BT Tong Hop: Quan He Vuong Goc

Trường THPT Trần Quang Khải GV: Đỗ Trung Kiên
QUAN HỆ VUÔNG GÓC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I. Hai đường thẳng vuông góc
Định nghĩa 1: (a, b) = (∆
1
, ∆
2
) trong đó ∆
1
∩ ∆
2
= O, ∆
1
// a, ∆
2
// b.
Định nghĩa 2: a ⊥ b ⇔ (a, b) = 90
0
.
II. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Định nghĩa 1: a ⊥ (α) ⇔ a ⊥ ∀∆ ⊂ (α).
Định lý 1:
)( d
O b a
)( b d
)( a d
αα
α
⊥⇒






=∩
⊂⊥
⊂⊥
Các tính chất:
1. ∃! mp(α)O ∈ (α), a ⊥ (α) với điểm O và đường thẳng a cho trước.
2. ∃! Đường thẳng ∆  O ∈ ∆, ∆ ⊥ (α) với điểm O và mp(α) cho trước.
3. + (α) ⊥ a, a // b ⇒ (α) ⊥ b.
+ a ≠ b, a ⊥ (α), b ⊥ (α) ⇒ a // b.
4. + a ⊥ (α), (α) // (β) ⇒ a ⊥ (β).
+ (α) ≠ (β), (α)⊥ a, (β)⊥ a ⇒ (α) // (β).
5. + a // (α), ∆ ⊥ (α) ⇒ ∆ ⊥ a.
+ a ⊥ ∆, (α) ⊥ ∆, a ⊄ (α) ⇒ a // (α).
Định nghĩa 2: Phép chiếu song song lên mp(P) theo phương l ⊥ mp(P) được gọi là phép chiếu vuông
góc lên mp(P).
Định lý ba đường vuông góc:
a'. b a b thì
)( trên a cua h/c là a'
)( b ),( a
⊥⇔⊥



⊂⊥
α
αα
Định nghĩa 3:

+ a ⊥ (α) ⇔ (a, (α)) = 90
0
.
+ a ⊥ (α) thì (a, (α)) = (a, a’) với a’ là hình chiếu của a trên (α).
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
DẠNG 1: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG.
1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
+/ Cách 1: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng b, c cắt nhau cùng nằm trên (
α
)
+/ Cách 2: Chứng minh
// '
( )
' ( )
d d
d
d
α
α

⇒ ⊥

⊥

+/ Cách 3: Chứng minh
( ')
( )
( ')//( )
d
d

α
α
α α
⊥

⇒ ⊥


2. Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc với nhau.
+/ Cách 1: Chứng minh
¶
0
( , ) 90a b =
+/ Cách 2: Tìm hai vec tơ chỉ phương
u
r
và
v
r
của a , b và chứng minh
. 0u v =
r r
VD1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA
⊥
(ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình
chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD.
a) Cm: BC
⊥
(SAB); CD
⊥

(SAD); BD
⊥
(SAC).
b) Cm: AH
⊥
SC; AK
⊥
SC. T ừ đó suy ra AH, AI, AK cùng chứa trong 1 mp.
c) Cm: HK
⊥
(SAC). Từ đó suy ra HK
⊥
AI.
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1
Trường THPT Trần Quang Khải GV: Đỗ Trung Kiên
BÀI TẬP:
Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có
∆
ABC vuông tại B, SA
⊥
(ABC).
a) Cm: BC
⊥
(SAB). b) Gọi AH là đường cao của
∆
SAB. Cm : AH
⊥
SC.
Bài 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết : SA = SC và SB = SD.

a) CM: SO
⊥
(ABCD)
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. Chứng minh : IJ
⊥
(SBD).
Bài 3: Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là điểm thuộc mp (ABC)
sao cho OH vuông góc với mp (ABC). Chứng minh rằng:
a) BC vuông góc với mp (OAH) b) H là trực tâm của tam giác ABC
c)
2222
1111
OCOBOAOH
++=
Bài 4: Cho hình vuông ABCD, H là trung điểm AB, K là trung điểm AD. Trên đường thẳng vuông góc với mp
(ABCD) tại H lấy một điểm S khác với H. Chứng minh:
a) AC vuông góc với (SHK) b) CK vuông góc với DH và Ck vuông góc với SD
Bài 5: Tứ diện SABC có SA vuông góc với (ABC). Gọi H và K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và SBC.
Chứng minh :
a) AH, SK và BC đồng quy b) SC vuông góc với (BHK)
c) HK vuông góc với (SBC)
Bài 6: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SB = SD
a) Chứng minh (SAC) là mặt trung trực của đoạn BD
b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SD. Chứng minh SH= SK, OH = OK, và
HK song song với BD
c) Chứng minh (SAC) là mặt trung trực của đoạn HK
DẠNG 2: TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1. PHƯƠNG PHÁP :
Cho đường thẳng d cắt mp (
α

) tại điểm O và
( )
0
,( ) 90d
α
≠
. Để tính góc
( )
,( )d
α
ta thực hiện các bước sau:
+/ Lấy
( )A d A O∈ ≠
+/ Chiếu vuông góc A xuống (
α
) ta được điểm H
+/ Ta có
( )
,( )d
α
=
·
AOH
 Chú ý: +/ Nếu
( )d
α
⊥
thì
( )
,( )d

α
=
0
90
+/ Nếu d không vuông góc với (
α
) thì
( )
,( )d
α
=
( )
, 'd d
với d’ là hình chiếu của d trên (
α
)
2. BÀI TẬP :
Bài 1: Cho tứ diện S.ABC. Tam giác ABC vuông cân tại B có BA=a, SA
⊥
(ABC), SA=a, AK là đường cao của
tam giác SAB.
a) Tính sin của góc giữa SC và (SAB).
b) Tính góc giữa AH và (SBC).
Bài 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a và một điểm S ngoài mp (ABC) sao cho SA = SB = SC=
3
3a2
.
a) Tính khoảng cách từ S đến mp (ABC).
b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mp (ABC).
DẠNG 3: THIẾT DIỆN QUA 1 ĐIỂM CHO TRƯỚC VÀ

⊥
VỚI 1 ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a; SA
vuông góc với mp (ABCD) và SA = 2a. Gọi M là một điểm trên cạnh AB;
α
là mp qua M, vuông góc với AB.
Đặt x = AM (0<x<a).
a) Tìm thiết diện của hình chop SABCD với
α
. Thiết diện là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện theo a và x
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
2
Trường THPT Trần Quang Khải GV: Đỗ Trung Kiên
Ví dụ 2: Cho hình tứ diện SABC có ABC là tam giác đều cạnh = a, SA vuông góc với (ABC) và SA = 2a. Gọi
α
là mp qua B và vuông góc với SC. Tìm thiết diện của tứ diện SABC vói
α
và diện tích của thiết diện này
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B. AB = a. SA vuông góc với mp (ABC) và SA
=
3a
. Gọi M là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB, đặt AM = x (0<x<a). Gọi
α
là mp qua M và vuông góc với
AB
a) Tìm thiết diện của tứ diện SABC với
α
b. Tính diện tích của thiết diện này theo a và x. Tìm giá trị của x đểdiện tích thiết diện có giá trị lớn nhất

Bài 2: Cho tam giác đều ABC có đường cao AH = 2a. Gọi O là trung điểm AH. Trên đường thẳng vuông góc
với mp (ABC) tai O. Lấy điểm S sao cho Ó = 2a. Gọi I là một điểm trên OH, đặt AI =x, (a<x<2a),
α
là mp đi
qua I và vuông góc với OH.
a) Xác định
α
b) Dựng thiết diện của
α
với tứ diện SABC. Thiết diện là hình gì?
c) Tính theo a và x diện tích của thiết diện
Bài 3: Tứ diện SABC có 2 mặt ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. SA =
2
3
a
. M là một điểm trên đoạn
AB, Đặt AM = x (0 < x < a). Gọi
α
là mp qua M và vuông góc với BC.
a) D là trung điểm của BC, chứng minh
α
song song với (SAD)
b) Xác định thiết diện của
α
với tứ diện SABC
c) Tính theo a và x diện tích của thiết diện
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
3