Tìm số dư phép chia

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH BỎ TÚI
Chuyên đề:
Tìm số dư của phép chia - Ứng dụng của quan hệ đồng dư
A. Phương pháp giải toán
Bài toán 1: Tìm số dư của phép chia số nguyên dương cho số nguyên dương ( có tối đa
10 chữ số).
Thuật toán:
1. Nếu số các chữ số của không vượt quá 10. Ta làm như sau:
Tìm phần nguyên của thương . Gọi phần nguyên đó là . Thì số dư của phép chia ( Kí
hiệu là ) là:
2. Nếu số các chữ số của lớn hơn 10. Ta làm như sau:
Giả sử có dạng:
Đầu tiên ta tìm số dư của phép chia cho bằng cách 1. Giả sử số dư này là (
ít hơn 10 chữ số).
Tiếp theo ta tìm số dư cảu phép chia cho ( có 10 chữ số). Giả sử
số dư này là ( ít hơn 10 chữ số).
Cứ làm như thế cho đến khi ta tìm được số dư của phép chia cho (
không quá 10 chữ số).
Giả sử số dư đó là . Thì cũng là số dư của phép chia cho .
Bài toán 2: Tìm số dư của phép chia cho số nguyên dương . ( Trong đó và cũng là
số nguyên dương).
Thuật toán:
Để tìm số dư của phép chia cho ta tìm số sao cho:
Thì chính là số dư của phép chia trên.
Để giải dạng toán này ta cần có một số kiến thức về quan hệ đồng dư.
1. Định nghĩa quan hệ đồng dư
Cho 2 số nguyên và . Ta nói A có quan hệ đồng dư theo modulo với , kí hiệu là
khi và chỉ khi là ước số của , trong đó là số nguyên dương .
Ví dụ:

2. Một số tính chất

i. chia hết cho .
ii. và
.
iii. thì:
và
.
iv. và thì:
và
.
v. thì:
.
vi. là số nguyên tố và thì:
.
vii. là số nguyên tố thì:
.
B. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia cho .
Lời giải:
Ta có:
. Suy ra:
.
Vậy số dư của phép chia cho là:
.
Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia cho .
Lời giải:
Ta tìm số dư của phép chia cho .
Kết quả là .
Tiếp tục tìm số dư của phép chia cho .
Kết quả là .
Vậy số dư của phép chia cho là .

Ví dụ 3: Tìm số dư của phép chia cho .
Lời giải:
Vì là số nguyên tố và .
Nên ta có:
. Suy ra:
. Suy ra:
.
Vậy số dư của phép chia cho là .
Ví dụ 4: Tìm số dư của phép chia cho .
Lời giải:
Cách 1:
Ta có:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
.
Vậy số dư của phép chia cho là .
Cách 2:
Ta có:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Suy ra:
.
Vậy số dư của phép chia cho là .
C. Bài tập vận dụng

1. Tìm số dư của các phép chia sau:
a. cho
b. cho
c. cho
d. cho .
2. Tìm số dư của các phép chia sau:
a. cho
b. cho
c. cho
d. cho
e. cho
f. cho .