Đề ôn thi trường chuyên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOHẢI PHÒNG
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP PHỔ THÔNG THCS
Môn thi : Toán - Năm học 1999 - 2000
Thời gian làm bài : 120 phút (không kể thời gian giao đề)
A. Lý thuyết : (2 điểm) Học sinh chọn 1 trong 2 câu sau :
Câu 1 :
a) Hãy viết định nghĩa căn bậc hai số học của một số a ≥ 0. Tính:

2
4; 9; (1 )x− −
b) Hãy viết định nghĩa về đường thẳng song song với mặt phẳng.
Câu 2 :
a) Hãy viết dạng tổng quát hệ hai phưng trình bậc nhất hai ẩn số.
b) Chứng minh : “Mọi góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đều là góc
vuông”.
B. Bài toán : (8 điểm) Bắt buộc cho mọi học sinh.
Bài 1 : (2 điểm).
a) Cho :
M =
3 2 2; 8 3.N− = +
Tính M + N và M x N.
b) Tìm tập xác định của hàm số :
y =
1
1x
x
+ +
c) Cho đường thẳng (d) có phưng trình . Hãy tìm tọa độ các giao điểm
của đường thẳng (d) với các trục tọa độ.
Bài 2 : (2 điểm).
Trong một phòng có 288 ghế được xếp thành các dãy, mỗi dãy đều có số

ghế như nhau. Nếu ta bớt đi 2 dãy và mỗi dãy còn lại thêm 2 ghế thì vừa
đủ cho 288 người họp (mỗi người ngồi một ghế). Hỏi trong phòng đó có
mấy dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế ?
Bài 3 : (4 điểm).
Cho nửa đường tròn đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường
tròn. C là điểm trên nửa đường tròn sao cho cung AC bằng cung CB.
Trên cung CB lấy điểm D tùy ý (D khác C và B). Các tia AC, AD cắt Bx
lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh ΔABE vuông cân.
1
b) Chứng minh ΔABF ~ ΔBDF.
c) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp.
d) Cho điểm C di động trên nửa đường tròn (C khác A và B) và D di
động trên cung CB (D khác C và B). Chứng minh:
AC x AE = AD x AF và có giá trị không đổi.
KỲ THI TUYỂN SINH TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI, HẢI
DƯƠNG
NĂM HỌC 2002 - 2003
Môn Toán - Dành cho các lớp chuyên tự nhiên
Thời gian làm bài 150 phút
Bài I (3,0 điểm)
Cho biểu thức :
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên.
Bài II (3,0 điểm)
1) Gọi x
1
và x
2
là hai nghiệm của phương trình :

x
2
- (2m - 3)x + 1 - m = 0
Tìm giá trị của m để x
1
2
+ x
2
2
+ 3x
1
.x
2
. ( x
1
+ x
2
)đạt giá trị lớn nhất.
2) Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn: a
2003
+ b
2003
= 2 a
2003
. b
2003

Chứng minh rằng phương trình : x
2
+ 2x + ab = 0 có hai nghiệm hữu tỉ.

Bài III (3,0 điểm)
1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 180
o
. Tính tỉ số BC/AB.
2) Cho hình quạt tròn giới hạn bởi cung tròn và hai bán kính OA, OB
vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm của OB, phân giác góc AIO cắt
OA tại D, qua D kẻ đường thẳng song song với OB cắt cung tròn ở C.
Tính góc ACD .
Bài IV (1,0 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức :
với a, b, c là các số thực bất kì.
2
KÌ THI HỌC SINH GIỎI
CẤP THÀNH PHỐ (THCS)
TP HỒ CHÍ MINH
Năm học 2002 - 2003
* Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút
Bài 1 : (4 điểm)
Cho phương trình : (2m - 1) x
2
- 2mx + 1 = 0.
a) Định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1 ; 0)
b) Định m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa |x
1
2
- x

2
2
| = 1.
Bài 2 : (5 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây :
Bài 3 : (3 điểm)
a) Cho a > c, b > c, c > 0. Chứng minh :
b) Cho x ≥ 1 , y ≥ 1. Chứng minh :
Bài 4 : (3 điểm)
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường
tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên tia đối của tia BC lấy điểm D. Gọi E là
giao điểm của DO và AC. Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn
(O), tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB ở K.
Chứng minh bốn điểm D, B, O, K cùng thuộc một đường tròn.
Bài 5 : (2 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có hai
đường thẳng lưu động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và
AC lần lượt tại D và E. Xác định các vị trí của D và E để diện tích tam
giác DME đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6 : (3 điểm)
3
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở hai điểm A và B. Qua A vẽ
hai đường thẳng (d) và (d’), đường thẳng (d) cắt (O) tại C và cắt (O’) tại
D, đường thẳng (d’) cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N sao cho AB là phân
giác của góc MAD. Chứng minh rằng CD = MN.
KỲ THI TỐT NGHIỆP
TRUNG HỌC CƠ SỞ
TỈNH THÁI BÌNH
* Môn thi : Toán * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2001-2002
A. Lí thuyết (2 điểm) Thí sinh chọn một trong hai đề :

Đề thứ nhất :
a) Nêu định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn số. Cho ví dụ.
b) Giải phương trình : x
2
- 2x - 8 = 0.
Đề thứ hai :
Nêu định lí về góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn. Vẽ hình, ghi giả
thiết, kết luận cho các trường hợp xảy ra.
B. Bài toán bắt buộc (8 điểm)
Bài 1 : (2 điểm)
Cho biểu thức :
a) Rút gọn biểu thức K.
b) Tính giá trị của K khi .
c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0.
Bài 2 : (2 điểm)
Cho hệ phương trình :
a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1.
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm.
Bài 3 : (4 điểm)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến
Ax và By. Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ
ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F.
a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp.
4
b) AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q. Tứ giác MPOQ là hình gì ? Tại
sao ?
c) Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB). Gọi K là giao điểm của MH
và EB. So sánh MK với KH.
d) Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF.
Chứng minh rằng :

ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT
TỈNH THÁI BÌNH
* Môn : Toán * Khóa thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 150 phút
Bài 1 (2 điểm)
Cho biểu thức :
a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức K xác định.
b) Rút gọn biểu thức K.
c) Với những giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên ?
Bài 2 (2 điểm)
Cho hàm số : y = x + m (D).
Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) :
a) Đi qua điểm A (1 ; 2003) ;
b) Song song với đường thẳng x - y + 3 = 0 ;
c) Tiếp xúc với parabol y = - 1/4.x
2
.
Bài 3 (3 điểm)
a) Giải bài toán bằng cách lập phương trình :
Một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13 m và chiều dài lớn hơn chiều
rộng 7 m. Tính diện tích hình chữ nhật đó.
b) Chứng minh bất đẳng thức :
Bài 4 (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A. Nửa đường tròn đường kính AB cắt BC
tại D. Trên cung AD lấy một điểm E. Nối BE và kéo dài cắt AC tại F.
a) Chứng minh CDEF là một tứ giác nội tiếp.
5
b) Kéo dài DE cắt AC ở K. Tia phân giác của góc CKD cắt EF và CD tại
M và N. Tia phân giác của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q. Tứ giác
MPNQ là hình gì ? Tại sao ?
c) Gọi r, r

1
, r
2
theo thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác
ABC, ADB, ADC. Chứng minh rằng r
2
= r
1
2
+ r
2
2
.
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
TRUNG HỌC CƠ SỞ
TỈNH THỪA THIÊN - HUẾ
* Môn : Toán * Khóa thi : 2001 - 2002 * Thời gian : 120 phút
A. Lý Thuyết : (2 điểm) Học sinh chọn một trong hai đề sau đây :
Đề 1 :
Nêu điều kiện để có nghĩa.
áp dụng : Tìm mỗi giá trị của x để mỗi căn bậc hai sau đây có nghĩa :
Đề 2 :
Chứng minh rằng : Đường kính vuông góc với một dây cung thì chia dây
cung ấy ra hai phần bằng nhau.
B. Toán : (8 điểm)
Bài 1 : (3 điểm)
a) Tính :
b) Rút gọn biểu thức :
c) Xác định các hệ số a và b của hàm số y = ax + b, biết rằng đồ thị của
nó đi qua hai điểm A (1 ; 3) và B (2 ; 1).

Bài 2 : (1,5 điểm)
Tính các kích thước của hình chữ nhật có diện tích 40 cm
2
, biết rằng nếu
tăng mỗi kích thước 3 cm thì diện tích tăng 48 cm
2
.
Bài 3 : (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Kẻ hai
đường kính AA’ và BB’ của đường tròn.
a) Chứng minh ABA’B’ là hình chữ nhật.
b) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh BH = CA’.
c) Cho AO = R, tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC.
6
ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 NĂNG KHIẾU
TRƯỜNG NĂNG KHIẾU HÀN THUYÊN (BẮC NINH)
* Môn : Toán * Khóa thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 150 phút
Bài 1 : (2 điểm)
Xét biểu thức :
1) Rút gọn y. Tìm x để y = 2.
2) Giả sử x > 1. Chứng minh rằng : y - |y| = 0
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của y ?
Bài 2 : (2 điểm)
Giải hệ phương trình :
Bài 3 : (2 điểm)
Cho hình vuông có cạnh bằng 1, tìm số lớn nhất các điểm có thể đặt vào
hình vuông (kể cả các cạnh) sao cho không có bất cứ 2 điểm nào trong
số các điểm đó có khoảng cách bé hơn 1/2 đơn vị.
Bài 4 : (2 điểm)

Cho hai đường tròn đồng tâm và 1 điểm M cố định trên đường tròn nhỏ.
Qua M kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau, một đường cắt đường
tròn nhỏ ở A khác M, đường kia cắt đường tròn lớn ở B và C. Khi cho
hai đường thẳng này quay quanh M và vẫn vuông góc với nhau, chứng
minh rằng :
1) Tổng MA
2
+ MB
2
+ MC
2
không đổi.
2) Trọng tâm tam giác ABC là điểm cố định.
Bài 5 : (2 điểm)
1) Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không thể là số
chính phương.
2) Cho tam giác ABC và một điểm E nằm trên cạnh AC. Hãy dựng một
đường thẳng qua E và chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích
bằng nhau.
7
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
QUẬN 10-TP HỒ CHÍ MINH
NĂM HỌC 2002 - 2003
* Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút
Bài 1 : (3 điểm)
Giải phương trình : |x
2
- 1| + |x
2
- 4| = x

2
- 2x + 4.
Bài 2 : (3 điểm)
Chứng minh đẳng thức :
với a, b trái dấu.
Bài 3 : (3 điểm)
Rút gọn :
Bài 4 : (3 điểm)
Trong các hình chữ nhật có chu vi là p, hình chữ nhật nào có diện tích
lớn nhất ? Tính diện tích đó.
Bài 5 : (4 điểm)
Cho đường tròn (O ; R), điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ tiếp
tuyến AM, AN ; đường thẳng chứa đường kính, song song với MN cắt
AM, AN lần lượt tại B và C.
Chứng minh :
a) Tứ giác MNCB là hình thang cân.
b) MA . MB = R
2
.
c) K thuộc cung nhỏ MN. Kẻ tiếp tuyến tại K cắt AM, AN lần lượt tại P
và Q. Chứng minh : BP.CQ = BC
2
/4 .
Bài 6 : (4 điểm)
Cho đường tròn tâm O và đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến (d) tại B của
đường tròn (O). Gọi N là điểm di động trên (d), kẻ tiếp tuyến NM (M
thuộc (O)).
a) Tìm quỹ tích tâm P của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB.
b) Tìm quỹ tích tâm Q của đường tròn nội tiếp tam giác MNB.
8

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TỈNH BẮC NINH
* Môn thi : Toán * Khoá thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 150
phút
Bài 1 : (2,5 điểm)
Cho biểu thức :
1) Rút gọn B.
2) Tìm các giá trị của x để B > 0.
3) Tìm các giá trị của x để B = - 2.
Bài 2 : (2,5 điểm)
Cho phương trình : x
2
- (m+5)x - m + 6 = 0 (1)
1) Giải phương trình với m = 1.
2) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = - 2.
3) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn :
S = x
1
2
+ x
2
2
= 13.
Bài 3 : (2 điểm)
Một phòng họp có 360 chỗ ngồi và được chia thành các dãy có số chỗ
ngồi bằng nhau. Nếu thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số

chỗ ngồi trong phòng họp không thay đổi. Hỏi ban đầu số chỗ ngồi trong
phòng họp được chia thành bao nhiêu dãy.
Bài 4 : (3 điểm)
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường kính AC của
đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai E. Đường kính AD
của đường tròn (O’) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F.
1) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp.
2) Chứng minh C, B, D thẳng hàng và tứ giác OO’EF nội tiếp.
3) Với điều kiện và vị trí nào của hai đường tròn (O) và (O’) thì EF là
tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’).
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 HỆ CHUYÊN
TỈNH HÀ TÂY
* Môn : Toán (chung) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004
9
Bài 1 : (2 điểm)
Cho biểu thức :
với x ≥ 0 ; x ≠ 1.
1) Rút gọn P.
2) Tìm x sao cho P < 0.
Bài 2 : (1,5 điểm)
Cho phương trình : mx
2
+ (2m - 1)x + (m - 2) = 0. Tìm m để phương
trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn : x
1
2

+ x
2
2
= 2003.
Bài 3 : (2 điểm)
Một bè nứa trôi tự do (với vận tốc bằng vận tốc của dòng nước) và một
ca nô cùng dời bến A để xuôi dòng sông. Ca nô xuôi dòng được 144 km
thì quay trở về bến A ngay, cả đi lẫn về hết 21 giờ. Trên đường ca nô trở
về bến A, khi còn cách bến A 36 km thì gặp bè nứa nói ở trên. Tìm vận
tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước.
Bài 4 : (3,5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. C là trung điểm của
đoạn thẳng AO, đường thẳng Cx vuông góc với đường thẳng AB, Cx cắt
nửa đường tròn trên tại I. K là một điểm bất kì nằm trên đoạn thẳng CI
(K khác C ; K khác I), tia AK cắt nửa đường tròn đã cho tại M. Tiếp
tuyến với nửa đường tròn tâm O tại điểm M cắt Cx tại N, tia BM cắt Cx
tại D.
1) Chứng minh rằng bốn điểm A, C, M, D cùng nằm trên một đường
tròn.
2) Chứng minh ΔMNK cân.
3) Tính diện tích ΔABD khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI.
4) Chứng minh rằng : Khi K di động trên đoạn thẳng CI thì tâm của
đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên một đường thẳng cố định.
Bài 5 : (1 điểm)
Cho a, b, c là các số bất kì, đều khác 0 và thỏa mãn :
ac + bc + 3ab ≤ 0.
<DD.CHứNG (ax
2
+ bx + c)(bx
2

+ cx + a)(cx
2
+ ax + b) = 0.
10
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG (NAM ĐỊNH)
* Môn : Toán (chuyên) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 -
2004
Bài 1 : (1,5 điểm)
Cho phương trình x
2
+ x - 1 = 0. Chứng minh rằng phương trình có hai
nghiệm trái dấu. Gọi x
1
là nghiệm âm của phương trình. Hãy tính giá trị
của biểu thức :
Bài 2 : (2 điểm) Cho biểu thức :
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của P khi 0 ≤ x ≤ 3.
Bài 3 : (2 điểm)
a) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên a, b, c sao cho a
2
+ b
2
+
c
2
= 2007.
b) Chứng minh rằng không tồn tại các số hữu tỉ x, y, z sao cho x
2

+ y
2
+
z
2
+ x + 3y + 5z + 7 = 0.
Bài 4 : (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Gọi (O) là đường
tròn ngoại tiếp tam giác AHC. Trên cung nhỏ AH của đường tròn (O)
lấy điểm M bất kì khác A. Trên tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) lấy
hai điểm D và E sao cho BD = BE = BA. Đường thẳng BM cắt đường
tròn (O) tại điểm thứ hai N.
a/ Chứng minh rằng tứ giác BDNE nội tiếp.
b/ Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE và đường tròn
(O) tiếp xúc với nhau.
Bài 5 : (2 điểm)
Có n điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Hai điểm bất kì
được nối với nhau bằng một đoạn thẳng, mỗi đoạn thẳng được tô một
màu xanh, đỏ hoặc vàng. Biết rằng có ít nhất một đoạn màu xanh, một
đoạn màu đỏ và một đoạn màu vàng ; không có điểm nào mà các đoạn
thẳng xuất phát từ đó có đủ cả ba màu và không có tam giác nào tạo bởi
các đoạn thẳng đã nối có ba cạnh cùng màu.
a/ Chứng minh rằng không tồn tại ba đoạn thẳng cùng màu xuất phát từ
cùng một điểm.
11
b/ Hãy cho biết có nhiều nhất bao nhiêu điểm thỏa mãn đề bài.
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 NĂNG KHIẾU
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
* Môn thi : Toán (chuyên) * Thời gian : 150 phút ; * Khóa thi : 2003 -
2004

Câu 1 :
1) Chứng minh rằng : phương trình (a
2
- b
2
)x
2
+ 2(a
2
- b
2
)x + a
2
- b
2
= 0
luôn có nghiệm với mọi a, b.
2) Giải hệ phương trình :
Câu 2 :
1) Với mỗi số nguyên dương n, đặt a
n
= 2
2n + 1
- 2
n + 1
+ 1 ; b
n
= 2
2n + 1
+ 2

n +
1
+ 1. Chứng minh rằng với mọi n, a
n
.b
n
chia hết cho 5 và a
n
+ b
n
không
chia hết cho 5.
2) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích
của chúng bằng tổng của chúng.
Câu 3 : Cho ΔABC vuông tại A, có đường cao AA
1
. Hạ A
1
H vuông góc
với AB, A
1
K vuông govd với AC. Đặt A
1
B = x, A
1
C = y.
1) Gọi r và r’ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp của ABC và AHK.
Hãy tính tỉ số r'/r theo x, y, tìm giá trị lớn nhất của tỉ số đó.
2) Chứng minh rằng tứ giác BHKC nội tiếp trong một đường tròn. Tính
bán kính của đường tròn đó theo x, y.

Câu 4 :
1) Cho đường tròn (C) tâm O và một điểm A khác O nằm trong đường
tròn. Một đường thẳng thay đổi, qua A nhưng không đi qua O cắt (C) tại
M, N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi
qua một điểm cố định khác O.
2) Cho đường tròn (C) tâm O và một đường thẳng (D) nằm ngoài đường
tròn. I là một điểm di động trên (D). Đường tròn đường kính IO cắt (C)
tại M, N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố
định.
Câu 5 :
1) Cho một bảng vuông 4 x 4 ô. Trên các ô của hình vuông này, ban đầu
người ta ghi 9 số 1 và 7 số 0 một cách tùy ý (mỗi ô một số). Với mỗi
phép biến đổi bảng, cho phép chọn một hàng hoặc một cột bất kì và trên
12
hàng hoặc cột được chọn, đổi đồng thời các số 0 thành số 1, các số 1
thành số 0. Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các phép biến đổi như
vậy, ta không thể đưa bảng ban đầu về bảng gồm toàn các số 0.
2) ở vương quốc “Sắc màu kì ảo” có 45 hiệp sĩ : 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15
hiệp sĩ tóc vàng và 17 hiệp sĩ tóc xanh. Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác
nhau mà gặp nhau thì tóc của họ lập tức đổi sang màu tóc thứ ba (ví dụ,
khi hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng thì cả hai đổi sang tóc xanh). Hỏi
có thể xảy ra trường hợp sau một số hữu hạn lần gặp nhau như vậy ở
vương quốc “Sắc màu kì ảo”, tất cả các hiệp sĩ đều có cùng màu tóc
được không ?
ĐỀ THI VÀO LỚP 10
CHUYÊN NGUYỄN TRÃI - HẢI DƯƠNG
* Môn thi : Toán (chuyên) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 -
2004
Bài 1 : (1,5 điểm)
Cho hai số dương a và b. Xét tập hợp T bao gồm các số có dạng :

T = {ax + by, x > 0 ; y > 0 ; x + y = 1}.
Chứng minh rằng các số :
đều thuộc tập T.
Bài 2 : (2,0 điểm)
Cho ΔABC, D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ΔABC với
các cạnh AB, AC. Chứng minh đường phân giác trong của góc B, đường
trung bình (song song với cạnh AB) của ΔABC và đường thẳng DE
đồng quy.
Bài 3 : (2,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình :
2) Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho các số : a + 1/b , b + 1/c , c + 1/a là
các số nguyên dương.
Bài 4 : (1,0 điểm)
Tìm các đa thức f(x) và g(x) với hệ số nguyên sao cho :
13
Bài 5 : (1,5 điểm)
Tìm số nguyên tố p để 4p
2
+ 1 và 6p
2
+ 1 là các số nguyên tố.
Bài 6 : (1,5 điểm)
Cho phương trình x
2
+ ax + b = 0, có hai nghiệm là x
1
và x
2
(x
1

≠ x
2
), đặt
u
n
= (x
1
n
- x
2
n
)/(x
1
- x
2
) (n là số tự nhiên). Tìm giá trị của a và b sao cho
đẳng thức : u
n + 1
u
n + 2
- u
n
u
n + 3
= (-1)
n
với mọi số tự nhiên n,
từ đó => u
n
+ u

n + 1
= u
n + 2
.
ĐỀ THI GIẢI LÊ QUÍ ĐÔN
QUẬN TÂN BÌNH - TP. HỒ CHÍ MINH
* Môn thi : Toán lớp 6 * Thời gian : 90 phút * Khóa thi : 2002 - 2003
Bài 1 : (3 điểm)
Tìm số nguyên x biết :
a) - 1 < 5x/13 < 0
b) 1/(2x - 4) = 2/28
Bài 2 : (3 điểm)
1) Một quả dưa hấu nặng hơn 2/7 khối lượng của nó 2,5 kg. Hỏi quả dưa
hấu đó nặng bao nhiêu kg ?
2) Cho a thuộc Z. Hỏi số x = a/3 + a
2
/3 + a
6
/3 có phải là số nguyên
không ? Vì sao ?
Bài 3 : (4 điểm)
1) Trong hình vẽ sau :
a. Có những tam giác nào có cạnh là EF ?
b. Có tất cả bao nhiêu góc có đỉnh là E, hãy kể ra.
14
c. Nếu biết số đo góc BDC = 60
o
thì tia DE có phải là tia phân giác của
góc EDF không ? Vì sao ?
2) Vẽ hình theo cách diễn đạt sau :

Hãy vẽ 9 điểm là : A, B, C, M, N, P, Q, R, S trong cùng một hình và
phải thỏa mãn tất cả các điều kiện sau đây :
a) A, P, Q thẳng hàng.
b) A, M, N thẳng hàng.
c) R, M, C thẳng hàng.
d) A, P, R thẳng hàng.
e) M, C, S thẳng hàng.
f) A, B, S thẳng hàng.
g) B, C, Q thẳng hàng.
h) B, C, N thẳng hàng.
i) M, N, R không thẳng hàng.
k) B, P, Q không thẳng hàng.
ĐỀ THI GIẢI LƯƠNG THẾ VINH
QUẬN 9 - TP HỒ CHÍ MINH
* Môn thi : Toán lớp 7 * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003
Bài 1 : (5 điểm)
Tìm x biết :
Bài 2 : (3 điểm)
Tính :
a) A = 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + … - 1999 - 2000 + 2001 + 2002 -
2003.
b) B = (1/4 - 1)(1/9 - 1)(1/16 - 1)(1/25 - 1) (1/121 - 1).
Bài 3 : (4 điểm)
a) Tìm a, b, c biết : 2a = 3b, 5b = 7c, 3a + 5c - 7b = 30.
b) Tìm hai số nguyên dương sao cho : tổng, hiệu (số lớn trừ đi số nhỏ),
thương (số lớn chia cho số nhỏ) của hai số đó cộng lại được 38.
Bài 4 : (6 điểm)
15
Cho tam giác ABC vuông cân tại B, có trung tuyến BM. Gọi D là một
điểm bất kì thuộc cạnh AC. Kẻ AH, CK vuông góc với BD (H, K thuộc

đường thẳng BD). Chứng minh :
a) BH = CK.
b) Tam giác MHK vuông cân.
Bài 5 : (2 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A = 20
o
, BC = 2 cm. Trên AB dựng
điểm D sao cho = 10
o
. Tính độ dài AD ?
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
TỈNH NAM ĐỊNH
* Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2002 - 2003
Bài 1 :
Rút gọn biểu thức :
Bài 2 :
Gọi a và b là hai nghiệm của phương trình bậc hai x
2
- x - 1 = 0. Chứng
minh rằng các biểu thức P = a + b + a
3
+ b
3
, Q = a
2
+ b
2
+ a
4
+ b

4
và R =
a
2001
+ b
2001
+ a
2003
+ b
2003
là những số nguyên và chia hết cho 5.
Bài 3 :
Cho hệ phương trình (x, y là các ẩn số) :
a) Giải hệ phương trình với m = 7.
b) Tìm m sao cho hệ phương trình (1) có nghiệm.
Bài 4 :
Cho hai vòng tròn (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc ngoài với nhau tại T. Hai vòng
tròn này nằm trong vòng tròn (C
3
) và tiếp xúc với (C
3
) tương ứng tại M
và N. Tiếp tuyến chung tại T của (C
1
) (C
2

) cắt (C
3
) tại P. PM cắt (C
1
) tại
điểm thứ hai A và MN cắt (C
1
) tại điểm thứ hai B. PN cắt (C
2
) tại điểm
thứ hai D và MN cắt (C
2
) tại điểm thứ hai C.
Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh rằng các đường thẳng AB, CD và PT đồng qui.
Bài 5 :
16
Một ngũ giác có tính chất : Tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên
tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích của ngũ giác
đó.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6
THỊ XÃ HÀ ĐÔNG HÀ TÂY
* Môn thi : Toán * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003
Bài 1 : (5 điểm)
a) Tính :
b) Tìm x biết :
Bài 2 : (3 điểm) So sánh :
Bài 3 : (2 điểm) Chứng minh rằng số là hợp số.
Bài 4 : (4 điểm) Ba bạn Hồng, Lan, Huệ chia nhau một số kẹo đựng trong 6
gói. Gói thứ nhất có 31 chiếc, gói thứ hai có 20 chiếc, gói thứ ba có 19 chiếc,

gói thứ tư có 18 chiếc, gói thứ năm có 16 chiếc, gói thứ sáu có 15 chiếc. Hồng
và Lan đã nhận được 5 gói và số kẹo của hồng gấp hai số kẹo của Lan. Tính
số kẹo nhận được của mỗi bạn.
Bài 5 : (6 điểm) Cho điểm O trên đường thẳng xy, trên một nửa mặt phẳng có
bờ là xy, vẽ tia Oz sao cho góc xOz nhỏ hơn 90
o
.
a) Vẽ các tia Om, On lần lượt là tia phân giác của các góc xOz và zOy .
Tính góc mOn ?
b) Tính số đo các góc nhọn trong hình nếu số đo góc mOy bằng 35
o
.
17
c) Vẽ đường tròn (O ; 2 cm) cắt các tia Ox, Om, Oz, On, Oy lần lượt tại
các điểm A, B, C, D, E. Với các điểm O, A, B, C, D, E kẻ được bao
nhiêu đường thẳng phân biệt đi qua các cặp điểm ? Kể tên những đường
thẳng đó.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
TỈNH THÁI BÌNH
* Môn thi : Toán * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003
Bài 1 : (4 điểm)
Cho dãy : 1, -5, 9, -13, 17, -21, 25, …
1) Tính tổng 2003 số hạng đầu tiên của dãy trên.
2) Viết số hạng tổng quát thứ n của dãy đã cho.
Bài 2 : (4 điểm)
Tìm x thỏa mãn :
1) 2003 - |x - 2003| = x.
2) |2x - 3| + |2x + 4| = 7.
Bài 3 : (3 điểm)
Vẽ đồ thị hàm số sau : y = |1 - |1 - x||.

Bài 4 : (3 điểm)
Tìm các cặp số nguyên (x ; y), sao cho :
2x - 5y + 5xy = 14.
Bài 5 : (6 điểm)
Cho DABC có các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I, các
đường phân giác ngoài của các góc B và C cắt nhau ở K. Gọi E là giao
điểm của các đường thẳng BI và KC.
1) Tính các  BIC,  BEC ,  BKC khi góc A = 60
o
.
2) Tính các  BIC,  BEC,  BKC khi  A = a
o
( 0
o
< a
o
< 180
o
).
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
TỈNH BẮC NINH
* Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2002 - 2003
Bài 1 : (2,5 điểm)
1) Tìm các số tự nhiên x ; y thỏa mãn : x
2
+ 3
y
= 3026.
2) Tìm các số nguyên x ; y thỏa mãn :
18

Bài 2 : (3,5 điểm)
1) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt
đều lớn hơn m : x2 + x + m = 0.
2) Tìm các giá trị của a để phương trình có hai nghiệm phân biệt : 4x.|x|
+ (a - 7)x + 1 = 0.
3) Tìm x thỏa mãn :
Bài 3 : (3 điểm)
Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây AB cố định trương cung 120
o
.
Lấy C thay đổi trên cung lớn AB (C không trùng A và B) ; M trên cung
nhỏ AB (M không trùng A và B). Hạ ME, MF thứ tự vuông góc với AC
và BC.
1) Cho M cố định, hãy chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định khi C
thay đổi.
2) Cho M cố định, hãy chứng minh giá trị không thay đổi khi C thay đổi.
3) Khi M thay đổi, hạ MK vuông góc với AB. Hãy xác định vị trí của M
sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4 : (1 điểm)
Cho tam giác đều ABC. Lấy điểm M ngoài tam giác sao cho MA = ;
MB = 2 (cùng đơn vị đo độ dài với cạnh tam giác) ; góc AMC = 15
o
(tia
CM nằm giữa hai tia CA và CB). Tính độ dài CM và số đo góc BMC.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
TINH BẮC GIANG
* Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2002 - 2003
Câu 1 : (4 điểm)
a) Tìm phân số tối giản lớn nhất mà khi chia các phân số cho
phân số ấy ta được kết quả là các số tự nhiên.

b) Cho a là một số nguyên có dạng : a = 3b + 7. Hỏi a có thể nhận những
giá trị nào trong các giá trị sau ? Tại sao ? a = 11 ; a = 2002 ; a = 2003 ;
a = 11570 ; a = 22789 ; a = 29563 ; a = 299537.
Câu 2 : (6 điểm)
1) Cho : A = 1 - 2 + 3 - 4 + + 99 - 100.
a) Tính A.
b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?
19
c) A có bao nhiêu ước tự nhiên ? Bao nhiêu ước nguyên ?
2) Cho A = 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ + 2
2001
+ 2
2002
và B = 2
2003
. So sánh A
và B.
3) Tìm số nguyên tố P để P + 6 ; P + 8 ; P + 12 ; P + 14 đều là các số
nguyên tố.
Câu 3 : (4 điểm)
Có 3 bình, nếu đổ đầy nước vào bình thứ nhất rồi rót hết lượng nước đó
vào 2 bình còn lại, ta thấy : Nếu bình thứ hai đầy thì bình thứ ba chỉ
được 1/3 dung tích. Nếu bình thứ ba đầy thì bình thứ hai chỉ được 1/2
dung tích. Tính dung tích của mỗi bình, biết rằng tổng dung tích ba bình

là 180 lít.
Câu 4 : (4 điểm)
Cho tam giác ABC có BC = 5,5 cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB
sao cho CM = 3 cm.
a) Tính độ dài BM.
b) Biết  BAM = 80
0
,  BAC = 60
0

c) Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1 cm.
Câu 5 : (2 điểm)
Cho a = 1 + 2 + 3 + + n và b = 2n + 1 (với n thuộc N, n > 1).
Chứng minh : a và b là hai số nguyên tố cùng nhau.
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
TRUNG HỌC CƠ SỞ
TP. HỒ CHÍ MINH
* Môn thi : Toán * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003
I. Lí thuyết : (2 điểm)
Chọn một trong hai câu sau :
1) Phát biểu định nghĩa phương trình bậc nhất hai ẩn số.
áp dụng : Viết công thức nghiệm tổng quát của các phương trình sau :
a) 3x - y = 2
b) 2x + 0y = 6
20
2) Phát biểu và chứng minh định lí về sự liên hệ giữa số đo góc nội tiếp
trong một đường tròn với số đo của cung bị chắn (chỉ chứng minh
trường hợp tâm của đường tròn nằm trên một cạnh của góc nội tiếp).
II. Các bài toán : (8 điểm)
Bắt buộc

Bài 1 : (1 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình :
a) 4x4 - 5x2 - 9 = 0
b)
Bài 2 : (1,5 điểm)
Vẽ đồ thị hàm số : y = - x
2
/4 (P) và đường thẳng (D) : y = 2x + 3 trên
cùng một hệ trục tọa độ. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) bằng
phép tính.
Bài 3 : (1 điểm)

Tuổi nghề của 25 công nhân được cho như sau :
7 2 5 9 7 4 3 8 10 4
2 4 4 5 6 7 7 5 4 1
9 4 14 2 8
Hãy sắp xếp số liệu đó dưới dạng bảng phân phối thực nghiệm gồm 3
cột : giá trị biến lượng, tần số, tần suất.
Bài 4 : (1 điểm)
Thu gọn các biểu thức sau :
Bài 5 : (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O) có bán kính R và một điểm S ở ngoài đường tròn
(O). Từ S vẽ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O) (A, B là hai tiếp
điểm). Vẽ đường thẳng a đi qua S cắt đường tròn (O) tại hai điểm M, N
với M nằm giữa hai điểm S và N (đường thẳng a không đi qua tâm O).
a) Chứng minh SO vuông góc với AB.
21
b) Gọi H là giao điểm của SO và AB, gọi I là trung điểm của MN. Hai
đường thẳng OI và AB cắt nhau tại điểm E. Chứng minh IHSE là một tứ
giác nội tiếp.

c) Chứng minh OI.OE = R
2
.
d) Cho biết SO = 2R và MN = Tính diện tích tam giác ESM theo R.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
THỊ XÃ HÀ ĐÔNG, HÀ TÂY
* Môn thi : Toán * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003
Bài 1 : (5 điểm)
Thực hiện phép tính :
Bài 2 : (3 điểm)
a) Cho a/b = c/d , chứng minh rằng : ab/cd = (a + b)
2
/(c + d)
2

b) Tìm số có 3 chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của
nó tỉ lệ với 1 ; 2 ; 3.
Bài 3 : (5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức : A = |x - 1| + |x - 2| ; (x thuộc Q)
b) Tìm giá trị nguyên của y để biểu thức B = (42 - y)/(y - 15) có giá trị
nguyên nhỏ nhất.
Bài 4 : (5 điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B
và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D.
a) Chứng minh rằng : BE = CD và AD = AE.
b) Gọi I là giao điểm của BE và CD, AI cắt BC ở M. Chứng minh rằng
các tam giác MAB, MAC là các tam giác cân.
c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường này cắt
BC lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng : KH = KC.
Bài 5 : (2 điểm)

Cho DABC có AB > AC và  A = α . Đường thẳng đi qua A vuông góc
với phân giác góc A cắt đường thẳng BC tại M sao cho BM = BA + AC.
Tính số đo  B và  C ?
22
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 BC ĐH SƯ PHẠM TP. HẢI PHÒNG
* Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004
Bài 1 : (2 điểm) Cho hệ phương trình :
1) Giải hệ phương trình (1) khi a = 2.
2) Với giá trị nào của a thì hệ (1) có nghiệm duy nhất.
Bài 2 : (2 điểm)
Cho biểu thức :
với x > 0 và x ≠ 1.
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Chứng minh rằng 0 < A < 2.
Bài 3 : (2 điểm)
Cho phương trình : (m - 1)x
2
+ 2mx + m - 2 = 0. (*)
1) Giải phương trình (*) khi m = 1.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm phân
biệt.
Bài 4 : (3 điểm)
Từ điểm M ngoài đường tròn tâm O bán kính R vẽ hai tiếp tuyến MA,
MB (A, B là tiếp điểm) và một đường thẳng qua M cắt đường tròn tại C
và D. Goi I là trung điểm của CD. Goi E, F, K lần lượt là giao của đường
thẳng AB với các đường thẳng MO, MD, OI.
1) Chứng minh rằng R
2
= OE.OM = OI.OK.
2) Chứng minh rằng 5 điểm M, A, B, O, I cùng thuộc một đường tròn.

3) Khi cung CAD nhỏ hơn cung CBD. Chứng minh rằng số đo góc DEC
bằng 2 lần góc DBC.
Bài 5 : (2 điểm)
Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1.
Chứng minh rằng : 3/(xy + yz + zx) + 2/( x
2
+ y
2
+ z
2
) > 14.
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
TRUNG HỌC CƠ SỞ
THÀNH PHỐ HÀ NỘI
23
* Môn : Toán * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003
A. Lí thuyết (2 điểm)
Thí sinh chọn một trong hai đề sau :
Đề 1. Phát biểu và viết dạng tổng quát của quy tắc khai phương một tích.
áp dụng tính :
Đề 2. Định nghĩa đường tròn. Chứng minh rằng đường kính là dây cung
lớn nhất của đường tròn.
B. Bài tập bắt buộc (8 điểm)
Bài 1 : (2,5 điểm)
Cho biểu thức :
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị của x để P = -1.
c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có :
Bài 2 : (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình :
Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất

định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt
mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức
120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch ?
Bài 3 : (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O), một đường kính AB cố định, một điểm I nằm giữa
A và O sao cho AI = 2/3AO . Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C
là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN, sao cho C không trùng với M, N và B.
Nối AC cắt MN tại E.
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong đường tròn.
b) Chứng minh ΔAME đồng dạng với ΔACM và AM
2
= AE.AC.
c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI
2
.
d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
24
* Môn : Toán * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004
Bài 1 : (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = 3/2.x
2

1) Hãy tính :
2) Các điểm :
có thuộc đồ thị của hàm số không ?
Bài 2 : (2,5 điểm)
Giải các phương trình :
1) 1/(x - 4) + 1/(x + 4) = 1/3

2) (2x - 1)(x + 4) = (x + 1)(x - 4)
Bài 3 : (1,0 điểm)
Cho phương trình 2x
2
- 5x + 1 = 0.
Tính :
(x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình).
Bài 4 : (3,5 điểm)
Cho hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung
với hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) về phía nửa mặt phẳng bờ O
1
O
2
chứa
điểm B, có tiếp điểm thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với
EF cắt đường tròn (O
1
), (O

2
) thứ tự tại C, D. Đường thẳng CE và đường
thẳng DF cắt nhau tại I.
1) Chứng minh IA vuông góc với CD.
2) Chứng minh tứ giác IEBF là tứ giác nội tiếp.
3) Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của EF.
Bài 5 : (1,0 điểm)
Tìm số nguyên m để:
là số hữu tỉ.
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THCS
TỈNH BẮC GIANG
* Môn thi : Toán * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003
A. Lí thuyết : (2 điểm) Thí sinh chọn một trong hai đề sau :
Đề 1 : Nêu quy tắc nhân các căn thức bậc hai.
25