng đóng [a, b] và khả vi trên khoảng mở
(a, b) thì tồn tại một điểm sao cho .
b. Công thức Taylor.
Cho hàm f xác định trên lân cận nào đó của a. Giả sử f khả vi đến cấp n tại a. Kí hiệu là
đa thức theo biến x
.
có tính chất sau
Công thức Taylor cho ta mối liên hệ giữa hàm f(x) và đa thức .
*Công thức Taylor đạng Peano. Cho tập mở và nếu hàm khả vi đến n tại
thì
.
trong đó, là vô cung bé bậc cao hơn trong quá trình .
*Công thức Taylor với số dư Lagrange. Giả sử hàm f có đạo hàm cấp n+1 trong lân cận nào đó của
điểm . Thế thì với mỗi x thuộc lân cận đó, tồn tại nằm giữa a và x sao cho với
ta có
.
Các công thức trên gọi là khai triển Taylor của hàm f tại a. Trong trường hợp , khai
triển Taylor còn được gọi là khai triển Mac Laurin.
Chú ý. Các khai triển Taylor và Mac Laurin là duy nhất.
[ Mục lục ]

Các ví dụ
1. Hàm f khả vi trên khi đó giữa hai nghiệm thực của phương trình
có ít nhất một nghiệm của phương trình
.
Thật vậy, gọi là hai nghiệm khác nhau của phương trình . Theo định
lí Roll thì tồn tại sao cho .
2. Sử dụng các định lí trung bình để chứng minh các đẳng thức sau
a. .
Áp dụng đính lí Lagrange cho hàm trên thế
thì tồn tại sao cho
.
Suy ra
b. với
* Chứng minh với
- Bất đẳng thức hiển nhiên đúng với .
- Với thì bất đẳng thức đúng.
- Với . Xét hàm . Hàm thỏa mãn giả thiết của
định lý Lagrange. Vậy, tồn tại sao cho
Vậy với .
Chứng minh với .
Xét hàm . Ta có .
với . Vậy là hàm đồng biến. Suy ra
với , do đó với .
Vậy với .
c. .
Xét hàm . Theo định lí Lagrange, tồn tại sao cho
.
3. Viết công thức Cauchy cho hàm trên đoạn
[a,b].
Do hàm và liên tục trên , khả vi trên nên tồn tại

sao cho
.

4. Chứng minh rằng phương trình có không quá nghiệm
thực nếu n là số tự nhiên chẵn, có không quá 3 nghiệm thực nếu n là số tự nhiên lẻ.
- Nếu phương trình trở thành Phương trình này có tối đa 2 nghiệm thực .
- Nếu Đặt Ta có
+ Nếu chẵn thì lẻ và chỉ có nghiệm
Vậy có tối đa 2 nghiệm.
+ Nếu lẻ thì chẵn có tối đa 2 nghiệm.
Vậy có tối đa 3 nghiệm .
5. Cho liên tục trên đoạn và khả vi trên khoảng .
Giả sử , chứng minh rằng tồn tại sao cho .
-Nếu .
-Nếu . Giả sử thế thì tồn tại
. Do liên tục trên nên tồn tại
. Mặt khác, theo giả thiết thì
nên tồn tại thỏa mãn Khi đó, tồn tại
liên tục ).
Vậy liên tục trên , có đạo hàm trên . Do đó,
thỏa mãn giả thiết của định lí Roll. Điều đó có nghĩa là tồn tại
. Vậy ta có điều phải chứng minh.
6. Khai triển Mac Laurin các hàm số sau
a. .
Ta có .


Suy ra
Có thể khai triển trực tiếp với chú ý
b. .

Ta viết
- Xét Đạo hàm cấp n
-Xét
Vậy

7. Viết các khai triển Mac Laurin với phân dư Peano hàm số
đến .
Ta có
Suy ra

8. Chứng minh rằng nếu f có đạo hàm cấp 2 tại a thì
.
Do tồn tại nên theo công thức khai triển Taylor ta có
Vậy
9. Sử dụng khai triển Taylor để tính giới hạn.
a. .
Ta có
b. .
Ta có


10. Sử dụng công thức Taylor để tính đạo hàm cấp n tại của các hàm sau.
a. . .
Ta có

Theo công thức khai triển Mac Laurin thì hệ số của trong khai triển của hàm là .
Mà khai triển Mac Laurin là duy nhất, suy ra .
Vậy
b. .
Ta có

Đặt
Theo khai triển
- Xét chẵn hay lẻ thì
- Xét lẻ hay chẵn
+Nếu
+Nếu
c.
Ta có
Tương tự câu b) ta có
- Nếu chẵn hay lẻ thì
-Nếu lẻ hay chẵn thì ta đặt

11. Viết đa thức theo lũy thừa của .
Để biểu diễn theo lũy thừa của ta tìm khai triển Taylor của tại
Ta có
Suy ra

12. Sử dụng công thức tính gần đúng , tính
và đánh giá sai số.
*Tính
*Đánh giá sai số.
Ta có khai triển của đến là
Suy ra sai số là
13. Chứng minh rằng công thức tính gần đúng
có sai số không vượt quá 0,001 với các giá trị
Ta có khai triển của đến là
Suy ra sai số là
Vậy
[ Mục lục ]
Bài tập tự giải

1. Chứng minh các bất đẳng thức sau
a.
HD: Áp đụng định lí Lagrange cho hàm
cho đoạn [x, y] với
b.
HD: Xét .
2. Khai triển Mac Laurin các hàm số sau
a. . b.
3. Viết các khai triển Mac Laurin với phân dư Peano hàm số đến . 4. Viết đa
thức theo lũy thừa của
.
ĐS:
4. Sử dụng khai triển Taylor để tính giới hạn.
a. . b. .
ĐS: a. b.
5. Trong công thức sau công thức nào đúng
, .
ĐS: Cả hai công thức trên đều đúng.
6. Sử dụng công thức tính gần đúng , tính
và đánh giá sai số.
ĐS: , với sai số là mà