ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI CAO HỌC MÔN TOÁN pot

«n tËp
To¸n häc

1
Đề cơng ôn tập thi cao học
Môn toán
I. ôn tập về hàm một biến số
1.1.Đạo hàm và vi phân
1.2. Tích phân bất định
1.3. Tích phân xác định
II. hàm nhiều biến
2.I. Đạo hàm riêng
2.2 Đạo hàm của hàm ẩn
2.3. Đạo hàm cấp cao
2.4. Vi phân và vi phân cấp cao
2.5. Cực trị của hàm số nhiều biến số
III. Tích phân 2 lớp
3.1. Tính tích phân hai lớp trong hệ tọa độ Đề các
3.2. Đổi thứ tự lấy tích phân
3.3. Tích phân hai lớp trong hệ tọa độ cực
3.4. ứng dụng của tích phân 2 lớp
IV. Tích phân đờng loại 2
4.1. Tính trực tiếp
4.2. Công thức Green
4.3. Điều kiện không phụ thuộc đờng đi
2
V. Phơng trình vi phân
5.1. Phơng trình vi phân cấp 1
1. Phơng trình biến số phân li:
2. Phơng trình đẳng cấp cấp 1:
3. Phơng trình tuyến tính cấp 1

4. Phơng trình Bernoulli
5.Phơng trình vi phân toàn phần
5.2. Phơng trình vi phân cấp 2
1. Các loại phơng trình cấp 2 có thể giảm cấp đợc
2. Phơng trình vi phân tuyến tính cấp 2
3. Phơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số là hằng số
a. Phơng trình thuân nhất
b. Phơng trình không thuần nhất, vế phảI có dạng đặc
biệt
c. Nguyên lý chồng chất nghiệm:
VI.Lý thuyết chuỗi
6.1. Chuỗi số
1. Các định lý về chuỗi hội tụ
2. Chuỗi số dơng
Các tiêu chuẩn hội tụ
a. Tiêu chuẩn so sánh
b. Tiêu chuẩn Dalambe
c. Tiêu chuẩn Cauchy
3. Chuỗi đan dấu và Chuỗi có dấu bất kỳ
a. Chuỗi đan dấu
3
b. Chuỗi số có dấu bất kỳ
Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ
6.2. Chuỗi lũy thừa
1. Tiêu chuẩn hội tụ
2. Cách tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
a. Tiêu chuẩn Dalambe
b. Tiêu chuẩn Côsi
Tài liệu tham khảo
1. G.M.Fichtengon, Cơ sở giải tích toán Tập 1, 2,

Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật.
2. Lê Ngọc Lăng (chủ biên) và các tác giả khác, Ôn thi học kỳ và
thi vào giai đoạn 2,
Nhà xuất bản Giáo dục 1997.
3. Liasko, Boiartruc, Giải tích toán học với các ví dụ và bài tập,
Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật 1995.
4. Nguyễn Đình Trí và các tác giả khác, Toán học cao cấp Tập
1,2,3,
Nhà xuất bản Giáo dục 1999.
5. Nguyễn Đình Trí và các tác giả khác, Bài tập toán học cao cấp,
Nhà xuất bản Giáo dục 1999.
6. Bùi Minh Trí (Chủ biên) Giải tích toán học,
Nhà xuất bản Thống kê 2009.
4
Bài 1
ôn tập về hàm một biến số
I.đạo hàm và vi phân
1. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp

= = = =
= = = =
= = = =
= = = =

= = = =
= = = =
= = = =


= = =

1
2
2
2
2
2
' 0 ; ' 1
1 1
' ; '
1
' ; sin ' cos
2
1
cos ' sin ; '
cos
1
cotg ' ; '
sin
1
' ln ; ln '
1 1 1
log ' ; arcsin '
ln
1
1
cos ' ;
1
x x
x x

a
y C y y x y
y x y x y y
x x
y x y y x y x
x
y x y x y tgx y
x
y x y y e y e
x
y a y a a y x y
x
y x y y x y
x a
x
y ar x y y arctg
x


=
+
= =
+
2
2
1
'
1
1
cot '

1
x y
x
y arc gx y
x
5
2. C¸c quy t¾c tÝnh ®¹o hµm
( )
( )
+ + = + +
= +
−
 
=
 ÷
 
'
2
' ' ' '
. ' ' '
' '
x
u v w u v w
u v u v uv
u u v uv
v v

3. §¹o hµm cña hµm hîp vµ hµm ngîc
a) §¹o hµm cña hµm hîp:
( ) ( )

,y f u u x
ϕ
= =
,
' ' . '
x u x
y y u=
VÝ dô 1:
2
2
,
x u
y e y e u x
= ⇒ = =

( )
= = =
2
'
,
' .2 2 .
u u x
x x
u
y e u e x x e
VÝ dô 2:
( )
3
2
1

x
y x
= +
( )
( ) ( )
( ) ( )
= + =
= + + = + +
+ +
 
= + + +
 
+
 
3
3 2
4
2 2 3 2 2
2 2
4
2 2 2
2
'
ln ln 1 ;
2 2
3 ln 1 3 ln 1
1 1
2
' 1 3 ln 1
1

x
y
y x x
y
x x
x x x x x
x x
x
y x x x
x

b) §¹o hµm cña hµm ngîc: y=y(x)
1
'
'
y
x
x
y
=
6
4. Vi phân: y= f(x)
( ) ( )
' '
dy
dy f x dx f x
dx
= =
II. tích phân bất định
1. Khái niệm

Cho hàm số
( )
f x
hàm số
( )
F x
đợc gọi là nguyên hàm
của
( )
f x
nếu
( ) ( )
'F x f x
=
hay
( ) ( )
dF x f x dx
=
Tập hợp tất cả các nguyên hàm của
( )
f x
đợc gọi là tích
phân bất định của
( )
f x
,
( )
,x a b

và ký hiệu là:

( ) ( )
f x dx F x C
= +


. 2. Bảng các tích phân đầy đủ
1)
( )
+
= +
+

1
1
1
x
x dx C




1
1
n
n
x
x dx C
n
+
= +

+


ln
dx
x C
x
= +

2)
ln
x
x
a
a dx C
a
= +

( )
0, 1a a
>
x x
e dx e C
= +

3)
sinxdx osx+Cc
=

4)

osxdx s inx+Cc
=

5)
2
os
dx
tgx C
c x
= +

6)
2
cotgx+C
sin
dx
x
=

7
7)
2
arcsinx+C
1
dx
x
=
−
∫
8)

2
arctgx+C
1
dx
x
=
+
∫
9)
2 2
x
arcsin
a
dx
C
a x
= +
−
∫
10)
2 2
1 x
arctg
a
dx
C
a x a
= +
+
∫

11)
2 2
1
ln
2
dx a x
C
a x a a x
+
= +
− −
∫
12)
2 2
2 2
ln
dx
x x a C
x a
= + ± +
±
∫
13)
2
2 2 2 2
x
arcsin
2 2 a
x a
a x dx a x C

− = − + +
∫
14)
2 2
1
ln
2
dx x a
C
x a a x a
−
= +
− +
∫
15)
2
2 2 2 2 2 2
ln
2 2
x a
x a dx x a x x a C
± = ± ± + ± +
∫
16)
ln
sin 2
dx x
tg C
x
= +

∫
17)
ln
osx 2 4
dx x
tg C
c
π
 
= + +
 ÷
 
∫
18)
ln osxtgxdx c C
= − +
∫
19)
ln sinxcotgxdx C
= +
∫
20)
( ) ( ) ( ) ( )
= = +
∫ ∫
1 1
ax+b ax+b ax+b ax+bf dx f d F C
a a
8
21)

( )
( )
( )
( )
( )
'
ln
f x df x
dx f x C
f x f x
= = +

22)
( )
( )
( ) ( ) ( )
1
2
'
2
f x
dx f x df x f x C
f x


= = +


23)
( ) ( ) ( )

'f x dx f t t dt


=


(Đổi xuôi)
24)
( ) ( ) ( )
'f x x dx f t dt


=


(Đổi ngợc)
Muốn tính tích phân bất định của một hàm số
( )
f x
ta
thực hiện các biến đổi thích hợp để đa nó về dạng các tích
phân cơ bản.
3. Các tính chất cơ bản của tích phân bất định
Tính chất 1:
( ) ( )
=

kf x dx k f x dx
Tính chất 2:
( ) ( ) ( ) ( )

f x g x dx f x dx g x dx

=


Tính chất 3: Nếu
( ) ( )
f x dx F x C
= +

và
( )
u u x
=
thì:
( ) ( )
f u du F u C
= +


4. Các phơng pháp tính tích phân bất định
1) Phơng pháp đổi biến
a) Đổi xuôi: Đặt
( )

=
x t
;
( )
' .dx t dt

=
( ) ( ) ( ) ( )
'f x dx f t t dt g t dt


= =


Ví dụ :
=
+

2(1 )
dx
I
x
Đặt x = t
2

=> dx = 2tdt
9
=
+

2
2(1 )
tdt
I
t

=
+
+

(1 1)
1
t dt
t
=

dt -
= + + => = + +
+

ln 1 ln( 1)
(1 )
dt
t t C I x x C
t
b) Đổi ngợc: Đặt
( )

=
t x
;
( )
'dt x dx

=

( ) ( ) ( )
'f x x dx f t dt


=


Ví dụ:
2
dx
I
x b
=
+

Đặt
2
x b x t
+ + =
2
1
x
dx dt
x b

+ =
ữ
+

2

2
x x b
dx dt
x b
+ +
=
+
2 2
tdx dx dt
dt
t
x b x b
= =
+ +
2
ln ln
dt
I t C x x b C
t
= = + = + + +

2) Phơng pháp tính tích phân từng phần
udv uv vdu
=

Cần chú ý tách biểu thức
( )
f x dx
thế nào để tích phân
vdu

đơn giản hơn tích phân
udv

.
10
Gọi
( )
P x
là đa thức, các tích phân từng phần có thể chia
làm 3 nhóm sau:
Nhóm 1
( )


x
P x a dx
( )


x
P x e dx
( )
sinP x axdx

( )
cosP x axdx

Đặt
( )

u P x=
,
dv
là phần còn lại;
( )
'du P x dx
=
giảm
bậc và
v
dễ tính.
Ví dụ 1:
2 3x
x e dx

Đặt
2 3 3
1
2 ;
3
x x
u x du xdx dv e dx v e
= = = =
2 3 3
1 2
3 3
x x
I x e xe dx
=

Lại đặt
3 3
1
;
3
x x
u x du dx dv e dx v e= = = =
= +

2 3 3 3
1 2 2
3 9 9
x x x
I x e xe e dx
2 3 3 3
1 2 2
3 9 27
x x x
x e xe e C
= + +
3
2
9 6 2
27
x
e
x x C

= + +

Nhóm 2
( )
log
a
P x xdx

( )
lnP x xdx


( )
arcsinP x xdx


( )
P x arctgxdx

11
Đặt dv = P(x)dx,
u
là phần còn lại;
v
tính tuy có tăng
bậc, nhng khi tìm
du
ta lại có hàm lũy thừa của
x
ở mẫu
số.
Ví dụ 2:

I xarctgxdx
=

Đặt
2
;
1
dx
u arctgx du
x
= =
+

= =
2
2
x
dv xdx v
( )
+
= =
+ +

2
2 2 2
2 2
1 1
1 1
2 2 1 2 2 1
x

x x dx x
I arctgx arctgx dx
x x

2
2
1 1
2 2 2 1
x dx
arctgx dx
x
= +
+


2
1
2 2
x x
arctgx C
+
= +
Nhóm 3:



sin
x
a xdx

cos
x
a xdx
Đặt tùy ý vì đặt thế nào thì
v
cũng dễ tính.
Ví dụ 3:
sin
x
I e xdx
=

Đặt
sin ; cos ;
x x
u x du xdx dv e dx v e
= = = =
sin cos
x x
I xe e xdx
=

Đặt
cos ; sin ;
x x
u x du xdx dv e dx v e
= = = =

sin cos sin
x x x
I xe e x e xdx
=

( )
2 sin cos
x
I e x x C
= +
12
( )
1
sin cos
2
x
I e x x C
= +
3) Tích phân các phân thức hữu tỷ
* Phân thức hữu tỷ là tỷ số của 2 đa thức
( )
( )
(bậc m)
(bậc n)
m
n
P x
Q x
Khi
m n

<
ta có phân thức thực sự.
Khi
m n
>
thì bằng cách chia đa thức ta có thể biểu
diễn nó dới dạng tổng của một đa thức và một phân thức
thực sự.
* Đối với một phân thức thực sự ngời ta lại tìm cách phân
tích thành tổng các phân thức đơn giản gồm 4 loại sau:
a)
A
x a

b)
( )
k
A
x a
c)
( )
+
<
+ +
2
2
,(đk: với 4 0)
Mx N
p q
x px q

d)
( )
2
k
Mx N
x px q
+
+ +
* Việc tính các tích phân của 4 loại phân thức đơn giản
không khó:
a)
( )

= = +


ln
d x a
A
dx A A x a C
x a x a
b
( )
( ) ( )
( )
1
1
k
k
k

A x a
A
dx A x a d x a C
k
x a
+


= = +
+


c)
( )
( )
2
Mx N dx
x px q
+
+ +

Làm xuất hiện đạo hàm của mẫu số ở tử số:
13
( )
2
2
2 2
M MP
x p N
I

x px q
 
+ + −
 ÷
 
=
+ +
∫
( )
2
2
2 2
2
2 2
2 2
p
d x
d x px q
M MP
N
x px q
p p
x q
 
+
 ÷
+ +
 
 
= + −

 ÷
+ +
 
 
   
+ + −
 
 ÷  ÷
   
 
 
∫ ∫
( )
+
 
= + + + − +
 ÷
 
−
2
2
2
ln
2 2
4
p
x
M MP
x px q N arctg C
p

q
d)
( )
2
k
Mx N
I dx
x px q
+
=
+ +
∫
( )
( )
2
2
2
2
2
2 2
2 4
k k
p
d x
x p dx
M MP
N
x px q
p p
x q

 
+
 ÷
+
 
 
= + −
 ÷
 
 
+ +
 
 
+ + +
 
 ÷
 ÷
 
  
 
∫ ∫
( )
( )
1
2
2 2
2 1 2
k
k
x px q

M MP dt
N
k
t a
− +
+ +
 
= + −
 ÷
− +
 
+
∫
Gäi
( )
2 2
k
k
dt
I
t a
=
+
∫
ta cã thÓ truy håi theo
1k
I
−
… råi
®Õn

1
I
víi
1
2 2
1dt t
I arctg C
t a a a
= = +
+
∫
.
VÝ dô: TÝnh
( )
( )
2
2
2
1 1
xdx
x x
+ +
∫
14
( )
( )
( )
( )
1 1 2 2
2 2

2
2 2
2
1
1
1 1 1
M x N M x N
x A
x
x
x x x
+ +
= + +
+
+
+ + +
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2 2
1 1 2 2
2 1 1 1 1x A x M x N x x M x N x
= + + + + + + + +
Khi
1x
= −
, ta cã:
1

2 4
2
A A
− = ⇒ = −
VËy:
( )
( )
( )
( ) ( )
4 2 3 2
1 1 2 2
1
2 2 1 2 1
2
x x x M x N x x M x N x
= − + + + + + + + + +
( ) ( )
4 3 2
1 1 1 2 1 1
1
2 1
2
x M x M N x M M N x
 
= − + + + + − + + + +
 ÷
 
( )
2 2 1 1 2 1
1

2
M N M N x N N
 
+ + + + + − + +
 ÷
 
1 1
1 1 1
2 1 1 2
2 2 1 1 2
2 1
1 1
0
2 2
1
0
2
1 1
2 1
1
0
2
M M
M N N
M M N M
M N M N N
N N

− + = ⇒ =




+ = ⇒ = −


+ + = ⇒ =


+ + + = ⇒ =


− + + =



( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2
2 2
2 1 1 1
2 1
2 1
1 1 1
xdx x x
x
x

x x x
− − +
= + +
+
+
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
2 2
1 1
1 1 1 1
ln 1
2 4 1 2 2
1 1
d x d x
dx
x arctgx
x
x x
+ +
= − + + − + +
+
+ +
∫ ∫ ∫
15
( )

2
2
2
1 1 1 1 1
ln ln 1
4 2 2 1
1
x arctgx I
x
x
= + + +
+
+
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2
2 2
2
2 2
1 1
1
1 2
1 1
x x d x
dx
I dx x
x

x x
+ +
= =
+
+ +

Đặt
( )
( )
+
= = =
+
+
2
2
2
2
1
1
và
1
1
d x
u x dv v
x
x

= + = + +
ữ
+ + +

2
2 2 2
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x dx x
I arctgx artgx C
x x x
4) Tích phân các hàm lợng giác
a) Phơng pháp chung
* Đổi biến chuyển về hàm hữu tỷ:
( )
sinx, cosxI R dx
=

trong đó
( )
,R u v
là một hàm hữu tỷ
đối với
,u v
.
Đổi biến vạn năng:
= = =
+
2
2
2
2 1

x dt
tg t x artgx dx
t


( )

= =
+ +
2
2 2
1
2
sin ,cos
1 1
t
t
x x
t t

Ví dụ:
4sin 3cos 5
dx
I
x x
=
+ +

Đặt

2
x
tg t
=
+
= = =

+ + + +
+ +
+ +

2
2
2 2
2 2
2
1
2
2 1
2 8 8 4 4
4 3 5
1 1
dt
dt dt
t
I
t t
t t t t
t t
16

( )
( )
2
2
1 1
2
2
2
2
d t
C C
x
t
t
tg
+
= = − + = − +
+
+
+
∫
b) C¸c trêng hîp ®Æc biÖt
(1)
( ) ( )
sin , cos sin ,cosR x x R x x− − =
, hµm ch½n ®èi víi
sin ,cos .x x
§Æt
t tgx
=

.
VÝ dô:
2 2
sin 2sin cos cos
dx
I
x x x x
=
+ −
∫
§Æt
2
1
dt
t tgx x arctgt dx
t
= ⇒ = ⇒ =
+
;
= = =
+ + +
2 2 2
1 1
cos ;sin
1 1 1
t
x x
tg x t t
2
2

2 2
2 2
1
1 1
2
1 1
1 1
dt
t
I
t t
t t
t t
+
=
+ −
+ +
+ +
∫
( )
( )
( )
2
2
2
1
1 1 2
ln
2 1
2 2 1 2

1 2
d t
dt t
C
t t
t
t
+
+ −
= = = +
+ −
+ +
+ −
∫ ∫
+ − + −
= + = +
+ + + +
1 1 2 1 1 2
ln ln
2 2 1 2 2 2 1 2
t tgx
I C c
t tgx
(2)
( ) ( )
sin , cos sin ,cos ,R x x R x x
− = −
hµm lÎ ®èi víi
cos x
, ®Æt

sint x
=
17
VÝdô:
( ) ( )
3 5 2 2
2 4 2 4
cos cos cos 1 cos cos
sin sin sin sin
x x dx x x xdx
I
x x x x
+ +
= =
+ +
∫ ∫
§Æt
sin cost x dt xdx
= ⇒ =
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 4
2 2
1 1 1 1 2
1
t t dt t t
I dt
t t
t t

− + − − −
= =
+
+
∫ ∫
BiÕn ®æi
( ) ( )
( ) ( )
2 2
4 2
2 2 2 2
1 2
3 2
1 1
t t
t t
t t t t
− −
− +
=
+ +

( ) ( )
( )
2 2 2 2
2
2 2
1 2 1 6
2 6
1

1
1
t t t t
t t
t t
+ + + −
= = + −
+
+
2 2
2 6 2
1 6
1
I dt t arctgt C
t t t
 
= + − = − − +
 ÷
+
 
∫

( )
2
sin 6 sin
sin
x arctg x C
x
= − − +
(3)

( ) ( )
sin ,cos sin ,cosR x x R x x
− = −
, hµm lÎ ®èi víi
sin x
, ®Æt
cost x
=
.
(4)
sin cos
m n
x xdx
∫
* NÕu
m
lÎ th× ®Æt
cost x
=
* NÕu
n
lÎ th× ®Æt
sint x
=
* NÕu
,m n
®Òu ch½n vµ Ýt nhÊt mét trong hai sè lµ ©m th×
®Æt

t tgx

=
.
*NÕu
,m n
®Òu ch½n vµ d¬ng th× h¹ bËc
18

2
1 cos2
sin ,
2
x
x
−
=

2
1 cos2
cos
2
x
x
+
=
,
VÝ dô:
( )
2
2 4 2
sin cos sin cos cosI x xdx x x xdx

= =
∫ ∫

2
1 1 cos2
sin 2
2 2
x
x dx
+
 
=
 ÷
 
∫

( )
= +
∫ ∫
2 2
1 1 1
sin 2 sin 2 sin 2
8 8 2
xdx x d x

( ) ( )
2
1 1
1 cos 4 sin 2 sin2
16 16

x dx xd x
= − +
∫ ∫

3
1 1 1
sin 4 sin 2
16 64 48
x x x C
= − + +
4) TÝch ph©n mét sè hµm v« tû
VÝ dô 1:
3
1
1 1
x dx
I
x x
+
=
− +
∫
§Æt
( )
+ + −
= ⇒ = ⇒ = + =
− − −
−
3 2 3
3

2
3 3
3
1 1 6 2
; 1
1 1 1
1
x t t dt t
t x dx x
x t t
t
( )
3 2
2
3 3 2
3
1 6 1 2
3
2 1 1 1
1
t t dt t
I t dt dt
t t t t t
t
− − − +
 
= = − = +
 ÷
− − + +
 

−
∫ ∫ ∫
( )
2
2
2
1
2 1
1 3
2
ln 1
2 1 2
1 3
2 2
d t
t dt
t
t t
t
 
+
 ÷
+
 
= − − + +
+ +
 
 
+ +
 ÷

 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫
19
( )
2
1
1 1
2
ln ln 1 3
1 2
3
2
t
t t arctg
t
+
= + + + +

2
1 2 1
ln 3
1
3
t t t
arctg C
t
+ + +

= + +

đến đây chỉ cần thay

3
1
1
x
t
x
+
=

Ví dụ 2:
( )
( )
3 3
2
2
2
2 5
1 2
dx dx
I
x x
x
= =

+ +
+ +

Đặt
2
2
1 2 với ;
2 2 cos
dt
x tgt t dx
t

+ = < < =
( )
( )
2
2
2 2 2 2 2 2
2
2
1 2 2 2 2 1
cos
x tg t tg t
s t
+ + = + = + =
3
2
2 1 1
cos sin
4 4
2

cos
cos
dt
I tdt t C
t
t
= = = +

ữ


+
= = =
+ +
2
2 sin 1
cos ,
cos 2
2 5
t x
t tgt
t
x x
2 2
1 1
sin
2 5 4 2 5
x x
t I
x x x x

+ +
= =
+ + + +
III. Tích phân xác định
1. Khái niệm
20
1) Tích phân xác định là một con số, nó không phụ thuộc
vào biến tích phân:
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f u du f t dt= =

2) Nếu
( )
1f x =
thì:
= =

1.
b b
a a
dx dx b a
3) Nếu đổi chiều lấy tích phân thì tích phân đổi dấu:
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx=

Nếu

a b
=
thì:
( )
0
b
a
f x dx
=

2. Các tính chất cơ bản của tích phân xác định
Tính chất 1:
( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx=

Tính chất 2:
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx

=


Tính chất 3:
( ) ( ) ( )
b c b
a a c

f x dx f x dx f x dx
= +

3. Công thức Newton - Leibnitz (Niuton - Lepnit)

( ) ( ) ( ) ( )
|
b
b
a
a
f x dx F b F a F x= =

4. Các phơng pháp tính tích phân xác định
a. Phơng pháp đổi biến
Sau khi đổi biến không cần quay về biến cũ nhng phải
đổi cận cho biến mới.
a. Đổi xuôi:
Đặt
( )
x t

=
;
( ) ( ) ( )
'
b
a
I f x dx f t t dt

= =


Ví dụ:
( )
1
2
0
2
1
dx
I
x
=
+

21
§Æt
π
= ⇒ =


=

= ⇒ =



0 0
1
4
x t
x tgt
x t

( )
2
2
1
cos
dt
dx tg t dt
t
= = +
( )
( )
π π π
+
= = =
+
+
∫ ∫ ∫
2
2
4 4 4
2
2
0 0 0

2
1
cos
1
1
tg t dt
dt
I tdt
tg t
tg t

( )
 
= + = + = +
 ÷
 
∫
4
4
0
0
1 1 1 1
1 cos2 sin 2 |
2 2 2 8 4
t dt t t
π
π
π
b. §æi ngîc:§Æt
( )

t x
ϕ
=

( ) ( )
,x a t a x b t b
ϕ ϕ
= ⇒ = = ⇒ =


( )
'dt x dx
ϕ
=

( ) ( ) ( )
( )
( )
'
b b
a a
f x x dx f t dt
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
 
=
 
∫ ∫
VÝ dô:

2
2
0
cos
1 sin
x
I dx
x
π
=
+
∫
, §Æt t=φ(x)=sinx

0 0, 1
2
x t x t
π
= ⇒ = = ⇒ =

cosdt xdx
=

1
1
0
2
0
|
1 4

dt
I arctgt
t
π
= = =
+
∫
22
b. Phơng pháp tích phân từng phần
|
b b
b
a
a a
udv uv vdu
=

Ví dụ:
2
2
0
sinI x xdx

=

Đặt
2
2u x du xdx
= =

sin cosdv xdx v x
= =

2
22
0
0
cos | 2 cosI x x x xdx

= +

2
2 2
0 0
0
2 sin | 2 sin 2 cos | 2I x x xdx x


= = + =


(
u x du dx
= =

= =
cos sindv xdx v x
)
Bài 2
hàm nhiều biến

I. Đạo hàm riêng
1) Hàm 2 biến
( , )z f x y
=
.Khi tính đạo hàm riêng
đối với biến nào thì biến khác là hằng số => trở về trờng
hợp đạo hàm của hàm một biến.
23
§¹o hµm riªng theo biÕn x
'
( , )
hay hay .
x
f x y z
z
x x
∂ ∂
∂ ∂
§¹o hµm riªng theo biÕn y
∂ ∂
∂ ∂
'
( , )
; ;
y
f x y z
hayz hay
y y
VÝ dô : Cho hµm
2 2 ' '

x
cos( ) cot . TÝnh z ,
y
x
z x y g z
y
= + −
2) §¹o hµm cña hµm hîp
Gi¶ sö cho
( , ) trong ®ã , lµ hµm cña , :z f u v u v x y
=
( , ); ( , )u u x y v v x y
= =
*
. .
z z u z v
x u x v x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
*
. .
z z u z v
y u y v y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
VÝ dô:
sin3 cos2z u v uv= + +

2
1
arcsin( )
1 ( )
x y x
u
u e e e
x
v
v x y
x
x y
∂
= + → =
∂
∂
= + → =
∂
− +
24
=− + +
 
=− + + −
 ÷
 
, 2 2
2
' 2 2
2

2
1
2 sin( )
sin
1
2 sin( ) .
sin
x
y
z x x y
x
y
y
x
z y x y
x
y
y
' ' '
2
'
2
(sin3 cos2 )'. (sin3 cos2 )'.
(3cos3 ). ( 2sin2 ).
1
(3cos3 ). ( 2sin2 ).
1 ( )
1
(3cos3 ). ( sin2 ).
1 ( )

x x x
x
y
y
z u v uv u u v uv v
u v
u v v u
x x
u v e v u
x y
z u v e v u
x y
= + + + + +

= + + +

= + + +
+
= + + +
+
3) Đạo hàm hàm số ẩn 2 biến
Giả sử z là hàm của x, y đợc xác đình bởi phơng trình
( , , ) 0.F x y z
=


= =
'
'
' '

' '
y
x
x y
z z
F
F
z z
F F

Ví dụ: Tìm đạo hàm
' '
,
x y
z z
cho hàm z xác định bởi ph-
ơng trình:
+
= =
2
( , , ) sin( ) 0
x y
F x y z y ze xyz
F
,
x
= y
2
z e
x+y

- yz cos(xyz)
F
,
y
= 2yz e
x+y

+ y
2
z e
x+y
- zx cos(xyz)
F
,
z
= y
2
e
x+y
- xy cos(xyz)
Z
x
=
( ( )
cos( )
+
+

x y
x y
z ye cos xyz
ye x xyz
25