Ma trận - Các định nghĩa về ma trận docx

I. Các định nghĩa về ma trận:
1. Định nghĩa 1.1:
Một ma trận A loại (cấp) m x n trên trường K (K – là trường thực R, hoặc phức C) là một bảng chữ
nhật gồm m x n phần tử trong K được viết thành m dòng và n cột như sau:
Trong đó là phần tử ở vị trí dòng i, cột j của A. Đôi khi A được viết ngắn gọn là
hay
Các ma trận thường được ký hiệu bởi A, B, C và tập hợp tất cả các ma trận loại m x n trên trường K
được ký hiệu bởi M
m x n
(K)
Ví dụ 1.1: là ma trận cấp 2 x 3. là ma trận cấp 3 x 2.
Ví dụ 1.2: Viết ma trận cấp 4 x 4 biết:
Nhận xét:
- Ma trận A có thể xác định trực tiếp bằng cách liệt kê các phần tử, cũng có thể được xác định theo
công thức tổng quát.
- Ma trận không cấp m x n (ma trận zero), ký hiệu 0
mxn
là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0.
- Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông cấp n trên K. Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp
n trên K được ký hiệu là M
n
(K)
- Ma trận cấp 1 x n được gọi là ma trận hàng; ma trận cấp m x 1 được gọi là ma trận cột
- Nếu A là ma trận vuông cấp n, thì đường chứa các phần tử a
11
, a
22
, a
33
,…, a
nn

được gọi là đường
chéo chính của A.
2. Định nghĩa 1.2: Cho . Khi đó:
- Nếu (nghĩa là tất cả các phần tử bên ngoài đường chéo chính của A đều bằng 0) thì
ta nói A là ma trận đường chéo.
- Ta thường dùng ký hiệu diag(a
1
, a
2
,…, a
n
) để chỉ một ma trận đường chéo cấp n có các phần tử
trên đường chéo lần lượt là a
1
, a
2
, …, a
n
- Ma trận chéo có (nghĩa là các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1) được gọi là
ma trận đơn vị. Ký hiệu: I
n

- Một ma trận đường chéo với tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng nhau được gọi là
ma trận vô hướng.
- Nếu (nghĩa là tất cả các phần tử nằm bên dưới đường chéo chính của A đều bằng
0) thì ta nói A là ma trận tam giác trên.
- Nếu (nghĩa là tất cả các phần tử nằm bên trên đường chéo chính của A đều bằng 0)
thì ta nói A là ma trận tam giác dưới.
- Ma trận tam giác trên hay tam giác dưới được gọi chung là ma trận tam giác.
II. Các phép toán trên ma trận:

1. Định nghĩa 2.1 (hai ma trận bằng nhau):
Cho .
Ta nói A = B khi và chỉ khi:
Ví dụ: Với Thì
Hai ma trận không thể bằng nhau do không cùng cấp.
2. Định nghĩa 2.2 (Ma trận chuyển vị):
Cho . Ta nói:
là chuyển vị của A (ký hiệu B = A
T
) nếu:
Ví dụ: Nếu thì
3. Tính chất 2.1:
Cho . Khi đó:
1.
2.
Ghi chú:
Cho . Khi đó, nếu A
T
= A thì ta nói A là ma trận đối xứng; nếu A
T
= – A thì ta nói A là
ma trận phản xứng.
Ví dụ: là ma trận đối xứng. là ma trận phản xứng.
Nhận xét: Nếu B là ma trận phản xứng thì các phần tử trên đường chéo chính của B đều bằng 0.
4. Phép nhân một số với một ma trận:
Cho Ta gọi tích a và A (ký hiệu aA) là một ma trận
được xác định bởi:
– Nếu a = -1 thì ta ký hiệu (-1).A bởi -A và gọi là ma trận đối của A.
5. Cộng hai ma trận:
Cho

Ta gọi tổng của A và B (A + B) là một ma trận được xác định bởi:
Tổng của A + (-B) được ký hiệu bởi A – B và gọi là hiệu của ma trận A và B.
6. Tính chất 2.2:
Cho . Ta có: (ab).A = a.(bA); (aA)
T
= a.(A
T
)
7. Ví dụ: Xác định các giá trị của x, y sao cho:
8. Định lý 2.1:
Cho . Khi đó:
1.Tổng hai ma trận có tính giao hoán: A + B = B + A
2.Tổng hai ma trận có tính kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C
3.Tồn tại ma trận 0
mxn
sao cho: A + 0 = 0 + A = A
4. Tồn tại ma trận đối của A sao cho: A + (- A) = (- A) + A = 0
5.Phép nhân vô hướng có tính phân phối: α(A+B) = αA + αB ;(α +β)A = αA + βA
6.Chuyển vị của tổng bằng tổng các chuyển vị:(A + B)
T
= A
T
+ B
T