PPTỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - 5 CHỦ ĐỀ VỀ ĐƯỜNG THẲNG

HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Chủ đề 1. Lập phương trình đường thẳng d qua A vuông góc với hai
đường thẳng d
1
và d
2
cho trước.
Cách giải.
Cách 1. d là giao của hai mặt phẳng (P) và (Q). Trong đó (P) là mặt phẳng
qua A vuông góc với d
1
. (Q) là mặt phẳng qua A vuông góc với d
2
.
Cách 2. Gọi
1 2
; ;
u u u
uur uur uur
lần lượt là véc tơ chỉ phương của d; d
1
; d
2
. Thế thì
1 2
,
u u u
 
=
 

uur uur uur
. Từ đó suy ra phương trình tham số của d.
Bài 1. Lập phương trình đường thẳng d qua A(2; 0; -3) và vuông góc với hai
đường thẳng d
1
và d
2
có phương trình.





+−=
+=
−=





+−=
−=
+=
tz
ty
tx
tz
ty
tx

dd
112
53
13
:
41
1
:
21
Bài 2. Lập phương trình đường thẳng d qua A(0; 1; 1) và vuông góc với hai
đường thẳng





−=
−=
−=
=
+
=
−
tz
ty
x
z
yx
dd
1

1
:,
1
1
8
1
:
21
Bài 3. Lập phương trình đường thẳng d qua A(1; 1; 0) và vuông góc với hai
đường d
1
và d
2
.
d
1
:
1 2
1 3
1 1
: , : 2
8 1
x t
x y
z y t
z t
d d
= +

− +


= = = − +


=

Bài 4. Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(1; 1; -2), song song với mặt
phẳng (P): x – y – z – 1 = 0 và vuông góc với đường thẳng
3
2
1
1
2
1
:
−
=
−
=
+
∆
zyx
Chủ đề 2. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc
với đường thẳng d
1
và cắt đường thẳng d
2
.
Cách giải.
Cách 1. Giả sử d là đường thẳng cần tìm. Khi đó d chính là giao tuyến của

hai mặt phẳng (P) và (Q).
Trong đó (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với d
1
. (Q) là mặt phẳng qua A
và chứa d
2
.
Cách 2. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuong góc với d
1
. Gọi B là giao của
(P) và d
2
. Khi đó đường thẳng d chính là đường thẳng AB
Cách 3. Giả sử B là giao của d và d
2
thế thì tọa độ của B phải thỏa mãn d
2
.
Vì d vuông góc với d=
1
nên véc tơ chỉ phương của

d1 vuông góc với
AB
uuur
. Từ
đó suy ra tọa độ điểm B. Phương trình đường thẳng d chính là AB
Bài 1. Lập phương trình đường thẳng d đi qua A vuông góc với d
1
và cắt d

2
.
d
1
:
1
2 1 1
x y z−
= =
và d
2
:
1
1
x t
y t
z
= −


=


= −

Bài 2. Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(-1; 2; -3) vuông góc với
véc tơ
a
r
(6; -2; -3) và cắt đường thẳng d

1
:
1 1 3
3 2 5
x y z− + −
= =
−
Bài 3. Lập phương trình đường thẳng đi qua A(3; -2; -4) song song với mặt
phẳng (P): 3x – 2y – 3z – 7 = 0 và cắt đường thẳng d:
2 4 1
3 2 2
x y z− + −
= =
−
Chủ đề 3. Lập phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt hai đường
thẳng d
1
và d
2
.
Cách giải:
Cách1. d là giao của hai mặt phẳng (P) và (Q) trong đó (P) là mặt phẳng
qua A và chứa d
1
. (Q) là mặt phẳng qua A và chứa d
2
.
Cách 2. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa d
1
. B là giao điểm của d

2
và
(P). Khi đó d chính là đường thẳng AB.
Cách 3. Gọi M là giao của d và d
1
, M là giao của d và d
2
. Khi đố A, M, N
thanửg hàng. Từ đó suy ra tọa độ M, N và suy ra phương trình d.
Bài 1. Lập phương trình đường thẳng d qua A(1; 1; 1) và cắt cả hai đường
thẳng d
1
:
2
2 4
1 : 1
1
x x s
y t y
z t z s
d
= =
 
 
= − =
 
 
= = +
 
.

Bài 2. Lập phương trình đường thẳng đi qua A(1; 1; 0) và cắt cả hai đường
thẳng
1 2
1 0
: : 0
0 2
x t x
y t y
z z s
d d
= + =
 
 
= − =
 
 
= = +
 
Bài 3. Lập phương trình đường thẳng d song song với d
1
:
1 5
1 1 3
x y z− −
= =
và
cắt cả hai đường thẳng d
2
và d
3

2
3
1 2 3
:
2 3 4
1
:
1 1 2
x y z
x y z
d
d
− − −
= =
−
= =
−
Chủ đề 4.Lập phương trình đường thẳng d qua A vuông góc với d
1
và
nằm trong mặt phẳng (P).
Cách giải:
Cách 1. Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d
1
. Khi đó d chính là
giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Cách 2. Gọi
u
r
là véc tơ chỉ phương của d. Vì d nằm trong (P) và d vuông

góc d
1
. Vậy
1
,u
u n
 
=
 
uur uur
r
. Là các véc tơ chỉ phương của d
1
và pháp tuyến của
(P).
Bài 1. Cho mặt phẳng (P): x + y + z = 0 và đường thẳng





+−=
−=
+=
=
tz
ty
tx
d
32

1
21
1
.
a. Xác định tọa độ giao điểm A của d
1
và (P).
b. Lập phương trình đường thẳng d qua A , vuông góc với d
1
và nằm
trong mặt phẳng (P).
Bài 2. Cho mặt phẳng (P): 2x + y + z = 0 và đường thẳng
3
2
12
1
:
−
+
==
− zyx
d
.
a. Xác định tọa độ giao điểm A của d và (P).
b. Lập phương trình đường thẳng d
1
qua A , vuông góc với d

và nằm
trong mặt phẳng (P).

Bài 3. Cho (P): x +2y – z + 5 = 0 và đường thẳng d:
3 2
1
3
x t
y t
z t
= − +


= − +


= − +

.
a. Tìm tọa độ giao điểm A của d và (P).
b. Lập phương trình đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng d
và nằm trong mặt phẳng (P).
Chủ đề 5. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d
1
và d
2
chéo nhau.
Cách giải:
Cách 1. Gọi d là đường vuông góc chung và
1 2
; ;
u u u
uur uur uur

lần lượt là véc tơ chỉ
phương của d; d
1
; d
2
thì
1
,u
u n
 
=
 
uur uur
r
. Khi đó d là giao của hai mặt phẳng (P)
và (Q). Trong đó (P) là mặt phẳng chứa d và d
1
. (Q) là mặt phanửg chứa d
và d
2
.
Cách 2. Gọi P) là mặt phẳng chứa d và d
1
. Gọi B là giao của d
2
và (P). thì B
thuộc d. Từ đó suy ra phương trình d.
Cách 3. Gọi A là giao của d và d
1
, B là giao của d và d

2
. Thế thì
1 2
;
u u
AB
AB
⊥ ⊥
uur uur
uuuuuur
uuur
. Từ đó suy ra tọa độ A, B và suy ra phương trình d.
Bài 1. Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình:
Rtt
tz
ty
tx
d
tz
ty
tx
d ∈





−−=
+−=
+=






+=
−=
+−=
',
'12
'29
'1
:'
34
24
37
:
a. CMR d và d’ chéo nhau.
b. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều d và d’.
c. Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d’.
Bài 2. Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình:
3
1
2
1
7
3
:'
1
9

2
3
1
7
:
−
=
−
=
−
−
−
−
=
−
=
− zyx
d
zyx
d
a. CMR d và d’ chéo nhau
b. Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d’.
Bài 3. Cho hai đường thẳng :
1 2
1 2
: : 1
1
x t x s
y t y s
z z s

d d
= − =
 
 
= = +
 
 
= − =
 
.
a. CMR d
1
và d
2
chéo nhau
b. Viết phương trình đường vuông góc chung của d
1
và d
2
.