ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG MÔN TOÁN THPT NGA SƠN pptx

TRƯỜNG THPT NGA SƠN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI (LẦN I)
Môn thi: Toán ;năm học 2010 – 2011
(Đề gồm 01 trang) Thời gian làm bài 180 phút

Bài 1: (6 điểm) Cho hàm số mxmxxy 
223
3 .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với
0

m
.
b) Tìm a để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
2323
33 aaxx  .
c) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng
2
5
2
1
:)(  xy .

Bài 2: (4 điểm)
a) Giải phương trình: xxxx cos2sin5cos2sin6
3
 .
b) Giải hệ phương trình:








034
02
2224
2
yxyxx
yxxyx
.
Bài 3: (4 điểm)
a) Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ có A’ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy
AB = a, cạnh bên AA’ = b. Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC). Tính

tan
và thể
tích khối chópA’BB’C’C.
b)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề các vuông góc OXY tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
cân tại A. Biết phương trình cạnh BC: 02



yx .đường phân giác trong của góc B có
phương trình 092




yx ,và đường cao qua điểm A của tam giác có phương trình 04



yx .
Bài 4: (4 điểm)
a) Từ các số tự nhiên, lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau. Trong đó nhất thiết phải
có mặt hai chữ số 1 và 9.
b) Cho hàm số:
2
26
2



x
xmx
y .
Tìm m để hàm số nghịch biến trên


;0 .
Bài 5: (2 điểm) Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn
9




cba
.
Chứng minh rằng: 3
222
222222






ca
ac
bc
cb
ab
ba
.



HẾT


Họ và tên thí sinh dự thi:……………………………………………

TRƯỜNG THPT NGA SƠN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LẦN I NĂM HỌC 2009 –
2010
Môn: TOÁN
(Đáp án – Thang điểm gồm 04 trang)
Câu Nội dung Đi
ểm
I Ý


1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (2,00 điểm)




 Tập xác định:D = R
 Sự biến thiên:
2;00',63'
2
 xxyxxy
Giới hạn của hàm số tại vô cực:

 xx
yy lim,lim
Bảng biến thiên:

x -

0 2 +


y’ + 0 - 0 +


y


0 +




-

-4

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-

;0) và (2;+

), nghịch biến trên khoảng (0;2)
Hàm số đạt cực đại 0
CD
y tại x = 0, hàm số đạt cực tiểu 4
CT
y tại x = 2

 Đồ thị:
y

-1 0 2 3
x






-4





0,5







0,5





0,5

0,5

2 Xác đ
ịnh m …. (2,00 điểm)

3
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
23
3xxy  và đường thẳng
23
3aay  .
Để pt có 3 nghiệm 034
23
 aa
 

2;0\)3;1(
0)2)(1(
0)3(
2
2








 a
aa
aa

…….(2,00 điểm)



1


1



Ta có m
m

x
m
xyy 
3
)2
3
2
()
3
1
3
1
('
22
.
y’ = 0 có hai nghiệm x
1;
x
2
3 m và pt đường thẳng cực trị y = m
m
x
m

3
)2
3
2
(
22

(d)
Các điểm cực trị




1 1 2 2
, , ,
A x y B x y
đối xứng nhau qua
 
5
1
:
2 2
y x
  

 (d)  () tại trung điểm I của AB (*) . Ta có
1 2
1
2
I
x x
x

 
suy ra
(*) 
 

 
 
2
2
2
2 1
3 1
0
3 2
0
52 1
1 0
3 1 1
3 3 2 2
m
m
m
m
m m
m m

   



 
  
 
 
 


      


.

0,5


0,5

0,5

0,5


0,5

II
1 Giải phương trình lượng giác (2,00 điểm)
+ Với cosx = 0 pt vô nghiệm.
+ Với cosx

0 pt đã cho 0)1tan3tan3)(1(tan
2
 xxx
Zkkxx  ;
4
1tan





1

1

2 Giải hệ phương trình (2,00 điểm)


Hệ pt đã cho








0)21(3)(
0)21(
222
2
yxyx
yxyx

Đặt yvyxu 21;
2

Khi đó hệ pt trở thành












0)3(03
0
2222
vvx
xvu
vxu
xvu

















xu
v
u
v
u
x
3
3
;
0
0
;
0
0

Hệ pt có nghiệm: (0;0) ; (1;2) ; (2;2).


0,5

0,5

0,5

0,5

III ……. (4,00 điểm)
a














B’
Gọi H là tâm của tam giác ABC )(ABCAH


M là trung điểm của BC

Ta có
a
ab
HM
HA
22
32'

tan




A’ C’


3
'
2
2
a
bHA  B


M

H
A C


0,5

0,5

b


12
3
.'
3
1
222
'
aba

SHAV
ABCABCA




V
trụ
=
4
3
.'
222
aba
SHA
ABC

 , suy ra thể tích A’BB’C' là:



6
3
222
'
aba
VVV
BCAtru



Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ pt
)5;7(
5
7
092
02
B
y
x
yx
yx













A
Lấy điểm M(2;0)

BC
Gọi M’ đối xứng với M qua đường phân giác góc B

Suy ra M’(6;-2)

AB
Suy ra pt AB: 7x - y - 44 = 0
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ pt
)2;6(
2
6
0447
04












A
y
x
yx
yx
B H C

Gọi H là hình chiếu của A lên BC, suy ra tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt:

)1;3(
1
3
02
04
H
y
x
yx
yx













Ta thấy H là trung điểm của BC, suy ra tọa độ điểm C(-1;-3).


0,5

0,5





0,5



0,5



0,5




0,5

IV

a






b
Gọi số gồm 6 chữ số khác nhau là: abcdef
+ 1 và 9 xếp vào 6 vị trí từ a đến f có
2
6
A cách chọn.
+


8;7;6;5;4;3;2a có 7 cách chọn sau khi xếp số 1 và 9.

+ Còn lại 7 số sắp xếp vào 3 vị trí có
3
7
A cách chọn.
Suy ra có 7.
2
6
A .
3
7
A = 44100 số.

TXD: D =


2\ R ;
2
2
)2(
144
'



x
mxmx
y
.



 ;0,0' xy


 ;0,0144)(
2
xmxmxxf
+ Với m = 0 không thỏa mãn.
+ Với m

0 ta xét hai trường hợp:


1


1



0,5



0,5

V
TH1:











0
0144
0
0
2
m
mm
m
( vô nghiệm).

TH2:























0/14
04
0
0144
0
0

0
0
2
m
m
mm
P
S
m
(vô nghiệm)


… (2điểm)
0,5



0,5


VT =
222222
212121
cabcab

Ta có:
+
3
2
22222

311121
ba
aabab

đẳng thức xảy ra khi a = b.

+
ab
ba
2
31
3 2

 đẳng thức xảy ra khi a = b.
+ VT )
2
1
2
1
2
1
(33
c
a
b
c
a
b






 3
3
3
3
1
327 


c
b
a
(đpcm)
Dấu bằng đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3.







0,5



0,5

0,5


0,5