Bài giảng toán rời rạc chương 2 quan hệ hai ngôi

Chương
Chương
2
2
2.2 Quan hệ tương đương
2.3 Quan hệ thứ tự
2.1 Định nghĩa
QUAN HỆ HAI NGÔI
2.1 ĐỊNH NGHĨA
a) Tích đề-các:
 Tích đề-các của hai tập A&B là tập:
},/),{( BbAabaBA




}/), ,{(
2121 iinn
AaaaaAAA 
 Tích đề-các của các tập A
1
, A
2
, …, A
n
là tập:
Ví dụ:
Cho 2 tập: A = {1; 2; 3}, B = {a, b}
AB = {(1; a), (1; b), (2; a), (2; b), (3; a), (3; b)}
BA = {(a; 1), (a; 2), (b; 1), (b; 2), (c; 1), (c; 2)}
AA = A

2
= {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2),
(2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)}
b) Định nghĩa:
 Quan hệ hai ngôi R giữa tập A và tập B là tập con
của tích đề-các AB.
 Quan hệ R trên tập A gọi là phản xạ nếu:
 a  A, aRa
+ Nếu (a, b)  R ta viết aRb,
ba RR,b)(a, 
+ Nếu A = B ta nói R là quan hệ (hai ngôi) trên A.
 Quan hệ R trên tập A gọi là đối xứng nếu:
 a, b  A, aRb  bRa
 Quan hệ R trên tập A gọi là phản đối xứng nếu:
 a, b  A, aRb & bRa  a = b
 Quan hệ R trên tập A gọi là bắc cầu nếu:
 a, b, c  A, aRb & bRc  aRc
Ví dụ
Xét quan hệ hai ngôi R trên N như sau:
“ a, b  N, aRb  (a + b) là số chẵn”
Hãy kiểm tra các tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu,
phản đối xứng của quan hệ R
2. Quan hệ đồng dư “mod n”: Trên tập số
nguyên z, định nghĩa quan hệ như sau:
a, b  z, aRb  (a – b) chia hết cho n
Ví dụ
1. Quan hệ “chia hết”: Trên tập N* định nghĩa
quan hệ sau:
m, n  N*, mRn  n chia hết cho m
c) Ma trận biểu diễn quan hệ:

Cho 2 tập A = {a
1
, a
2
, …, a
n
}, B = {b
1
, b
2
, …, b
n
}
Ma trận biểu diễn quan hệ giữa A&B, kí hiệu:
M
R
= (m
ij
)
mxn






ji
ji
ij
bRakhi0

Rbakhi1
m
Sắp xếp các phần tử của A&B theo một trật tự nào
đó lần lượt trên một hàng ngang & hàng dọc, khi đó:
Ví dụ
Cho A = {1; 3; 7; 9}, B = {1; 21; 28}
Xét quan hệ hai ngôi R giữa A&B sau:
aRb  “a là ước của b”
Một ma trận biểu diễn quan hệ trên:











0101
0111
0001
28
21
1
9731
R
M
2.2 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG

Quan hệ R gọi quan hệ tương đương nếu nó có tính
phản xạ, đối xứng và bắc cầu.
Ví dụ
Chứng minh quan hệ đồng dư “mod n” là quan hệ
tương đương
a, b  z, aRb  (a – b) chia hết cho n
HD
 Tính phản xạ:
aRan0a)(aZ,a






bRana)(b
na)(bnb)(aaRbZ,ba,










 Tính đối xứng:
 R có tính phản xạ
 R có tính đối xứng

aRcnc)(anc)bb(a
nc)-(b
nb)(a
bRc
aRb
Z,cb,a,













 Bắc cầu:
 R có tính bắc cầu
Vậy R là một quan hệ tương đương
Lớp tương đương và phân hoạch
 Cho tập A. Một phân hoạch của A:
S = {A
1
, A
2
, …, A
n

, …/A
i
 A}
Thỏa các điều kiện sau:
AAAAii
jiAAi
n
ji






,.
21

 Cho R là một quan hệ tương đương trên tập A
và xA. Lớp tương đương chứa x là tập hợp các
phần tử của A có quan hệ với x, kí hiệu:
A/aRx}{a)x(hay[x] 
Và
}/{ AxxS 
là một phân hoạch của A.
 Ghi chú: Tập hợp các lớp tương đương S của A
gọi là tập thương của A.
Ví dụ
Cho f(x) = x
2
+ 2x. Trên tập số thực R, xét quan hệ

tương đương R sau:
a, bR, aRb  f(a) = f(b)
Xác định các lớp tương đương [0], [1],[2]?
[0] = {x/ xR0} = {x/ f(x) = f(0)}
= {x/ x
2
+ 2x = 0} = {0; -2}
[1] = {1; -3}, [2] = {2; -4}
HD
Ví dụ
Tìm các lớp tương đương của quan hệ đồng dư
“mod 5”:
a, b  z, aRb  (a – b) chia hết cho 5
},45/{]4[

},15/{]1[
},5/{]0[
ZkkxZx
ZkkxZx
ZkkxZx






Các lớp tương đương:
Và S = {[0], [1], [2], [3], [4]} là một phân hoạch
trên z
HD

2.3 QUAN HỆ THỨ TỰ
Quan hệ R gọi quan hệ thứ tự nếu nó có tính phản
xạ, phản đối xứng và bắc cầu.
Ví dụ
Chứng tỏ các quan hệ sau là quan hệ thứ tự:
1. Trên tập số thực R, xét quan hệ “” thông thường:
a, b  R, aRb  a  b
2. Trên tập N*, xét quan hệ chia hết sau:
a, b N*, aRb  “b chia hết cho a”
HD
1. Ta kiểm tra các tính chất sau:
 Tính đối xứng:
a N*, a  a  aRa  R có tính phản xạ
 Tính phản đối xứng:
a, b N*, aRb & bRa  a  b & b  a
 a = b  R có tính phản đối xứng
 Tính bắc cầu:
a, b, c N*, aRb & bRc  a  b & b  c
 a  c  R có tính bắc cầu
Vậy R là một quan hệ thứ tự