De thi khao sat cuoi nam

Phòng gd -đt gia bình Đề thi khảo sát đội tuyển lần Iii
Trờng thcs lê văn thịnh

Môn : Toán 9
( Thời gian : 150 phút - Không kể giao đề)

Ngày. tháng 1 năm 2010
Bài1: ( 5 điểm). Giải phơng trình và hệ phơng trình sau:
a)
( )
3
3
2
1 1
x x
x
x
x x



+ =
ữ
+ +

b)
3
3
3 8
3 8
x x y

y y x

= +


= +


Bài 2: ( 4 điểm): Cho phơng trình
2
0ax bx c+ + =
( a và b khác 0).
a) Chứng minh rằng: nếu a, b. c là các số nguyên lẻ thì phơng trình bậc 2 trên
không có nghiệm hữu tỉ.
b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phơng trình bậc 2 trên có hai nghiệm
phân biệt mà nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia là :
2
3 16 0b ac =
.
Bài 3( 4 điểm):
a) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn hệ thức:
2 2 2
0
14
a b c
a b c
+ + =


+ + =

Tính giá trị biểu thức
4 4 4
1P a b c= + + +
.
b) Cho a,b là các số thực dơng. Chứng minh rằng:

( )
2
2 2
2
a b
a b a b b a
+
+ + +
.
Bài 4(5,5 điểm): Cho 3 điểm A,B,C cố định, theo thứ tự đó và cùng nằm trên một đờng
thẳng. Vẽ đờng tròn có tâm 0 thay đổi luôn đi qua B,C. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AE, AF
tới đờng tròn tâm 0 ( E,F là hai tiếp điểm ). Gọi I là trung điểm của BC, N là trung điểm
của EF.
a) Chứng minh rằng E,F luôn nằm trên một đờng tròn cố định.
b) Đờng thẳng FI cắt đờng tròn tâm 0 tại M ( M khác F). Chứng minh rằng EM
song song AB.
c) Chứng minh rằng: tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác NOI luôn nằm trên một đ-
ờng thẳng cố định.
Bài 5( 1,5 điểm ). Cho xy>0, thỏa mãn đẳng thức:
( )
( )
3 3 2 2
3 4 4 0x y x y x y+ + + + + + =

.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1 1
P
x y
= +
.
Hết
Đáp án và thang điểm
Bài ý Nội dung Điể
m
1
(5 điểm)
a
2 điểm
Đặt ẩn phụ:
3
1
x
a x
x

= +
+
và
( )
3
1
x x
b

x

=
+
với điều kiện x khác -1
Ta có hệ:
3
2
a b
ab
+ =


=

, từ đó (a=1, b=2) hoặc (a=2; b=1)
Giải hai trờng hợp trên ta đợc đáp số: x=1
Thử lại thấy x=1 thỏa mãn phơng trình
1đ
1đ
b( 3
điểm )
trừ vế ta đợc:
( )
( )
2 2
5 0x y x y xy + + + =
+) x=y suy ra phơng trình:
3
11 0x x =

suy ra
0; 11y x= =
khi đó y=0 hoặc
11y =
.
+)
2 2
5x y xy+ + +
>0 mọi x,y.
Kết luận phơng trình đã cho có 5 nghiệm: (0;0),
( ) ( ) ( ) ( )
11; 11 , 11; 11 , 11; 11 , 11; 11
1đ
0,5
1
0,5
2
( 4điểm)
a(2
điểm)
a,b,c nguyên lẻ, a,b khác 0, ta sẽ chứng minh

không thể là
số chính phơng.
Xét
2
4b ac =
+) b
2
là số chính phơng lẻ khi chia cho 8 d là 1( Cần có

c/minh)
+) a và c nguyên lẻ chia 8 d 4( Cần có c/minh)
+)
2
4b ac =
chia 8 d 1-4=-3 hay d là 5
+) Số chính phơng khi chia 8 d là 0;1;4( Cần có c/minh)
+) mâu thuẫn
Vậy phơng trình bậc hai với a,b,c nguyên lẻ không có nghiệm
hữu tỉ
0,5
0,5
0,5
0,5
b( 2
điểm )
*) Điều kiện cần:
2
4b ac =
>0 và x
1
=3x
2
hoặc x
2
=3x
1
+) Suy ra (x
1
-3x

2
)(x
2
-3x
1
)=0
+) Theo vi ét:
1 2
1 2
b
x x
a
c
x x
a


+ =




=


+) Ta thay vào và biến đổi đợc kết quả 3b
2
-16ac=0
*) Điều kiện đủ: Nếu 3b
2

-16ac=0 suy ra:
2
3
4
4
b
ac =
>0
Xét
2
4b ac =
=
2
4
b
>0 ( vì bkhác 0)
+) Ta tìm đợc
1 2
3
;
4 4
b b
x x
a a

= =
+) nh vậy phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài
0,5
0,5
0,5

0,5
Bài 3
4 điểm
a
2 điểm
+) Từ gt tìm đợc: ab+bc+ca=-7
+) Bình phơng (a
2
b
2
+b
2
c
2
+c
2
a
2
)
2
=49
+)Suy ra
( )
4 4 4 2 2 2 2 2 2
2 196a b c a b b c c a+ + + + + + =
+)
4 4 4
1 98 1 99P a b c= + + + = + =
b)2 điểm
+) Từ bđt ta có:

( )
( )
1
2
2
a b a b ab a b

+ + + +


+ Ta chứng minh:
2a b ab+
+) Ta chứng minh:
1 1 1
;( ) ( ) 0
2 4 4
a b a b a a b b+ + + + + +
+) chỉ ra dấu bằng khi a=b=1/2
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài
4
( 5,5
điểm)
Vẽ hình
ghi GT,
KL 0,5đ
E

M
B C
A
a(2điểm)
+) Chứng minh: AE
2
=AF
2
=AB.AC không đổi
+) Suy ra E,F cùng nằm trên đờn tròn tâm A, bán kính
.AB AC
1
1
b( 2
điểm)
+) 5 điểm A,E,F,I,0 cùng nằm trên đờng tròn
+) Góc AEF bằng góc EMF ( cùng chắn cung EF), góc AIF
bằng góc AEF ( cùng chắn cung AF), suy ra hai góc bằng
nhau
+) Suy ra góc EMF bằng góc AIF
+ Suy ra hai góc này bằng nhau ở vị trí đồng vị, nên hai đờng
thẳng song song
0,5
0,5
0,5
0,5
c)2
điểm)
+) Gọi giao của EF và AC là P, chứng minh điẻm P cố định
+) Gọi J là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác NOI, chính là

đờng tròn ngoại tiếp tứ giác NOIP, thì I thuộc đờng trung trực
của PI cố định
1
1
Bài
5
( 1,5
điểm)
1,5 điểm
+) Thực hiện biến đổi phá ngoặc, ghép thành hằng đẳng thức:
( ) ( ) ( )
3 3
1 1 2 0x y x y+ + + + + + =
+) Suy ra x+y=-2
+) Biến đổi P đợc:
1 1 2x y
P
x y xy xy
+
= + = =
+) lập luận: P lớn nhất thì (2/xy) nhỏ nhất, tơng đơng xy lớn
nhất. mà
( )
2
4x y xy+
dấu bằng xảy ra khi x=y. Từ đó xy lớn
nhất bằng 1 khi x=y=-1
+) Vậy P lớn nhất bằng -2 khi x=y=-1
0,5
0,5

0,
* HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tơng ứng
F
0
I