GIẢI TÍCH MẠNG_CHƯƠNG 4: CÁC MA TRẬN MẠNG VÀ PHẠM VI ỨNG DỤNG (tt) doc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (541.76 KB, 15 trang )
GIẢI TÍCH MẠNG
Trang 52
E
q
p
q
E
p
E
q
q
E
p
p
v
pq
= E
p
-E
q
(a)
z
pq
j
pq
v
pq
= E
p
-E
q
y
pq
e
pq
i
pq
+j
pq
i
pq
i
pq
(b)
Hình 4.7 : Thành phần biểu diễn mạng điện
(a) Hình thức tổng trở; (b) Hình thức tổng dẫn
Phương trình đặc tính của tổng trở nhánh là:
v
pq
+ e
pq
= z
pq
i
pq
(4.6)
Hay tổng dẫn nhánh là:
i
pq
+ j
pq
= y
pq
v
pq
(4.7)
Nguồn dòng mắc song song với tổng dẫn có liên hệ với nguồn áp mắc nối tiếp với tổng
trở như sau:
j
pq
= -y
pq
e
pq
Tập hợp các thành phần không liên hệ với nhau được gọi là mạng gốc. Phương
trình đặc tính của mạng gốc có thể xuất phát từ (4.6) hay (4.7) được biểu diễn bởi các
biến là vectơ và các tham số là ma trận. Phương trình đặc tính của tổng trở là:
[]
izev
r
r
r
=+
Hay đối với tổng dẫn là:
[]
vyji
r
r
r
=+
Thành phần trên đường chéo của ma trận [z] hay [y] của mạng gốc là tổng trở
riêng z
pq,pq
hay tổng dẫn riêng y
pq,pq
. Các thành phần ngoài đường chéo là tổng trở tương
hổ z
pq,rs
hay tổng dẫn tương hỗ y
pq,rs
giữa nhánh p-q và nhánh r-s. Ma trận tổng dẫn gốc
[y] có thể thu được bằng cách nghịch đảo ma trận tổng trở gốc [z]. Ma trận [z] và [y] là
ma trận đường chéo nếu không có thành phần tương hổ giữa các nhánh. Trong trường
hợp này tổng trở riêng đúng bằng số nghịch đảo của tổng dẫn riêng tương ứng.
GIẢI TÍCH MẠNG
Trang 53
4.5. CÁCH THÀNH LẬP MA TRẬN MẠNG BẰNG SỰ
BIẾN ĐỔI TRỰC TIẾP.
4.5.1. Phương trình đặc tính của mạng điện.
Mạng điện là sự ghép nối tập hợp các nhánh có mối liên hệ với nhau. Trong cấu
trúc nút qui chiếu, thành phần của mạng điện có mối liên hệ với nhau được diễn tả bởi
n-1 phương trình nút độc lập, với n là số nút. Trong kí hiệu ma trận các thành phần của
phương trình đối với tổng trở là:
Nuï
t
NuïtNuït
IZE
r
r
=
Hay đối với tổng dẫn là:
Nuï
t
NuïtNuït
EYI
r
r
=
Nuï
t
E
r
: Là vectơ điện áp nút đo được với nút qui chiếu đã chọn.
Nuï
t
I
r
: Là vectơ dòng điện nút đưa vào.
Z
Nút
: Là ma trận tổng trở nút có các thành phần của ma trận là tổng trở truyền hở
mạch giữa các điểm.
Y
Nút
: Là ma trận tổng dẫn nút có các thành phần của ma trận là tổng dẫn truyền
ngắn mạch giữa các điểm.
Trong cấu trúc nhánh cây tham khảo thành phần của mạng điện có mối liên hệ
với nhau được thể hiện bởi b phương trình nhánh cây độc lập. Với b là số nhánh cây.
Trong kí hiệu ma trận các thành phần của phương trình đối với tổng trở là:
cáynhaïnhcáynhaïnhcáynhaïnh
IZE
rr
.=
Hay đối với tổng dẫn là:
cáynhaïnhcáynhaïnhcáynhaïnh
EYI
rr
.=
Với:
: Là vectơ điện áp qua nhánh cây
cáynhaïnh
E
r
: Là vectơ dòng điện đi qua nhánh cây
cáynhaïnh
I
r
Z
nhánh cây
: Là ma trận tổng trở của nhánh cây có các thành phần của ma trận là
tổng trở truyền hở mạch giữa các điểm của các nhánh cây trong mạng điện.
Y
nhánh cây
: Là ma trận tổng dẫn của nhánh cây có các thành phần của ma trận là
tổng dẫn truyền ngắn mạch giữa các điểm của các nhánh cây trong mạng điện.
Trong cấu trúc vòng tham khảo các thành phần của mạng điện có mối liên hệ với
nhau được thể hiện bởi l phương trình vòng độc lập. Với l là số nhánh bù cây hay số
vòng cơ bản. Phương trình đặc tính đối với dạng tổng trở là:
Voìn
g
VoìngVoìng
IZE
rr
.=
Hay đối với dạng tổng dẫn là:
Voìn
g
VoìngVoìng
EYI
rr
.=
Trong đó:
Voìn
g
E
r
: Là vectơ điện áp của vòng cơ bản
Voìn
g
I
r
: Là vectơ dòng điện của vòng cơ bản
Z
Vòng
: Là ma trận tổng trở vòng
Y
Vòng
: Là ma trận tổng dẫn vòng.
GIẢI TÍCH MẠNG
Trang 54
4.5.2. Ma trận tổng trở nút và ma trận tổng dẫn nút.
Ma trận tổng dẫn nút Y
Nút
có thể thu được bằng cách dùng ma trận nút A liên kết
với các biến và tham số của mạng điện gốc với lượng nút của mạng điện kết nối.
Phương trình đặc tính của mạng điện gốc như sau:
[]
vyji
r
rr
=+
Nhân hai vế với A
t
là ma trận chuyển vị của ma trận nút ta thu được:
[]
vyAjAiA
ttt
r
rr
=+
(4.8)
Từ ma trận A cho thấy sự tác động của các nhánh với các nút,
là vectơ ứng với mỗi
nhánh nó là tổng đại số của dòng chạy qua các nhánh trong mạng tại mỗi nút khác nhau.
Theo luật Kirchhoff về dòng điện (định luật Kirchhoff I) tổng đại số của dòng điện tại
một nút là bằng 0 ta có:
iA
t
r
iA
t
r
.
= 0 (4.9)
Tương tự
là tổng đại số của nguồn dòng tại mỗi nút bằng vectơ dòng điện nút. Vì
Vậy:
jA
t
r
jAI
t
Nuït
r
r
.= (4.10)
Thay thế phương trình (4.9) và (4.10) vào trong phương trình (4.8) ta thu được:
[]
vyAI
t
Nuït
r
r
= (4.11)
Công suất trong mạng điện là
Nuï
t
t
Nuït
EI
r
r
)(
*
và tổng của công suất trong mạng điện nguồn
là
. Công suất trong mạng điện nguồn và mạng điện kết nối phải bằng nhau, công
suất phải không đổi khi có sự thay đổi của các biến.
vj
t
r
r
)(
*
vjEI
t
Nuït
t
Nuït
r
r
r
r
)()(
**
= (4.12)
Kết hợp với phương trình chuyển vị của (4.10)
***
)()( AjI
tt
Nuït
r
r
=
Ma trận A là ma trận thực nên:
A
*
= A
Do đó:
AjI
tt
Nuït
)()(
**
r
r
= (4.13)
Thay thế phương trình (4.13) vào trong (4.12)
vjEAj
t
Nuït
t
r
r
r
r
)()(
**
=
Phương trình trên đúng cho tất cả các giá trị của
,j
r
đơn giản nó trở thành:
vEA
Nuït
r
r
=. (4.14)
Thay thế phương trình (4.14) vào trong (4.11)
[]
Nuï
t
t
Nuït
EAyAI
r
r
.= (4.15)
Từ phương trình đặc tính của mạng điện
Nuï
t
NuïtNuït
EYI
r
r
.= (4.16)
Từ phương trình (4.15) và (4.16) ta có:
[]
AyAY
t
Nuït
=
Ma trận nút A là ma trận đơn giản vì vậy A
t
[y] A là đơn giản với phép biến đổi của [y]
Ma trận tổng trở nút có thể thu được từ
[]
11
)(
−−
== AyAYZ
t
NuïtNuït
GIẢI TÍCH MẠNG
Trang 55
4.5.3. Ma trận tổng trở nhánh cây và tổng dẫn nhánh cây.
Ma trận tổng dẫn nhánh cây Y
nhánh cây
có thể thu được bằng cách dùng ma trận
vết cắt cơ bản B liên kết các biến và tham số của mạng điện gốc với số nhánh cây của
mạng điện kết nối. Phương trình đặc tính của mạng điện gốc đối với tổng dẫn khi nhân
cả hai vế với B
t
thu được.
[]
vyBjBiB
ttt
r
rr
=+
(4.17)
Từ ma trận B cho thấy sự liên hệ của các nhánh với các vết cắt cơ bản,
iB
t
r
. là
vectơ ứng với mỗi nhánh nó là tổng đại số của dòng chạy qua các nhánh trong mạng tại
mỗi vết cắt cơ bản khác nhau.
Các nhánh của vết cắt cơ bản chia mạng điện ra thành hai mạng con liên kết. Vì vậy
thành phần của vectơ
là tổng đại số của dòng điện đi vào mạng con và theo định
luật Kirchhoff về dòng điện (định luật Kirchhoff I) ta có:
iB
t
r
.
iB
t
r
.
= 0 (4.18)
Tương tự
jB
t
r
là vectơ đối với mỗi nhánh là tổng đại số của nguồn dòng trong các
nhánh với các vết cắt cơ bản và tổng nguồn dòng trong mạch mắc song song với nhánh
cây là:
jBI
t
cáynhaïnh
r
r
.=
(4.19)
Thay thế phương trình (4.18) và (4.19) vào trong (4.17) thu được:
[]
vyBI
t
cáynhaïnh
r
r
=
(4.20)
Công suất trong mạng điện là
)()(
*
cáynhaïnh
t
cáynhaïnh
EI
r
r
và từ công suất không thay đổi ta
có:
vjEI
t
cáynhaïnh
t
cáynhaïnh
r
r
r
r
)()(
**
=
Thu được
từ phương trình (4.19) và thay vào phương trình trên ta có:
t
cáynhaïnh
I )(
*
r
vjEBj
t
cáynhaïnh
t
r
r
r
r
)(.)(
***
=
Từ ma trận B là ma trận thực, ta có:
B
*
= B do đó
vjEBj
t
cáynhaïnh
t
r
r
r
r
)(.)(
**
=
Phương trình trên đúng với mọi giá trị của
,j
r
đơn giản nó trở thành như sau:
cáynhaïnh
EBv
r
r
.=
(4.21)
Thay thế phương trình (4.21) vào trong (4.20) thu được:
[]
cáynhaïnh
t
cáynhaïnh
EByBI
rr
.=
(4.22)
Mối liên hệ giữa dòng điện chạy qua nhánh cây và điện áp trên nhánh cây là:
cáynhaïnhcáynhaïnhcáynhaïnh
EYI
rr
.=
(4.23)
Từ phương trình (4.22) và (4.23) ta có:
[]
ByBY
t
cáynhaïnh
.=
Ma trận vết cắt cơ bản B là ma trận đơn giản vì vậy
[
]
ByB
t
.
là đơn giản với sự biến đổi
của [y]
Ma trận nhánh cây có thể thu được từ
[
]
11
).(
−−
== ByBYZ
t
cáynhaïnhcáynhaïnh
GIẢI TÍCH MẠNG
Trang 56
4.5.4. Ma trận tổng trở vòng và ma trận tổng dẫn vòng.
Ma trận tổng trở vòng Z
Vòng
có thể thu được bằng cách dùng ma trận vòng cơ bản C liên
kết các biến và tham số của mạng điện gốc với số vòng của mạng điện kết nối.
Phương trình đặc tính của mạng điện gốc là:
[]
izev
r
rr
=+
Nhân hai vế phương trình với C
t
ta thu được:
[]
izCeCvC
ttt
r
rr
=+
(4.24)
Ma trận mạng
Bảng 4.1 : Thành lập ma trận mạng bằng phép biến đổi đơn giản
Gốc
Tổng trở
Tổng dẫn
Vòng
Nút
Nhánh cây
Nghịch đảo
[z]
[y]
C
t
[z] C
Z
Vòng
Y
Vòng
A
t
[y] A
B
t
[y] B
Z
Nút
Y
Nút
Z
nhánh cây
Y
nhánh cây
Bảng 4.2 : Dòng điện và điện áp liên hệ giữa ma trận gốc và ma trận kết nối
Cấu trúc tham khảo
Dòng điện
Điện áp
Vòng
Nút
Nhánh cây
jBI
t
cáynhaïnh
r
r
.=
cáynhaïnh
EBv
r
r
.=
jAI
t
Nuït
r
r
.=
Nuït
EAv
r
r
.=
Voìng
ICi
r
r
.=
eCE
t
Voìng
r
r
.=
Từ ma trận C cho thấy sự tác động của nhánh tới vòng cơ bản,
là tổng đại
số của điện áp vòng trong mỗi vòng lặp cơ bản. Nó phù hợp với định luật Kirchhoff về
vC
t
r
.
GIẢI TÍCH MẠNG
Trang 57
điện áp (định luật Kirchhoff II) là tổng đại số của điện áp vòng trong một vòng cơ bản
là bằng 0.
Nên:
= 0 (4.25) vC
t
r
.
Tương tự
là tổng đại số của nguồn điện áp vòng trong mỗi vòng cơ bản. eC
t
r
.
Vì vậy:
eCE
t
Voìng
r
r
.=
(4.26)
Từ công suất không đổi ta có:
eieCE
ttt
Voìng
r
r
r
r
)(.)(
**
=
Phương trình trên đúng với mọi giá trị
e
r
nên ta đơn giản nó trở thành như sau:
tt
Voìng
t
CEi )()(
**
r
r
=
Nên:
Voìn
g
ICi
r
r
.
*
=
Từ ma trận thực C, ta có:
C
*
= C và
Voìn
g
ICi
r
r
.=
(4.27)
Thay thế phương trình (4.25), (4.26) và (4.27) vào trong (4.24) ta thu được:
[]
Voìn
g
t
Voìng
ICzCE
rr
.=
(4.28)
Phương trình đặc tính của mạng điện trong cấu trúc vòng tham khảo là:
Voìn
g
VoìngVoìng
IZE
rr
.=
(4.29)
Từ phương trình (4.28) và (4.29) ta có:
[]
CzCZ
t
Voìng
=
Ma trận C là ma trận đơn giản, nên
[
]
CzC
t
là đơn giản với sự biến đổi của [z]
Ma trận tổng dẫn vòng có thể thu được từ
[]
11
)()(
−−
== CzCZY
t
VoìngVoìng
Ma trận mạng thu được từ phép biến đổi đơn giản được tổng kết trong bảng 4.1. Quan
hệ dòng và áp giữa mạng điện gốc và mạng điện kết nối được tổng kết trong bảng 4.2.
4.6. CÁCH THÀNH LẬP MA TRẬN MẠNG BẰNG PHÉP
BIẾN ĐỔI PHỨC TẠP.
4.6.1. Ma trận tổng trở nhánh và tổng dẫn nhánh
Ma trận tổng dẫn nhánh Y
nhánh cây
cũng có thể thu được bằng cách dùng ma trận vết cắt
tăng thêm
B
ˆ
liên kết với các biến và các tham số của mạng điện gốc với mạng điện liên
thông thêm vào. Mạng điện thêm vào thu được bằng sự kết nối với một nhánh cây giả
mắc nối tiếp với mỗi nhánh bù cây của mạng điện gốc. Để giữ nguyên các đặc tính
trong mạng liên thông tổng dẫn của mỗi nhánh cây giả bằng 0 và nguồn dòng đúng
bằng dòng qua nhánh bù cây liên kết,
được biểu diễn trên hình 4.8a. Hiệu điện thế đi
qua nhánh cây giả là bằng 0. Vết cắt ràng buộc được xem như vết cắt giữa nhánh bù cây
liên thông với nhánh cây giả, được thể hiện trên hình 4.8b.
Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào trong cấu trúc nhánh cây tham
khảo như sau:
cáynhaïnhcáynhaïnhcáynhaïnh
EYI
ˆ
.
ˆˆ
=
GIẢI TÍCH MẠNG
Trang 58
Ma trận Y
nhánh cây
sẽ thu được trực tiếp từ ma trận tổng dẫn của mạng điện thêm
vào.
cáynhaïnh
Y
ˆ
Phương trình đặc tính của mạng điện gốc
[]
vyji
r
r
r
=+
Nhân hai vế với
t
B
ˆ
thu được:
[]
vyBjBiB
ttt
r
r
r
ˆ
.
ˆ
.
ˆ
=+
(4.30)
Phương trình (4.30) có thể viết lại với hình thức ma trận phân chia như sau:
Nút
giả
j
l
i
l
v = 0
l
4
2
i
l
(a)
Nhánh
cây giả
(b)
0
3
2
4
1
l
Vết cắt ràng
buộc G
Nút
giả
Nhánh
cây giả
Hình 4.8 : Trình bày mạng điện thêm vào. (a) Nhánh cây giả nối tiếp với
nhánh bù cây; (b) Thể hiện vết cắt ràng buộc
i
b
i
t
B
t
U
t
t
U
b
0
B
t
U
t
t
U
b
0
j
b
j
t
vy
B
t
t
U
t
U
b
0
(4.31)
+
=
Trong đó: Vectơ dòng gốc
và i
r
j
r
được phân chia thành vectơ dòng
b
i
r
và
b
j
r
, nó liên
kết với nhánh cây của mạng, vectơ dòng
t
i
r
và
t
j
r
liên kết với nhánh bù cây. Vế trái của
phương trình (4.31) là:
i
b
+B
t
t
i
t
i
t
j
b
+B
t
t
j
t
jt
+
GIẢI TÍCH MẠNG
Trang 59
Khi
iBiBi
t
t
t
tb
r
r
r
=+
và
jBjBj
t
t
t
tb
r
r
r
=+
Tuy nhiên:
0. =
t
t
iB
r
và
cáynhaïnh
t
IjB
r
r
=.
Thì vế trái của phương trình (4.31) là:
I
nhánh cây
i
t
+j
t
0
i
t
j
t
I
nhánh câ
y
=
+
Từ mỗi thành phần của vectơ
t
i
r
là bằng nguồn dòng của nhánh cây giả,
tt
ji
r
r
+
là vectơ
trong đó mỗi thành phần của nó bằng tổng đại số nguồn dòng của nhánh cây giả với
nhánh bù cây liên kết. Vì vậy:
I
nhán cây h
=
cáynhaïnh
I
ˆ
i
t
+j
t
Và phương trình (4.30) trở thành.
[]
vyBI
t
cáynhaïnh
r
ˆˆ
=
(4.32)
Hiệu điện thế qua nhánh cây giả là bằng 0, vectơ điện áp của mạng điện thêm vào là:
=
cáynhaïnh
E
ˆ
E
nhánh cây
0
Điện áp qua các nhánh của mạng điện gốc theo phương trình (4.21) là:
cáynhaïnh
EBv
r
r
.=
Tuy nhiên:
cáynhaïnhcáynhaïnh
EBEB
rr
.
ˆ
. =
Nên
(4.33)
cáynhaïnh
EBv
r
r
.
ˆ
=
Thế phương trình (4.33) vào trong phương trình (4.32) ta được.
[]
cáynhaïnh
t
cáynhaïnh
EByBI
r
.
ˆˆˆ
=
(4.34)
Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào là
cáynhaïnhcáynhaïnhcáynhaïnh
EYI
r
.
ˆˆ
=
(4.35)
Từ phương trình (4.34) và (4.35) ta có ma trận tổng dẫn của mạng điện thêm vào là:
[]
ByBY
t
cáynhaïnh
ˆˆˆ
=
(4.36)
Phương trình (4.36) có thể viết theo hình thức phân chia như sau:
Y
Y
4
2
Y
1
Y
3
B
t
U
t
t
U
b
0
y
lb
y
ll
y
b
y
lb
b
0
U
t
U
b
B
t
(4.37)
=
GIẢI TÍCH MẠNG
Trang 60
Với: [y
bb
]: Là ma trận tổng dẫn gốc của nhánh cây
[y
bl
] = [y
lb
]
t
: Là ma trận tổng dẫn gốc, mỗi thành phần là tổng dẫn tương hỗ
giữa nhánh cây với nhánh bù cây.
[y
ll
]: Là ma trận tổng dẫn gốc của nhánh bù cây.
Phương trình (4.37) viết lại như sau
[] [][]
[
]
tll
t
ttbllb
t
tbb
ByBByyByY +++=
1
(4.38)
Từ
[]
ByBY
t
cáynhaïnh
ˆ
=
Hay
U
b
B
t
t
Y
nhánh cây
=
U
b
B
t
y
lb
y
ll
y
b
y
lb
b
Thì
[] []
[
]
[
]
tll
t
ttbllb
t
tbbcáynhaïnh
ByBByyByY +++= (4.39)
Từ phương trình (4.38) và (4.39) ta có:
Y
nhánh cây
= Y
1
Ma trận tổng trở nhánh cây có thể thu được từ
Z
nhánh cây
= Y
1
-1
4.6.2. Ma trận tổng trở vòng và tổng dẫn vòng.
Ma trận tổng trở vòng Z
Vòng
cũng có thể thu được bằng cách dùng ma trận tổng trở vòng
thêm vào
C
liên kết với các biến và các tham số của mạng điện gốc liên hệ với mạng
điện thêm vào. Mạng điện thêm vào thu được bằng sự nối kết với một nhánh bù cây giả
mắc song song với mỗi nhánh cây của mạng điện gốc. Giữ nguyên trật tự các thành
phần liên kết trong mạng, tổng trở của mỗi nhánh bù cây giả bằng 0 và nguồn áp bằng
nhưng ngượ
c hướng với áp qua nhánh cây liên kết trình bày trên hình 4.9.a. Dòng qua
nhánh bù cây giả bằng 0. Vòng hở có thể xem như vòng liên thông giữa nhánh cây và
nhánh bù cây giả tưởng cho trên hình 4.9b.
ˆ
GIẢI TÍCH MẠNG
Trang 61
1
v
b
v
b
i = 0
Nhánh bù
cây giả
e
b
2
1
Vòng
hở A
3
4
Nhánh bù
cây giả
0
2
(a)
(b)
Hình 4.9 : Trình bày mạng điện thêm vào. (a) Nhánh bù cây giả song song
với nhánh cây; (b) Thể hiện vòng hở.
Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào trong cấu trúc vòng tham khảo
như sau:
Voìn
g
VoìngVoìng
IZE
ˆ
.
ˆˆ
=
Ma trận Z
vòng
sẽ thu được trực tiếp từ ma trận tổng trở
Voìn
g
Z
ˆ
của mạng điện thêm vào.
Phương trình đặc tính cho mạng điện gốc là:
[]
izev
r
r
r
.=+
Nhân hai vế với
ta thu được:
t
C
ˆ
[]
izCeCvC
ttt
r
r
r
.
ˆ
.
ˆ
.
ˆ
=+
(4.40)
Phương trình (4.40) có thể được viết dưới dạng phân chia như sau:
e
b
e
t
v
b
v
t
0
U
t
U
b
C
b
t
0
U
t
U
b
C
b
t
iz
0
U
t
U
b
C
b
t
+ (4.41)
=
Trong đó: Vectơ điện áp gốc
và
v
r
e
r
được phân chia thành vectơ điện áp và
b
v
r
b
e
r
liên
kết với nhánh cây của mạng và vectơ điện áp
t
v
r
và
t
e
r
liên kết với nhánh bù cây. Vế trái
của phương trình (4.41) là.
GIẢI TÍCH MẠNG
Trang 62
v
b
C
b
t
v
b
+v
t
e
b
C
b
t
e
b
+e
t
+
Khi
vCvvC
t
tb
t
b
r
r
r
=+
và
eCeeC
t
tb
t
b
r
r
r
=+
Tuy nhiên.
0. =vC
t
r
và
Voìn
g
t
EeC
r
r
=.
Vế trái của phương trình (4.41) trở thành
v
b
0
e
b
E
Vòng
v
b
+e
b
E
Vòng
+ =
Các thành phần của
là bằng nguồn áp của nhánh bù cây giả tưởng, là vectơ
trong các nhánh, mỗi thành phần là bằng tổng đại số nguồn áp trong vòng hở. Vì vậy.
b
v
r
bb
ev
rr
+
v
b
+ e
b
E
Vòng
(4.42)
=
Voìng
E
ˆ
Và từ phương trình (4.40) và (4.42)
(4.43)
[]
izCE
t
Voìng
r
.
ˆ
ˆ
=
Ta có dòng trong vòng hở bằng 0, vectơ dòng của mạng điện thêm vào là:
0
I
Vòn
g
=
Voìng
I
ˆ
Dòng điện đi qua các nhánh của mạng điện gốc từ phương trình (4.27) là
Voìn
g
ICi
r
r
.=
Tuy nhiên:
Voìn
g
Voìng
ICIC
ˆ
.
ˆ
. =
r
Thì
Voìn
g
ICi
ˆ
.
ˆ
=
r
(4.44)
Thay thế phương trình (4.44) vào trong phương trình (4.43)
[]
Voìn
g
t
Voìng
ICzCE
ˆ
.
ˆˆ
ˆ
=
(4.45)
Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào là:
Voìn
g
VoìngVoìng
IZE
ˆ
.
ˆˆ
=
(4.46)
Từ phương trình (4.45) và (4.46) ta có ma trận tổng trở của mạng điện thêm vào là:
(4.47)
[]
CzCZ
t
Voìng
ˆ
.
ˆ
ˆ
=
Phương trình (4.47) có thể được viết dưới dạng phân chia như sau:
GIẢI TÍCH MẠNG
Trang 63
Z
2
Z
4
Z
1
Z
3
0
U
t
U
b
C
b
t
z
b
z
ll
l
z
b
z
lb
b
C
b
U
t
U
b
0
(4.48)
=
Với: [z
bb
]: Là ma trận tổng trở gốc của nhánh cây
[z
bl
] = [z
lb
]
t
: Là ma trận tổng trở gốc mỗi thành phần là tổng trở tương hỗ
giữa nhánh cây và nhánh bù cây
[z
ll
]: Là ma trận tổng trở gốc của nhánh bù cây
Phương trình (4.48) viết lại như sau:
[] []
[
]
[
]
llbl
t
bblbbbb
t
b
zzCCzCzCZ +++=
4
(4.49)
Từ
[]
CzCZ
t
Voìng
=
Hay
U
b
t
U
t
U
t
C
b
z
ll
z
bl
z
lb
z
bb
Z
Vòng
=
Thì
[] []
[
]
[
]
llbl
t
bblbbbb
t
bVoìng
zzCCzCzCZ +++= (4.50)
Từ phương trình (4.49) và (4.50) ta có
Z
vòng
= Z
4
Ma trận tổng dẫn vòng có thể thu được từ
Z
vòng
= Z
4
-1
4.6.3. Ma trận tổng dẫn vòng thu được từ ma trận tổng dẫn mạng thêm
vào.
Ma trận tổng dẫn vòng Y
Vòng
có thể thu được từ ma trận tổng dẫn thêm vào
. Từ phương trình (4.36) và (4.47).
cáynhaïnh
Y
ˆ
[]
[
]
ByBCzCYZ
tt
cáynhaïnhVoìng
ˆˆ
.
ˆˆ
ˆ
.
ˆ
=
(4.51)
Hình thức phân chia là:
C
b
U
t
U
b
0
=
B
t
t
+C
b
U
t
U
b
0
B
t
U
t
t
U
b
0
= (4.52)
t
BC
ˆ
.
ˆ
Dòng điện đi qua các nhánh của mạng gốc từ phương trình (4.27) là:
Voìn
g
ICi
r
r
.=
Nhân cả hai vế với B
t
ta có:
Voìn
g
tt
ICBiB
r
r
=
(4.53)
Tuy nhiên, từ phương trình (4.18) vế trái của phương trình (4.53) là bằng 0. Vì vậy,
phương trình (4.53) có thể viết lại như sau:
0)( =+
Voìng
t
tb
IBC
r
Suy ra:
GIẢI TÍCH MẠNG
Trang 64
(4.54)
t
tb
BC −=
Thay thế phương trình (4.54) vào trong phương trình (4.52)
(4.55)
UBC
t
=
ˆ
.
ˆ
Một cách tương tự ta có thể biểu diễn như sau:
(4.56)
UBC
t
=
ˆ
.
ˆ
Thay thế phương trình (4.55) vào trong (4.51),ta được:
[][]
ByzCYZ
t
cáynhaïnhVoìng
ˆ
ˆ
ˆ
.
ˆ
=
Từ
[z].[y] = U
Nên
BCYZ
t
cáynhaïnhVoìng
ˆ
.
ˆ
ˆ
.
ˆ
=
Vì vậy theo phương trình (4.56) ta có
(4.57)
UYZ
cáynhaïnhVoìng
=
ˆ
.
ˆ
Phương trình (4.57) dưới hình thức phân chia như sau:
Z
2
Z
4
Z
1
Z
3
Y
2
Y
4
Y
1
Y
3
0
U
t
U
b
0
=
Nó biểu diễn:
Z
1
.Y
1
+ Z
2
.Y
3
= U
b
(4.58)
Z
1
.Y
2
+ Z
2
.Y
4
= 0
Z
3
.Y
1
+ Z
4
.Y
3
= 0 (4.59)
Z
3
.Y
2
+ Z
4
.Y
4
= U
t
(4.60)
Rút Z
3
từ phương trình (4.59)
Z
3
= -Z
4
.Y
3
.Y
1
-1
Thay thế vào trong phương trình (4.60)
-Z
4
.Y
3
.Y
1
-1
.Y
2
+ Z
4
.Y
4
= U
t
Hay
Z
4
(Y
4
- Y
3
.Y
1
-1
.Y
2
) = U
t
Từ
Z
4
.Y
Vòng
= U
t
Ta có: Y
Vòng
= Y
4
- Y
3
.Y
1
-1
.Y
2
4.6.4. Ma trận tổng trở nhánh cây thu được từ ma trận tổng trở thêm vào:
Ma trận tổng trở nhánh cây Z
nhánh cây
có thể thu được từ ma trận tổng trở thêm
vào
Voìn
g
Z
ˆ
. Kết hợp phương trình (4.58) và (4.59) ta có:
(Z
1
- Z
2
.Z
4
-1
.Z
3
) Y
1
= U
b
Từ
Z
nhánh cây
.Y
1
= U
b
Ta có
Z
nhánh cây
= Z
1
- Z
2
.Z
4
-1
.Z
3
GIẢI TÍCH MẠNG
Trang 65
4.6.5. Thành lập ma trận tổng dẫn và tổng trở nhánh cây từ ma trận tổng
dẫn và tổng trở nút.
Sử dụng ma trận hướng đường - nhánh cây K, ma trận tổng dẫn nhánh cây Y
nhánh cây
có
thể thu được từ ma trận tổng dẫn nút Y
Nút
. Từ phương trình (4.3)
Ta có: A
b
.K
t
=U
b
Và từ phương trình (4.5) ta có:
B
1
= A
1
.
K
t
Nhân thêm với K
t
vào sau A ta có:
A
b
A
t
A
b
K
t
A
t
K
t
A. K
t
= K
t
=
(4.61)
Thế phương trình (4.3) và (4.5) vào (4.61) ta có.
U
b
U
t
= B
A . K
t
=
(4.62)
Đảo phương trình này ta được:
K .A
t
= B
t
Nhân phương trình này với [y].A.K
t
ta có:
K.A
t
[y].A.K
t
= B
t
[y].A.K
t
Hay
K.(A
t
[y].A).K
t
= B
t
[y].B (4.63)
Từ các phép biến đổi đơn giản ta có.
Y
nhánh cây
= K.Y
Nút
.K
t
(4.64)
Ma trận tổng trở nhánh cây là:
Z
nhánh cây
= Y
-1
nhánh cây
= (k
t
)
-1
.Y
Nút
-1
.K
-1
(4.65)
Từ phương trình (4.4)
K
t
= A
b
-1
(4.66)
Thế phương trình (4.66) vào (4.65) ta có:
Z
nhánh cây
= A
b
.Z
Nút
.A
b
t
4.6.6. Thành lập ma trận tổng dẫn và tổng trở nút từ ma trận tổng dẫn và
tổng trở nhánh cây.
Phương trình (4.64) được nhân thêm K
-1
vào phía trước và (K
t
)
-1
vào phía sau ta
có.
K
-1
.Y
nhánh cây
(K
t
)
-1
= Y
Nút
(4.67)
Thế phương trình (4.66) vào (4.67):
Y
Nút
= A
b
t
.Y
nhánh cây
.A
b
Vì
Z
Nút
= - Y
Nút
-1
Nên:
Z
Nút
= (A
b
t
.Y
nhánh cây
.A
b
)
-1
Hay
Z
Nút
= K
t
.Z
nhánh cây
.K
GIẢI TÍCH MẠNG
Trang 66
Các phép biến đổi phức tạp có được các ma trận mạng được trình bày trong bảng 4.3.
Gốc
Thêm vào Vòng Nút Nhánh cây
Ma trận mạng
[z]
[y]
=
=
Z
1
Z
3
Z
2
Z
4
Y
1
Y
3
Y
2
Y
4
Z
4
= Z
Vòng
Y
4
-Y
3
Y
1
-1
Y
2
Z
Vòng
Y
Vòng
Z
Nút
Y
Nút
Z
nhánh cây
Y
nhánh cây
A
b
Z
Nú
t
A
b
t
K
t
Z
nhánh cây .
K
KY
Nút
K
t
A
b
t
Y
nhánh cây.
A
b
Z
1
-Z
2
Z
4
-1
Z
3
Y
1
= Y
nhánh cây
Bảng 4.3: Ma trận mạng thu được bằng sự biến đổi phức tạp.
