PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ docx

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Ví dụ 1: Giải phương trình:
( )
( )
2
3 2 9 .3 9.2 0 1
x x x x
− + + =
Đặt
3
x
t =
, điều kiện t > 0
Khi đó pt (1) tương đương với:
( )
2
2 9 9.2 0
x x
t t− + + =
2
9
3 9 2
3
0
2
1
3 2
2
x
x
x

x x
x
t
x
x
t
=

=

= =



⇔ ⇔ ⇔ ⇔


  

=
=
=
=


 ÷


 


Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình:
( )
( )
2 2
2 2
9 3 .3 2 2 0 1
x x
x x+ − − + =
Đặt
2
3
x
t =
, điều kiện
1t
≥
(vì
2
2 0
0 3 3 1
x
x ≥ ⇔ ≥ =
Khi đó pt (1) tương đương với:
( )
2 2 2
3 2 2 0t x t x+ − − + =
( )
( )
2

2
2
2
3 2 2
2
1
3 1 3
x
x
t
t x
x

=
=


⇔ ⇔

= −

= −


Giải (2):
2
2
3 3
3 2 log 2 log 2
x

x x= ⇔ = ⇔ = ±
Giải (3)
2
2
3 1
x
x= −
, ta có nhận xét:
2
2
1 1
3 1
0
1 1
1 1
x
VT VT
x
VP VP
x

≥ =
=
 

⇒ ⇔ ⇔ =
  
≤ =
− =
 



Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 3: Giải phương trình:
( )
( )
2 3 2 2
.3 3 .3 2 .3 0, 0 1
x x x
m m m m m− + + − = ≠
a. Giải phương trình với m = 2.
b. Xác định m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
Đặt
3
x
t =
, điều kiện t > 0
Khi đó pt (1) tương đương với:
( )
2 3 2 2
. 3 . 2 . 0m t m t m t m− + + − =
( ) ( )
3 2 2
3 1 2 0t t m t m t⇔ + − + + =
Coi m là ẩn, còn t là tham số, ta được phương trình bậc 2 theo m, ta được:
( ) ( )
2
2
1
1

2
2 0 2
1
m
t
t
m
t
f t mt t m
m
t


=

=

⇔



= − + =
=



+

a. Với m = 2, ta được:
( ) ( )

3 3
2
1
1 1
2
3 log log 2
2 2
2 2 2 0
x
t
x
f t t t VN

=

⇔ = ⇔ = = −

= − + =


Vây, với m = 2 pt có nghiệm
b. Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt
⇔
phương trình (2) có 2 nghiệm phân
biệt dương khác
1
m
và m > 0
2
'

1 0
0
2
0
0
0 1
0
1 0
1
0
1
0
m
S
m
m
P
f
m
m
m

− >

∆ >



>
>


 
⇔ ⇔ ⇔ < <
>
 
>
 
 
 
≠
 ÷
− ≠
 
 


Vậy với 0 < m < 1 phương trình có ba nghiệm phân biệt.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
( )
2 3 1 3
4 2 2 16 0 1
x x x+ +
+ + − =
Đặt
2
x
t =
, điều kiện t > 0
Khi đó pt (1) tương đương với:
4 3

2 4 3
2 8 16 0
4 2 .4 2 0
t t t
t t t
+ + − =
⇔ − − − =
Đặt u = 4, ta được:
2 4 3
2 . 2 0u t u t t− − − =
( )
( )
( )
2
2
2
2
1
4
2 4 0
1
4 2
1 5
2 5 1 log 5 1
1 5
x
u t t t
t
t t
u t t t

t t
t
x
t
= − +


= −
⇔ ⇔ ⇔ + − =


= + +
= +




= − −
⇔ ⇔ = − ⇔ = −

= − +


Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 5: Giải phương trình:
( ) ( )
9 2 2 .3 2 5 0 1
x x
x x+ − + − =
Đặt

3
x
t =
, điều kiện t > 0
Khi đó pt (1) tương đương với:
( )
2
2 2 2 5 0t x t x+ − + − =
( )
( )
1
3 5 2 2
5 2
x
t l
x
t x
= −
⇔ ⇔ = −

= −

Ta đoán được nghiệm x = 1
Vế trái (2) là một hàm số đồng biến
Vế phải (2) là một hàm nghịch biến
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của pt (2)
Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 6: Giải phương trình:
( )
2

3 3 5 5 1
x x
+ + =
Đặt
3
x
t =
, điều kiện t > 0
Khi đó pt (1) tương đương với:
( )
( )
( )
2
2
2
2
2 2 4
2
5 5
5 5
5 0
0 5
5 2 1 .5 1 0 2
5 5
t t
t t
t
t
t t
t t

+ + =
⇔ + = −

− ≥

< ≤
 
⇔ ⇔
 
− + + − =
+ = −
 


Đặt u = 5, pt (2) có dạng:
( )
2 2 4
2 1 1 0u t u t− + + − =
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2 2
2
2
2 1 2 1
5 0

5 1
2
2 1 2 1 5 1
4 0
2
1 17
1 17 1 17
2
3 log
2 2
1 17
2
x
t t
u
t t l
t
t t t t
t t
u
t l
x
t

+ − +
=


− − =


= −

⇔ ⇔ ⇔



+ + + = + +
+ − =



=



− −
=

 
− + − +

⇔ ⇔ = ⇔ =
 ÷
 ÷

− +
 
=



Vây, pt có nghiệm