Giúp học sinh tránh sai lầm về giải toán căn bậc hai

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc









SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIÚP HỌC SINH TRÁNH SAI LẦM VỀ
GIẢI TOÁN CĂN BẬC HAI








Họ và tên: Mai Xuân Hiếu
Chức vụ: Giáo viên – Tổ trưởng tổ KHTN
Đơn vị; Trường THCS Mỹ Thủy

Lệ Thủy tháng 5 năm 2013


I : PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài :
Trong giai đoạn hiện nay, với sự phát triễn mạnh mẽ của khoa học và kỷ
thuật, với sự phát triễn toàn diện của xã hội, nền công nghiệp hóa, hiện đại hóa
tiến nhanh trong từng ngày, nếu con người không kịp nắm bắt thì chỉ trong thời
gian ngắn sẽ trở thành lạc hậu, do đó phải làm sao để tiến kịp khoa học và kỹ
thuật hiện đại của thế giới, theo kịp sự phát triển như vũ bão của khoa học và kỹ
thuật, kho tàng kiến thức của nhân loại tăng lên nhanh chóng. Cái mà hôm nay
còn là mới ngày mai đã trở thành lạc hậu. Chính vì lẻ đó giáo dục yêu cầu giáo
viên thường xuyên trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, tăng cường trong đổi mới
phương pháp, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy và học, lấy
học sinh làm trung tâm, kích thích tính tự lập, độc lập sáng tạo bằng tư duy của
chính học sinh, học sinh phải tự biết, tự nhận ra vấn đề, tìm hướng giải quyết
vấn đề, không thụ động đợi chờ sự truyền tải của giáo viên. Điều quan trọng là
giáo viên phải trang bị cho các em năng lực tự học để có thể tự mình tìm kiếm
những kiến thức khi cần thiết trong tơng lai.
Đối với môn toán lớp 9 chương I “ Căn bậc hai – Căn bậc ba” là phần
kiến thức khá khó đối với học sinh, là phần kiến thức thường xuyên xuất hiện
trong các đề thi tuyển sinh vào trung học phổ thông hầu như ở tỉnh nào cũng có

câu về chương này, thường chiếm 1,5 đến 2,0 điểm. Do đó, theo tôi học sinh
cần nắm thật chắc chắn mảng kiến thức này, đặc biệt là học sinh khá giỏi cần có
cái nhìn thật đầy đủ về “Căn bậc hai- căn bậc ba” để vận dụng. Sau khi nghiên
cứu khá nhiều tài liệu tham khảo viết về vấn đề này tôi thấy, các tác giả đã đưa
ra các bài toán rất đa dạng và phong phú, tuy nhiên các dạng bài còn tản mạn,
nằm trong nhiều tài liệu khác nhau, do đó gây không ít khó khăn cho việc dạy
của giáo viên và của học sinh.
Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp đã nhiều năm tại trường THCS
tôi nhận ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn yếu, do
nhiều nguyên nhân như năng lực tư duy ngôn ngữ, khả năng chuyển thể từ ngôn
ngữ văn học thành các quan hệ toán học, trong đó có rất nhiều học sinh chưa
thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai và trong khi thực hiện các phép toán về căn bậc
hai, hay có sự nhầm lẫn, hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục đích. Vì vậy khi dạy
chương “Căn bậc hai - căn bậc ba” trong thời gian đầu năm học quả là có khó
khăn, một phần các em chỉ biết sơ qua “ Căn bậc hai” nhờ khái niệm đơn giản ở
lớp 7, thêm nữa một số em trong hè tự học hay học thêm ở một số giáo viên
không thường dạy toán 9, họ chỉ đại loại không cụ thể nên học sinh bị nhiểu
nhiều, thiếu sót, mất chính xác, khó điều chỉnh. Mặt khác các dạng toán chương
này học sinh dễ nhầm lẫn và thực hiện sai các phép tính, do đó giúp học sinh
nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là một công việc
vô cùng cần thiết và cấp bách, nó mang tính đột phá rất cao, giúp các em có một
sự am hiểu vững chắc về lượng kiến thức khi học căn bậc hai, tạo nền móng để

tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này.
1.2.Phạm vi nghiên cứu:
a/ Phạm vi của đề tài:
Áp dụng trong toán 9 các trường THCS, nghiên cứu đưa ra biện pháp điều
chỉnh “ Giúp học sinh tránh sai lầm về giải toán căn bậc hai” toán 9.Tiền đề cho
các em thi tuyển sinh mà Sở Giáo Dục Quảng Bình giới hạn cho câu 2,0 điểm.
Đối tượng là học sinh lớp 9 trường THCS nơi tôi đang giảng dạy 2 lớp : 9A và

9B.
b/ Thời gian nghiên cứu: Kinh nghiệm các năm trước và năm học 2012 – 2013.

II. PHẦN NỘI DUNG
2.1 Thực trạng
Những giờ dạy trên lớp rút kinh nghiệm từ các năm trước, qua kiểm tra
miệng đầu giờ,qua luyện tập, ôn tập. Giáo viên cần lưu ý đến các bài toán về
căn bậc hai, xem xét kỹ phần bài giải của học sinh, gợi ý để học sinh tự tìm ra
những sai sót trong bài giải, từ đó giáo viên đặt ra các câu hỏi để học sinh tự sửa
chữa phần bài giải cho chính xác.
Qua kiểm tra 2 bài 15 phút sau khi học xong bài 4 “ liên hệ phép chia và
phép khai phương” của 55 em thuộc hai lớp 9A và 9B tại trường, tỉ lệ học sinh
sai lầm trong khi giải toán tìm căn bậc hai khá cao.
Lớp
Số
lượng
Giỏi - Khá

Tr. bình Yếu Kém
Ghi chú
SL % SL % SL % SL %
9A 30 10 33,3

9 30,0

6 20,0

5 16,7

9B 25 6 24,0

6 24,0

7 28,0

6 24,0


Tổng 16 29,1

15 27,3

13 23,6

11 20,0


Tôi hiểu rằng chất lượng này là điều đáng lo, tuy nhiên trong nhiều năm
dạy Toán 9 thì tỉ lệ này xem như tạm được vì trong bài kiểm tra chương I – Đại
số 9 năm trước số học sinh mắc sai lầm về giải toán có chứa căn bậc hai chiếm
tỉ lệ 45,0%, năm 2010 có lớp chỉ đạt 30% trên TB .
Như vậy số lượng học sinh mắc sai lầm trong khi giải toán về căn bậc hai
là tương đối cao, việc chỉ ra những sai lầm của học sinh để các em tránh được
khi giải bài tập trong những năm học tiếp theo là một việc vô cùng quan trọng
và cần thiết trong quá trình giảng dạy bộ môn toán ở trường THCS, nhất là học
sinh khối lớp 9.
Nguyên nhân dẫn đến kết quả này là: Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải
các bài tập cụ thể của học sinh chưa linh hoạt. Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải
vận dụng và có sự tư duy thì học sinh không xác định được phương hướng để

giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm được bài.
Một vấn đề nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản của một số học
sinh còn rất yếu. Học sinh phụ thuộc quá nhiều vào máy tính cá nhân để tính
toán, mà trong chương này cần biết phân tích 1 số thành tích 2 số trong đó có số
chính phương thì HS thường chịu. Khi áp dụng khai phương 1 thương, 1 tích
HS thường lấy máy bấm nên kết quả chỉ là các số thập phân, số gần đúng,
không đúng yêu cầu cần đạt. Đặc biệt về sau sử dụng các phép biến đổi thì HS
càng lúng túng khi cần tách số để thực hiện.
Trong vận dụng để giải phương trình có chứa căn bậc hai thì càng khó
khăn khi viết các biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương 1 tổng ( hiệu) để
đưa ra ngoài, hoặc kỷ năng về giá trị tuyệt đối.
Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập về căn bậc hai trong phần chư-
ơng I đại số 9 thì người thầy phải nắm được các khuyết điểm mà học sinh th-
ường mắc phải, từ đó có phương án “ Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm
khi giải toán về căn bậc hai”
Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số “ một số dạng thường sai lầm”
mà học sinh thường mắc phải trong quá trình làm bài tập về căn bậc hai trong
chương I - Đại số 9.
Phân tích sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy được
những lập luận sai hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác.
Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải bài toán về căn bậc hai.
2.2 Các giải pháp
- Chương căn bậc hai – căn bậc ba nội dung kiến thức khá phong phú, xuất
hiện dày đặc trong một chương với số tiết không nhiều nên một số kiến thức chỉ
giới thiệu để làm cơ sở để hình thành kỹ năng tính toán, biến đổi. Thậm chí một
số kiến thức chỉ nêu ở dạng tên gọi mà không giải thích (như biểu thức chứa căn
bậc hai, điều kiện xác định căn thức bậc hai, phương pháp rút gọn và yêu cầu
rút gọn )
- Tên gọi ( thuật ngữ toán học ) nhiều và dễ nhầm lẫn, tạo nguy cơ khó

hiểu khái niệm (chẳng hạn như căn bậc hai, căn bậc hai số học, khai phương,
biểu thức lấy căn, nhân các căn bậc hai, khử mẫu, trục căn thức ).
Vì vậy khi học chương này thì học sinh sẽ mắc vào hai hướng sai lầm chủ
yếu sau :
a. Sai lầm về tên gọi hay thuật ngữ toán học:
Định nghĩa về căn bậc hai :
* ở lớp 7 : - Đưa ra nhận xét 3
2
=9; (-3)
2
=9. Ta nói 3 và -3 là các căn bậc
hai của 9.
- Định nghĩa : Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho
2
x a

.

- Số dương a có đúng hai căn bậc hai, một số dương ký hiệu là
a
và một
số âm ký hiệu là -
a
.
* ở lớp 9 chỉ nhắc lại ở lớp 7 rồi đưa ra định nghĩa căn bậc hai số học.
Với số dương a, số
a
được gọi là căn bậc hai số học của a.
Sau đó đưa ra chú ý : với a ≥ 0, ta có :
Nếu x =

a
thì x ≥ 0 và
2
x a

;
Nếu x ≥ 0 và
2
x a

thì x =
a
. Ta viết x =
a

2
x 0
x a







- Nguy cơ dẫn đến học sinh có thể mắc sai lầm chính là thuật ngữ “ căn bậc hai”
và"căn bậc hai số học”.
Ví dụ : Tìm các căn bậc hai của 16.
Rõ ràng học sinh rất dễ dàng tìm ra được số 16 có hai căn bậc hai là hai số đối
nhau là 4 và - 4.

Ví dụ : Tính
16

* Lời giải sai:
16
= 4 và - 4 có nghĩa là
16
=

4
Như vậy học sinh đã tính ra được số
16
có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là
:

16
= 4 và
16
= - 4
* Phân tích sai lầm : Do đó việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã
nhầm lẫn với nhau.
* Lời giải là:
16
= 4 ( có thể giải thích thêm vì 4 > 0 và 4
2
= 16)
Trong các bài toán về sau không cần yêu cầu học sinh phải giải thích.
- So sánh các căn bậc hai số học :
Với hai số a và b không âm, ta có
a b a b

  
Ví dụ : so sánh 4 và
15

*Học sinh sẽ loay hoay không biết nên so sánh chúng theo hình thức nào
vì theo định nghĩa số
15
chính là căn bậc hai số học của 15 do đó nếu đem so
sánh với số 4 thì số 4 có hai căn bậc hai số học là 2 và -2 cho nên với suy nghĩ
đó học sinh sẽ đa ra lời giải sai như sau : 4 <
15
(vì trong cả hai căn bậc hai
của 4 đều nhỏ hơn
15
).
Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm
ngay sau khi học xong bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ
thức mới thì học sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa.

Lời giải đúng : 16 > 15 nên
16
>
15
. Vậy 4 =
16
>
15

ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số
học!

- Sai trong thuật ngữ chú ý của định nghĩa căn bậc hai số học :
với a ≥ 0, ta có :
Nếu x =
a
thì x ≥ 0 và
2
x a

;
Nếu x ≥ 0 và
2
x a

thì x =
a
.
Ví dụ : Tìm số x, không âm biết :

x
= 15
*Học sinh sẽ áp dụng chú ý thứ nhất và sẽ giải sai như sau :
Nếu x =
a
thì x ≥ 0 và
2
x a

; vì phơng trình
2
x a


có 2 nghiệm là x =
a
và x =-
a
học sinh đã được giải ở lớp 7 nên các em sẽ giải bài toán trên
như sau :
Do x ≥ 0 nên
2
x
=
2
15
hay x = 225 và x = - 225.
Vậy tìm được hai nghiệm là
1
x
= 225 và
2
x
= - 225
*Lời giải đúng : cũng từ chú ý về căn bậc hai số học, ta có x =
2
15
.
Vậy x = 225.
- Sai trong thuật ngữ khai phương :
Ví dụ : Tính -
25

* Học sinh hiểu ngay được rằng phép toán khai phương chính là phép toán
tìm căn bậc hai số học của số không âm nên học sinh sẽ nghĩ -
25
là một căn
bậc hai âm của số dương 25, cho nên sẽ dẫn tới lời giải sai nh sau : -
25
= 5
và - 5
*Lời giải đúng là : -
25
= -5
- Sai trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
2
A
= | A|
Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi
2
A
là căn thức bậc hai của A,
còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
2
A
xác định (hay có nghĩa ) khi A lấy giá trị không âm.
∙ Hằng đẳng thức :
2
A
= | A|
Cho biết mối liên hệ giữa phép khai phương và phép bình phương.
Ví dụ : Hãy bình phương số -8 rồi khai phương kết quả vừa tìm được.
*Học sinh với vốn hiểu biết của mình sẽ có lời giải sau (lời giải sai) :



2
8

= 64 , nên khai phương số 64 lại bằng - 8
*Lời giải đúng :
 
2
8

= 64 và
64
= 8.
Mối liên hệ
2
a
= | a| cho thấy “ Bình phương một số, rồi khai phương kết
quả đó, chắc chắc sẽ được số ban đầu”
Ví dụ : Với
2
a
= A thì
A
chắc chắc đã bằng a
Cụ thể ta có
 
2

5

= 25 nhưng
25
= 5; rất nhiều ví dụ tương tự đã khẳng
định được kết quả như ở trên.
b. Sai lầm trong tính toán và áp dụng :
- Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại của căn bậc hai :
Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x +
x

* Lời giải sai : A= x +
x
= (x+
x
+
1
4
) -
1
4
= (
x
+
1
2
)
2
≥ -
1

4

Vậy min A = -
1
4
.
* Phân tích sai lầm :
Sau khi chứng minh f(x) ≥ -
1
4
, chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x) = -
1
4
.
Xảy ra khi và chỉ khi
x
= -
1
2
(vô lý).
* Lời giải đúng :
Để tồn tại
x
thì x ≥0. Do đó A = x +
x
≥ 0 hay min A = 0 khi và chỉ
khi x = 0
Ví dụ : Tìm x sao cho B có giá trị là 16.
B =
16x 16


-
9x 9

+
4x 4

+
x 1

với x ≥ -1
* Lời giải sai :
B = 4
x 1

-3
x 1

+ 2
x 1

+
x 1

= 4
x 1


=>
B 16

 
16 = 4
x 1




4 =
x 1



4
2
= (
x 1

)
2
hay 16 = (
x 1

)
2


16 = | x+ 1|
Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1

x = 15

2) 16 = -(x+1)

x = - 17.
* Phân tích sai lầm : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x
1
= 15
và x
2
= - 17 nhưng chỉ có giá trị x
1
= 15 là thoả mãn, còn giá trị x
2
= -17 không

đúng. Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá rập
khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x ≥
-1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa
dấu giá trị tuyệt đối nữa.!
* Lời giải đúng :
B = 4
x 1

-3
x 1

+ 2
x 1

+
x 1


= 4
x 1

<=>16 = 4
x 1




4 =
x 1

(do x ≥ -1)

16 = x + 1. Suy ra x = 15.
- Sai lầm trong kỹ năng biến đổi :
Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu
của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai.
Ví dụ : Tìm x, biết :
(4-
17).2x 3(4 17)
  .
* Lời giải sai :
(4-
17).2 3(4 17)
 x .

2x <
3

( chia cả hai vế cho 4-
17
)

x <
3
2
.
* Phân tích sai lầm : Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn
đề gì. Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ
quan không để ý đến dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của
bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”.
Do đó rõ ràng sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4 và
17
cho nên
mới bỏ qua biểu thức 4 -
17
là số âm, dẫn tới lời giải sai.
* Lời giải đúng : Vì 4 =
16
<
17
nên 4 -
17
< 0, do đó ta có
(4-
17).2x 3(4 17)
  .


2x >
3


x >
3
2
.
Ví dụ : Rút gọn biểu thức :

 
2
2 2
3 x y
2
x y 2

  

Víi x 0,y 0,x y

Bài toán này có 2 cách giải cách thứ nhất đưa biểu thức vào trong căn, căn thứ
hai đưa biểu thức ra ngoài dấu căn. Ở bài toán này nếu áp dụng cách giải đưa
biểu thức ra ngoài dấu căn thì học sinh không mắc sai lầm nhưng khi áp dụng
cách thứ 1 học sinh rất dễ mắc sai lầm đó là

   
 
 
   

2 2 2
2
2 2 2
2 2
2 2
3 3.2 6
2 6
2
2
  
  
 
 

x y x y x y
x y x y
x y x y
x y

Phân tích sai lầm: Học sinh không chú ý khi đưa biểu thức vào trong căn trong
phép biến đổi
BABA
2

chỉ đúng khi A, B không âm.
*Lời giải đúng Với x>y thì:
   
 
 
   

2 2 2
2
2 2 2
2 2
2 2
3 x y 3.2 x y 6 x y
2 6 6
x y 2 x y x y
x y x y
2 x y
  
   
  
 


Với x<y thì:
   
 
 
   
2 2 2
2
2 2 2
2 2
2 2
3 x y 3.2 x y 6 x y
2 6 6
x y 2 x y x y
x y x y

2 x y
  
      
  
 


Vậy
  
x 0,y 0,x y
Thì
 
2
2 2
3
2 6
2
x y
x y x y


 


Ví dụ : Rút gọn M, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M.
1 1 1
:
1 2 1

 

 
 
   
 
a
M
a a a a a
với a > 0.
1
a


* Lời giải sai :
1 1 1
:
1 2 1

 
 
 
   
 
a
M
a a a a a
=
 
1 a
:
a a 1

 

 
 

 
 
2
a 1
a 1



M =
 
1 a
.
a a 1
 

 
 

 


 
2
a 1
a 1



=>
a 1
M
a


Ta có
a 1
M
a

 =
a 1 1
1
a a a
   , khi đó ta nhận thấy M < 1 vì a >0
Do đó min M = 0 khi và chỉ khi a = 1.
* Phân tích sai lầm : Nhìn vào kết quả của bài toán rút gọn thì không sai,
nhưng sai ở chỗ học sinh lập luận và đưa ra kết quả về giá trị nhỏ nhất của M thì
lại sai.
Rõ ràng học sinh không để ý đến chi tiết khi a = 1 thì
a
= 1 do đó
a
-
1= 0, điều này sẽ mâu thuẫn trong điều kiện tồn tại của phân thức.

* Lời giải đúng :

M =
 
1 a
.
a a 1
 

 
 

 


 
2
a 1
a 1


=>
a 1
M
a


Ta có
a 1
M
a


 =
1 1
1  
a
a a a
, khi đó ta nhận thấy M < 1 vì a >0
khi đó ta nhận thấy M < 1 vì a > 0. Nếu min M = 0, khi và chỉ khi
a = 1(mâu thuẫn với điều kiện).
Vậy 0 < min M < 1, khi và chỉ khi 0 < a < 1.
Ví dụ : Khi rút gọn biểu thức:
2
4 4
2
 

x x
x

* Lời giải sai
 
2
2
x 2
x 2
x 4x 4
1
x 2 x 2 x 2


 

  
  

* Phân tích sai lầm: Nguyên nhân của sai lầm của bài này là học sinh không chú
ý xét điều kiện của biến khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
* Lời giải đúng:
 
2
2
2
1
2
4 4
12 2 2

 


 
  

  
  

x
x
x x
x x x
nÕu x -2
nÕu x -2

Như vậy bài toán sẽ có hai đáp số phụ thuộc vào đi
ều kiện của biến.
Ví dụ: Cho biểu thức
 
2
1 a a 1 a a
A 1 a : a a 1
1 a 1 a
 
  
 
    
 
  
 
 
  
 

với a ≥0, a≠1
a. Rút gọn biểu thức A
b. Với giá trị nào của a thì
A A




* Lời giải sai
a.

 
2
1 1
1 : 1
1 1
 
  
 
    
 
  
 
 
  
 
a a a a
A a a a
a a

Điều kiện xác định a ≥ 0, a ≠ 1

 









 
  
 
   
  
 
2
2 2
2 2
2
1 a a a 1 1 a a a 1
A 1 a : a a 1
1 a 1 a
1 a : 1 2 a a 1 2 a a 1 1 a : 1 a 1 a 1
1 a 1 a
1 a 2
1 1
1 a 1 a
1 a
 
  
     
 
  
    
 
  
 
  
 

 
 
           
 
 
 
 

    
 


b. Muốn
A A

thì A ≥ 0
2
0 1 0 1
1
      

a a
a

Vậy với
0 a 1
 
thì
A A


* Phân tích sai lầm: Bài toán này học sinh không bị mắc sai lầm khi rút gọn
biểu thức nhưng dễ mắc sai lầm câu b tìm các giá trị của a để
A A

là khi giải
xong kết luận luôn là a ≤ 1 thì
A A

mà không kết hợp với điều kiện xác định
đã cho ở đề bài.
* Lời giải đúng : Muốn
A A

thì A≥0
2
0 1 0 1
1
      

a a
a

Kết hợp với điều kiện xác định a ≥ 0, a ≠ 1 Ta có
0 a 1
 

Với
0 a 1
 

thì
A A



Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức A :

2
1
A
2 3 x

 

Giải :
Ta phải có |x| ≤ 3. Dễ thấy A > 0 . Ta xét biểu thức phụ sau :
B =
1
A
= 2-
2
3 x


Ta có : 0 ≤
2
3 x

≤
3

=> -
3
≤-
2
3 x

≤ 0 => 2-
3
≤ 2 -
2
3 x

≤ 2 giá trị nhỏ nhất của B = 2-
3



3
=
2
3 x



x = 0
Khi đó giá trị lớn nhất của A =
1
2 3

= 2 +

3
.
Giá trị lớn nhất của B = 2 khi và chỉ khi
2
3 x

= 0

x =
3

, khi đó

giá trị nhỏ nhất của A =
1
B
=
1
2
.
* Nhận xét : Trong ví dụ trên, để tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức A, ta phải đi xét một biểu thức phụ
1
A
.
Vì vậy giáo viên chú ý cho học sinh biến đổi và thực hiện các bài toán về
căn bậc hai bằng cách sử dụng các hệ thức và công thức đã học : Hằng đẳng
thức, Quy tắc khai phương một tích, quy tắc nhân các căn bậc hai, quy tắc khai
phương một thương, quy tắc chia hai căn bậc hai, đưa thừa số ra ngoài dấu căn,
đưa thừa số vào trong dấu căn, Khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở

mẫu…
Ngoài các hệ thức đã nêu ở trên, trong khi tính toán học sinh gặp những
bài toán có liên quan đến căn bậc hai ở biểu thức, nhưng bài toán lại yêu cầu đi
tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức đã cho. Hay yêu cầu đi tìm giá
trị của một tham số nào đó để biểu thức đó luôn âm hoặc luôn dương hoặc bằng
0 hoặc bằng một giá trị nào đó… thì giáo viên cần phải nắm vững nội dung kiến
thức sao cho khi hướng dẫn học sinh thực hiện nhẹ nhàng mà học sinh vẫn hiểu
được bài toán đó .
Trên đây là một số phương pháp giải toán về căn bậc hai và những sai lầm
mà học sinh hay mắc phải, trong trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài
tập, giáo viên cần phân tích kỹ đề bài để học sinh tìm được phương pháp gi
ải
phù hợp, tránh lập luận sai hoặc hiểu sai đầu bài sẽ dẫn đến kết quả không chính
xác.
2.3 .Kết quả thực hiện:
Qua thực tế giảng dạy chương I môn đại số 9 năm học 2012-2013 này. Sau
khi đúc rút kinh nghiệm kết hợp các năm trước, tôi xây dựng đề cương chi tiết
của kinh nghiệm được rút ra từ năm học 2011-2012 tôi đã vận dụng vào các giờ
dạy ở các lớp 9A, 9B chủ yếu vào các tiết dạy trong đó tập trung tạo điều kiện
cho các em phát hiện ra sai lầm của mình, tự điều chỉnh thông qua tiết luyện
tập, ôn tập, học ôn thi tuyển sinh. Qua việc khảo sát chấm chữa các bài kiểm tra
tôi nhận thấy rằng tỉ lệ bài tập học sinh giải đúng tăng lên.
Cụ thể :
Lớp
Số
lượng
Giỏi - Khá

Tr. bình Yếu Kém
Ghi chú

SL % SL % SL % SL %
9A 30 15 50,3

11 36,7

3 10,0

1 3,3
9B 25 10 40,0

10 40,0

4 16,0

1 4,0
Tổng 25 45,5

21 38,2

7 12,7

2 3,6


Như vậy sau khi tôi phân tích kỹ các sai lầm mà học sinh thường mắc phải
trong khi giải bài toán về căn bậc hai thì số học sinh giải đúng bài tập tăng lên,
số học sinh mắc sai lầm khi lập luận tìm lời giải giảm đi nhiều. Từ đó chất lư-
ợng dạy và học môn Đại số nói riêng và môn Toán nói chung được nâng lên,
đặc biệt các em đã nắm chắc các bước khi thực hiện của dạng này thì trong thời
gian ôn luyện tuyển sinh tôi đở phần nào trong “ Rút gọn” để giành thời gian

cho các phần khác
Qua quá trình giảng dạy bộ môn Toán, qua việc nghiên cứu các phương án
giúp học sinh tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai trong chương I-Đại số 9,
tôi đã rút ra một số kinh nghiệm như sau :
Đối với giáo viên :
- Người thầy phải không ngừng học hỏi, nhiệt tình trong giảng dạy, quan
tâm đến chất lượng của từng học sinh, nắm vững được đặc điểm tâm sinh lý của
từng đối tượng học sinh và phải hiểu được gia cảnh cũng như khả năng tiếp thu
của học sinh, từ đó tìm ra phương pháp dạy học hợp lý theo sát từng đối tượng
học sinh. Đồng thời trong khi dạy các tiết học luyện tập, ôn tập giáo viên cần
chỉ rõ những sai lầm mà học sinh thường mắc phải, phân tích kĩ các lập luận sai
để học sinh ghi nhớ và rút kinh nghiệm trong khi làm các bài tập tiếp theo. Sau
đó giáo viên cần tổng hợp đưa ra phương pháp giải cho từng loại bài để học sinh
giải bài tập dễ dàng hơn.
- Thông qua các phương án và phương pháp trên thì giáo viên cần phải
nghiêm khắc, uốn nắn những sai sót mà học sinh mắc phải, đồng thời động viên
kịp thời khi các em làm bài tập tốt nhằm gây hứng thú học tập cho các em, đặc
biệt lôi cuốn được đại đa số các em khác hăng hái vào công việc.
- Giáo viên cần thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp để học hỏi và rút
ra kinh nghiệm cho bản thân, vận dụng phương pháp dạy học phù hợp với nhận
thức của học sinh, không ngừng đổi mới phương pháp giảng dạy để nâng cao
chất lượng dạy và học.
* Đối với học sinh :
- Bản thân học sinh phải thực sự cố gắng, có ý thức tự học tự rèn, kiên trì
và chịu khó trong quá trình học tập.
- Trong giờ học trên lớp cần nắm vững phần lý thuyết hiểu được bản chất
của vấn đề, có kỹ năng vận dụng tốt lí thuyết vào giải bài tập. Từ đó học sinh
mới có thể tránh được những sai lầm khi giải toán.
III- PHẦN KẾT LUẬN :
Phần kiến thức về căn bậc hai trong chương I- Đại số 9 rất rộng và sâu,

tương đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tính thực tiễn
rất cao, bài tập và kiến thực rộng, nhiều. Qua việc giảng dạy thực tế tôi nhận
thấy để dạy học đợc tốt phần chương I- Đại số 9 thì cần phải nắm vững những

sai lầm của học sinh thường mắc phải và bên cạnh đó học sinh cũng phải có đầy
đủ kiến thức cũ, phải có đầu óc tổng quát, lôgic do vậy sẽ có nhiều học sinh cảm
thấy khó học phần kiến thức này.
Để nâng cao chất lượng dạy và học giúp học sinh hứng thú học tập môn
Toán nói chung và phần chương I- Đại số 9 nói riêng thì mỗi giáo viên phải tích
luỹ kiến thức, phải có phương pháp giảng dạy tích cực, củng cố kiến thức cũ
cho học sinh và là cây cầu nối linh hoạt giữa kiến thức và học sinh.
Với sáng kiến “Giúp học sinh tránh sai lầm về toán căn bậc hai” tôi đã cố gắng
trình bày các sai lầm của học sinh thường mắc phải một cách tổng quát nhất,
bên cạnh đó tôi đi phân tích các điểm mới và khó trong phần kiến thức này so
với khả năng tiếp thu của học sinh để giáo viên có khả năng phát hiện ra những
sai lầm của học sinh để từ đó định hướng và đưa ra được hướng cũng như biện
pháp khắc phục các sai lầm đó.
Bên cạnh đó tôi luôn phân tích các sai lầm của học sinh và nêu ra các

phương pháp khắc phục và định hướng dạy học ở từng dạng cơ bản để nâng cao
cách nhìn nhận của học sinh qua đó giáo viên có thể giải quyết vấn đề mà học
sinh mắc phải một cách dễ hiểu
Đề tài có hạn và tôi chỉ nghiên cứu ở một phạm vi nhỏ trong 1 chương và
chưa đưa hết các dạng còn liên quan đến căn bậc hai như trong dạng toán có
chứa tham số m, giải và biện luận phương trình có căn bậc hai Vì vậy tôi chỉ
đưa ra những vấn đề cơ bản nhất để áp dụng vào trong năm học này qua sự đúc
rút của các năm học trước đã dạy.
Vì khả năng có hạn, kinh nghiệm chưa cao, nên khó tránh khỏi thiếu sót
và khiếm khuyết. Rất mong được lãnh đạo và đồng nghiệp giúp đỡ và bổ sung
cho tôi để sáng kiến được đầy đủ hơn có thể vận dụng được tốt và có chất lượng

trong những năm học sau.