Phần chung cho tất cả thí sinh(7,0 điểm)
Câu I ( 2,0 điểm): Cho hàm số
2 4
1
x
y
x
=
+
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đờng thẳng MN biết M(-3; 0) và N(-1; -1).
Câu II (2,0 điểm):
1. Giải phơng trình:
2
2
1 3 2
1 3
x x
x x
= + +
+ +
2. Giải phơng trình:
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + +
Câu III (1,0 điểm): Tính tích phân:
2
1
ln
ln
1 ln
e
x
I x dx
x x
= +
ữ
+
Câu IV (1,0 điểm): Cho hai hình chóp S.ABCD và S.ABCD có chung đáy là hình vuông ABCD cạnh a.
Hai đỉnh S và S nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng (ABCD), có hình chiếu vuông góc lên đáy lần
lợt là trung điểm H của AD và trung điểm K của BC. Tính thể tích phần chung của hai hình chóp, biết
rằng SH = SK =h.
Câu V(1,0 điểm): Cho x, y, z là những số dơng thoả mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
9 9 9 9 9 9
6 3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6
x y y z z x
P
x x y y y y z z z z x x
+ + +
= + +
+ + + + + +
phần riêng(3,0 điểm)
Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần(phần A hoặc phần B)
A. Theo chơng trình chuẩn.
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đờng tròn (C) có phơng trình:
2 2
4 3 4 0x y x+ + =
.
Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phơng trình đờng tròn (C), bán kính R = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đờng thẳng d có phơng
trình
2 3
2 (t R)
4 2
x t
y t
z t
= +
=
= +
. Tìm trên d những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là nhỏ nhất.
Câu VII.a (1,0 điểm): Giải phơng trình trong tập số phức:
2
0z z+ =
B. Theo chơng trình nâng cao.
Câu VI.b (2,0 điểm):
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đờng chéo BD:
x- 7y +14 = 0 và đờng chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.
2. Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz, cho hai đờng thẳng:
2 1 0 3 3 0
( ) ; ( ')
1 0 2 1 0
x y x y z
x y z x y
+ + = + + =
+ = + =
.Chứng minh rằng hai đờng thẳng (
) và (
'
) cắt nhau.
Viết phơng trình chính tắc của cặp đờng thẳng phân giác của các góc tạo bởi (
) và (
'
).
Câu VII.b (1,0 điểm): Giải hệ phơng trình:
2 2 2
3 3 3
log 3 log log
log 12 log log
x y y x
x x y y
+ = +
+ = +
.
đề thi thử đại học năm 2010
Môn: Toán Khối: A
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Tr!ờng thpt l!ơng ngọc quyến- TP. Thái nguyên
Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
đáp án, thang điểm thi thử đại học năm 2010 môn Toán khối A
Câu Nội dung
Điểm
I. Phần chung cho tất cả thí sinh(7,0 điểm)
CâuI
2.0
1. TXĐ: D = R\{-1}
Chiều biến thiên:
2
6
' 0 x D
( 1)
y
x
= >
+
=> hs đồng biến trên mỗi khoảng
( ; 1)
và
( 1; ) +
, hs không có cực trị
0.25
Giới hạn:
1 1
lim 2, lim , lim
x
x x
y y y
+
= = + =
=> Đồ thị hs có tiệm cận đứng x= -1, tiệm cận ngang y = 2
BBT
x -
-1 +
y + +
y
+
2
2 -
0,25
0.25
+ Đồ thị (C):
Đồ thị cắt trục hoành tại điểm
( )
2;0
, trục tung tại điểm (0;-4)
f(x)=(2x-4)/(x +1)
f(x)=2
x(t)=-1 , y(t ) =t
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
Đồ thị nhận giao điểm 2 đờng tiệm cận làm tâm đối xứng
0.25
2. Gọi 2 điểm cần tìm là A, B có
6 6
;2 ; ; 2 ; , 1
1 1
A a B b a b
a b
ữ ữ
+ +
0.25
Trung điểm I của AB: I
2 2
;
2 1 1
a b a b
a b
+
+
ữ
+ +
Pt đờng thẳng MN: x + 2y +3= 0
0.25
Có :
. 0AB MN
I MN
=
uuur uuuur
0.25
=>
0 (0; 4)
2 (2;0)
a A
b B
=
=>
=
0,25
CâuII
2.0
2
1. TX§: x
[ ]
1;3∈ −
0,25
§Æt t=
1 3 , t > 0x x+ + −
=>
2
2
4
3 2
2
t
x x
−
+ − =
0,25
®c pt: t
3
- 2t - 4 = 0 t=2
0,25
Víi t = 2
1
1 3 =2 ( / )
3
x
x x t m
x
= −
+ + − ⇔
=
0,25
2.
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + +
1,0
TX§: D =R
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + +
[ ]
sin 0
(sin ). 2 2(sin ) sin . 0
2 2(sin ) sin . 0
x cosx
x cosx x cosx x cosx
x cosx x cosx
− =
⇔ − + + + = ⇔
+ + + =
0,25
+ Víi
sin 0 ( )
4
x cosx x k k Z
π
π
− = ⇔ = + ∈
0,25
+ Víi
2 2(sin ) sin . 0x cosx x cosx+ + + =
, ®Æt t =
sin (t 2; 2 )x cosx
+ ∈ −
®îc pt : t
2
+ 4t +3 = 0
1
3( )
t
t loai
= −
⇔
= −
0.25
t = -1
2
( )
2
2
x m
m Z
x m
π π
π
π
= +
⇒ ∈
= − +
VËy :
( )
4
2 ( )
2
2
x k k Z
x m m Z
x m
π
π
π π
π
π
= + ∈
= + ∈
= − +
0,25
C©u III
2
1
ln
ln
1 ln
e
x
I x dx
x x
= +
÷
+
∫
1,0
I
1
=
1
ln
1 ln
e
x
dx
x x
+
∫
, §Æt t =
1 ln x+
, TÝnh ®… îc I
1
=
4 2 2
3 3
−
0,5
( )
2
2
1
ln
e
I x dx=
∫
, lÊy tÝch ph©n tõng phÇn 2 lÇn ®îc I
2
= e - 2
0,25
I = I
1
+ I
2
=
2 2 2
3 3
e − −
0,25
C©u IV
1,0
M
N
A
B
D
C
S
S'
H
K
SABS’ vµ SDCS’ lµ h×nh b×nh hµnh => M, N lµ trung ®iÓm SB, S’D :
. .S ABCD S AMND
V V V= −
3
0,25
. . .S AMND S AMD S MND
V V V= +
;
. .
. .
1 1
; . ;
2 4
S AMD S MND
S ABD S BCD
V V
SM SM SN
V SB V SB SC
= = = =
0.25
. . .
1
2
S ABD S ACD S ABCD
V V V= =
;
. . .
3 5
8 8
S AMND S ABCD S ABCD
V V V V= =
0.25
2
5
24
V a h =
0.25
CâuV
Có x, y, z >0, Đặt : a = x
3
, b = y
3
, c = z
3
(a, b, c >0 ; abc=1)đc :
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b b c c a
P
a ab b b bc c c ca a
+ + +
= + +
+ + + + + +
0.25
3 3 2 2
2 2 2 2
( )
a b a ab b
a b
a ab b a ab b
+ +
= +
+ + + +
mà
2 2
2 2
1
3
a ab b
a ab b
+
+ +
(Biến đổi tơng đơng)
2 2
2 2
1
( ) ( )
3
a ab b
a b a b
a ab b
+
=> + +
+ +
0.25
Tơng tự:
3 3 3 3
2 2 2 2
1 1
( ); ( )
3 3
b c c a
b c c a
b bc c c ca a
+ +
+ +
+ + + +
=>
3
2
( ) 2. 2
3
P a b c abc + + =
(BĐT Côsi)
0.25
=> P
2, 2 khi a = b = c = 1 x = y = z = 1P =
Vậy: minP = 2 khi x = y =z =1
0.25
II. phần riêng(3,0 điểm)
A. Chơng trình chuẩn
CâuVI.a
2.0
1. A(0;2), I(-2
3
;0), R= 4, gọi (C) có tâm I
0,25
Pt đờng thẳng IA :
2 3
2 2
x t
y t
=
= +
,
'I IA
=> I(
2 3 ; 2 2t t +
),
0,25
1
2 ' '( 3;3)
2
AI I A t I= = =>
uur uuur
0,25
(C):
( )
( )
2
2
3 3 4x y + =
0.25
2. M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t)
d
, AB//d.
0.25
Gọi A đối xứng với A qua d => MA= MA => MA+ MB = MA + MB
AB
(MA+ MB)
min
= AB, khi A, M, B thẳng hàng => MA = MA = MB
0.25
0,25
MA=MB <=> M(2 ; 0 ; 4)
0,25
CâuVII.a
1.0
z = x + iy (
,x y R
), z
2
+
2 2 2 2
0 2 0z x y x y xyi= + + + =
0,25
2 2 2 2
2 0
0
xy
x y x y
=
+ + =
0,25
4
0
0
0
1
0
1
x
y
x
y
x
y
=
=
=
=
=
=
0,25
Vậy: z = 0, z = i, z = - i
0,25
B. Chơng trình nâng cao
Câu
VI.b
2.0
1.
(7;3)BD AB B =
, pt đg thẳng BC: 2x + y 17 = 0
(2 1; ), ( ;17 2 ), 3, 7A AB A a a C BC C c c a c +
,
I =
2 1 2 17
;
2 2
a c a c+ + +
ữ
là trung điểm của AC, BD.
0,25
I
3 18 0 3 18 (6 35;3 18)BD c a a c A c c = =
0,25
M, A, C thẳng hàng
,MA MC
uuur uuuur
cùng phơng => c
2
13c +42 =0
7( )
6
c loai
c
=
=
0,25
c = 6 =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3)
0.25
2.
Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất, (
)
(
'
) = A
1 3
;0;
2 2
ữ
0.5
(0; 1;0) ( )M
, Lấy N
( ')
, sao cho: AM = AN => N
AMN
cân tại A, lấy I là trung điểm MN => đờng phân giác của các góc tạo bởi (
) và (
'
) chính là đg thẳng AI
0.25
Đáp số:
1 2
1 3 1 3
2 2 2 2
( ) : ;( ) :
1 1 2 2 3 5 1 1 2 2 3 5
14 30 14 30 14 30 14 30 14 30 14 30
x z x z
y y
d d
+ +
= = = =
+ + +
0,25
Câu
VII.b
TXĐ:
0
0
x
y
>
>
0.25
2 2 2
3 3 3
log 3 log log
3 . 2 .
log 12 log log
12 . 3 .
x y
x y
x y y x
y x
x x y y
x y
+ = +
=
+ = +
=
0.25
2
3 . 2 .
x y
y x
y x
=
=
0.25
4
3
4
3
log 2
2log 2
x
y
=
=
(t/m TXĐ)
0,25
(Học sinh giải đúng nhng không theo cách nh trong đáp án, gv vẫn cho điểm tối đa tơng ứng
nh trong đáp án ).
5
