Đáp án đề thi HSG Toán 9

ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: TOÁN
Đáp án, thang điểm này có 3 trang
Câu Nội dung Điểm
1
a
ĐK:
0, 1x x
≥ ≠
A =
1
)1)(1(
++
++−
xx
xxxx
- 2
)1(21 ++− xx
= x -
1+x
0,25
0,5
0,25
b
Ta có: x -
x
+ 1 = (
x
-
2

1
)
2
+
4
3
⇒
A
≥
4
3
, dấu bằng xảy ra khi
x =
4
1
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
4
3
, tại x =
4
1
0,25
0.25
c
Ta có B =
A
x2
=
1

1
2
−+
x
x
=
M
2
, với M =
1
1
−+
x
x
Với x
〉
0, x
≠
1 thì
1
1
−+
x
x
〉
1, do đó 0
〈
B
〈
2, nên B nguyên

khi B = 1
Khi đó tìm ra được: x =
2
531±
.
0,25
0,25
2
a
1 (1)
2 (2)
3 (3)
xy
yz
zx
=


=


=


Nhân vế với vế của các phương trình ta được
2 2 3
6 (4)x y z =
hay
6xyz = ±
so sánh (4) với (1), (2) và (3) rồi suy ra

hệ có hai nghiệm
6 6
( , , 6)
2 3
v à
6 6
( , , 6)
2 3
− − −
0,5
0,5
b
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 1
1 0 1
1 ( 1) 1( 2) 0
1
1
| | 1
| | 2
x x x x
x x
x x x x
x
x
x
x
− + = ⇔ − = −

 
− ≥ ≥
 
⇔ ⇔
 
− = − − − =
 
 
 ≥



≤ −


⇔

=




=


Vậy phương trình có 4 nghiệm:
1 2 3 4
1; 1; 2; 2x x x x= = − = = −
0,25
0,25

0,25
0,25
c Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2007 số 1 và 2 số x
2009
, ta có:
2009
2009 2.2009 2
2007 2
2009
x
x x
+
≥ =
(1)
Tương tự:
2009
2.2009 2
2009
2007 2
2009
y
y y
+
≥ =
(2)
2009
2009
2.2009 2
2007 2
2009

z
z z
+
≥ =
(3)
Cộng từng vế của (1) (2) và (3) ta có:
2009 2009 2009
2 2 2
3.2007 2( )
3
2009
x y z
F x y z
+ + +
= + + ≤ =
Như vậy
ax
3
M
F
=
đạtđược khi
1x y z
= = =
vì
( , , 0)x y x
≥
0,25
0,25
0,25

0,25
3

13
4 20'
3
h h
=
Gọi quãng đường AC là x (km) , x>0.
Gọi quãng đường CB là y (km) , y>0.
Khi đi từ A đến B:
- Thời gian lên dốc:
10
x
(h)
- Thời gian xuống dốc:
15
y
(h)
Ta có phương trình:
13
(1)
10 15 3
x y
+ =
0,25
0,25
0,25
Khi đi từ B về A:
- Thời gian lên dốc:

10
y
(h)
- Thời gian xuống dốc:
15
x
(h)
Ta có phương trình :
4 (2)
15 10
x y
+ =
Từ (1) và (2) ta có hệ:
13
10 15 3
4
15 10
x y
x y

+ =




+ =


Giải hệ ta được nghiệm x=30 và y=20
Vậy Quãng đường AC là 30 km, quãng đường CB là 20 km

0,25
0,25
0,5
0,25
a MO, MO’ lần lượt là tia phân giác của hai góc kề bù AMT và
AMT’
nên góc OMO’=90
o

0,5
0,5
b
Tam giác OMO’ vuông ở M có
'MA O O
⊥
nên:
MA
2
= OA.OA’(HTL trong tam giác vuông)
Suy ra : MA =
OA.OA' R.R'=
0,5
0,5
c
Chứng minh:
∆
SO’M ~
∆
SMO suy ra:
2

SO' SM
hay SO.SO '= SM
SM SO
=
∆
SAT~
∆
ST’A suy ra:
2
ST SA
hay ST.ST' = SA
SA ST '
=
0,5
0,5
Chú ý: Học sinh có cách giải khác đúng thì cho theo thang điểm của bài
T
O A
M
’
’
O
’
S
T
’