Chương 2: MÔ HÌNH HOÁ QUY LUẬT CẤU TRÚC TẦN SỐ pptx

Thống kê trong Sinh học
Chương 2
MÔ HÌNH HOÁ QUY LUẬT CẤU TRÚC TẦN SỐ
2.1. Ý nghĩa của việc mô hình hoá quy luật cấu trúc tần số
- Khái niệm: Biểu thức toán học và dạng đồ thị của nó dùng để mô phỏng
cho quy luật phân bố của đại lượng quan sát được gọi là phân bố lý thuyết.
- Việc mô hình hoá các quy luật cấu trúc tần số trong thực tiễn và nghiên cứu
nông lâm nghiệp có ý nghĩa to lớn. Một mặt nó cho biết các quy luật phân bố vốn
tồn tại khách quan trong tổng thể, mặt khác các quy luật phân bố này có thể biểu thị
một cách gần đúng bằng các biểu thức toán học cho phép xác định tần suất hoặc tần
số tương ứng với mỗi tổ của đại lượng điều tra nào đó.
Ví dụ: Quy luật phân bố số cây theo đường kính (n/D
1.3
) quy luật phân bố số
cây theo chiều cao vút ngọn (n/H
vn
) được xem là những quy luật phân bố quan
trọng nhất của quy luật kết cấu lâm phần, biết được quy luật phân bố này, có thể dễ
dàng xác định được số cây tương ứng từng cỡ đường kính hay cỡ chiều cao, làm cơ
sở xây dựng các loại biểu chuyên dùng phục vụ mục tiêu kinh doanh rừng, biểu thể
tích, biểu thương phẩm, biểu sản lượng…
Ngoài ra, việc nghiên cứu các quy luật phân bố còn tạo tiền đề để đề xuất các
giải pháp kỹ thuật lâm sinh hợp lý, chẳng hạn: cần thiết phải điều chỉnh mật độ lâm
phần ứng với từng giai đoạn tuổi lâm phần để điều tiết không gian dinh dưỡng
thông qua biện pháp tỉa thưa (đối với rừng sản xuất) trên cơ sở nghiên cứu quy luật
phân bố số cây theo mặt phẳng nằm ngang (n/D
1.3
), hay điều tiết cấu trúc theo mặt
phẳng đứng tạo những lâm phần nhiều tầng tán, đa tác dụng (đối với rừng phòng
hộ) trên cơ sở nghiên cứu quy luật phân bố số cây theo mặt phẳng đứng (n/H
vn

).
Nắm được các quy luật phân bố còn là cơ sở để xác định các phương pháp
thống kê ứng dụng, chẳng hạn: nếu tổng thể có phân bố chuẩn thì việc ước lượng
trung bình tổng thể có thể dùng mẫu nhỏ theo tiêu chuẩn t của Student, còn nếu
tổng thể không tuân theo luật chuẩn thì phải dùng mẫu lớn để ước lượng theo tiêu
chuẩn U của phân bố chuẩn tiêu chuẩn…
2.2. Kiểm tra giả thuyết về luật phân bố
Trong khi tiến hành mô hình hoá quy luật cấu trúc tần số theo một phân bố lý
thuyết nào đó, cần thiết phải kiểm tra giả thuyết về luật phân bố được tiến hành qua
các bước chính như sau:
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
1
Thống kê trong Sinh học
B ước 1: Đặt giả thuyết:
H
0
: F
x
(x)= F
0
(x)
Trong đó: F
x
(x) là phân bố tần số của đại lượng quan sát.
F
0
(x) là hàm phân bố lý thuyết đã xác định (phân bố chuẩn,
phân bố giảm…)
Để kiểm tra giả thuyết H
0

ta sử dụng tiêu chuẩn χ
2
, đây là tiêu chuẩn thống
kê đơn giản, được sử dụng rộng rãi, có thể dùng cho phân bố liên tục hoặc đứt
quãng.
B ước 2: Người ta đã chứng minh được rằng, nếu giả thuyết H
0
đúng và dung lượng
mẫu đủ lớn để sao cho tần số lý thuyết ở các tổ lớn hơn hoặc bằng 5 thì đại lượng
ngẫu nhiên:
∑
=
−
=
l
i
lt
tnlt
n
f
ff
1
2
2
)(
χ
(2.1)
có phân bố χ
2
với k=l-r-1 bậc tự do.

Trong đó: f
lt
là tần số lý thuyết tương ứng với tổ
f
tn
là tần số thực nghiệm.
l là số tổ sau khi gộp (đó là số tổ có tần số lý luận ≥ 5)
B ước 3: Kết luận về giả thuyết.
Nếu χ
n
2
tính theo (2.1) > χ
2
0.05(k)
thì giả thuyết H
0
bị bác bỏ ở mức ý nghĩa
α=0.05, nghĩa là phân bố ta chọn không phù hợp với phân bố thực nghiệm.
Ngược lại nếu χ
n
2
tính theo (2.1) ≤ χ
2
0.05(k)
thì giả thuyết H
0
tạm thời được
chấp nhận, có nghĩa phân bố ta chọn F
0
(x) phù hợp với phân bố thực nghiệm.

Trị số χ
2
0.05(k)
tra bảng trong phụ biểu số 5 ứng với mức ý nghĩa α và bậc tự
do k.
2.3. Một số phân bố lý thuyết thường gặp trong lâm nghiệp
2.3.1. Phân bố chuẩn
2.3.1.1. Khái niệm
Là phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục. Nếu X là biến ngẫu nhiên
liên tục có phân bố chuẩn thì hàm mật độ xác suất có dạng:
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
2
Thống kê trong Sinh học
( )
( )
)2.2(
2
exp
2.
1
2
2






−−
×=

b
ax
b
xP
x
π
Trong đó:
a: là kỳ vọng toán, đường cong đồ thị đối xứng qua đường x=a,
khi a thay đổi thì đỉnh đường cong sẽ di chuyển trên đường thẳng
π
2
1
b
y =
. (Hình 2.1)
b: là phương sai, khi b thay đổi đỉnh đường cong di chuyển trên
đường thẳng độ x = a (Hình 2.2).
Hình 2.1 Hình 2.2
Trường hợp đặc biệt, khi a = 0 và b = 1 thì ta có phân bố chuẩn tiêu chuẩn
hay phân bố chuẩn 0, 1, ký hiệu là X ∈ N(0,1). Đường cong phân bố chuẩn tiêu
chuẩn đối xứng qua trục tung. Mật độ xác suất của phân bố chuẩn tiêu chuẩn được
viết như sau:
( )
)3.2(
2
1
2
2
u
x

eu
−
×=
π
ϕ
2.3.1.2. Cách tính xác suất theo phân bố chuẩn tiêu chuẩn
Trong thực tế, người ta thường tính xác suất để biến ngẫu nhiên X lấy giá trị
có độ chênh lệch so với kỳ vọng không quá t lần b lớn hơn và nhỏ hơn. Xác suất
này được tính toán như sau:
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
3
a
1
a
2
a
3
P
x
(X
)
X
y
Thống kê trong Sinh học
( )
( )
)4.2(
2.
1

2
1
2
2
2
∫
−
−
=+≤≤−
x
x
b
ax
dxe
b
btaXbtaP
π
Đặt
b
ax
u
−
=
ta có:
t
b
abta
b
ax
u

t
b
abta
b
ax
u
+=
−+
=
−
=
−=
−−
=
−
=
.
.
2
2
1
1
( )
)5.2(
2
1

2
2
∫

+
−
−
=+≤≤−
t
t
u
duebtaxbtaP
π
Do tính chất đối xứng của hàm ϕ
x(u)
nên
∫∫
−
=
t
t 0
0
vì thế (2.5) có thể viết:
P(a-t.b ≤ X ≤ a+t.b) = 2
Φ
(t) (2.6)
Trong đó:
( )
( )
∫
=Φ
t
ux
dut

0
.
ϕ
(2.7)
Hàm Φ(t) gọi là hàm số tích phân luôn luôn dương và bằng 0,5 khi t=+∞.
Người ta đã lập sẵn phụ biểu để tính hàm Φ(t) và 2Φ(t) khi t có những giá trị khác
nhau (Phụ biểu số 2).
Ví dụ: t = 1,96 thì Φ(t) = 0,4750; 2Φ(t) = 0,95
t = 2,58 thì Φ(t) = 0,4959; 2Φ(t) = 0,99
t = 3,29 thì Φ(t) = 0,4995; 2Φ(t) = 0,999
Các giá trị U
1
và U
2
tính được có thể âm hoặc dương, nhng do tính chất đối
xứng của hàm ϕ
x
(u) nên mặc dù trị số U
1
hoặc U
2
có thể âm hoặc dương nhưng vẫn
có thể dựa vào trị số dương của t để tính toán, khi đó đặc |U| = t. Có thể xảy ra 3
trường hợp sau:
* Trường hợp I: Cả U
1
và U
2
đều âm, nhng U
1

có giá trị tuyệt đối lớn hơn
U
2
. Khi đó xác suất sao cho X lấy giá trị trong khoảng x
1
và x
2
sẽ là:
P(x
1
≤ X ≤ x
2
) =
Φ
(t
1
) –
Φ
(t
2
) (2.8)
với t
1
= |U
1
| và t
2
= |U
2
|

* Trường hợp II: U
1
âm và U
2
dương:
P(x
1
≤ X ≤ x
2
) =
Φ
(t
1
) +
Φ
(t
2
) (2.9)
* Trường hợp III: U
1
và U
2
đều dương và U
2
> U
1
:
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
4
Thống kê trong Sinh học

P(x
1
≤ X ≤ x
2
) =
Φ
(t
2
) –
Φ
(t
1
) (2.10)
2.3.1.3. Nắn phân bố thực nghiệm theo dạng chuẩn
Việc tính tần số lý thuyết cho từng tổ của các đại lượng điều tra như trên gọi
là nắn phân bố thực nghiệm theo dạng chuẩn. Trình tự các bước có thể tóm tắt như
sau:
• Chỉnh lý tài liệu quan sát, tính các đặc trưng mẫu
x
, S.
• Thay thế một cách gần đúng x ằ µ và S ằ σ
• Tính xác suất để X lấy giá trị trong các tổ của đại lượng điều tra theo các
công thức đã trình bày.
• Tính tần số lý thuyết: f
l
=n.p
i
.
• Kiểm tra giả thuyết H
0

về luật phân bố theo tiêu chuẩn phù hợp χ
2
.
H
0
: F
x
(x)= F
0
(x)
Tính đại lượng:
∑
=
−
=
l
i
l
lt
n
f
ff
1
2
2
)(
χ
(2.1)
có phân bố χ
2

với k=l-r-1 bậc tự do.
Nếu χ
n
2
tính theo (2.1) > χ
2
0.5(k)
thì giả thuyết H
0
bị bác bỏ ở mức ý nghĩa
α=0.05, nghĩa là phân bố chuẩn không phù hợp với phân bố thực nghiệm.
Ngược lại, nếu χ
n
2
tính theo (2.1) ≤ χ
2
0.5(k)
thì giả thuyết H
0
tạm thời được
chấp nhận, có nghĩa phân bố chuẩn phù hợp với phân bố thực nghiệm.
• Vẽ biểu đồ phân bố tần số thực nghiệm và lý thuyết.
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
5
Thống kê trong Sinh học
Ví dụ 2.1: Nắn phân bố thực nghiệm số sản phẩm theo bề dày (ví dụ 1.2)
theo phân bố chuẩn.
- Bước 1: Chỉnh lý tài liệu, tính toán các đặc trưng mẫu x, S. Bước này đã
thực hiện ở chương 1, với x=8.37 cm và S=0.68 cm.
- Bước 2: Thay thế một cách gần đúng số trung bình mẫu cho số trung bình

tổng thể (x≈µ), sai tiêu chuẩn mẫu cho sai tiêu chuẩn tổng thể (S≈σ).
- Bước 3: Tính xác suất để X lấy giá trị trong các tổ:
Tổ thứ nhất: x
1
=-∞ và x
2
=6.75cm.
( )
( ) ( ) ( )
0087.038.275.6
4913.038.238.2
68.0
37.875.6
5.0)(
68.0
37.8
2
2
1
1
=Φ−∞Φ=≤≤∞−
=Φ→−=
−
=
−
=
=∞Φ→−∞=
−∞−
=
−

=
xP
b
ax
u
b
ax
u
Tổ thứ hai: x
1
=6.75 và x
2
=7.25 cm.
( )
( )
( ) ( ) ( )
0408.065.138.225.775.6
4505.065.165.1
68.0
37.825.7
4913.038.238.2
68.0
37.875.6
2
2
1
1
=Φ−Φ=≤≤
=Φ→−=
−

=
−
=
=Φ→−=
−
=
−
=
xP
b
ax
u
b
ax
u
Tổ thứ ba: x
1
=7.25 và x
2
=7.75 cm.
( )
( )
( ) ( ) ( )
1391.091.065.175.725.7
3186.091.091.0
68.0
37.875.7
4505.065.165.1
68.0
37.825.7

2
2
1
1
=Φ−Φ=≤≤
=Φ→−=
−
=
−
=
=Φ→−=
−
=
−
=
xP
b
ax
u
b
ax
u
Tổ thứ t: x
1
=7.75 và x
2
=8.25 cm.
( )
( )
( ) ( ) ( )

1391.091.065.175.725.7
3186.091.091.0
68.0
37.875.7
4505.065.165.1
68.0
37.825.7
2
2
1
1
=Φ−Φ=≤≤
=Φ→−=
−
=
−
=
=Φ→−=
−
=
−
=
xP
b
ax
u
b
ax
u
Tổ thứ t: x

1
=7.75 và x
2
=8.25 cm.
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
6
Thống kê trong Sinh học
( )
( )
( ) ( ) ( )
0714.018.091.025.875.7
0714.018.018.0
68.0
37.825.8
3186.091.091.0
68.0
37.875.7
2
2
1
1
=Φ−Φ=≤≤
=Φ→−=
−
=
−
=
=Φ→−=
−
=

−
=
xP
b
ax
u
b
ax
u
Tổ thứ năm: x
1
=8.25 và x
2
=8.75 cm.
( )
( )
( ) ( ) ( )
2837.056.018.075.825.8
2123.056.056.0
68.0
37.875.8
0714.018.018.0
68.0
37.825.8
2
2
1
1
=Φ−Φ=≤≤
=Φ→=

−
=
−
=
=Φ→−=
−
=
−
=
xP
b
ax
u
b
ax
u
Tổ thứ sáu: x
1
=8.75 và x
2
=9.25 cm.
( )
( )
( ) ( ) ( )
1892.029.156.025.975.8
4015.029.129.1
68.0
37.825.9
2123.056.056.0
68.0

37.875.8
2
2
1
1
=Φ−Φ=≤≤
=Φ→=
−
=
−
=
=Φ→=
−
=
−
=
xP
b
ax
u
b
ax
u
Tổ thứ bảy: x
1
=9.25 và x
2
=9.75 cm.
( )
( )

( ) ( ) ( )
0768.002.229.175.925.9
4783.002.202.2
68.0
37.875.9
4015.029.129.1
68.0
37.825.9
2
2
1
1
=Φ−Φ=≤≤
=Φ→=
−
=
−
=
=Φ→=
−
=
−
=
xP
b
ax
u
b
ax
u

Tổ thứ tám: x
1
=9.75 và x
2
=Ơ cm.
( )
( )
( ) ( ) ( )
0217.002.275.9
5.0
68.0
37.8
4783.002.202.2
68.0
37.875.9
2
2
1
1
=∞Φ−Φ=∞≤≤
=∞Φ→∞=
−∞
=
−
=
=Φ→=
−
=
−
=

xP
b
ax
u
b
ax
u
- Bước 4: Tính tần số lý luận cho từng tổ của đại lượng quan sát theo công
thức: f
l
=n.p
i
, trong đó n là dung lượng mẫu, p
i
là tần suất (hay xác suất) tương ứng
của mỗi tổ.
- Bước 5: Kiểm tra giả thuyết về luật phân bố chuẩn theo tiêu chuẩn phù hợp
χ
2
(công thức 2.1) với giả thuyết H
0
: F
x
(x)= F
0
(x), trong đó F
0
(x) là hàm phân bố
chuẩn. Kết quả tính toán được cho ở bảng 2.1 sau đây:
Bảng 2.1: Bảng nắn phân bố thực nghiệm số sản phẩm theo bề dày

Vũ Văn Nam ĐH Vinh
7
Thống kê trong Sinh học
và kiểm tra giả thuyết về luật phân bố
Xi f
t
P
i
f
l
f
l
gộp (f
t
-f
l
)
2
/f
l
-Ơ-6.75
6.75-7.25
7.25-7.75
7.75-8.25
8.25-8.75
8.75-9.25
9.25-9.75
9.75-Ơ
1
2

5
11
18
9
3
1
0.0087
0.0408
0.1391
0.2472
0.2837
0.1892
0.0768
0.0217
0.44
2.04
6.96
12.35
14.18
9.46
3.84
1.08
9.44
12.35
14.18
14.38
0.220
0.148
1.029
0.132

ồ 50 1.0072 50.35
χ
n
2
=1.529
Phân bố chuẩn có 2 tham số cần ước lượng là µ và σ
2
, vì vậy bậc tự do: k=l-
r-1=4-2-1=1 suy ra: χ
n
2
(k=1)
=3.84.
χ
n
2
=1.529<χ
n
2
(k=1)
=3.84 nên giả thuyết H
0
về phân bố lý thuyết là phân bố chuẩn
biểu thị phân bố sản phẩm theo bề dày tạm thời được chấp nhận ở mức α=0.05.
- Bước 6: Vẽ biểu đồ phân bố số sản phẩm theo bề dày sản phẩm thực
nghiệm và lý thuyết.
Hình 2.3: Biểu đồ phân bố số sản phẩm theo bề dày
2.3.2. Phân bố giảm (Phân bố mũ)
2.3.2.1. Khái niệm
Phân bố giảm là phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật

độ:
P
x
(x)=
β
.e
-
β
x
(x>0) (2.11)
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
8
0
5
10
15
20
6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10
Ft
Fl
Thống kê trong Sinh học
Trong đó β là tham số của phân bố giảm.
Đường cong phân bố giảm, giảm khi x tăng, β càng lớn thì đường cong càng
lõm và ngược lại, β càng bé thì đường cong càng bẹt (hình 2.4).
Hình 2.4: Đường cong phân bố giảm
2.3.2.2. Nắn phân bố thực nghiệm theo dạng hàm Meyer
Trong nông, lâm nghiệp người ta thường vận dụng phân bố giảm dạng hàm
Meyer để nắn các phân bố thực nghiệm của một số nhân tố điều tra.
Hàm Meyer có dạng: y=
α

.e
-
β
x
(2.12)
Trong đó α và β là hai tham số của hàm Meyer. Để xác định α và β phải
logarit hoá 2 vế phương trình (2.12):
lny = ln
α
-
β
.x
Đặt:
b
a
yy
=−
=
=
β
α
ln
ˆ
ln
Nhận được phương trình hồi quy tuyến tính 1 lớp:
)13.2(
ˆ
bxay
−=
Vũ Văn Nam ĐH Vinh

9
P
x
(x)
β
x
Thống kê trong Sinh học
Sau khi có các số liệu thực nghiệm ta lập bảng x
i
và y
i
.
Trong số các đường thẳng xuyên qua đám mây thực nghiệm ta chọn đường thẳng
nào có tổng các sai số đến các giá trị thực nghiệm là nhỏ nhất. Tuy nhiên vì các sai
số trái dấu có thể triệt tiêu nhau nên ta bình phương lên rồi mới cộng lại. Ta có
phương pháp sau:
2.4. PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT ĐỂ XÁC ĐỊNH CÁC THAM
SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUY
Nguyên tắc chung của phương pháp là: Từ đám mây điểm thực nghiệm, chọn
đường hồi quy lý thuyết
)(
ˆ
Xfy =
với 1 số hữu hạn các tham số a
0
,a
1
, a
2
, a

k
sao
cho tổng bình phương các hiệu sai từ các trị số quan sát của biến Y đến trị số lý
luận của phương trình hồi quy là bé nhất, tức là:
( ) ( )
28.5min
ˆ
1
2
=−=
∑
=
n
i
iy
yyQ
Muốn vậy, đạo hàm bậc nhất của tổng biến động Q
y
theo các tham số a
0
,a
1
,
a
2
, a
k
phải bằng 0. Nghĩa là:
0=
∂

∂
i
y
a
Q
với mọi i (5.29)
Từ phương trình đạo hàm riêng (5.29), lấy đạo hàm riêng theo các tham số
a
0
,a
1
, a
2
, a
k
nhận được các phương trình tiêu chuẩn.
• Với liên hệ tuyến tính 1 lớp:
bxay
+=
ˆ
, lấy đạo hàm riêng theo các tham số và
cho bằng 0:
( )
[ ]
0
2
=
∂
−−∂
=

∂
∂
∑
i
i
i
y
a
bxay
a
Q
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
10
X
Y
bxay
+=
ˆ
Thống kê trong Sinh học
Rút ra hệ phương trình sau:





+=
+=
∑∑ ∑
∑∑
2

.
iiii
ii
xbxaxy
xbnay
(5.30)
Giải hệ phương trình (5.30) sẽ xác định được 2 tham số a và b của liên hệ
tuyến tính một lớp.
* Với liên hệ tuyến tính nhiều lớp: y = a
0
+ a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ +a
k
x
k
Phương trình đạo hàm riêng có dạng:
( )
[ ]
i
kki
i
y
a

xaxaxaay
a
Q
∂
−−−−−∂
=
∂
∂
∑
2
22110

Lấy đạo hàm riêng theo các tham số và cho bằng 0 rút ra hệ phương trình
sau:









+++=
+++=
++++=
∑ ∑ ∑ ∑∑
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑∑∑∑
2

22110
1212
2
110
2211




kkkkkk
kkiii
kk
i
xaxxaxxaxayx
xxaxxaxaxaxy
xaxaxana
y
(5.31)
Giải hệ phương trình (5.31) sẽ xác định được các tham số của phương trình hồi
quy: a
0
, a
1
, a
k
.
Để xác định các tham số a và b của phương trình hồi quy tuyến tính 1 lớp
(2.13) có thể dùng các công thức sau:
x
xy

Q
Q
b =
và
)14.2(xbya
−=
Trong đó:
)15.2(
.
.
m
yx
yxQ
xy
∑∑
∑
−=
)16.2(
)(
2
2
∑
∑
−=
m
x
xQ
x
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
11

Thống kê trong Sinh học
∑
= y
m
y
1
và
∑
=
x
m
x
1
(2.17)
Với m là số tổ được chia theo biến số x.
Sau khi xác định được a và b theo công thức (2.14), dễ dàng tìm được các
tham số α và β của hàm Meyer:
Vì:
a
=
α
ln
nên α=e
a
(2.18)
b
=−
β
nên
b−=

β
(2.19)
Ví dụ 2.2:
Nắn phân bố số cây theo đường kính (n/D
1.3
) của ô tiêu chuẩn 2000m
2
trạng
thái rừng IIIA
1
theo tài liệu ở bảng 2.2 dưới đây:
Bảng 2.2: Nắn phân bố số cây theo đường kính (n/D
1.3
) trạng thái rừng IIIA
1
A B C D E F G
1 D
1.3
(x) f
t
ln(y) x
2
x.y f
lt
(f
t
-f
l
)
2

/f
l
2 8 13
2.564949
64
20.51959 20.37494 2.669441
3 12 17
2.833213
144
33.99856 15.51432 0.142271
4 16 14
2.639057
156
42.22492 11.81325 0.40479
5 20 10
2.302585
400
46.0517 8.99 5097 0.112264
6 24 11
2.397895
576
57.54949 6.84924 2.515433
7 28 7
1.94591
784
54.48548 5.215295 0.003784
8 32 2
0.693147
1024
22.18071 3.971142

140 74
15.37676
3248
277.0105 72.73328
χ
n
2
=5.84
Từ bảng 2.2 tính được:
m
yx
yxQ
xy
∑∑
∑
−=
.
.
= tổng tích cột A và C – (tổng(A)*tổng(C)/Count(A))=-30.524
0.448
7
140
3248
)(
2
2
2
=−=−=
∑
∑

m
x
xQ
x
= SUM(D) – (SUM(A)^2/COUNT(A))
Vậy:
068135.0
0.448
524.30
−=
−
==
x
xy
Q
Q
b
xbya
−=
= AVERAGE( C ) – b* AVERAGE(A) = 3.5593
Phương trình hồi quy tuyến tính 1 lớp lập được là:
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
12
xy 068135.05593.3
ˆ
−=
Thống kê trong Sinh học
Vì: ln
α
=a mà a=3.5593 => α=e

3.5593
α=35.1419
Vì: -β=b =>
068135.0
=
β
Phương trình chính tắc hàm Meyer biểu thị quy luật phân bố số cây theo
đường kính lập được là:
Để kiểm tra mức độ phù hợp giữa phân bố lý thuyết là hàm Meyer với phân
bố thực nghiệm số cây theo đường kính thực nghiệm có thể dùng tiêu chuẩn phù
hợp χ
n
2
(công thức 2.1), kết quả kiểm tra cho thấy:
∑
=
−
=
l
i
l
lt
n
f
ff
1
2
2
)(
χ

=5.67
Vì χ
n
2
=5.67<χ
05
2
(k=3)
=7.81 nên giả thuyết về luật phân bố giảm dạng hàm
Meyer được chấp nhận, nghĩa là phân bố số cây theo đường kính (n/D
1.3
) trạng thái
rừng IIIA
1
tuân theo luật phân bố giảm dạng hàm Meyer. Trên hình 2.5 là biểu đồ
phân bố số cây theo đường kính thực nghiệm và lý thuyết.
Hình 2.5: Phân bố n/D
1.3
thực nghiệm và lý thuyết
Phân bố giảm đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết bền vững (độ bền
của máy móc) và trong nhiều tính toán thực tế khác. Trong lâm nghiệp, phân bố
giảm thường dùng để đặc trưng cho quy luật phân bố số cây theo đường kính của
những lâm phần hỗn loài khác tuổi qua khai thác chọn không quy tắc nhiều lần.
Trên cơ sở mô hình hoá quy luật cáu trúc tần số số cây theo cỡ đường kính này, có
thể xác định được tần suất, hay tần số (số cây) tương ứng với từng cỡ đường kính
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
13
P
x
(x)=35.1419.e

0.068135x
0
5
10
15
20
25
4 8 12 16 20 24 28 32
ft
fl
Thống kê trong Sinh học
phù hợp với mục tiêu kinh doanh. Ngoài ra, nếu kết hợp với việc nghiên cứu quan
hệ giữa đường kính và chiều cao cây rừng còn có thể xác định được tổng thể tích
(trữ lượng) của từng cỡ kính theo mục tiêu kinh doanh.
2.3.3. Phân bố khoảng cách
2.3.3.1. Khái niệm
Phân bố khoảng cách là phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên đứt quãng,
hàm toán học có dạng:
F(x)= (2.20)
Trong đó:
n
f
0
=
γ
với f
0
là tần số quan sát tổ thứ nhất.
Phân bố khoảng cách thường có 1 đỉnh và sau đó giảm dần khi x tăng. Trong
điều kiện rừng chưa bị tác động nhiều thì đỉnh của phân bố ứng với cỡ đường kính

từ 10cm đến 12cm.
Khi 1-γ=α thì phân bố khoảng cách trở về dạng phân bố hình học:
F(x)=(1-
α
)
α
x
với x≥0 (2.21)
2.3.3.2. Ước lượng các tham số của phân bố khoảng cách
Bằng phương pháp hàm tối đa hợp lý có thể xác định được các tham số của
phân bố khoảng cách như sau:
)23.2(
)(
1
)22.2(
0
0
∑
−
−=
=
ii
Xf
fn
n
f
α
γ
Nh vậy γ chính là tấn suất của tổ đầu tiên.
Ví dụ 2.3: Nắn phân bố số cây theo đường kính (n/D

1.3
) trạng thái rừng IIIA
1
tại Tùng Di-Cát Bà, theo tài liệu điều tra sau:
Bảng 2.3: Nắn phân bố n/D
1.3
theo phân bố khoảng cách
D
1.3
f
t
X
i
f
t
X
i
P
x
f
t
(f
t
-f
l
)
2
/f
l
7

9
11
13
15
19
32
17
16
11
0
1
2
3
4
0
32
34
48
44
0.157
0.266
0.182
0.125
0.085
19
32.23
22.05
15.08
10.08
0

0.00168
1.1555
0.05608
0.04549
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
14
γ
với x=0
(1-α)(1-γ)α
X-1
với x≥1
Thống kê trong Sinh học
17
19
21
23
25
27
9
9
3
1
3
1
5
6
7
8
9
10

45
54
21
8
27
10
0.058
0.040
0.027
0.019
0.013
0.009
7.055
4.826
3.301
2.258
1.544
1.056
0.53594
1.23788
ồ 121 323 0.981 118.7
χ
n
2
=3.0326
Trong bảng 2.3:
k
dd
X
li

i
−
=
Với: d
i
là trị số giữa cỡ đường kính thứ i
d
l
là trị số giữa cỡ đường kính tổ thứ nhất
k là cự ly tổ (k=2)
Các tham số α và γ được xác định theo công thức (2.22) và (2.23) như sau:
684.0
323
9121
1
)(
1
157.0
121
19
0
0
=
−
−=
−
−=
===
∑
ii

Xf
fn
n
f
α
γ
P
x
=(1-
α
)(1-
γ
)
α
x-1
là xác suất để gặp 1 cây trong mỗi cỡ đường kính.
f
l
=n.P
x
là tần số lý thuyết được tính theo phân bố khoảng cách.
Để kiểm tra giả thuyết về luật phân bố khoảng cách đã chọn, dùng tiêu chuẩn
phù hợp χ
2
(công thức 2.1), với giả thuyết H
0
: F
x
(x)= F
0

(x) với F
0
(x) là hàm phân
bố khoảng cách.
Kết quả kiểm tra cho thấy:
χ
n
2
=3.0326
χ
05
2
(k=3)
=5.99
Vì χ
n
2
<χ
05
2
(k=3)
nên giả thuyết H
0
tạm thời được chấp nhận, nghĩa là phân bố
số cây theo đường kính lâm phần hỗn giao khác tuổi tuân theo luật phân bố khoảng
cách.
Phân bố số cây theo đường kính lâm phần
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
15
0

5
10
15
20
25
30
35
5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27
ft
fl
Thống kê trong Sinh học
Hình 2.6: Phân bố n/D
1.3
theo phân bố khoảng cách
2.3.4. Phân bố Weibull
2.3.4.1. Khái niệm
Phân bố Weibull là phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục với miền
giá trị (0,+∞). Hàm mật độ có dạng:
)24.2( )(
.1
α
λα
πα
x
x
exxf
−−
=
Trong đó α và λ là 2 tham số của phân bố Weibull. Khi các tham số α và λ
thay đổi thì dạng đường cong phân bố cũng thay đổi theo. Tham số α đặc trưng cho

độ lệch của phân bố.
Nếu: α=1 thì phân bố có dạng giảm.
α=3 thì phân bố có dạng đối xứng.
α<3 thì phân bố có dạng lệch trái.
α>3 thì phân bố có dạng lệch phải.
Tham số λ đặc trưng cho độ nhọn của đường cong phân bố. Tham số λ được
ước lượng từ công thức:
)25.2(
).(
∑
−
=
α
λ
axf
n
il
Trong đó a là trị số quan sát bé nhất, x
i
là trị giữa tổ.
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
16
Thống kê trong Sinh học
2.3.4.2. Nắn phân bố thực nghiệm theo hàm Weibull
Để nắn phân bố thực nghiệm theo hàm Weibull, trước hết người làm công
tác thống kê phải căn cứ vào liệt số phân bố của một nhân tố điều tra nào đó để ước
lượng tham số α cho phù hợp. Theo kinh nghiệm tham số α được chọn sao cho kết
quả tính trị số χ
n
2

theo công thức (2.1) là bé nhất và nhỏ hơn χ
05
2
tra bảng với bậc tự
do k=l-r-1.
Ứng với mỗi giá trị của tham số α ước lượng, sau khi nắn phân bố thực
nghiệm theo hàm Weibull, đều phải tiến hành kiểm tra giả thuyết về luật phân bố.
Trường hợp nếu giả thuyết không được chấp nhận thì phải tiến hành chọn tham số
α khác phù hợp hơn.
Ví dụ 2.4: Nắn phân bố thực nghiệm n/D
1.3
lâm phần mỡ trồng thuần loài đều
tuổi theo hàm Weibull theo kết quả điều tra sau đây (với α=3).
Bảng 2.4 Nắn phân bố thực nghiệm n/D
1.3
lâm phần mỡ
trồng thuần loài đều tuổi theo hàm Weibull.
D
1.3
f
t
x
i
-a x
t
-a (x
i
-a)
3
f

t
(x
i
-a)
3
U e
-u
P
i
f
l
(f
t
-f
l
)
2
/f
l
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
7
9
11
13
15
17
19
21
2
7

14
19
11
6
4
1
1
3
5
7
9
11
13
15
2
4
6
8
10
12
14
16
1
27
125
343
729
1331
2197
3375

2
189
1750
6517
8019
7986
8788
3375
0.014
0.112
0.377
0.895
1.747
3.020
4.795
7.157
0.9861
0.8941
0.6855
0.4085
0.1740
0.0487
0.0082
0.0008
0.0139
0.0920
0.2090
0.2770
0.2340
0.1250

0.0400
0.0070
0.19
5.89
13.4
17.7
15.0
8.02
2.59
0.48
1.379
0.031
0.092
1.07
0.009
ồ 64 36626 0.988
χ
n
2
=2.57
Trong bảng 2.4:
Cột (1) là trị số giữa cỡ đường kính ngang ngực.
Cột (2) là tần số tương ứng mỗi cỡ đường kính.
Cột (3) là trị số giữa cỡ trừ đi trị số quan sát bé nhất (a).
Cột (4) là trị số giới hạn trên mỗi cỡ trừ đi trị số quan sát bé nhất.
Cột (5)=cột (3) lập phương, trong ví dụ này chọn α=3 vì phân bố thực
nghiệm có dạng đối xứng.
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
17
Thống kê trong Sinh học

Cột (6)=cột (2) nhân với cột (5), tổng cột (6) là
∑
=
−
n
i
it
axf
1
3
).(
và bằng 36626,
từ đây có thể tính được tham số λ theo công thức (2.25):
001747.0
36626
64
).(
==
−
=
∑
α
λ
axf
n
il
Cột (7) là trị số u, với u=λ.(x
t
-a)
α

với α=3.
Cột(8) là trị số e
-u
,với e=2.27.
Cột (9) là xác suất P
i
được tinh sau:
Tổ thứ nhất:
1
1
1
u
eP
−
−=
Tổ thứ hai:
21
2
uu
eeP
−−
−=
Tổ thứ ba:
3
2
3
uu
eeP
−−
−=

.
.
Tổ thứ m:
mm
uu
eeP
−−
−=
−1
2
∑
=
≈
m
i
i
P
1
00.1
Cột (10) là tần số lý thuyết f
l
=n.P
i
.
Cột (11) kiêm tra giả thuyết về luật phân bố theo tiêu chuẩn phù hợp χ
2
, với
giả thuyết H
0
:

F
x
(x)= F
0
(x) với F
0
(x) là hàm phân bố Weibull với α=3.
Kết quả kiêm tra cho thấy:
χ
2
n
=2.57<χ
2
05(k=2)
=5.99 đ H
0
+
.
Nghĩa là phân bố số cây theo đường kính (n/D
1.3
) rừng mỡ trồng thuần loài
đều tuổi tuân theo luật phân bố Weibull với α=3 và λ=0.001747.
Trên hình 2.7 là biểu đồ phân bố n/D
1.3
lâm phần mỡ trồng thuần loài đến
tuổi:
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
18
0

5
10
15
20
5 7 9 11 13 15 17 19 21
ft
fl
Thống kê trong Sinh học
Hình 2.7: Phân bố n/D
1.3
lâm phần mỡ trồng thuần loài đều tuổi.
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
19