Một số BĐT ôn thi đại học

Gv Giáp Thế C ờng_THPT Bố Hạ
bất đẳng thức Côsi
Câu 1: Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn: a + b + c = 3. CMR:
4 4 4 3 3 3
a b c a b c+ + + +
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định:
20 20
y sin x cos x= +
Câu 3: Cho x, y là các số thực dơng thỏa mãn: x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức:
x y
P
1 x 1 y
= +

Câu 4: Cho a, b, c dơng thỏa mãn: abc=1. Tìm GTNN của:
2 2 2 2 2 2
bc ca ab
P
a b a c b a b c c a c b
= + +
+ + +
Câu 5: Cho x, y,, z là các số thực dơng. CMR:
3 2 3 2 3 2 2 2 2
2 x 2 y 2 z 1 1 1
x y y z z x x y z
+ + + +
+ + +
Câu 6: CMR nếu
a, b,c 0
a b c 1
>

+ + =



thì
b c 16abc+
.
Câu 7: CMR với mọi x, y, z dơng ta có:
2 2 2
1 1 1 x y z
2xyz
x yz y zx z xy
+ +
+ +
+ + +
Câu 8: Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn
x y z 3+ +
. CMR:
2 2 2
x y z 3 1 1 1
2 1 x 1 y 1 z
1 x 1 y 1 z
+ + + +
+ + +
+ + +
Câu 9: CMR với a, b, c là các số thực thỏa mãn a+b+c=0 ta có:
a b c a b c
8 8 8 2 2 2+ + + +
Câu 10: Cho x, y là hai số thực dơng thỏa mãn:
x y 1+

. Tìm GTNN của:
2 2
1 1
P 4xy
xy
x y
= + +
+
Câu 11: Cho x, y, z dơng thỏa mãn: x+y+z=1. Tìm GTLN của biểu thức:
x y z
P
x 1 y 1 z 1
= + +
+ + +
Câu 12: Cho x, y, z dơng thỏa mãn:
x y z 1+ +
. CMR:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
x y z 82
x y z
+ + + + +
.
Câu 13: Cho x, y, z dơng thỏa mãn
1 1 1
4
x y z
+ + =
. CMR:

1 1 1
1
2x y z x 2y z x y 2z
+ +
+ + + + + +
.
Câu 14: Cho x, y, z dơng thỏa mãn xyz=1. CMR:
3 3 3 3 3 3
1 x y 1 y z 1 z x
3 3
xy yz zx
+ + + + + +
+ +
Câu 15: Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có:
( )
2
y 9
1 x 1 1 256
x
y
+ + +


ữ
ữ


.
Câu 16: Cho x, y, z là ba số thỏa mãn: x + y + z = 0. Chứng minh rằng:
x y z

3 4 3 4 3 4 6+ + + + +
.
Câu 17: Cho a, b, c là các số dơng thỏa mãn
3
a b c
4
+ + =
. CMR:
3 3 3
a 3b b 3c c 3a 3+ + + + +
Câu 18: Cho x, y, z thỏa mãn:
x y z
3 3 3 1

+ + =
. CMR:
x y z x y z
x y z y z x z x y
9 9 9 3 3 3
4
3 3 3 3 3 3
+ + +
+ +
+ +
+ + +
Câu 19: Cho hai số dơng x, y thỏa mãn điều kiện
x y 4+
. Tìm GTNN của:
2 3
2

3x 4 2 y
A
4x
y
+ +
= +
.
Câu 20: Cho
a 2,b 3,c 4
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
ab c 4 bc a 2 ca b 3
F
abc
+ +
=
.
1
Gv Giáp Thế C ờng_THPT Bố Hạ
Câu 21: Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
3 3 3 2 2 2
3 3 3 2 2 2
x y z x y z
y z x y z x
+ + + +
.
Câu 22: Cho a, b, c dơng. Chứng minh rằng:
3 3 3
a b c
ab bc ca
b c a

+ + + +
.
Câu 23: Cho x, y, z dơng. Chứng minh rằng:
( )
4 4 4
3 3 3
x y z 1
x y z
y z z x x y 2
+ + + +
+ + +
Câu 24: Cho x, y, z là ba số dơng thỏa mãn: xyz = 1. Chứng minh rằng:
2 2 2
x y z 3
1 y 1 z 1 x 2
+ +
+ + +
.
Câu 25: Chứng minh với ba số dơng a, b, c bất kì thì:
3 3 3
3 3 3
a b c a b c
b c a
b c a
+ + + +
Câu 26: CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì:
2 2 2
3a 3b 3c 4abc 13+ + +
Câu 27: Cho bốn số dơng a, b, c, d. Chứng minh rằng:
2 2 2 2

5 5 5 5 3 3 3 3
a b c d 1 1 1 1
b c d a a b c d
+ + + + + +
Câu 28: CMR với ba số dơng a, b, c tuỳ ý ta có:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abc
a b abc b c abc c a abc
+ +
+ + + + + +
Câu 29: Cho x, y, z là các số thực dơng. Tìm GTNN của:
x 1 y 1 z 1
P x y z
2 yz 2 zx 2 xy


= + + + + +
ữ ữ
ữ


Câu 30: Cho a, b, c dơng. Chứng minh rằng:
1)
( )
2
2 2 2
4 a b
a b c
a b c

b c a a b c

+ + + + +
+ +
2)
2 2 2
b c c a a b 1 1 1
a b c
a b c
+ + +
+ + + +
3)
( ) ( ) ( )
( )
2
1 1 1 27
b a b c b c a c a
2 a b c
+ +
+ + +
+ +
4)
( )
2 2 2
a b c 2 ab ac+ + +
5)
( )
( )
3 3 3
2

2 2 2
2 a b c
9 a b c
33
abc
a b c
+ +
+ +
+
+ +
Câu 31: Cho a, b, c > 0 thoả mãn:
abc 1
. CMR:
1 1 1
1
1 a b 1 b c 1 c a
+ +
+ + + + + +
Câu 32: Cho a, b, c > 0:
abc 1=
. CMR:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b c 3
a 1 b 1 b 1 c 1 c 1 a 1 4
+ +
+ + + + + +
Câu 33: Cho a, b, c > 0:
a b c 3+ + =
. CMR:
a b c ab bc ca+ + + +

Câu 34: Cho a, b, c, d dơng. CMR:
3 3 3 3
1 1 1 1 a b c d
abcd
a b c d
+ + +
+ + +
Câu 35: Cho
a, b 0 : a b 2 + =
. CMR:
( )
2 2 2 2
a b a b 2+
Câu 36: Cho a, b, c > 0:
a b c 1+ + =
. CMR:
2 2 2
1 1 1 1
30
ab bc ca
a b c
+ + +
+ +
Câu 37: Cho a, b, c > 0:
2 2 2
a b c 1+ + =
. CMR:
1
a b c 4 3
abc

+ + +
Câu 38: Cho a, b, c > 0:
a b c 1+ + =
. CMR:
2 2 2
a b c 2 3abc 1+ + +
2