đề thi học sinh giỏi thành phố hà nội từ năm 1995 - 2009

SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 1995-1996
Môn thi: Toán 12 (vòng1)
Ngày thi:23-12-1995
Thời gian làm bài:180 phút
Bài I
Xét đường cong:
3 2
y mx nx mx n= − − +
(C)
Tìm các cặp số (m; n) sao cho trong các giao điểm của (C) với trục hoành có hai giao điểm
cách nhau 1995 đơn vị và khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến trục hoành là 2000 đơn
vị.
Bài II
Với những giá trị nào của m thì trong khoảng
0;
2
π
 
 ÷
 
ta luôn có:
3 2 2
sin 2 os 3 sin osm mc m c
α α α α
+ ≤
Bài III
Cho hai dãy số
( )
n
a

và
( )
n
b
trong đó với mọi i = 1, 2, 3… ta luôn có:
3
1
4
i
i i
a
a a
+
= −
và
i i
b a=
Chứng minh rằng: có ít nhất một giá trị của
i
a
sao cho dãy
( )
n
b
có giới hạn khác 0.
Bài IV
Cho hình Elíp
2 2
2 2
1

x y
a b
+ =
với tâm O và các tiêu điểm
1 2
,F F
. Qua O,
1
F
vẽ các đường
song song MOM', MF
1
N'. Tính tỉ số:

1 1
. '
. '
OM OM
F N F N
1
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 1996-1997
Môn thi: Toán 12 (vòng1)
Ngày thi:21-12-1996
Thời gian làm bài:180 phút
Bài I
Cho dãy
( )
n
x

xác định bởi điều kiện:
x
1
= a ;
2
1
3
4
n n n
x x x
+
− + =
; ( n = 1; 2; 3…)
Tìm giá trị của a sao cho: x
1996
= x
1997
Bài II
Hàm số f(x) được xác định bằng hệ thức:
2
(1 ) 2 ( ) sinf x f x x− + =
Chứng minh rằng:
2
sinf(x)
2
p
Bài III
Cho phương trình:
( )
3 2

os2x+ m+3 os2 =8sin 2 os 2 sin +m+4c c c x m
α α α
− +
Hãy xác định giá trị của m sao cho với mọi giá trị của
α
thì phương trình có nghiệm.
Bài IV
Trên mặt phẳng toạ độ vuông góc Oxy, cho các điểm A(-1; 0); B(2; 0);
H(-2; 0); và M(-1; -0,6). Kẻ đường thẳng
( )
∆
vuông góc với AB tại H và đường tròn (C)
nhận AB làm đường kính.
Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn tiếp xúc với
( )
∆
và tiếp xúc trong với (C) sao cho điểm
M nằm ở bên ngoài đường tròn (I).
2
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 1997-1998
Môn thi: Toán 12 (vòng1)
Ngày thi:25-12-1997
Thời gian làm bài:180 phút
Câu 1 (5 điểm):
Cho hàm số
( )
2
2
x

e
f x
e e
=
+
1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
ln 2;ln 5
 
 
2. Tính tổng
1 2 3 1996 1997
( )
1998 1998 1998 1998 1998
S f f f f f
       
= + + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
Câu 2 (5 điểm):
Tìm a để phương trình sau có đúng 3 nghiệm:
( )
( )
( )
2
4
2 sin 1
2
1
3 log 4 6 3 log 0
2 sin 1 1

x x
x a
x x
x a
π π
− −
− − +
+ + + =
− + +
Câu 3 (5 điểm):
Cho
1 2 3 4
, , ,
6 4
x x x x
π π
≤ ≤
Chứng minh rằng:
( )
( )
2
1 2 3 4
1 2 3 4
4 3 1
1 1 1 1
cotgx cotgx cotgx cotgx
cotgx cotgx cotgx cotgx
3
+
 

+ + + + + + ≤
 ÷
 

Câu 4 (5 điểm):
Trong hệ toạ độ trực chuẩn xOy cho đường thẳng (d) có phương trình:
3 17
4 12
y x= +
1. Tìm điểm M(a; b) với
,a b Z∈
sao cho khoảng cách từ M tới (d) nhỏ nhất và độ dài
đoạn OM ngắn nhất.
2. Cho đường tròn (C) tâm M(-2; 0) tiếp xúc với Oy.
Tìm tập hợp tâm các đường tròn tiếp xúc với Ox và tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).
3
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 1998-1999
Môn thi: Toán 12
Ngày thi:9-12-1998
Thời gian làm bài:180 phút
Câu 1 (5 điểm):
Cho họ đường cong (C
m
):
3 2
3 4y x x mx m= − + + −
( m là tham số)
Đường thẳng (d): y=3-x cắt một đường cong bất kỳ (C) của họ (C
m

) tại 3 điểm phân biệt A,
I, B (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A và tiếp tyuến tại B của (C) lần lượt cắt đường cong tại điểm
thứ hai là M và N. Tìm m để tứ giác AMBN là hình thoi.
Câu 2 (5 điểm):
Giải hệ phương trình:
( )
6 4
sinx
siny
10 x 1 3 2
5
;
4
x y
e
y
x y
π
π
−

=



+ = +






p p
Câu 3 (5 điểm):
Chứng minh bất đẳng thức:
1 1 1
2
1 os4a 1 os8a 1 os12ac c c
+ +
+ + −
f
Với
a∀
làm vế trái có nghĩa.
Có thể thay số 2 ở vế phải bằng một số vô tỷ để có một bất đẳng thức đúng và mạnh hơn
không?
Câu 4 (5 điểm):
Cho 2 đường tròn thay đổi (C) và (C') luôn tiếp xúc với một đường thẳng lần lượt tại 2
điểm A và A' cố định. Tìm quỹ tích giao điểm M của (C) và (C') biết rằng chúng luôn cắt
nhau dưới một góc
α
cho trước (
α
là góc tạo bởi hai tiếp tuyến của hai đường tròn tại
M ).
4
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 1999-2000
Môn thi: Toán 12
Ngày thi:11-12-1999
Thời gian làm bài:180 phút

Câu 1 (5 điểm):
Cho hai hàm số
( )
1
x
f x
x
=
+
và
( ) arctgxg x =
1. Cmr: đồ thị của chúng tiếp xúc nhau.
2. Giải bất phương trình:
( ) ( )f x g x x≥ +

Câu 2 (5 điểm):
Cho tam giác ABC thoả mãn:
( )
( )
( )
2 2 2
2
3
4
cot cot cot
3 cot cot cot 2 2 2
a b c
m m m
A B C
abc g g g

gA gB gC
+ +
=
+ +
Cmr: tam giác ABC đều.
Câu 3 (5 điểm):
Tìm tham số a sao cho phương trình:
( )
( )
( )
2 2
1
2
4 4
log 5 10 34 2 0
4 2 2 2 4
a
x a x a
x x a x a
π
π
π π π
π π
 
+ +
− − + − − − + + =
 ÷
 ÷
− − − − +
 

có ít nhất một nghiệm nguyên.
Câu 4 (5 điểm):
Trong hệ toạ độ trực chuẩn Oxy cho đường tròn (C) có phương trình:
2 2
4x y+ =
1. Tìm tham số m để trên đường thẳng y=m có đúng 4 điểm sao cho qua mỗi điểm có 2
đường thẳng tạo với nhau góc 45
0
và chúng đều tiếp xúc với đường tròn (C).
2. Cho 2 điểm A(a;b), B(c;d) thuộc đường tròn (C) chứng minh:
4 3 4 3 4 3 6a b c d ac bd− − + − − + − − ≤
.
5
Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội
Kỳ thi chọn đội tuyển lớp 12 thành phố
tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia năm học 2000-2001.
Môn thi: Toán
Ngày thi: 29 tháng 12 năm 2000
Thời gian làm bài: 180phút
______________________
Câu I (4 điểm):
Cho các số thực a
1
, a
2
, ,a
n
; b
1
, b

2
, , b
n
; c
1
, c
2
, , c
n
thoả mãn điều kiện a
i
>0 và
a
i
c
i
b
i
2
, i=1, 2, 3, , n.
Chứng minh rằng: (a
1
+a
2
+ +a
n
).(c
1
+c
2

+ +c
n
)(b
1
+b
2
+ +b
n
)
2
Câu II (4 điểm):
Gọi N
*
là tập hợp tất cả các số nguyên dơng.
Hãy tìm tất cả các hàm f : N
*
N
*
thoả mãn điều kiện:



+

=+
lẻ n nếu12n
chẵn n nếun
)n(f))n(f(f
12
Câu III (4 điểm):

Một hình lập phơng kích thớc 8x8x8 đợc chia thành lới các hình lập phơng đơn vị. Ta
gọi một cột của lới là một hình hộp chữ nhật với các cạnh nằm trên các đờng lới có kích thớc
là: 1x8x8 hoặc 8x1x8 hoặc 8x8x1. Chứng minh rằng ta có thể đánh dấu 64 hình lập phơng
đơn vị sao cho trong 8 hình lập phơng đánh dấu tuỳ ý có 2 hình lập phơng cùng nằm trên một
cột và trong bất kỳ một cột nào đều có 8 hình lập phơng đợc đánh dấu.
Câu IV (4 điểm):
Cho P(x) là một đa thức bậc n với hệ số thực có n nghiệm thực phân biệt trong khoảng
(1; ).
Giả sử Q(x)=(x
2
+1).P(x).P(x)+x.{[P(x)]
2
+[P(x)]
2
}, xR
Chứng minh rằng đa thức Q(x) có ít nhất 2n-1 nghiệm thực phân biệt.
Câu V (4 điểm):
Cho tam giác ABC. Giả sử P là một điểm di động trên đoạn thẳng AB, Q là một điểm
di động trên đoạn thẳng AC. Gọi T là giao điểm của hai đoạn thẳng BQ và CP. Hãy tìm vị trí
của P và Q sao cho PQT có diện tích lớn nhất.
________________________________________________
S GD-T H NI K THI HC SINH GII THNH PH H HI
Nm hc 2001-2002
Mụn thi: Toỏn 12
Ngy thi: 8-12-2001
6
Thi gian lm bi:180 phỳt
Hc sinh: Ngc Nam a1k4 thi t 6 im
Cõu 1 (4 im):
Cho hm s

4 2 2
2y x m x n= +
Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m v n th cú 3 im cc tr l cỏc nh ca mt tam giỏc
u ngoi tip mt ng trũn cú tõm l gc to .
Cõu 2 (4 im):
Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca a v b tho món iu kin:
1
2
a


v
1
a
b
f
sao cho biu thc
( )
3
2 1a
P
b a b
+
=

t giỏ tr nh nht.
Tỡm giỏ tr nh nht ú.
Cõu 3 (4 im):
Gii bt phng trỡnh:
3

2 log
6
1 2 1
x
x x
+

p
Cõu 4 (4 im):
Tỡm cỏc giỏ tr ca x, vi mi giỏ tr ca y luụn tn ti giỏ tr ca z tho món:
( )
3
1
2
sin os 2x+
2 3 2 osx
y
x y z y c
c



+ + = + +
ữ

Cõu 5 (4 im):
Cho Elớp (E) cú 2 tiờu im l F
1
v F
2

. Hai im M v N trờn (E). Chng minh rng: 4
ng thng MF
1
, MF
2
, NF
1
, NF
2
cựng tip xỳc vi mt ng trũn.
Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội
Kỳ thi chọn đội tuyển lớp 12 thành phố
tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia năm học 2001-2002.
Môn thi: Toán
7
Ngµy thi: 29 th¸ng 12 n¨m 2000
Thêi gian lµm bµi: 180phót
______________________
Câu 1. (4 điểm)
Chứng minh rằng không tồn tại 19 số nguyên dương phân biệt a
1
; a
2
; ;a
19
thỏa mãn đồng thời
các điều kiện sau:
S(a
1
) = S(a

2
) = = S(a
19
), ở đó S(n) là tổng các chữ số của số nguyên dương n trong hệ biểu
diễn thập phân
Và a
1
+ a
2
+ + a
19
= 2001.
Câu 2. (4 điểm)
Chứng minh rằng:
( )
2 2
2 2
sin ,
x x
x x
x
π
π
π
−
> ∀ >
+
Câu 3. (4 điểm)
Tính limx
n

biết dãy x
n
được xác định như sau:
1 2
2
2 1
1; 1
1
1
2
n n n
x x
x x x n
+ +
= = −



= − ∀ ≥


Câu 4. (4 điểm)
Hai người tham gia một trò chơi với luật chơi như sau: Họ lần lượt viết trên cùng một bảng ,
mỗi lần chỉ viết một số là ước nguyên dương lớn hơn 1 của 100! (nhưng không được viết lặp
lại). Người thua cuộc là người mà sau lượt đi của mình thì tất cả các số trên bảng là nguyên
tốt cùng nhau. Hỏi ai là người chiến thắng trong trò chơi trên?
Câu 5. (4 điểm)
Cho tam giác nhọn không cân A
1
BC nội tiếp trong đường tròn (C). Gọi H

1
là trực tâm của
tam giác A
1
BC
1) Dựng điểm A
2
khác A
1
nằm trên cung lớn BC của đường tròn (C) sao cho trực tâm H
2
của tam giác A
2
BC nằm trên đường tròn đường kính A
1
H
1.
2) Đường thẳng H
1
H
2
cắt A
2
B, A
2
C lần lượt tại M, N. Cmr: A
1
M = A
1
N (?)

SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 2002-2003
Môn thi: Toán 12
Ngày thi: 7-12-2002
Thời gian làm bài:180 phút
Bµi I (4 ®iÓm)
8
Cho hàm số y=
2x
3x)m121(mx
22
+
+++
Tìm giá trị của tham số m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tiếp xúc với đờng tròn có
tâm I(0; 1) và có bán kính lớn nhất.
Bài II (4 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, chứng minh bất đẳng thức
tg
5
A+ tg
5
B+ tg
5
C 9 (tgA+tgB+tgC)
Bài III (4 điểm)
Tìm quỹ tích điểm M(x; y) có toạ độ thoả mãn hệ:

=
=++
ysinx.33y7cosycos
x314xx
35
Bài IV (4 điểm)
Tìm tham số a (a 0) để bất phơng trình a
3
x
4
+6a
2
x
2
-x+9a+3 0
nghiệm đúng với x [2008; 2009]
Bài V (4 điểm)
Trong hệ toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phơng trình: xy=k
2
(k0). Một đờng tròn (C)
tâm J cắt (H) tại 4 điểm A
1
, A
2
, A
3
, A
4
. Chứng minh:

1. Nếu J thuộc A
1
A
3
thì O thuộc A
2
A
4
2. Các trực tâm của 4 tam giác A
1
A
2
A
3
, A
1
A
2
A
4
, A
1
A
3
A
4
, A
2
A
3

A
4
cùng nằm trên
một đờng tròn.
Kỳ thi chọn đội tuyển lớp 12 thành phố
tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia năm học 2002-2003.
Môn thi: Toán
Ngày thi: 28 tháng 12 năm 2000
Thời gian làm bài: 180phút
______________________
Cõu 1. (4 im)
Gi s n l s t nhiờn khỏc 0 sao cho 2
n
v 5
n
bt u cựng bng ch s a. Hóy tỡm ch s a.
Cõu 2. (4 im)
9
Giải hệ phương trình sau:
3 3
cos cos cos
2
3
sin sin sin
2
x y z
x y z

+ + =





+ + =


Câu 3. (4 điểm)
Chứng minh rằng không tồn tại đa thức f(x) có bậc 4 thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
1) f(x) có các hệ số hữu tỉ
2)
( )
min 2f x = −
¡
Câu 4. (4 điểm)
Trong không gian cho đường gấp khúc L có độ dài m. Gọi a, b, c là độ dài các hình chiếu của
L lên ba mặt phẳng tọa độ.
1) Chứng minh rằng: a + b + c
6m≤
2) Tồn tại hay không đường gấp khúc đóng L sao cho a + b + c = m
6
Câu 5. (4 điểm)
Hãy tìm số tự nhiên k lớn nhất sao cho với mọi cách tô đen 2002 ô của một tờ giấy kẻ ô
vuông vô hạn thì luôn chọn ra được k ô đen đôi một không có điểm chung.
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 2003-2004
Môn thi: Toán 12
Ngày thi: 5-12-2003
Thời gian làm bài:180 phút
Câu 1 (4 điểm):
Giải và biện luận theo tham số a số nghiệm của phương trình:

10
3 2 3
( 2) 2003( 3) 0
n n n
n x n x a
+ + +
+ − + + =
( với n là số tự nhiên lẻ )
Câu 2 (4 điểm):
Cho đường cong (C) có phương trình
4 2
4 3y x x= − + −
.Tìm m và n để đường thẳng
y mx n= +
cắt đường cong (C) tại 4 điểm phân biệt A, B , C, D ( theo thứ tự ) sao cho
1
2
AB CD BC= =
.
Câu 3 (4 điểm):
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi R và R' lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác có độ dài 3 cạnh là GA, GB, GC.
Cmr:
Nếu có 9R'= 2R(sinA+sinB+sinC) thì tam giác ABC đều.
Câu 4 (4 điểm):
Giải các phương trình sau:
1.
2cosx+sin19x-5 2 sin 21 3 2 sin10x x= −
2.
5 3

32 40 10 3 0x x x− + − =
Câu 5 (4 điểm):
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P):
2
2y px=
( p>0 ), tiêu điểm là F. Từ một
điểm I kẻ 2 đường thẳng tiếp xúc với (P) tại M và N.
1. Cmr:
FIM∆
đồng dạng với
FIN∆
.
2. Một đường thẳng (d) tuỳ ý tiếp xúc với (P) tại T và cắt IM, IN tại Q và Q'.
Cmr:
FQ.FQ'
FT
không phụ thuộc vị trí của (d).
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 2004-2005
Môn thi: Toán 12
Ngày thi: 3-12-2004
Thời gian làm bài:180 phút
Bài 1 (4 điểm):
11
Cho hm s: f(x)=
1
5
4
54
+ xmx

v
122004
3
)(
3
2
= xx
m
xg
cú th l (C) v (C).
Hy tỡm tt c cac giỏ tr ca tham s m tn ti 4 ng thng khỏc nhau, cựng song song
vi trc tung v mi ng trong chỳng u ct (C) v (C) ti hai im sao cho tip tuyn
tng ng ca (C)v (C) ti hai im ú song song vi nhau.
Bi 2 (4im):
Cho bt phng trỡnh:
222
2222 xxaaxxxxx
xx
+<
1.Gii bpt khi a=-1.
2.Tỡm a bpt cú nghim x>1.
Bi 3 (4im):
Gii phng trỡnh:
)(493)(
sincos
2223
2
22

xx

xx

+=+
Bi 4 (4im):
Mt t giỏc cú di ba cnh bng 1 v din tớch bng
4
33
.Hóy tớnh di cnh cũn li
v ln cỏc gúc ca t giỏc.
Bi 5 (4im):
Cho t din ABCD DA=a, DB=b, DC=c ụi mt vuụng gúc vi nhau.Mt im M tu ý
thuc khi t din.
1.Gi cỏc gúc to bi tia DM vi DA, DB, DC l

.,,
.
Cmr:
2sinsinsin
222
=++

2.Gi
DCBA
SSSS ,,,
ln lt l din tớch cỏc mt i din vi nh A, B, C, D ca khi t
din. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:

DCBA
SMDSMCSMBSMAQ +++=
sở giáo Dục & Đào tạo hà nội

kỳ thi học sinh giỏi thành phố-lớp 12
Năm học 2005-2006
Môn thi: Toán
Ngày thi: 01 - 12 - 2005
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài I (4 điểm)
Cho phơng trình:
0m35x2x)
3
5
m(x2x
3222
=+++++
Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.
12
Bài II (4 điểm)
Gọi A, B, C là 3 góc của tam giác ABC, chứng minh bất đẳng thức:

Csin.Bsin.Asin
4
A3C
sin.
4
C3B
sin.
4
B3A
sin
+++
Bài III (4 điểm)

Giải hệ phơng trình:





=+
=++++


020062005.22004
0)y2005x121)(yx21(1yx2
2
y1
x1yx
2
Bài IV (4 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn bán kính R. Gọi diện tích tứ giác là S v độ
dài các cạnh là AB=a, BC=b, CD=c, DA=d .
1. Chứng minh đẳng thức: (4RS)
2
=(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)
2. Chứng minh rằng nếu 4(SR)
4
= (abcd)
3
thì tứ giác là hình vuông.
Bài V (4 điểm)
Hình chóp S.ABC có các cạnh bên đôi một vuông góc và SA=a, SB=b, SC=c. Gọi A, B,
C là các điểm di động lần lợt thuộc các cạnh SA, SB, SC nhng luôn thỏa mãn

SA.SA=SB.SB=SC.SC. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và I là giao điểm của SH với
mặt phẳng (ABC).
1. Chứng minh mặt phẳng (ABC) song song với một mặt phẳng cố định và H thuộc
một đờng thẳng cố định.
2. Tính IA
2
+IB
2
+IC
2
theo a, b, c.
hết
S GD-T H NI K THI HC SINH GII THNH PH H HI
Nm hc 2006-2007
Mụn thi: Toỏn 12
Ngy thi:15-11-2006
Thi gian lm bi:180 phỳt
Hc sinh: Trn Huy Chung lp a2k6 thi t 10 im
Cõu 1 (5 im):
Gi
( )
m
C
l th ca hm s
4 2 2 4
6 4 6y x m x mx m= + +
( m l tham s)
1. Tỡm cỏc giỏ tr ca m
( )
m

C
cú 3 im cc tr A, B, C.
2. Chng minh rng tam giỏc ABC cú trng tõm c nh khi tham s m thay i.
Cõu 2 (3 im):
Gii cỏc phng trỡnh sau:
13
1.
5 3
15 11 28 1 3x x x+ + =
( tinh don dieu, nghiem x = - 1 , vt dong bien, vp nghbien)
2.
( )
2 2
4 1 1 2 2 1x x x x + = + +
( pt an la sqrt(1 + x
2
) )
Cõu 3 (3 im):
Tam giỏc ABC cú di cỏc cnh l a, b, c v bỏn kớnh R ca ng trũn ngoi tip tho
món h thc:
( )
3 2bc R b c a

= +

. Chng minh rng tam giỏc ú l tam giỏc u.
Cõu 4 (4 im):
Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s a h phng trỡnh sau cú nghim:
( )
( ) ( )

2 2
2 2
2 1
y y y
12 os 5 12 os 7 24 os 13 11 sin
2 2 2 3
3
2 1 2
4
x y
c c c
x y a x y a





+ + =




+ = +



Cõu 5 (5 im):
Cho t din u ABCD cú cnh bng 1. Cỏc in M, N ln lt chuyn ng trờn cỏc on
AB, AC sao cho mt phng (DMN) luụn vuụng gúc vi mt phng (ABC). t AM=x,
AN=y.

1. Cmr: mt phng (DMN) luụn cha mt ng phng c nh v
x + y = 3xy.
2. Xỏc nh v trớ ca M, N din tớch ton phn t din ADMN t giỏ tr nh nht v
ln nht.Tớnh cỏc giỏ tr ú.
Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội
Kỳ thi chọn đội tuyển Học Sinh Giỏi lớp 12 thành phố
năm học 2006-2007
Môn thi: Toán
Ngày thi: 28 tháng 11 năm 2006
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I (4 điểm)
Giải hệ phơng trình sau:







=
+

+
=
+
+
+
0
yx
yx2

y
2
yx
y2x
x
22
22
Câu II (4 điểm)
Cho , R. Chứng minh rằng nếu tập hợp
A

,

=
{ }
Zn0 )ncos()ncos( +
14
là hữu hạn thì và là các số hữu tỷ.
Câu III (4 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phơng trình :
2x
4
+ 1 = y
2
Câu IV (4 điểm)
Cho tam giác ABC và M là một điểm tùy ý nằm ở miền trong của tam giác đó. Chứng
minh rằng:
min
{ }
CABCABMCMBMA MC MB, MA, ++<+++

Câu V (4 điểm)










+

>=


=
+
)2n( kxx)2n(x
x3x
)0a,Ra( ax
1n
1k
kn1n
12
1
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dơng n
0
sao cho
0

n
x
> 2006 !
Hết
Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội
Kỳ thi chọn đội tuyển Học Sinh Giỏi lớp 12 thành phố
năm học 2006-2007
Môn thi: Toán
Ngày thi: 28 tháng 11 năm 2007
Thời gian làm bài: 180 phút
Cõu 1. (4 im)
Hóy tỡm tt c cỏc b ba s nguyờn t (a; b; c) tha món h sau:
2 7 1826
3 5 7 2007
a b c
a b c
+ =


+ + =

Cõu 2. (4 im)
Cho cỏc s thc a, b, c, d tha món abcd > a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2

. Cmr: abcd > a + b + c + d + 8.
Cõu 3. (4 im)
Trong mt ng trũn cho 2 dõy AB v CD ct nhau ti M. Gi N l trung im ca BD,
ng thng MN ct AC ti K. Cmr:
2
2
AK AM
KC CM
=
Cõu 4. (4 dim)
Tỡm tt c cỏc hm
:f Ă Ă
tha món:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2
1 1 1 1 2 , ,f x z f y z f z x f y z z x f y x y z+ + + = + + + Ă
15
Câu 5. (4 điểm)
Trên mặt phẳng cho 50 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và mỗi điểm được
tô bằng 1 trong 4 màu. Chứng minh rằng tồn tại 1 màu và ít nhất 130 tam giác không cân với
các đỉnh được tô bởi màu này.
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 2008-2009
Môn thi: Toán 12

Ngày thi:26-11-2008
Thời gian làm bài:180 phút
Học sinh: Vương Xuân Hồng a1k7 thi đạt 12 điểm giành giải khuyến khích.
Bài 1 (5 điểm)
Cho hàm số y = x
3
+ 3(m + 1)x
2
+ 3(m
2
+ 1)x + m
3
+ 1 (m là tham số)
1. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại cực tiểu.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị (C
m
) của hàm số đã cho chỉ cắt trục
hoành tại một điểm.
Bài 2. (5 điểm)
1. Giải phương trình:
(
)
( ) ( )
3 3
2
2 1 1 1 1 5x x x x
 
+ − + − − =
 
 

( dat x = sint)
2. Cho x và y là các số thực thỏa mãn phương trình: x
2
+ y
2
– 4x – 6y + 12 = 0. Tìm x, y
sao cho A = x
2
+ y
2
đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
Bài 3. (5 điểm)
16
1. Cho a, b, c là ba kích thước của một hình hộp chữ nhật có đường chéo bằng
3
.
Chứng minh:
2 2 2 2 2 2
3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
2. Cho dãy số (u
n
) với
2
1
4 1

n
u
n
=
−
. Thành lập dãy số(s
n
) với
1
n
n k
k
s u
=
=
∑
. Tìm
lim
n
s
Bài 4. (5 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có SA là đường cao và đáy là hình chữ nhật ABCD, biết SA = a,
AB = b, AD = c.
1. Trong mặt phẳng (SBD), vẽ qua trọng tâm G của tam giác SBD một đường thẳng cắt
cạnh SB tại M và cắt cạnh SD tại N. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC của hình chóp
S.ABCD tại K. Xác định vị trí của M trên cạnh SB sao cho thể tích của hình chóp
S.AMKN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Tính các giá trị đó theo a, b, c.
2. Trong mặt phẳng (ABD), trên tia At là phân giác trong của góc BAD ta chọn một điểm
E sao cho góc BED bằng 45
0

. Cmr:
( )
( )
2 2
2 2
2
b c b c
AE
+ + +
=
17