Hệ thống Kiến thức 12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (488.07 KB, 15 trang )
H
HƯỚNG DẪN ÔN THI TNTHPT NĂM 2009 (Ban cơ bản)
A. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
PHẦN 1: HÀM SỐ
Bài toán 1: Khảo sát hàm số
1.Hàm số bậc 3y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d ≠
!"
#"$%&'∆
#
−!$
∆
≤ ∆
>
$()*+,-%&'./0
•1 /0 23)* 245)6
*'7245)6
$8')*'.
"
9"
•1 /0 23)*6
'76
•/0:;)*$8$<$24= • <$ 24'> $<$?'6
<$2'@-6
'&')•
A'
!
dcxbxax
x
+++
+∞→
<∞−
>+∞
a
a
•
A'
!
dcxbxax
x
+++
−∞→
<∞+
>−∞
a
a
B7)*#'C)2'5)
"
−
∞
∞
"
−
∞
"
"
∞
−
−
∞
∞
−
∞
∞
"
−
∞
∞
"
−
∞
"
"
∞
−
−
−
∞
−
∞
−
∞
−
∞
DE+(
$8)*'.:FG%'.$"F2+,-%H)?D)*
IJ?K2=•"L$?')<$24=6
•9?'@?M$#'.2
N9$8O9$8NP:;)*OP:;)*
2.Hàm phân thức
dcx
bax
+
+
$≠9+−#$≠
Q
−
c
d
dcx
bcad
+
−
+−#$O +−#$N
O∀"∈
N∀"∈
/0:;)*$8$<$24=
/0 )*=$
#'C)245)
/0?K)* #'C)
245)
'.$R)•"
c
d
−
A2'.$R)?S)*%T
dcx
bax
cdx
+
+
−→
A'
∞
•
c
a
A2'.$R))*)*%T
dcx
bax
x
+
+
∞→
A'
c
a
B7)*#'C)2'5)
"
−
∞
−+ $
∞
"
−
∞
−+ $
∞
− ||
−
||
$ −
∞
||
∞
$
$
∞
||−
∞
$
IJ?K2=−IJ2'.$R)P?'@?M$#'.2
−?'@%UGV$W2'.$R)?S)*%JX2
)L)PA,?0'"S)*)L)?8Y-*'?'@'2'.$R)Z
Trang 1
a > 0
a < 0
i@m u0n I(−
a
b
!
;f(−
a
b
!
))
x= −d/ c
y= a/c
x= −d/ c
y= a/c
3 Hàm trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c ≠
["
!
#Z""Z"
#
P#$()*+,- P#24L'+,-
⇔"
•123)*6'7
⇔""
#⇔"9
"
P
±
a
b
−
•123)*6'76
•'L24= $<$24=
$
$8X2$<$24=
•'L24=$<$24=$9±
a
b
−
−
a[
∆
8!$<$24=
'&')
A'
[
cbxax
x
++
±∞→
<∞−
>+∞
a
a
B7)*#'C)2'5)
"
−
∞
∞
"
−
∞
"
"
∞
−
−−
∞
∞
∞
∞
"
−
∞
∞
"
−
∞
"
"
∞
−
−
−
−
∞
−
∞
∞
∞
IJ?K2=•$<$?'P$<$2'@-9•−N"6*'7'G2
24()*G\])*
4. Hàm hữu tỉ : 2/1 y
fex
cbxax
2
+
++
?:^≠92_:;)*
$'C2$H-
Q
−
e
f
Z
ZZ
fxe
cebfxafxae
+
−++
$8∆
`
−#`−$^Z^
∆
O ∆
N
$()* +,- %&'
^
$8')*'."
9"
/0:;)*$8
$<$24=
•'L24=$<$24=2V)2^
e
bax +
'.$R)•"−
e
f
A2'.
$R)?S)*
%T
A' xf
e
f
x −→
∞
•I'C2A'/0a"B
ε"9
bcA' BAxxf
x
+−
∞→
(x)ε
∞→x
A'
N
e
a
"
e
b
−
e
af
A2 $"'5)
B7)*#'C)2'5)
"
−
∞
−` ^
∞
"
−
∞
"
−` ^
"
∞
||
−||−
−
∞
∞
||−
∞
∞
−
∞
−
∞
||
∞
∞
Trang 2
a> 0
b>0
a< 0
b <0
a< 0
b>0
a> 0
b <0
a.e > 0
a.e < 0
a < 0
a > 0
c
H
"
−
∞
−` ^
∞
x
−
∞
"
−` ^
"
∞
−||−
y
/
−||
−
∞
∞
||
∞
−
∞
y
∞
∞
||
−
∞
−
∞
IJ ?K 2= )\ Gd) 2S$
#)$]#7):;)*:7/L2/0)
Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :
1. Tiếp tuyến tại M(x
0
; f(x
0
)) có phương trình là :
e"
2V)`"
9•
`
"N`
"
6
fZ24T)2'CG2-C)2'gA`
"
"−"
`"
2. Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x
1
; y
1
) $W?K2= /
`"
h':A./0*8$$W?\i)*2j)*+?'Y-a
f2?\i)*2j)*+A:"−"
'U-:'.)?@?\i)*2j)*+2'CG"D$%&'K2=
A
.G\])*24T)
= − +
=
f(x) k(x x ) y
1 1
/
f (x) k (2)
$8)*'.
%*'7'2T"N:6C2A-R)
3. Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu2'CG2-C) ?\i)*2j)*Z"#N./0*8$:
2'CG2-C)⊥?\i)*2j)*Z"#N./0*8$:
−
a
1
*'7/_g"
9`"
A2'FG?'@N./0*8$$W2'CG2-C)
`
"
Z
'7'G\])*24T)`
"
:N"
6−N`"
6
f\])*24T)2'CG2-C):"−"
`"
DE'?\i)*2j)*%-;)**8$)-:
Z:
−
'?\i)*2j)*/)*/)*)-:
:
Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ
thị :
'7/_G7'#'.)A-R)/0)*'.$Wf2k"9
Z4)*?8?K2=/0`"Z
B'C)?l'G\])*24T)%U+)*`"*M2g
*
gA?\i)*2j)*)m)*)*9`"?K2=
-n2^g"F2/<2\])**'$W?K2=%&'?K2=
g
Bài toán 4: xét tính đơn điệu
Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :
g6
6ZZ
$
)C-$8"F2+,-
B/oG$$)*'.$Wf
%*'L24=:;)*"L$
?=)$W/02e24L'/)*G7'23)*+p)
q
N2T/023)*9
O2T/0*'7
C2A-R)/0?K)*#'C)P)*=$#'C)245):7)*ZZZ
=)AE+()*?@2T*'24=
`"23)*24)*:7)*9#2T`
"≥ ∀"∈
9#
#`"*'724)*:7)*9#2T`
"≤ ∀"∈
9#Z
Bi tốn 5: Cực trị hm số
• Dấu hiệu I
g6
6ZZ
$
)C-$8"F2+,-
BB/oG$$)*'.$Wf
%*'24=:])*"L$
?=)$W/02e24L'/)*G7'23)*+p)
Trang 3
đSng
Xiên
Xiên
Xiên
Xiên
đSng
đSng
V)
9
9:C2A-R)$<$24=6
Ch ý:
C-/0A-;)23)**'7245)9#2T:])*$r$<$24=
24)9#Z
s0$<$24=$W/0#m)*/0)*'.?])$WG\])*
24T)
Z
! "
A$<$24=$W/0
=
y x
y x
• Dấu hiệu II:
g
6ZZ
6ZZ
$
)C-$8N"
P"
tZZZ
V)
"
9
"
ttZ
C-
"
N2T/0?22'"
P
6
C-
"
O2T/0?22'"
P
6
Chú ý +,-' +()*$)u)* /
:8"F2+,-
qC-`"A?2S$2T?\i)*2j)*?'Y-$L$?'@$<$
24=A
Gp)+\$WGFG$'`"$`
"Z
)*<$24=$Wu-2v
/
-
%
-"9%"A$L$?2S$$8g
I
- % % -
%
′ ′
−
*"
%
+,-$W
A+,-$W*"
C- /?2$<$24=2'"
2T
"
N*"
ON-
%−%
-
N
- -
% %
′
=
′
Z?8*'L24=$<$24="
- "
% "
′
′
Bi tốn 6: Gi trị lớn nhất, gi trị nhỏ nhất
Z Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:
g'U)?)*"F2c9#b
6ZZ
$
)C-$8"
P"
tZZZ$v$h)$$)*'.2-X$
c9#b
V)"
9"
tttZ s/L)→1
9#
"
c9#b
=
6
')
c9#b
=
6
2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc
MXĐ :
g'U)?)*"F29#M$
6ZZ
$
)C-$8"F2+,-
BB
qC-245)2)'U)?)*"F2 /$v$82T
#m)**'L24=
')
c9#b
=
qC-245)2)'U)?)*"F2 /$v$82T1
#m)**'L24=
"
c9#b
=
qC-/0A-;)23)**'7245)9#2T:])*$r$<$24=
24):7)*9#Z
Chú ý'*MG /:;)*$'U)?)*"F22T22T
$W /?8
)C-AX2?)c9#bM$)u:7)*2T2+()*
$L$
)C-AX2:7)*2T+()*$L$
Bài toán 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một
đường cong).
ZCho hai đồ thị
`"9
*"
)?X*'?'@$W
%
)C-$8
A)*'.$WG\])*24T)`"*"
•G2%;)*'.ON
%
:;)*$8?'@$-)*
•G2$8))*'.ON
%
$8)?'@$-)*
qs0)*'.$WA/0*'?'@$W'?\i)*$)*Z
2.'U-:'.)2'CG"D$
K2=
2'CG"D$
ON.G2
` " *"
` " * "
=
′ ′
=
$8)*'.
Bi tốn 8: Cách xác định tiệm cận :
*Tiệm cận đứng :
` "
A'
" "
= ∞
→
=> ""
A2'.$R)?S)*
Chú ý2T"
A)u)*?'@/0:;)*"L$?=)
Trang 4
đli d,u qua x
0
H
qTiệm cận ngang
` "
A'
"
=
→∞
=>
A2'.$R))*)*
Chú ý /0$8+)*Gd)2S$M$$82@?\%U+)*
Gd)2S$%#R$2_≤#R$H-2T$82'.$R))*)*
* Tiệm cận xiên#)$]#7):;)*$8Gp))
Cách 1 %'C2/0+\&'+)*f(x) = ax + b + ε (x)
lim
∞→x
c`"w"#b
"
A'
"
ε
→∞
⇒"#A2'.$R)
"'5)
Cách 2:22T'./0%#9
` "
A'
"
"
=
→∞
9
[ ]
# ` " "
A'
"
= −
→∞
⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên
Phần 2: Hm số mũ v logarit
Bi tốn 1: Dng cơng thức tính cc biểu thức cĩ chứa hm số mũ
hoặc hm số logarit
−
)
n
a
1
9
9
)
)
=
9))*-5)+\])*P)N
• L$Y-2o$
"
Z
"
Z#
"
"
Z#
"
"
"
−
=
"
"
"
# #
=
÷
( )
( )
"
"Z
"
= =
• /0x
"
%&'N9≠
g9∞
N9 /?K)*#'C)"
N"
⇔
1
x
a
N
2
x
a
OO9 /)*=$#'C)"
N"
⇔
1
x
a
O
2
x
a
* Hm số logarit:
α = log
a
N ⇔ a
α
= N log
a
x = b ⇔ x= a
b
•M$#'.2
x
a
a
log
"9A*
a
x
a
"9A*
•L$Y-'2o$#'C)?l'%&'PBPN9≠2$8
A*
a
BZA*
a
BA*
a
A*
a
B
÷
A*
a
B−A*
a
A*
α
a
B
β
β
α
A*
a
B
•;)*2S$?l'$]/0%&'P#P$N9P$≠2$8
A*
c
ZA*
a
#
A*
$
#⇔
A* #
$
A* #
A*
$
=
OP#≠A*
a
#
A*
#
Chú ýA*
"A*"9A*
e
"A)"
•/01*4'2A*
a
"%&'N9≠
9∞ g
N9 /?K)*#'C)"
N"
N⇔A*
a
"
NA*
a
"
OO9 /)*#'C)"
N"
N⇔A*
a
"
OA*
a
"
B'20)V)?$W$$/0x%A*4'2
^
"
^
"
−N^
-
-
Z^
-
"
"
ZA) −N
-
-
Z
-
ZA)
A)"
"
"∈9∞ −NA)-
-
-
′
A*
"
" A)
−NA*
-
-
-Z A)
′
Bài toán3: giải phương trình mũ v logarit
• )*$]#7)
` "
*"
⇔`"*"
%"
-
⇔-−Z%"24)*?8-$8$S#'C)
` "
#%&'#N⇔`"A*
a
#
A*
a
`"A*
a
*"⇔
` " *"
` " *"
> >
=
+)*
A* ` " #
=
< ≠
⇔`"
#
A* %"
-"
#⇔
[ ]
%" 9 -" 9 -"
#
%" -"
> > ≠
=
•M2y)Gz
αZ
` "
βZ
` "
γ9M22
` "
:2N
αZ
# ` "
+
βZ
# ` "
−
γ9M22
` "
:2N
Trang 5
hoMc
αZ
` "
βZ
` "
#
γ%Z#9M22
` "
9
2
` "
#
αZ
` "
βZ
( )
` "
Z#
γZ
` "
#
9M22
` "
#
÷
•1*4'2L'%C
Bi tốn 4: Giải bất phương trình mũ v logarit
•)*$]#7)
` "
N
*"
⇔
` " *" :'
` " *" :'
> >
< < <
` "
N#⇔C-#≤$8)*'.∀"
C-#N`"NA*
a
#)C-N
`"OA*
a
#)C-OO
!
` "
O#⇔C-#≤2TG2%;)*'.
C-#N9`"OA*
a
#)C-N
`"NA*
a
#)C-OO
•A*
a
`"NA*
a
*"⇔:`"N9*"N9O≠
−c`"−*"bN
•A*
a
`"N# ⇔qC-N#G2A`"N
b
a
qC-OO#G2AO`"O
b
a
•A*
a
`"O#⇔qC-N#G2AO`"O
b
a
qC-OO#G2A`"N
b
a
•
( )
%"
-"
N⇔-"N%c-"−bZ%"N
•
( )
)(
)(
xv
xu
O⇔-"N%c-"−bZ%"O
1\-E
q24)*24\i)*{G$8y)+\&'$]/02T$D)*2)5)/_+z)*
$;)*2S$/-?@#'2L)24|)5)+}+)*])Z
1
0
` "
>
*"
(a−1)(f(x) − g(x)) > 0.
2
0
log
a
f(x) > log
a
g(x) (a−1)(f(x) − g(x)) > 0.
q'*'7'#'2L)#,2G\])*24T)xM$A*4'22TG7'
)o2R2%u)*2V)$,2?])?' $W'/0245)Z
qo%u)*GFGA,{GPA,*'$W')'U-2RG{G
/0Z
Phần 3: Nguyên hàm.
Bài toán 1: Tìm nguyên hàm cơ bản (dựa vào bảng nguyên
hàm của các hàm số cơ bản).
+" " = +
∫
" Z+"
α
=
∫
"
α+
α + 1
+ C (α ≠-
1 )
+"
"
∫
= lnx + C ( x≠
0)
"
^ Z+"
∫
= e
x
+ C
"
Z+"
∫
=
"
A)
+ C
" #
" # +"
α+
+
α
+ = +
∫
α +
(α ≠-
1)
+"
" #
∫
+
=
lnax+ b + C
" #
^ Z+"
+
=
∫
e
ax+b
+ C
"
Z+"
α +β
∫
=
" #
A)
α +
+
α
/"Z+"
∫
= Sinx + C
s')"Z+"
∫
= − Cos x + C
+"
/ "
∫
=
2* " Z+"+
∫
=
tgx
+"
s') "
∫
=
2* " Z+"
+
∫
= −Cotgx
/" #Z+"+
∫
=
Sin(ax+ b) +
C
s')" #Z+"+
∫
= −
Cos(ax+ b)
+ C
+"
/ " #
∫
+
=
tg(ax+ b) + C
+"
s') " #
∫
+
= −
Cotg(ax+ b)
+ C
Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến
số.
)*V)
`c-"bZ- ~"+"
∫
#m)*$L$?M22-"
M22-"
+2 -~"+"
⇒ =
`c-"bZ- ~"+" ` 2+2=
∫ ∫
)*V)
` "+"
∫
C-:;)*2V)?\{$2^+)*
)\)*24)*2V$Gd)$8$SX224)*/0$L$#'@-2S$
/-2T$82@?l'#'C))\/-
Trang 6
H
" 9
"
−
−
2T?M2"/')2
" 9
"
+
+
2T?M2"2)2Z
Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
C--"P%"A'/0$8?
A'5)2z$245)
-"Z%~"+" -"Z%" %"Z-~"+"
= −
∫ ∫
-+% -% %+-= −
∫ ∫
%&'+--•"+"P+%
%•"+"
phântch các hm s d phát hin u v dv
€Dạng 1
/')
∫
ax
f x cosax dx
ax
e
%&'`"A?2S$
M2
~
/') /')
$/
= =
⇒
= =
∫
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ax ax
e e
s-?82%$;)*2S$
-+% -% %+-= −
∫ ∫
?@2V)
€Dạng 2:
A) +
∫
f x ax b dx
M2
Z
A)
= + =
⇒
+
=
=
∫
a dx
u ax b du
ax b
dv f x dx
v f x dx
s-?82%$;)*2S$
-+% -% %+-= −
∫ ∫
?@2V)
€Dạng 3:
/')
Z
∫
ax
ax
e dx
cosax
2<$'.)2e)*Gp)'Ap)%&'-^
"
Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác
(một số dạng cơ bản).
)*
/')"#Z/')$"++"
∫
9
/')"#Z$/$"++"
∫
$/"#Z$/$"++"
∫
Z
q<$'.)$;)*2S$#'C)?l'2V$2)2l)*4K'2V)2V$
Gd)Z
)*
)
/') "Z$/ "+"
∫
)PA$L$/0)*-5)+\])*
qC-)A•P$‚)2T?M22$/"Z
q)C-A•P)$‚)2T?M22/')"Z
qC-)P?U-$‚)2T()*$;)*2S$)d)?;'/-?8
+-)*2'CG$;)*2S$#R$?@2V)Z)C-X224)*/0)M$
)/0$ƒ)A'A/0$‚)2T2$v+-)*$;)*2S$#R$Z
q)P∈„)C-)A/0)*-5)$‚)2T$82@
?M222)"M$2$2"Z
)*!
/')"P$/"+"
∫
A/0u-2…Z|4X)*2'?'
h$Z
qC-/')"P$/"A•?0'%&'/')"2S$A−/')"P$/"
−/')"P$/"2T2?M22$/"Z
qC-/')"P$/"A•?0'%&'$/"2S$A/')"P −$/"
−/')"P$/"2T2?M22/')"Z
qC-/')"P$/"$‚)?0'%&'/')"%$/"2S$A
−/')"P−$/"/')"P$/"2T2?M222)"Z
Bài toán 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỷ
†5-$p-2V)
` "
+"
*"
∫
24)*?8`"P*"A$L$?2S$2^"Z
Trường hợp 1BR$$W`"≥BR$$W*"2T2<$'.)GFG
$'?2S$`"$*"2+H)?C)
` " 4"
"
*" "
= +
Z4)*?8
"2\])*$WGFG$'AX2?2S$$ƒ)4"Gp)+\
$WGFG$'AX2?2S$$8#R$)‡])#R$$W*"Z
5)
` " 4"
+" "+" +"
*" "
= +
∫ ∫ ∫
Z\%R
"+"
∫
22V$?\{$
#m)*#7)*)*-5)%T%R2$v$ƒ)G7'2V)
4"
+"
*"
∫
2^
24\i)*{G/-Z
4\i)*{G2V)
4"
+"
*"
∫
%&'#R$4")‡])#R$*"Z
qfd)2V$H-/0*"2)2V$$W$L$)=2S$Z
Trang 7
q()*$L$?K)*),22S$)\/-$o))
4" 4" a B
*" " " " "
" Z" " " "
= = + +
− −
− α − −
q "
9 "
A
)*'.$W*"Z
q2Y-?K)*#‡H-2?\{$#'@-2S$qq4K'/-?8$
$L$*'L24=$W"%#'@-2S$qq?@2T$L$./0aPBP
2;)*2\i)*)5)$"#m)*$L$)*'.$W*"?@2T$L$
./0?\{$+}+)*Z
q/-?82%#'@-2S$+\&'+,-2V$Gd)?@2V)Z
1\-EF2|24T)?Xf$D)*22\i)**MGG7'*"
Gd)2V$%U2)2V$$W$L$)=2S$Z
Phần 4: Tích phân.
B'2L)V)2V$Gd) #m)*$L$/_+z)*2V)$,2%
)*-5)$]#7)Z
B'2L)V)2V$Gd)#m)*G\])*GLG?l'#'C)/0Z
)*V)
#
`c-"b- +"
∫
#m)*$L$?M22-"
M22-"
+2 -~"+"⇒ =
l'$R)"N2-
"#N2-#
#
`c-"b- +"
∫
-#
-
` 2+2
∫
)*V)
` "+"
β
∫
α
C-:;)*2V)?\{$2^+)*
)\)*24)*2V$Gd)$8$SX224)*/0$L$#'@-2S$
/-2T$82@?l'#'C))\/-
" 9
"
−
−
2T?M2"/')2
" 9
"
+
+
2T?M2"2)2Z
B'2L)!T)*-5)#m)*G\])*GLG2e)*Gp)
C---"P%%"A'/0$8
? A'5) 2z$ 245) c9#b 2T
# #
#
-+% -Z% %+-
= −
∫ ∫
phântch các hm s d phát hin u v dv
€Dạng 1
/')
∫
ax
f x cosax dx
ax
e
β
α
%&'`"A?2S$
M2
~
/') /')
$/
= =
⇒
= =
∫
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ax ax
e e
s-?82%$;)*2S$
-+% -% %+-= −
∫ ∫
?@2V)
€Dạng 2:
A) +
∫
f x ax b dx
β
α
M2
Z
A)
= + =
⇒
+
=
=
∫
a dx
u ax b du
ax b
dv f x dx
v f x dx
s-?82%$;)*2S$
-+% -% %+-= −
∫ ∫
?@2V)
€Dạng 3:
/')
Z
∫
ax
ax
e dx
cosax
β
α
2<$'.)2e)*Gp)'Ap)%&'-^
"
B'2L)[V)2V$Gd)$W$L$/0A\{)**'L$X2/0
+)*$]#7)Z
)*
/')"#/')$"++"
β
∫
α
9
/')"#Z$/$"++"
β
∫
α
$/"#Z$/$"++"
β
∫
α
Z
q<$'.)$;)*2S$#'C)?l'2V$2)2l)*4K'2V)2V$
Gd)Z
)*
)
/') "Z$/ "Z+"
β
α
∫
)PA$L$/0)*-5)+\])*
qC-)A•P$‚)2T?M22$/"Z
Trang 8
H
q)C-A•P)$‚)2T?M22/')"Z
qC-)P?U-$‚)2T()*$;)*2S$)d)?;'/-?8
+-)*2'CG$;)*2S$#R$?@2V)Z)C-X224)*/0)M$
)/0$ƒ)A'A/0$‚)2T2$v+-)*$;)*2S$#R$Z
q)P∈„)C-)A/0)*-5)$‚)2T$82@
?M222)"M$2$2"Z
)*!
/')"P$/"+"
β
∫
α
A/0u-2…Z|4X)*2'?'
h$Z
qC-/')"P$/"A•?0'%&'/')"2S$A−/')"P$/"
−/')"P$/"2T
2?M22$/"Z
qC-/')"P$/"A•?0'%&'$/"2S$A/')"P −$/"
−/')"P$/"
2T2?M22/')"Z
qC-/')"P$/"$‚)?0'%&'/')"%$/"2S$A
−/')"P−$/"/')"P$/"2T2?M222)"Z
B'2L)ˆV)2V$Gd)$W$L$/0u-2…
†5-$p-2V)
` "
+"
*"
β
∫
α
24)*?8`"P*"A$L$?2S$2^"Z
Trường hợp 1BR$$W`"≥BR$$W*"2T2<$'.)GFG
$'?2S$`"$*"2+H)?C)
` " 4"
"
*" "
= +
Z4)*?8
"2\])*$WGFG$'AX2?2S$$ƒ)4"Gp)+\
$WGFG$'AX2?2S$$8#R$)‡])#R$$W*"Z
5)
` " 4"
+" "+" +"
*" "
β β β
= +
∫ ∫ ∫
α α α
Z
\%R
"+"
β
∫
α
22V$?\{$#m)*#7)*)*-5)%T%R2
$v$ƒ)G7'2V)
4"
+"
*"
β
∫
α
2^24\i)*{G/-Z
4\i)*{G2V)
4"
+"
*"
β
∫
α
%&'#R$4")‡])#R$*"Z
qfd)2V$H-/0*"2)2V$$W$L$)=2S$Z
q()*$L$?K)*),22S$)\/-$o))
4" 4" a B
*" " " " "
" Z" " " "
= = + +
− −
− α − −
q "
9 "
A
)*'.$W*"Z
q2Y-?K)*#‡H-2?\{$#'@-2S$qq4K'/-?8$
$L$*'L24=$W"%#'@-2S$qq?@2T$L$./0aPBP
2;)*2\i)*)5)$"#m)*$L$)*'.$W*"?@2T$L$
./0?\{$+}+)*Z
q/-?82%#'@-2S$+\&'+,-2V$Gd)?@2V)Z
1\-EF2|24T)?Xf$D)*22\i)**MGG7'*"
Gd)2V$%U2)2V$$W$L$)=2S$Z
Bài tốn 6: Tính tích phân chứa dấu giá trị tun đối.
V)
#
` " +"
∫
T)*'.$W`"Z
C-`"%;)*'.245)9#M$$8$8)*'.)\)*
:;)*$8)*'.)2-X$c9#bM$$8X2)*'."
M$"#$L$)*'.$ƒ)A':;)*2-X$c9#b2T
#
` " +"
∫
#
` "+"
∫
C- `" $8 )*'. " $ ∈9# 2T
#
` " +"
∫
$ #
` "+" ` "+"
$
+
∫ ∫
qDE
C-$8)'U-]))*'.245)9#2T%H)+-)*$;)*
2S$245)2(2^24\i)*{G)*'.)\2C)Z$L$A
)$8A{'%T2:;)*$p)"F2+,-`"Z
‰S$?X2'f:;)*$p))o#,2?j)*2S$2V$
Gd)Z
Phần 5: Diện tích hình phẳng − thể tích vật thể tròn xoay.
Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng
• Hình phẳng giới hạn bởi :
`"
" 9" #
=
= = =
hàm số liên tục trên [a;b]
trục hoành y 0;
Trang 9
a
b
x
y
Diện tích : S =
#
Š `" ŠZ+"
∫
Chú ý : nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = 0
• Hình phẳng giới hạn bởi :
`"
*"
" #
=
=
= =
hàm số liên tục trên [a;b]
hàm số liên tục trên [a;b]
x a;
Diện tích : S =
#
Š `" *" ŠZ+"
−
∫
Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x)
2) NC-#'2L)Y-GS$2G2T2$82@%JT)?@
"L$?=)T)Gj)*M$2V)2;)*Y-2l)*M$' $W
)'U-T)Z
Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể tròn xoay :
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các
đường :
`"
" 9" #
=
= = =
hàm số liên tục trên [a;b]
trục hoành y 0;
quay quanh trục Ox và f(x) ≥ 0 trên
[a;b] thì V =
#
` " Z+"
π
∫
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các
đường :
`
$9 +
=
= = =
hàm số x liên tục trên [c;d]
trục tung x 0;y
quay quanh trục Oy và f(y) ≥ 0 trên
[a;b] thì V =
+
$
` Z+π
∫
Phần 6: Số phức
Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,…
'/0GS$#'%$+'Z
#'$+' $9#+Z ;?-)/0GS$
‹ #' #= + = +
!/0GS$A'5)'.G‹#'A
‹
−#'Z
q‹
‹
9‹Z
‹
‹ #= +
[#'$+'$#+'
ˆ#'−$+'−$#−+'Z
Œ#'$+'$−#++#$'
•‹
$ +'
c$#++Ž#$'b
#'
#
+
=
+
+
Bài tốn 2: Giải phương trình bậc 2.
G\])*24T)"
#"$Z%&'∆#
−[$Z
C-∆2TG\])*24T)$8)*'.G:FG
#
" "
= = −
)*'.
2<$
C-∆N2TG\])*24T)$8')*'.2<$
#
"
− ± ∆
=
C-∆O2TG\])*24T)$8')*'.GS$
# '
"
− ± ∆
=
BZ••Z
Phần 1: Thể tích, diện tích của các khối hình
B'2L)V)+'.)2V$"-)*Y-)s
"Y
P+'.)2V$2)
Gp)s
2G
$W:0')8)P24zP$p-Z
0')8)s
"Y
π4A9s
2G
π44AZ
0'24zs
"Y
π4A9s
2G
π44AZ
0'$p-s[π4
Z
Bài tốn 2: Tính thể tích các khối hìnhZ
q0'T)$8GI
B
!
9q0')8)I
4
!
π
q0'T)24zIπ4
9q0'$p-I
!
[
4
!
π
q0'A3)*24zIBZ
Phần 2: Phương pháp tọa độ trong khơng gian
→
= (x;y;z) ⇔
→
= x.
'
→
+ y.
‘
→
+ z.
:
→
Tính chất : Cho
→
= (a
1
;a
2
; a
3
) ,
#
→
= (b
1
;b
2
; b
3
)
•
→
±
#
→
=(a
1
± b
1
; a
2
± b
2
; a
3
± b
3
)
•
→
k. = (ka
1
;ka
2
;ka
3
) k ∈ R
Tích vô hướng :
Z #
→ →
= a
1
.b
1
+ a
2
.b
2
+a
3
.b
3
=
→
.
#
→
Cos
ϕ
Cos ϕ =
# # #
! !
Z # # #
! !
+ +
+ + + +
Trang 10
a
b
x
y
y=f(x)
y=g(x)
b
x
b
x
H
#
→ →
⊥
⇔ a
1
.b
1
+ a
2
.b
2
+ a
3
.b
3
= 0
→
cùng phương
#
→
;
→
≠
→
⇔
#
→
= k.
→
⇔ [
→
,
#
→
] =
→
Toạ độ điểm:
M = (x;y;z)⇔
’g
→
= x.
'
→
+ y.
‘
→
+ z.
:
→
aB
→
= ( x
B
− x
A
; y
B
−y
A
;z
B
−z
A
)
•
M chia đoạn AB theo tỉ số k
≠
1 (
ga
→
= k
gB
→
)
Thì M:
" :Z"
B
a
"
g
:
:Z
B
a
g
:
‹ :Z‹
B
a
‹
g
:
−
=
−
−
=
−
−
=
−
•
I là trung điểm của AB thì I:
" "
B
a
"
g
B
a
g
‹ ‹
B
a
‹
g
+
=
+
=
+
=
•
G là trọng tâm tam giác ABC thì G:
" " " "
B
a
!
B
a
!
‹ ‹ ‹ ‹
B
a
!
= + +
= + +
= + +
• Tích có hướng của 2 véc tơ :
[
→
,
#
→
] =
! !
9 9
# # # # # #
! !
÷
÷
* [
→
,
#
→
] ⊥
→
; [
→
,
#
→
] ⊥
#
→
• Đk đồng phẳng của 3 véc tơ :
→
,
#
→
,
$
→
đồng phẳng ⇔ [
→
,
#
→
].
$
→
= 0
• ĐK để 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( tạo thành tứ
diện ) là: ba véc tơ
aB
→
,
a
→
,
a
→
không đồng phẳng <=> [
aB
→
,
a
→
].
a
→
≠ 0
• Diện tích tam giác ABC : S
ABC
=
aB a aBZa
→ →
−
HoM$S
ABC
=
2
1
.[
aB
→
,
a
→
]
• Thể tích tứ diện ABCD : V
ABCD
=
Œ
[
aB
→
,
a
→
].
a
→
•
Thể tích hình hộp : V
ABCD.A'B'C 'D'
= [
aB
→
,
a
→
].
aa
→
′
Bài tốn 1:Xác đònh điểm , tọa độ vectơ trong không gian ,
c/m tính chất hình học
Bài tốn 2: Tích vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai
véc tơ :
Bài tốn 3:Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,thể tích
hình hộp, tứ diện:
Phần 3: Mặt cầu.
Bài tốn 1: xác định tâm và bán kính mặt cầu
Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R là :
(x −a)
2
+ (y − b)
2
+ (z−c )
2
= R
2
Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S):
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = 0 với A
2
+ B
2
+
C
2
−D > 0
có tâm I(−A ;−B;−C) ; bán kính R =
a B + + −
Bài tốn 2: Viết phương trình mặt cầu
• Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và đi qua M
1
(x
1
;y
1
;z
1
)
+ Bán kính R = IM
1
=
" # ‹ $
− + − + −
• Pt.mặt cầu (S) đường kính AB :
+ Tâm I là trung điểm AB => I(
" "
B
a
+
;
B
a
−
;
‹ ‹
B
a
−
)
+ Bán kính R = IA
• Pt. mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D:
p/ pháp : Pt tổng quát mặt cầu (S)
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = 0 (1)
Thay lần lượt toạ độ 4 điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số
A;B;C;D
• Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mặt phẳng (α)
Trang 11
bán kính R = d(I; (α))
Bài tốn 3: xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt
phẳng
(α) : A x + B y + Cz +D = 0 ; (S): (x −a)
2
+ (y−b)
2
+(z−c)
2
=
R
2
Tính d(I; (α)) = ?
Nếu:• d(I; α ) > R <=> α và S không có điểm chung ( rời
nhau)
• d(I; α ) = R <=> α tiếp xúc với S (
α
là mp tiếp diện)
(α) ∩ (S) ={M
0
} ;
L$ viC2M2Gj)*2'CG+'.) (α) qua M
0
nhận
→
IM
0
làm
VTPT
• d(I; α ) < R <=> α cắt mặt cầu (S) theo một đường
tròn (C)
tâm H; bán kính r
* P.t đ.tròn (C ) A x + B y + Cz +D = 0
(x −a)
2
+ (y−b)
2
+ (z−c)
2
= R
2
+ Tâm H là hình chiếu của I lên mp α
+ bán kính r =
c 9 b− α d(I
Cách xác đònh H: + Lập pt đ. thẳng (d) qua I nhận
→
α
n
làmVTCP
(d)
" a2
# B2
‹ $ 2
= +
= +
= +
thay vào pt mp(α) => giải t => toạ độ
điểm H
Bài tốn 4: Cách viết mặt phẳng tiếp diện2'?'@g
L$?=)2d%#L):V)$WM2$p-s
V)
→
IM
0
+) MM2Gj)*2'CG+'.)(α) qua M
0
nhận
→
IM
0
làm VTPT.
Bài tốn 5: Xác định tâm H và bán kính r đường tròn giao
tuyến của mặt cầu (S)và mặt phẳng(α).
+ bán kính r =
c 9 b− α d(I
Cách xác đònh H:
+ Lập pt đ. thẳng (d) qua I nhận
→
α
n
làmVTCP
(d)
" a2
# B2
‹ $ 2
= +
= +
= +
thay vào pt mp(α) => giải tìm t = ? => toạ độ
điểm H
Phần 4: Mặt phẳng, đường thẳng.
Bài tốn 1: các viết phương trình mặt phẳng:
qaB2V)
aB 6 9 a 6= =
uuur uuur
If$WaBA
) caBPab=
r uuur uuur
N%'C2M2Gj)*?'Y-a$8If
)
r
Z
qP#)C- #2TIf
) c- PaBb=
r uur uuur
%&'a∈9B∈#Z
C-$o2#2T
#
) c- P- b=
r uur uur
qa92TIf
) c- PaBb=
r uur uuur
%&'B∈Z
qα β2TIf
) )
α β
=
uur uur
qα⊥2TIf
) -
α
=
uur uur
qα$8'%^$2]$vG\])*
P#
r r
2T
) cP#b
α
=
uur r r
Z
qα?'Y-?'@a%B?K)*2i'$S?Z2j)*M$
M$$8If
r
2T
) c- PaBb
α
=
uur uur uuur
2
-
uur
r
qα %-;)* *8$ $7 ' M2 Gj)* f % “Z 2T If
f “
) c) P) b
α
=
uur uur uuur
qgM2Gj)*24-)*24<$$W?)2j)*aBZ
L$?=)24-)*?'@g$W?)2j)*aBZ
V)%^$2]
aB
uuur
Z
gM2Gj)*24-)*24<$?'Y-g$8If
aB
uuur
Z
qα/)*/)*?\i)*2j)*%%-;)**8$%&'X2M2Gj)*
2T
) c) P- b
α β
=
uur uur uur
Z
qα$S?Z2j)*%⊥βZ
$h)g245)?Z2j)*Z
If$WαA
) c- P) b
α β
=
uur uuur uur
qI'C2fM2Gj)*f$S?\i)*2j)*+%/)*/)*
%&'+
Z
Trang 12
H
$h)g245)?Z2j)*+Z
If$WαA
f +
+
) c- P- b=
uur uur uuur
NI'C2fGf?'Y-g%$8If
f +
+
) c- P- b=
uur uur uuur
Bài toán 2 viết phương trình đường thẳng.
*∆?'Y-?'@a%$8If
-
r
q∆?'Y-?'@a%BN∆?'Y-a$8If
aB
uuur
Z
q∆?'Y-a% N∆Y-a$8If
-
uuur
Z
q∆?'Y-a%⊥α2T∆Y-a$8IfA
)
α
uur
Z
q∆A*'2-C)$W'M2Gj)*α%β2T
If$W∆A
- c) P) b
α β
=
r uur uur
Z
X2y)#m)**'7'.y)$ƒ)A'2T?'@g6
N∆?'Y-g$8IfA
- c) P) b
α β
=
r uur uur
- c) P) b
α β
=
r uur uur
q∆AT)$'C-$W?Z2j)*A5)Gβ
qI'C2G\])*24T)Gf$S%%-;)**8$Gβ
$h)g245)?Z2j)*Z
If$WαA
f
) c- P) b
β
=
uur uuur uur
qIf$W∆A
f
- c) P) b
∆ β
=
uur uur uur
q$X2y)"*'7'.*Ky)%‹$Wf'
M2Gj)*f%βNg6N∆?'Y-g$8If
f
- c) P) b
∆ β
=
uur uur uur
qL$%'C2G\])*24T)?\i)*$a$W∆aBZ
T2h?XIf$WGaBA
) cBPab=
r uuur uuur
6Z
T2h?XIf$W?\i)*$aA
- cBP)b=
r uuur r
6
NI'C2f?\i)*$a?'Y-a$8If
- cBP)b=
r uuur r
Z
qL$%'C2G\])*24T)?\i)*24-)*24<$$W$)B$W
∆aBZ
T2h?XIf$WGaBA
) cBPab=
r uuur uuur
6Z
T2h?XIf$W24-)*24<$A
- cBP)b=
r uuur r
6Z
T2h?X?'@gA24-)*?'@?)2j)*BZ
N\i)*24-)*24<$$)B$W∆aBA?\i)*2j)*?'
Y-g$8If
- cBP)b=
r uuur r
Z
i toán 3: tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng
hoặc đ.thẳng.
* Tìm hình chiếu H của M lên (α)
I'C2f?Z2j)*Y-g$8IfA
)
α
uur
Z
*'7'.*K
fG
f
α
T)$'C-A*'?'@$Wα%A)*'.$W
.245)Z
* Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng (D).
I'C2fM2Gj)*fY-g$8IfA
-
uuur
Z
*'7'.*K
fG
f
α
T)$'C-A*'?'@$Wα%A)*'.$W
.245)Z
Bài toán 4: Tìm tọa độ điểm A
/
đối xứng với điểm A qua đt
hoặc mp
* Đối xứng qua mp(α)
I'C2f?Z2j)*Y-g$8IfA
)
α
uur
Z
*'7'.*K
fG
f
α
T)$'C-A*'?'@$Wα%A)*'.$W
.245)Z
h?X?'@?0'"S)*a
" " "
a
a
‹ ‹ ‹
a
= −
= −
= −
* Đối xứng quađường thẳng (D).
I'C2fM2Gj)*fY-g$8IfA
-
uuur
Z
*'7'.*K
fG
f
α
T)$'C-A*'?'@$Wα%A)*'.$W
.245)Z
+)h?X?'@?0'"S)*a
" " "
a
a
‹ ‹ ‹
a
= −
= −
= −
Bài toán 4: xác định vị trí tương đối giữa mp và mp, đt và
đt, đt và mp.
* Vị trí tương đối giữa mp (P) và mp(Q).
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 ; (Q) : A
/
x + B
/
y + C
/
z + D
/
= 0
Trang 13
với
)
→
=(A;B;C) và
)
→
′
=(A
/
; B
/
; C
/
)
(P) ≡ (Q) <=>
a
a
=
B
B
=
=
(P) // (Q)<=>
a
a
=
B
B
=
≠
(P) co2 (Q)<=>
a
a
≠
B
B
∨
B
B
≠
∨
≠
a
a
Chú ý :• α ⊥ α
/
<= >
)
→
.
)
→
′
= 0 <=> AA
/
+ BB
/
+ CC
/
= 0
• α cắt α
/
<=>
)
→
và
)
→
′
không cùng phương
* vị trí tương đối giữa đ.thẳng (d
1
) và (d
2
).
L$?=)$L$VTCP
-
→
=(a;b;c) ,
-
→
=(a
/
;b
/
; c
/
) ;Tính [
-
→
,
-
→
]
Nếu :[
-
→
,
-
→
]=
→
+) chh)g
∈d
1
ZC- M
1
∉ d
2
thì d
1
// d
2
NC-g
∈d
2
2Td
1
≡ d
2
Nếu [
-
→
,
-
→
] ≠
→
. Ta gi7'.
{
+ +=
2^2%2
$fs
$W'?Z2j)*2^2()*2)Gp)Z
.$8)*'.+-),22%2
2Td
1
cắt d
2
=> giao ?'@Z
)C-.I2Td
1
chéo d
2
* Vị trí tương đối giữa đ.thẳng (D) và mặt phẳng (P).
2fs$W?Z2j)*%fGf2?\{$f
2^y)2Z
)C-fI2T GfZ
C-fIs2T⊂GfZ
C-f$8)*'.+-),22T$o2GfN*'
?'@6
Hoặc có thể dung cách sau:
2T2h?XIf
-
r
$W%If
)
r
$WGfZ
V)2V$%;\&)*
-
r
Z
)
r
6
C-2V$%;\&)*)
-
r
Z
)
r
≠
2T$o2GfZ
C-
-
r
Z
)
r
2T$h)?'@g#,2:n245)/-?82%
fM2Gj)*f)C-2‡”)2T⊂GfZ$ƒ))*\{$A'
2T GfZ
Bài tốn 5: Tính khoảng cách.
q2e?'@A(x
0
;y
0
;z
0
) ?C)M2Gj)*fa"B‹Z
d(A;(α)) =
a" B ‹
a B
+ + +
+ +
qf “2T+fP“d(A;(Q)) v&'h'?'@a$h)2(E
245)f
q7)*$L$2_?\i)*2j)*+?C)M2Gj)*f%&'
+ Gf
$h)?'@g#,2:n245)+Z2V)+g9+6
++PGG+gPGf
q7)*$L$2e?'@a?C)?\i)*2j)*:;)*$8$;)*
2S$2V)24)*$\])*24T)&'Gd)#)?0'%&'#)$]#7)
)\)*2$82@2V))\/-
ARGfG“Y-a%%-;)**8$%&'Z
T*'?'@$WGf%?Z2j)*Z
7)*$L$$p)2TA?)2j)*aZ
q7)*$L$*'u'?\i)*2j)*/)*/)*+%+
Z
h)?'@g#,2:n245)+Z
I'C2fM2Gj)*fY-g$8IfA
+
-
uur
Z
T?'@A*'?'@$W+
%Gf#m)*$L$
*'7'.*Kf$W+
%fM2Gj)*fN)*'."PP‹A
2h?X?'@Z
7)*$L$$p)2TA?X+'?)2j)*gZ
q7)*$L$*'u'?\i)*2j)*$F)-+%+
Z
qI'C2fM2Gj)*f$S?\i)*2j)*+%/)*/)*
%&'+
Z
$h)g245)?Z2j)*+Z
If$WαA
f +
+
) c- P- b=
uur uur uuur
NI'C2fGf?'Y-g%$8If
f +
+
) c- P- b=
uur uur uuur
qh)?'@#,2:n245)+
ZV)+PGf6
N++P+
+PGf
B'2L)ŒV)*8$Z
q8$*'u'Gfa
"B
‹
%G“a
"B
‹
Trang 14
H
2T
) Z)
$/
) Z )
ϕ
ur uur
ur uur
a B B
a B Z a B
Α + +
+ + + +
I&'
·
G“PGfϕ =
q8$*'u?\i)*2j)*
" " 2
#2
‹ ‹ $2
= +
= +
= +
%M2Gj)*a"B‹A
) Z-
f
/')
) Z -
f
ϕ
uur uur
uur uur
#B $
a B Z # $
Α + +
+ + + +
V&'
·
P Gfϕ =
8$ *'u ' ?\i)* 2j)*
" " 2
# 2
‹ ‹ $ 2
= +
= +
= +
I
" " 2
# 2
‹ ‹ $ 2
= +
= +
= +
2T
- Z-
$/
- Z -
ϕ
ur uur
ur uur
# # $ $
# $ Z # $
+ +
+ + + +
I&'
·
P
ϕ =
Trang 15
