da thi va dap an HSG toan 11-Vinh phuc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
ĐỀ CHNH THC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho học sinh THPT không chuyên
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu 1
3 2 2 3
2 2
(1 ) (2 ) 30 0
(1 ) 11 0
x y y x y y xy
x y x y y y

+ + + + − =


+ + + + − =


Câu 2 

  
 

 
x
x
x

π
 
− − −
 ÷
 
=
−

Câu 3  !"#$%&n'
  

n
A A A
()n*+,
& *)/0123#.&45()$'*+'6##
$%&7
Câu 4 81 
S ABCD
1$- 
ABCD
 *+45()
= =AB a BC a
(+
= = = =SA SB SC SD a
9
K
*+:&(&;16#
B
.
AC

(+
H
*+:&(&;16#
K
.SA
# <=>+?HK@a.
39
M N
*A*B*+&6#?"
AK

CD

8CD$E"
BM
(+
MN
(&;1()#&
Câu 58xyz*+$,F>7
x y z+ + =
8C
D
   G
   Hxy yz xz
+ + ≤
− − −
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIHếtIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinhJJJJJJJJJJJJJJJJJSBDJJJJJJJ
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

—————————
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2009-2010
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
(Dành cho học sinh THPT không chuyên)
————————————
(Đáp án gồm 4 trang)
Câu 1 (2,5 điểm):
Nội dung trình bày Điểm
K:L7
2 2
2
2 2
(1 ) (2 ) 30
( ) ( ) 30
( ) 11
11
xy x y xy y y
xy x y xy x y
xy x y xy x y
x y xy xy x y


 
+ + + + =
 
+ + + =
 
 
 
⇔

 
+ + + + =
+ + + + =




( )( ) 30
( ) ( ) 11
xy x y x y xy
xy x y xy x y
+ + + =

⇔

+ + + + =

0,75
M!
( ) ;xy x y a x y xy b+ = + + =
#B
11
30
a b
ab
+ =


=


+-#B
( , ) (5,6);(6,5)a b =

0,5
N:&
( , ) (6,5)a b =

( ) 6
5
xy x y
xy x y
+ =


+ + =

0,25
##*+
( , ) (1,2);(2,1)x y =
0,25
N:&
( , ) (5,6)a b =

( ) 5
6
xy x y
xy x y
+ =



+ + =

0,25
##*+
5 21 5 21 5 21 5 21
( , ) ; ; ;
2 2 2 2
x y
   
+ − − +
=
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
0,25
O5-1*+
5 21 5 21 5 21 5 21
( , ) (1,2);(2,1); ; ; ;
2 2 2 2
x y
   
+ − − +
=
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
0,25
Câu 2 (2,5 điểm):
Nội dung trình bày Điểm
M%&P




≠x
Q 0,25
R7()

     

x x x
π
 
 
− − − − = −
 ÷
 
 
 
0,5
     x x x⇔ − − + = −
0,5

   # x x x⇔ = ⇔ =
0,25

 

x k k
π
π

⇔ = + ∈¢
0,5
S:B()%&PQ#B6#7*+

  

= + ∈¢x m m
π
π
0,5
Câu 3 (1,0 điểm):

Ni dung trỡnh by im
Gọi (O) là đờng tròn ngoại tiếp đa giác đều


n
A A A
. Dễ thấy đa giác này có đúng
n
đờng chéo mà là đờng kính của (O).
0,25
Mặt khác, mỗi tứ giác có đỉnh là đỉnh của đa giác là một hình chữ nhật khi và chỉ khi hai
đờng chéo của nó là hai đờng kính của (O).
0,25
Bên cạnh đó, hai tứ giác khác nhau thì có hai cặp đờng chéo khác nhau. Do vậy số hình chữ nhật
có đỉnh là đỉnh của đa giác bằng với số cặp đờng chéo của đa giác đều mà là hai đờng
kính.
0,25
Vậy số các hình chữ nhật cần tìm là

n
n n
C

=
.
0,25
Cõu 4 (2,5 im):
Ni dung trỡnh by im
a) (1,5 im).
9O*+#6#AC(+BD @:#1
SO

(ABCD) SO

BK, + BK

AC BK

(SAC) BK

SA v BK

HK
0,5
TUABC(&;'B.

= + =
a
BK
BK AB BC

TUV2-SA

(BHK) BH

SA
SABW'S, BH*+E#.>V2-
G

=
a
HB

0,5
TUHBK(&;?K.




X
Y
Vậy

= =
=
a
HK HB BK
a
HK
0,5
b) (1,0 im)
#1
T
BM BA BK= +
uuuur uuur uuur
(M*+&6#AK
T



MN MB BC CN AB KB BC BA KB BC= + + = + + + = +
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

0,25
0,25
TU1


Z
Z
Z
BM MN BA BK KB BC
BA KB BA BC BK KB BK BC

BA KB BK KB BK BC
KB
= + +
+ + +
+ +
uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
u r

Z
Z
BA BK BC
KB BA BC BK BC
KB CA CK KB CA KB CK
+
+
+ = + =
uu uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
0,5

_
D
_
C
_
B
_

A
_
S
_
O
_
K
_
M
_
N
H
O5-BM
⊥
MN
Câu 5 (1,5 điểm):
Nội dung trình bày Điểm
M!
[ [= + + = = + + =p x y z q xy yz xz r xyz
#1$"C#&


    − − − = − + −xy yz xz q pr r

          − − + − − + − − = − +xy yz xy xz yz xz q pr
KM AC\+

  G
 H
− +

≤
− + −
q pr
q pr r
/#-

  X G − + − ≥q r r

0,5
@KM 8#&-
  
  G G  G G+ + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ − ≥ −x y z xyz p r r r r
U1#'ACB
  X    H − + − ≥ ⇔ − + ≥q r r q r
*+
]
0,25
#1
    H ⇔ − + + + ≥xy yz xz xyz

S;2L^&$_
{ }

  

= ⇒ ≤z x y z z
#1
 
   H  H    


 H      H    
 
− + + + = + − − +
+ −
   
≥ + − − − ≥ + − − −
 ÷  ÷
   
xy yz xz xyz xy z z x y
x y z
z z z z z z
0,5
#1



 H          

−
 
+ − − − ≥ ⇔ − + ≥
 ÷
 
z
z z z z z
*&;`
U1`C*+`K+$BC
U2&"C]-#P(+'P



= = =x y z

0,25
I/:I
