Lý thuyết nghiên cứu về cơ học - Chương 3 doc

-37-
Chơng 3
Ma sát và bài toán cân bằng của vật khi có ma sát
3.1. Ma sát trợt và bài toán cân bằng của vật khi có ma sát
trợt
3.1.1. Ma sát trợt và các tính chất của ma sát trợt
Thực tiễn cho thấy bất kỳ vật nào chuyển động trợt trên bề mặt không
nhẵn của vật khác đều xuất hiện một lực cản lại sự trợt của vật gọi là lực ma sát
trợt ký hiệu
F
r
ms
. Làm thí nghiệm biểu diễn trên hình 3.1. Vật A đặt trên mặt
trợt nằm ngang và chịu tác dụng của lực
P
r
hợp với phơng thẳng đứng một góc
. Phân tích
thành hai thành phần P
r
P
r
1
và P
r
2
nh hình vẽ. Nhận thấy rằng P
r
1

luôn luôn cân bằng với phản lực pháp tuyến

N
r
. Còn lực P
r
2
là lực cần để đẩy vật
A trợt trên mặt.
Khi
không đổi ta nhận thấy góc tăng thì P
r
P
r
2
tăng. Trong giai đoạn đầu vật A đứng yên trên
mặt B. Từ điều kiện cân bằng của vật A cho thấy
N
r

P
r
P
r

2

bằng lực ma sát nhng ngợc chiều. Nếu tiếp tục
tăng góc đến một trị số thì vật A bắt đầu trợt.
Lực ma sát lúc đó cũng tiến tới giới hạn
F
r

n
.

P
r
1

P
r
2

F
r
ms

H
ình 3.1
Trị số F
n
= Ntg (3.1)
ở đây N = P
1
là phản lực pháp tuyến của mặt trợt. Góc gọi là góc ma
sát; tg = f gọi là hệ số ma sát. Từ (3.1) có thể kết luận: lực ma sát trợt luôn
luôn cùng phơng nhng ngợc chiều với chuyển động trợt, có trị số tỷ lệ thuận
với phản lực pháp tuyến (áp lực) của mặt trợt.
Hệ số ma sát f đợc xác định bằng thực nghiệm, nó phụ thuộc vào vật liệu
và tính chất của bề mặt tiếp xúc. Bảng (3-1) cho ta trị số của hệ số ma sát trợt
đối với một vài vật liệu thờng gặp

-38-
Bảng 3-1
Tên vật liệu Hệ số ma sát
Đá trợt trên gỗ
Gỗ trợt trên gỗ
Kim loại trợt trên gỗ
Đồng trợt trên gang
Đồng trợt trên sắt
Thép trợt trên thép
0,46
ữ 0,6
0,62
0,62
0,16
0,19
0,15
Lực ma sát xuất hiện trong giai đoạn vật ở trạng thái tĩnh gọi là ma sát
tĩnh. Lực ma sát tĩnh tăng từ không đến trị số giới hạn F
n
= f
0
N. Lực ma sát xuất
hiện trong giai đoạn vật chuyển động trợt ta gọi là lực ma sát động. Trong trạng
thái tĩnh lực kéo (đẩy) vật luôn cân bằng với lực ma sát tĩnh còn trong trạng thái
chuyển động lực kéo (đẩy) P
2
vừa phải thắng ma sát động vừa phải d một phần
để tạo ra chuyển động của vật. Nếu gọi lực ma sát động của vật là F
mssd
thì F

msd
=
f
d
N, trong đó f
d
gọi là hệ số ma sát động. Qua nhiều thực nghiệm thấy rằng lực
ma sát động thờng nhỏ hơn một chút so với ma sát tĩnh giới hạn. Hệ số ma sát
động không những phụ thuộc vào vật liệu và tính chất bề mặt tiếp xúc của vật mà
còn phụ thuộc vào vận tốc trợt của vật. Trong phần lớn các trờng hợp cho thấy
khi vận tốc tăng thì hệ số ma sát động giảm và ngợc lại. Thí dụ hệ số ma sát
động giữa bánh đai làm bằng gang với dây đai phanh bằng thép có thể xác định
theo công thức:
f
d
=
v006,01
v0112,01
+
+
f
t
Trong đó v là vận tốc trợt tính bằng km/h còn f
t
= 0,45 khi mặt tiếp xúc
khô và f
t
= 0,25 khi mặt tiếp xúc ớt.
Trong tĩnh học vì chỉ xét bài toán cân bằng nên ma sát phải là ma sát tĩnh.
-39-

3.1.2. Bài toán cân bằng của vật khi chịu ma sát trợt
Xét vật rắn đặt trên mặt tựa (mặt trợt). Giả thiết vật chịu tác dụng của các
lực
F
r
1
,
2
F
r
,
n
F
r
. Các lực liên kết bao gồm phản lực pháp tuyến
N
r
j
và lực ma sát
F
r
msj
.
Khi vật cân bằng ta có hệ lực sau:
(
F
r
1
, ,
2

F
r
n
F
r
,
N
r
j
, F
r
msj
) 0 j = 1 s là số bề mặt tiếp xúc
Để vật cân bằng phải có các phơng trình cân bằng nh đã xét ở chơng 2.
Ngoài các phơng trình cân bằng ra để đảm bảo vật không trợt phải có các điều
kiện:
F
nj
f
o
N
j
. F
nj
là lực đẩy tổng hợp.
Trở lại sơ đồ (3.1) ta thấy khi không có trợt thì
tg =
N
F
ms

f
o
= tg
Ta có thể phát biểu điều kiện không trợt nh sau:
Điều kiện để vật không trợt là hợp lực
P
r
tác dụng lên vật nằm trong mặt
nón có góc đỉnh 2 ( ta gọi nón này là nón ma sát).Khi P nằm trên nón ma sát là
lúc sắp xảy ra sự trợt của vật A.
Thí dụ 3.1: Xác định điều kiện để
cho vật A có trọng lợng P nằm cân bằng
trên mặt nghiêng so với phơng ngang một
góc . Hệ số ma sát tĩnh là f
o
(hình 3.2)
N
r

F
r
ms


Bài giải: Xét vật A nằm cân bằng
trên mặt nghiêng dới tác dụng của các lực
(
, P
r
N

r
, F
r
ms
) Vì vật có xu hớng trợt
xuống nên lực ma sát
F
r
ms
luôn luôn hớng
về phía trên nh hình vẽ.
H
ình 3.2
Để vật cân bằng phải có:
-40-
(
, P
r
N
r
, F
r
ms
) 0 và F
N
f
o
N.
Giả thiết rằng vị trí đang xét là vị trí giới hạn giữa cân bằng và trợt thì lực
ma sát F

ms
= F
n
= f
o
N. Điều kiện để hệ lực tác dụng lên hệ vật cân bằng là:
F
n
= Ntg
Mặt khác vì F
n
Nf
0
. Suy ra tg f
o
.
Nh vậy điều kiện để cho vật cân bằng phải là tg f
o
.
Trị số của góc =
o
với tag
o
= f
o
chính bằng góc ma sát .
Thí dụ 3.2: Giá treo vật nặng có sơ đồ nh hình vẽ 3-3. Vật treo có trọng
lợng P, hệ số ma sát trợt tại các điểm tựa A và B là f
o
. Kích thớc cho theo

hình vẽ. Xác định điều kiện cân bằng cho giá.
Bài giải:
Khảo sát sự cân bằng
của giá. Lực tác dụng lên giá
ngoài trọng lợng
của vật
A còn có phản lực pháp
tuyến và lực ma sát ở điểm
tựa A và B là:
P
r
N
r
,
N
r
', , ' F
r
F
r
Nếu khoảng cách l là
không đổi, điều kiện cân
bằng của giá là:
y
B
P
r
P
r

o


o

A
B
h
l
R
r
B

R
r
A


A
y
' F
r
N
r
'
F
r

h
N

r

l
x

a) b)
H
ình 3.3
(
,P
r
N
r
,
N
r
', F
r
, ') 0 F
r
và F f
o
N; F' f
o
N'
Tại vị trí giới hạn nghĩa là lúc sắp xẩy ra sự trợt của giá trên các điểm tựa
ta có phơng trình cân bằng nh sau:
N- N' = 0; (1) F=f
o
N (4)

F + F' -P = 0 (2) F' = f
o
N' (5)
-41-
N.h - F.d
gh
- P = 0; (3)
ở đây d
gh
là khoảng cách giới hạn của hai điểm tựa A và B cho phép ứng
với lúc bắt đầu trợt.
Giải hệ phơng trình trên ta đợc:
N = N' F = F'; P = 2f
o
N;
h = f
o
d
gh
+ 2f
o
l hay d
gh
=
o
f
h
- 2l
Khoảng cách d càng lớn áp lực N càng lớn và ma sát càng lớn, điều kiện
cân bằng của giá viết đợc:

d
gh

o
f
h
- 2l
Thí dụ 3.3: Tìm điều kiện không trợt của dây đai quấn trên bánh đai tròn
có kể đến ma sát trợt với hệ số f
o
(hình 3-4) , bỏ qua tính đàn hồi của dây đai.
Bài giải:
Tìm điều kiện không trợt của dây đai có nghĩa là tìm điều kiện cân bằng
của đoạn đai AB của đai dới tác dụng các lực T
r
1
, T
r
2
(T
2
> T
1
) các phản lực
pháp tuyến N và các lực ma sát trợt F phân bố liên tục trên cung AB.
Khi dây đai sắp trợt ta xét một cung nhỏ ED trên dây đai. Bên nhánh chủ
động có lực tác dụng là
+ TT
r
r

còn bên nhánh
phụ động lực tác dụng là
. Gọi phản lực pháp
tuyến lên cung đai này là
T
r
N
r
và lực ma sát trợt
lên cung này là F ta sẽ có phơng trình cân bằng:
T
r
R
D
y
d N
r
( T
r
+d T
r
)
d
dF
r

T
r

d

B
T
r
1

2

A


d
- T cos
2
d

+ (T+dT)cos
2
d

- F = 0
- N - Tsin
2
d

- (T- dT) = 0
H
ình 3.4
Trong đó F = fN. Bỏ qua các vô cùng bé

-42-
bậc hai trở lên ta đợc: F = dT và N = Td. Thay giá trị trên vào biểu thức F =fN
ta có dT = f.T.d. Tích phân hai vế tơng ứng với cận từ A đến B ta đợc
lnT
B
A
= f
o

B
A
hay ln
1
2
T
T
= f.
là góc chắn cung AB gọi là góc bao của đai.
Suy ra: T
2
= T
1
.e
f

Lực kéo bên nhánh chủ động T
2
càng lớn hơn bên nhánh bị động thì khả
năng trợt càng nhiều do đó điều kiện để dây không trợt phải là:
T

2
T
1
.e
f

Công thức này đợc gọi là công thức ơle
3.2. Ma sát lăn và bài toán cân bằng của vật rắn khi có ma
sát lăn
Ma sát lăn là mô men cản chuyển động lăn của vật thể này trên vật thể khác.
Xét một con lăn hình trụ bán kính R trọng lợng P lăn trên một mặt phẳng
ngang, nhờ lực
Q
r
đặt vào trục con lăn (xem hình 3.5). Trong trờng hợp này con
lăn chịu tác dụng của các lực:
P
r
,
Q
r
,
N
r
, F
r
ms
. Trong các lực đó hai lực
Q
r

vàF
r
ms

tạo thành một ngẫu lực có tác dụng làm cho con lăn chuyển động lăn. Còn lại hai
lực
và P
r
N
r
trong trờng hợp con lăn và mặt lăn là rắn tuyệt đối thì chúng trùng
phơng.Trong thực tế con lăn và mặt lăn là những vật biến dạng hai lực P và N
không trùng phơng luôn song song và cách nhau một khoảng cách k. Hai lực
này tạo thành một ngẫu lực có tác dụng cản lại sự lăn của con lăn. Mô men của
ngẫu (
, P
r
N
r
) đợc gọi là mô men ma sát lăn. Nếu ký hiệu mô men ma sát lăn là
M
ms
thì M
ms
= kN.
Gọi k là hệ số ma sát lăn. Khác với hệ số ma sát trợt hệ số ma sát lăn k
có thứ nguyên là độ dài.
-43-
Hệ số ma sát lăn đợc xác định bằng thực nghiệm, nó cũng phụ thuộc vào
tính chất vật liệu và bề mặt lăn, không phụ thuộc vào lực N. Sau đây là hệ số ma

sát lăn của một vài vật thờng gặp.

Vật liệu Hệ số k (cm)
Gỗ lăn trên gỗ
Thép lăn trên thép
Gỗ lăn trên thép
Con lăn thép trên mặt thép
0,05 ữ 0,08
0,005
0,03 ữ 0,04
0,001





Q
r
C

A
P
r
N
r
F

r

F

r

C
A
P
r
Q
B
k
N
r
r


a)
b)

H
ình 3.5
Bài toán cân bằng của vật khi có ma sát lăn ngoài điều kiện hệ lực tác
dụng lên hệ kể cả các phản lực và lực ma sát cân bằng còn phải thêm điều kiện
không có lăn biểu diễn bởi phơng trình:
P
r

C
N
r
F
r

1

P
r

2
P
r

M
ms
Q.R
Thí dụ 3.4: Tìm điều kiện cân bằng của con lăn
trọng lợng P, bán kính R nằm trên mặt phẳng nghiêng một
góc . Cho hệ số ma sát lăn là k. (xem hình 3-6)
Bài giải:
Xét con lăn ở vị trí cân bằng. Phân tích
P
r
thành hai
lực
P
r
1
, P
r
2
nh hình vẽ (3-6).
H

ình 3.6
Ta có điều kiện để con lăn không lăn là:P
1
.R = R.P.sin P
2
.k = P cos
Hay R.P.sin P.cos. tg
R
k

-44-
Nh vậy điều kiện để con lăn cân bằng là: tg
R
k

Thí dụ 3.5: Vật hình trụ có trọng lợng P bán kính R nằm trên mặt phẳng
nghiêng một góc . Khối trụ chịu tác dụng lực đẩy Q song song với mặt phẳng
nghiêng. Tìm điều kiện khối trụ đứng yên trên mặt phẳng nghiêng và điều kiện để
nó lăn không trợt lên phía trên. Hệ số ma sát lăn là k và hệ số ma sát trợt là f.
y

x



M

A

F

r
ms

N
r

P
r


O

Q
r

y
x

M

A
O
P
r

F
m


s

r
N
r
Q
r






a)


b)

H
ình 3.7
Bài giải:
Điêù kiện để khối trụ cân bằng trên mặt phẳng nghiêng là :
(
, ,P
r
Q
r
N
r
, F
r
ms

, M
r
ms
) 0
Mặt khác để khối trụ không lăn (hình3.7a ) không trợt xuống phải có
thêm điều kiện:
M
ms
k.N; F
ms
f.N
Nh vậy phải thoả mãn các phơng trình sau:
X
i
= Q - Psin + F
ms
= 0; (1)
Y
i
= - Pcos +N = 0; (2)
m
A
= P.R.sin - Q.R - M
ms
= 0 (3)
F
ms
f.N (4)
M
ms

k.N (5)
-45-
Từ ba phơng trình đầu tìm đợc:
N = Pcos ; F
ms
= Psin - Q ; M
ms
= R(Psin - Q)
Thay các kết quả vào hai bất phơng trình cuối đợc:
P.sin - Q f.Pcos ; R(Psin-Q) k.Pcos
Hay: Q P(sin - f.cos)
Q P(sin -
R
k
cos)
Thờng thì
R
k
< f do đó điều kiện tổng quát là:
P
Q
sin -
R
k
cos sin - f.cos
Để vật lăn không trợt lên ( hình3.7b ) phải có các điều kiện:
x
i
= Q-Psin + F
ms

= 0; (1')
y
i
=- Pcos +N = 0; (2')
m
A
= P.sin - Q.R + M
ms
= 0; (3')
F
ms
f.N (4')
M
ms
k.N (5')
Bất phơng trình (4') đảm bảo cho vật chuyển động có trợt lên. Còn bất
phơng trình (5') đảm bảo cho con lăn có khả năng lăn lên trên.
Từ 3 phơng trình đầu ta đợc:
N = Pcos; F
ms
= Q - Psin ; M
ms
= R(Q-Psin)
Thay thế vào hai phơng trình cuối ta đợc:
Q - Psin f.P.cos;
R(Q-Psin) kPcos.
Vậy điều kiện để khối trụ lăn không trợt lên trên là:
sin +
R
k

cos
P
Q
< sin + f cos.
Điều này nói chung có thể đợc nghiệm vì
R
k
thờng nhỏ hơn f.s