Da-KTHKII-Mon Toan-Phan Dang Luu

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Nội dung Điểm
Câu 1 4.0
a. Tính I =
( )
1
2
0
1x dx−
∫
1.0
I =
( )
1
2
0
1 ( 1)x d x− −
∫
=
( )
1
3
0
1
3
x
 
−
 ÷
 ÷
 

0. 5
Tính toán ta có kết quả I =
1
3
. 0.5
b. Tính J =
6
0
sin 2x dx
π
∫
1.0
J =
6
6
0
0
1 1
sin 2 2 cos2x
2 2
x d x
π
π
= −
∫
0.5
Tính toán ta có kết quả J =
1
4
. 0.5

c. Tính
1
0
x
xe dx
∫
1.0
1 1
1
0
0 0
x x x
xe dx xe e dx= −
∫ ∫
0.5
= e -
1
0
x
e
= 1 0.5
d. Tính K =
( )
3
2
2
1
1x
dx
x

−
∫
1.0
K =
2
2 2
3 2 2
2 2
1 1
1
3 3 1 3 1 1
3 3 3ln
2
x x x x
dx x dx x x
x x x x
 
− + −
 
= − + − = − + +
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫
0.5
Thay số vào ta có kết quả K = 3ln2 - 2
0.5
Câu 2.
2.0

a. Tìm phần thực, phần ảo của số phức
3 4
4
i
z
i
−
=
−
. 1.0
( ) ( )
3 4 4
3 4 16 13
4 17 17
i i
i i
z
i
− +
− −
= = =
−
0.5
16 13
17 17
i= −
. Vậy phần thực là
16
17
; phần ảo là

13
17
−
.
0.5
b. Tìm nghiệm phức của phương trình
( )
2 4 0i z− − =
. 1.0
Gọi z = x + iy (x, y là các số thực) là nghiệm của phương trình.
Suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 2 4 2 4 2i z i x iy x y x y i− − = − − − = − − − +
0.5
Do đó
( )
2 4 0i z− − =
trở thành
( )
2 4 2 0x y x y i− − − + =
suy ra hệ
2 4 0
2 0
x y
x y
− − =


+ =


. 0.25
Giải hệ ta có
8
5
x =
,
4
5
y = −
. Vậy nghiệm của phương trình là
8 4
5 5
z i= −
0.25
Câu 3. 3.0
a. A(0; 0; 2),
( )
2; 2;4B − −
. Viết phương trình đường thẳng AB. 1.0
( )
2; 2;2AB − −
uuur
là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AB. 0.5
Do đó phương trình đường thẳng AB là
2
2
2 2
x t
y t
z t


=


=


= −


. 0.5
b. Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng AB sao cho góc giữa đường thẳng OM và đường thẳng AB bằng 45
0
. 1.0
Điểm M thuộc đường thẳng AB nên tọa độ điểm
( )
2 ; 2 ;2 2M t t t−
. Suy ra
( )
2 ; 2 ;2 2OM t t t−
uuuur
0.25
Gọi
α
là góc giữa đường thẳng AB và đường thẳng OM suy ra
2
.
8 4
os
8 8 4.2 2

AB OM
t
c
AB OM
t t
α
−
= =
− +
uuur uuuur
uuur uuuur
0.5
Từ giả thiết
α
=45
0
, ta có
2
2
2 1
2
0
2
2 2 1. 2
t
t t
t t
−
= ⇔ − =
− +

. Vậy
( )
0;0;2M A≡
hoặc
( )
2; 2;0M
0.25
c. Viết phương trình mặt phẳng (P), chứa đường thẳng AB và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P) bằng
2
. 1.0
Gọi phương trình mặt phẳng (P) là Ax + By + Cz + D = 0 (ĐK A
2
+ B
2
+ C
2
> 0). Vì mặt phẳng (P) đi qua
các điểm A(0; 0; 2),
( )
2; 2;0M
và khoảng cách từ O đến (P) bằng
2
nên ta có hệ:
2 2 2
2 0
2 2 0 (*)
2
C D
A B D
D

A B C


+ =


+ + =



=

+ +

0.5
Hệ (*)
2 2 2
2
2
D C
A B C
A B C
= −


⇔ + =


+ =


Vì nếu C = 0 thì A = B = 0 nên C khác 0. Do đó chọn C = 1 suy ra A = B =
1
2
và D = -2. Vậy PT (P):
1 1
2 0
2 2
x y z+ + − =
.
0.5
Câu IVa ( Theo chương trình Cơ bản)
1.0
Hoành độ giao điểm của đồ thị
lny x=
và đường thẳng y = 1 là nghiệm PT
ln 1x =
(*).
(*)
ln 1
1
x e
x
x
e
=


⇔ = ± ⇔

=


0.5
Do đó
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1
1
1
1 1 1
1 1
1
1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 2
e e e
e
e
e e e
S x dx x dx x dx x x dx x x dx e
e
= − = + + − = + − + − + = + −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
0.5
Câu IVb ( Theo chương trình nâng cao) 1.0
Hoành độ giao điểm của đồ thị y = lnx và đường thẳng
3
3 3
x
y
e e
= +
− −

là nghiệm PT
3
ln
3 3
x
x
e e
= +
− −
. Sử
dụng tính đơn điệu của hàm số, ta chứng minh được PT có nghiệm duy nhất x = e. Hoành độ giao điểm của đồ thị y = lnx,
3
3 3
x
y
e e
= +
− −
với đường thẳng y = 0 là x = 1; x = 3.
0.5
Do đó
3
3
2
1
1 1
3 3 5
ln ln
3 3 2( 3) 3 2
e e

e
e
e
x x x e
S xdx dx x x dx
e e e e
 
−
 
= + + = − + + =
 ÷
 ÷
− − − −
 
 
∫ ∫ ∫
0.5