Tuyển tập 52 đề thi toán cấp II

Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
®Ị sè 1
C©u 1: Cho x =
2 2 2
2
b c a
bc
+ −
; y =
2 2
2 2
( )
( )
a b c
b c a
− −
+ −
TÝnh gi¸ trÞ P = x + y + xy
C©u 2:Gi¶i ph¬ng tr×nh:
a,
1
a b x+ −
=
1
a
+
1
b
+
1

x
(x lµ Èn sè)
b,
2
2
( )(1 )b c a
x a
− +
+
+
2
2
( )(1 )c a b
x b
− +
+
+
2
2
( )(1 )a b c
x c
− +
+
= 0 (a,b,c lµ h»ng sè vµ ®«i mét kh¸c nhau)
C©u 3: X¸c ®Þnh c¸c sè a, b biÕt:
3
(3 1)
( 1)
x
x

+
+
=
3
( 1)
a
x +
+
2
( 1)
b
x +
C©u 4:Chøng minh ph¬ng tr×nh: 2x
2
– 4y = 10 kh«ng cã nghiƯm nguyªn.
C©u 5:Cho
∆
ABC; AB = 3AC. TÝnh tû sè ®êng cao xt ph¸t tõ B vµ C
§Ị sè 2
C©u 1:Cho a,b,c tho¶ m·n:
a b c
c
+ −
=
b c a
a
+ −
=
c a b
b

+ −
TÝnh gi¸ trÞ M = (1 +
b
a
)(1 +
c
b
)(1 +
a
c
)
C©u 2: X¸c ®Þnh a, b ®Ĩ f(x) = 6x
4
– 7x
3
+ ax
2
+ 3x +2
Chia hÕt cho y(x) = x
2
– x + b
C©u 3: Gi¶i PT:
a, (x-4) (x-5) (x-6) (x-7) = 1680.
b, 4x
2
+ 4y – 4xy +5y
2
+ 1 = 0
C©u 4: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa ph©n sè mµ tư sè lµ mét sè cã 3 ch÷ sè mµ mÉu lµ tỉng c¸c ch÷ sè
cđa nã.

C©u 5: Cho
∆
ABC c©n t¹i A, trªn AB lÊy D, trªn AC lÊy E sao cho:AD = EC = DE = CB.
a, NÕu AB > 2BC. TÝnh gãc
µ
A
cđa
ABCV
b, NÕu AB < BC. TÝnh gãc
µ
A
cđa
HBCV
.
®Ị sè 3
C©u 1:Ph©n tÝch thµnh nh©n tư:
a, a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc
b, (x-y)
3
+(y-z)
3
+ (z-x)
3
C©u 2:Cho A =

2 2
2
(1 )
1
x x
x
−
+
:
3 3
1 1
( )( )
1 1
x x
x x
x x
 
− +
+ −
 
− +
 
a, Rót gän A
b, T×m A khi x= -
1
2
c, T×m x ®Ĩ 2A = 1
- 1 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương

C©u 3:a, Cho x+y+z = 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa M = x
2
+ y
2
+ z
2
b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa P =
2
( 10)
x
x +
C©u 4:a, Cho a,b,c > 0, CMR: 1 <
a
a b+
+
b
b c+
+
c
c a+
< 2
b, Cho x,y
≠
0 CMR:
2
2
x
y
+
2

2
y
x
≥

x
y
+
y
x
C©u 5: Cho
ABCV
®Ịu cã ®é dµi c¹nh lµ a, kÐo dµi BC mét ®o¹n CM =a
a, TÝnh sè ®o c¸c gãc
ACMV
b, CMR: AM
⊥
AB
c, KÐo dµi CA ®o¹n AN = a, kÐo dµi AB ®o¹n BP = a. CMR
MNPV
®Ịu.
®Ị sè 4
C©u 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tư:
a, a
8
+ a
4
+1 b, a
10
+ a

5
+1
C©u 2:a, Cho a+b+c = 0, TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc:
A =
2 2 2
1
b c a+ −
+
2 2 2
1
c a b+ −
+
2 2 2
1
a b c+ −
b, Cho biĨu thøc: M =
2
2 3
2 15
x
x x
−
+ −
+ Rót gän M
+ T×m x
∈
Z ®Ĩ M ®¹t gi¸ trÞ nguyªn.
C©u 3: a, Cho abc = 1 vµ a
3
> 36, CMR:

2
3
a
+ b
2
+ c
2
> ab + bc + ca
b, CMR: a
2
+ b
2
+1
≥
ab + a + b
C©u 4:a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa A = 2x
2
+ 2xy + y
2
- 2x + 2y +1
b, Cho a+b+c= 1, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt
P = a
3
+ b
3
+ c
3
+ a
2
(b+c) + b

2
(c+a) + c
2
(a+b)
C©u 5:a, T×m x,y,x
∈
Z biÕt: x
2
+ 2y
2
+ z
2
- 2xy – 2y + 2z +2 = 0
b, T×m nghiƯm nguyªn cđa PT: 6x + 15y + 10z = 3
C©u 6: Cho
ABCV
. H lµ trùc t©m, ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i B, víi AC t¹i C c¾t nhau t¹i D.
a, CMR: Tø gi¸c BDCH lµ h×nh b×nh hµnh.
b, NhËn xÐt mèi quan hƯ gi÷a gãc
µ
A
vµ
µ
D
cđa tø gi¸c ABDC.
§Ị sè 5
C©u 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tư:
a, (x
2
– x +2)

2
+ (x-2)
2
b, 6x
5
+15x
4
+ 20x
3
+15x
2
+ 6x +1
C©u 2: a, Cho a, b, c tho¶ m·n: a+b+c = 0 vµ a
2
+ b
2
+ c
2
= 14. TÝnh gi¸ trÞ cđa A = a
4
+ b
4
+ c
4
b, Cho a, b, c
≠
0. TÝnh gi¸ trÞ cđa D = x
2003
+ y
2003

+ z
2003
BiÕt x,y,z tho¶ m·n:
2 2 2
2 2 2
x y z
a b c
+ +
+ +
=
2
2
x
a
+
2
2
y
b
+
2
2
z
c
- 2 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
C©u 3: a, Cho a,b > 0, CMR:
1
a

+
1
b

≥

4
a b+
b, Cho a,b,c,d > 0. CMR:
a d
d b
−
+
+
d b
b c
−
+
+
b c
c a
−
+
+
c a
a d
−
+

≥

0
C©u 4: a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt: E =
2 2
2 2
x xy y
x xy y
+ +
− +
víi x,y > 0
b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt: M =
2
( 1995)
x
x +
víi x > 0
C©u 5: a, T×m nghiƯm
∈
Z cđa PT: xy – 4x = 35 – 5y
b, T×m nghiƯm
∈
Z cđa PT: x
2
+ x + 6 = y
2
C©u 6: Cho
ABCV
M lµ mét ®iĨm
∈
miỊn trong cđa
ABCV

. D, E, F lµ trung ®iĨm AB, AC, BC; A’, B’,
C’ lµ ®iĨm ®èi xøng cđa M qua F, E, D.
a, CMR: AB’A’B lµ h×nh b×nh hµnh.
b, CMR: CC’ ®i qua trung ®iĨm cđa AA’
§Ị sè 6
C©u 1: Cho
a
x y+
=
13
x z+
vµ
2
169
( )x z+
=
27
( )(2 )z y x y z
−
− + +
TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A =
3 2
2 12 17 2
2
a a a
a
− + −
−
C©u 2: Cho x
2

– x = 3, TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc.
M = x
4
- 2x
3
+ 3x
2
- 2x + 2
C©u 3:a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa M = x(x+1)(x+2)(x+3)
b, Cho x,y > 0 vµ x + y = 0, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa N =
1
x
+
1
y
C©u 4: a, Cho 0
≤
a, b, c
≤
1. CMR: a
2
+ b
2
+ c
2

≤
1+ a
2
b + b

2
c + c
2
a
b, Cho 0 <a
0
<a
1
< < a
1997
. CMR:
0 1 1997
2 5 8 1997


a a a
a a a a
+ + +
+ + + +
< 3
C©u 5: a,T×m a ®Ĩ PT
4 3x−
= 5 – a cã nghiƯm
∈
Z
+
b, T×m nghiƯm nguyªn d¬ng cđa PT:
2
x
x y z+ +

+
2
y
y x z+ +
+
2
z
z x y+ +
=
3
4
C©u 6:Cho h×nh vu«ng ABCD, trªn CD lÊy M, nèi M víi A. KỴ ph©n gi¸c gãc
·
MAB
c¾t BC t¹i P, kỴ
ph©n gi¸c gãc
·
MAD
c¾t CD t¹i Q. CMR PQ
⊥
AM
®Ị sè 7
C©u 1:Cho a, b, c kh¸c nhau tho¶ m·n:
2 2 2
2
b c a
bc
+ −
+
2 2 2

2
c a b
ac
+ −
+
2 2 2
2
a b c
ab
+ −
= 1
Th× hai ph©n thøc cã gi¸ trÞ lµ 1 vµ 1 ph©n thøc cã gi¸ trÞ lµ -1.
C©u 2: Cho x, y, z > 0 vµ xyz = 1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt A =
3 3
1
1x y+ +
+
3 3
1
1y z+ +
+
3 3
1
1z x+ +
C©u 3: Cho M = a
5
– 5a
3
+4a víi a
∈

Z
- 3 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
a, Ph©n tÝch M thµnh nh©n tư.
b, CMR: M
M
120
∀
a
∈
Z
C©u 4: Cho N
≥
1, n
∈
N
a, CMR: 1+ 2+ 3+ +n =
( 1)
2
n n +
b, CMR: 1
2
+2
2
+ 3
2
+ +n
2
=

( 1)(2 1)
6
n n n+ +
C©u 5: T×m nghiƯm nguyªn cđa PT:
x
2
= y(y+1)(y+2)(y+3)
C©u 6: Gi¶i BPT:
2
2 2
1
x x
x
+ +
+
>
2
4 5
2
x x
x
+ +
+
- 1
C©u 7: Cho 0
≤
a, b, c
≤
2 vµ a+b+c = 3. CMR: a
2

+ b
2
+ c
2
≤
5
C©u 8: Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã chiỊu dµi BC gÊp 2 lÇn chiỊu réng CD, tõ C kỴ Cx t¹o víi CD mét
gãc 15
0
c¾t AD t¹i E. CMR:
BCEV
c©n.
®Ị sè 8
C©u 1: Cho A =
3 2
3 2
2 1
2 2 1
n n
n n n
+ −
+ + +
a, Rót gän A
b, NÕu n
∈
Z th× A lµ ph©n sè tèi gi¶n.
C©u 2: Cho x, y > 0 vµ x+y = 1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa P = (1 -
2
1
x

)(1 -
2
1
y
)
C©u 3: a, Cho a, b ,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cđa 1 tam gi¸c. CMR: a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab+bc+ca)
b, Cho 0
≤
a, b , c
≤
1. CMR: a + b
2
+c
3
– ab – bc – ca
≤
1
C©u 4: T×m x, y, z biÕt: x+y–z = y+z-x = z+x-y = xyz
C©u 5: Cho n
∈
Z vµ n
≥
1. CMR: 1
3

+ 2
3
+3
3
+ +n
3
=
2 2
( 1)
4
n n+ +
C©u 6: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:
(x-1)(3x+2) > 3x(x+2) + 5
C©u 7:Chia tËp N thµnh c¸c nhãm: 1; (2,3); (4,5,6) , nhãm n gåm n sè h¹ng. TÝnh tỉng c¸c sè trong
nhãm 94.
C©u 8:Cho h×nh vu«ng ABCD. M, N lµ trung ®iĨm AB, BC, K lµ giao ®iĨm cđa CM vµ DN. CMR: AK
= BC
®Ị sè 9
C©u 1: Cho M =
a
b c+
+
b
a c+
+
c
a b+
; N =
2
a

b c+
+
2
b
a c+
+
2
c
a b+
a, CMR: NÕu M = 1 th× N = 0
b, NÕu N = 0 th× cã nhÊt thiÕt M = 1 kh«ng?
C©u 2: Cho a, b, c > 0 vµ a+b+c = 2. CMR:
2
a
b c+
+
2
b
a c+
+
2
c
a b+

≥
1
C©u 3:Cho x, y, z
≥
0 vµ x + 5y = 1999; 2x + 3z = 9998. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa M = x + y + z
C©u 4:a, T×m c¸c sè nguyªn x ®Ĩ x

2
– 2x -14 lµ sè chÝnh ph¬ng.
- 4 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
b, T×m c¸c sè
ab
sao cho
ab
a b−
lµ sè nguyªn tè
C©u 5: Cho a, b, c, d lµ c¸c s« nguyªn d¬ng
CMR: A =
a
a b c+ +
+
b
a b d+ +
+
c
b c d+ +
+
d
a c d+ +
kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn.
C©u 6:Cho
ABCV
c©n (AB=AC) trªn AB lÊy ®iĨm M, trªn phÇn kÐo dµi cđa AC vỊ phÝa C lÊy ®iĨm N
sao cho: BM = CN, vÏ h×nh b×nh hµnh BMNP. CMR: BC
⊥

PC
C©u 7: Cho x, y tho¶ m·n: 2x
2
+
2
1
x
+
2
4
y
= 4 (x
≠
0). T×m x, y ®Ĩ xy ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt
®Ị sè 10
C©u 1: Cho a, b, c > 0 vµ
P =
3
2 2
a
a ab b+ +
+
3
2 2
b
b bc c+ +
+
3
2 2
c

c ac a+ +
Q =
3
2 2
b
a ab b+ +
+
3
2 2
c
b bc c+ +
+
3
2 2
a
c ac a+ +
a, CMR: P = Q
b, CMR: P
≥

3
a b c+ +
C©u 2:Cho a, b, c tho¶ m·n a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. CMR:
abc + 2(1+a+b+c+ab+bc+ca)

≥
0
C©u 3:CMR
∀
x, y
∈
Z th×:
A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y
4
lµ sè chÝnh ph¬ng.
C©u 4:a, T×m sè tù nhiªn m, n sao cho: m
2
+ n
2
= m + n + 8
b, T×m sè nguyªn nghiƯm ®óng: 4x
2
y = (x
2
+1)(x
2
+y
2
)
C©u 5:T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt: A =
2
4 3
1
x
x

+
+
C©u 6:Cho x =
2 2 2
2
b c a
ab
+ −
; y =
2 2
2 2
( )
( )
a b c
b c a
− −
+ −
TÝnh gi¸ trÞ: M =
1
x y
xy
+
−
C©u 7: Gi¶i BPT:
1 x a x− < −
(x lµ Èn sè)
C©u 8:Cho
ABCV
, trªn BC lÊy M, N sao cho BM = MN = NC. Gäi D, E lµ trung ®iĨm cđa AC, AB, P
lµ giao cđa AM vµ BD. Gäi Q lµ giao cđa AN vµ CE. TÝnh PQ theo BC

§Ị sè 11
C©u 1: Cho x =
a b
a b
−
+
; y =
b c
b c
−
+
; z =
c a
c a
−
+
CMR: (1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z)
C©u 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cđa A =
4
2 2
1
( 1)
x
x
+
+
C©u 3: a, Cho a, b, c > 0 vµ a+b+c = 1. CMR: b+c
≥
16abc
- 5 -

Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
b, Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR cã Ýt nhÊt mét bÊt ®¼ng thøc sai trong c¸c bÊt ®¼ng thøc sau:
2a(1-b) > 1 8c(1-d) > 1
3b(1-c) > 2 32d(1-a) > 3
C©u 4: Gi¶i BPT: mx(x+1) > mx(x+m) + m
2
– 1
C©u 5: a, T×m nghiƯm nguyªn tè cđa PT: x
2
+ y
2
+ z
2
= xyz
b, T×m sè nguyªn tè p ®Ĩ 4p + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng.
C©u 6:T×m sè cã 2 ch÷ sè mµ sè Êy lµ béi sè cđa tÝch hai ch÷ sè cđa nã.
C©u 7:Cho h×nh thang ABCD (BC// AD). Gäi O lµ giao ®iĨm cđa hai ®êng chÐo AC, BD; Gäi E, F lµ
trung ®iĨm cđa AD, BC. CMR: E, O, F th¼ng hµng.
®Ị sè 12
C©u 1:T×m ®a thøc f(x) biÕt:
f(x) chia cho x+3 d 1
f(x) chia cho x-4 d 8
f(x) chia cho (x+3)(x-4) th¬ng lµ 3x vµ d
C©u 2:a, Ph©n tÝch thµnh nh©n tư: A = x
4
+ 2000x
2
+ 1999x + 2000
b, Cho:

2 2 2
x yz y zx z xy
a b c
− − −
= =
. CMR:
2 2 2
a bc b ca c ab
x y z
− − −
= =
C©u 4:CMR:
1
9
+
1
25
+ +
2
1
(2 1)n +
<
1
4
Víi n
∈
N vµ n
≥
1
C©u 5:T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt: M =

2 2
2 2
x xy y
x y
+ +
+
(x≠0; y≠0)
C©u 6:a, T×m nghiƯm nguyªn cđa PT: 2x
2
+ 4x = 19 – 3y
2
b, CMR ph¬ng tr×nh sau kh«ng cã nghiƯm nguyªn: x
2
+ y
2
+ z
2
= 1999
C©u 7:Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn BD lÊy M, tõ M kỴ c¸c ®êng vu«ng gãc AB, AD t¹i E, F.
a, CMR: CF = DE; CF
⊥
DE
b, CMR: CM = EF; CM
⊥
EF
c, CMR: CM, BF, DE ®ång qui
®Ị sè 13
C©u 1:a, Rót gän: A = (1-
2
4

1
)(1-
2
4
3
) (1-
2
4
199
)
b, Cho a, b > 0 vµ 9b(b-a) = 4a
2
. TÝnh : M =
a b
a b
−
+
C©u 2:a, Cho a, b, c > o. CMR:
2
a
b c+
+
2
b
c a+
+
2
c
a b+

≥

2
a b c+ +
b, Cho ab
≥
1. CMR:
2
1
1a +
+
2
1
1b +

≥

2
1ab +
C©u 3: T×m x, y, z biÕt:
x+2y+3z = 56 vµ
1
1x −
=
2
2y −
=
3
3z −
C©u 4:a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa M =

2
2 1
2
x
x
+
+
b, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt A =
2
2
6 5 9x x− −
- 6 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
C©u 5:Gi¶i BPT: mx
2
– 4 > 4x + m
2
– 4m
C©u 6:a, T×m sè nguyªn d¬ng x tho¶ m·n: x(x+1) = k(k+2)
(k lµ sè nguyªn d¬ng cho tríc).
b, T×m nghiƯm nguyªn cđa PT: 2x-5y-6z =4.
C©u 7:Cho h×nh vu«ng ABCD, VỊ phÝa ngoµi h×nh vu«ng trªn c¹nh BC vÏ
BCFV
®Ịu, vỊ phÝa trong
h×nh vu«ng trªn c¹nh AB vÏ
ABEV
®Ịu. CMR: D, E, F th¼ng hµng.
§Ị sè 14
C©u 1: Cho A = (

2
2 2 3 2
1
) : ( ) :
x x y y x
y xy x xy x xy x y y
−
− +
+ + − +
a, T×m §KX§ cđa A
b, T×m x, y ®Ĩ A > 1 vµ y < 0.
C©u 2:
a, Gi¶i PT: x
4
+ 2x
3
– 2x
2
+ 2x - 3 = 0
b, Gi¶i BPT: 3 – mx < 2(x-m) – (m+1)
2
C©u 3: Cho a, b, c > 0. CMR:
3
2
a b c
b c a c a b
+ + ≥
+ + +
C©u 4:CM: A = n
6

– n
4
+2n
3
+2n
2
kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng víi n
∈
N vµ n >1
C©u 5:Cho f(x) = x
2
+ nx + b tho¶ m·n
1
( ) ; 1
2
f x x≤ ≤
. X¸c ®Þnh f(x)
C©u 6:Cho x, y > 0 tho¶ m·n xy= 1.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt : A =
4 2 2 4
x y
x y x y
+
+ +
C©u 7: Cho h×nh thang ABCD (AD//BC). M, N lµ trung ®iĨm cđa AD, BC. Tõ O trªn MN kỴ ®ëng
th¼ng song song víi AD c¾t AB, CD t¹i E vµ F. CMR: OE = OF
®Ị sè 15
C©u 1:Cho xyz = 1 vµ x+y+z =
1 1 1
x y z
+ +

= 0. TÝnh gi¸ trÞ M =
6 6 6
3 3 3
x y z
x y z
+ +
+ +
C©u 2: Cho a ≠ 0 ;
±
1 vµ
1 2
1 2 3
1 2
1 11
; ;
2 1 1
x xa
x x x
a x x
− −−
= = =
+ + +
T×m a nÕu x
1997
= 3
C©u 3:T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm ©m :
( 2) 3( 1)
1
1
m x m

x
+ − −
=
+
C©u 4: Víi n
∈
N vµ n >1. CMR:
1 1 1 1
1
2 1 2 2n n n
< + + + <
+ +
C©u 5:Cho M = 3x
2
- 2x + 3y
2
– 2y + 6x +1
T×m gi¸ trÞ M biÕt: xy = 1 vµ
x y+
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
C©u 6:T×m x, y
∈
N biÕt: 2
x
+ 1 = y
2
C©u 7:Cho
ABCV
(AB < AC). AD, AM lµ ®êng ph©n gi¸c, ®êng trung tun cđa
ABCV

. §êng th¼ng
qua D vµ vu«ng gãc víi AD c¾t AC t¹i E. So s¸nh S
ADMV
vµ S
CEMV
§Ị sè 16
C©u 1:Cho (a
2
+ b
2
+ c
2
)( x
2
+ y
2
+ z
2
) = (ax + by + cz)
2
. CMR:
x y z
a b c
= =
víi abc ≠ 0
- 7 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
C©u 2: Cho abc ≠ 0 vµ
2 2 4 4

x y z
a b c a b c a b c
= =
+ + + − − +
CMR:
2 2 4 4
a b c
x y z x y z x y z
= =
+ + + − − +
C©u 3:Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng vµ nhá h¬n 1CMR: Trong 3 sè: (1-a)b; (1-b)c; vµ (1-c)a kh«ng ®ång
thêi lín h¬n
1
4
C©u 4:Cho x
3
+ y
3
+ 3(x
2
+y
2
) + 4xy + 4 = 0 vµ xy > 0. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt A =
1 1
x y
+
C©u 5:a, CMR PT: 3x
5
– x
3

+ 6x
2
– 18x = 2001 kh«ng cã nghiƯm nguyªn.
b, T×m 4 sè nguyªn d¬ng sao cho tỉng cđa chóng b»ng tÝch cđa chóng
C©u 6: Cho n
∈
N vµ n >1
CMR: 1 +
2 2 2
1 1 1
2
2 3 n
+ + + <
C©u 7:Cho
ABCV
vỊ phÝa ngoµi
ABCV
vÏ tam gi¸c vu«ng c©n ABE vµ CAF t¹i ®Ønh A.
CMR: Trung tun AI cđa
ABCV
vu«ng gãc víi EF vµ AI =
1
2
EF
C©u 8: CMR:
21 4
14 3
n
n
+

+
lµ ph©n sè tèi gi¶n (víi n
∈
N).
®Ị sè 17
C©u 1:Ph©n tÝch ra thõa sè:
a, (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15
b, x
3
+ 6x
2
+ 11x + 6
C©u 2: Cho x > 0 vµ x
2
+
2
1
x
= 7. TÝnh gi¸ trÞ cđa M = x
5
+
5
1
x
C©u 3:Cho x, y tho¶ m·n 5x
2
+ 8xy + 5y
2
= 72
TÝm gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = x

2
+ y
2
C©u 4:a, Cho a, b, c > 0 vµ a+b+c
≤
1
CMR:
2 2 2
1 1 1
9
2 2 2a bc b ac c ab
+ + ≥
+ + +
b, Cho a, b, c tho¶ m·n a+b+c = 2; ab+bc+ca = 1.
CMR: 0
≤
a, b, c
≤

4
3
C©u 5: TÝnh tỉng S = 1+2x+3x
2
+4x
3
+ + nx
n-1
(x≠1)
C©u 6: T×m nghiƯm nguyªn cđa PT:
xy xz yz

z y x
+ +
= 3
C©u 7: Cho
ABCV
biÕt ®êng cao AH vµ trung tun AM chia gãc
·
BAC
thµnh 3 phÇn b»ng nhau.
X¸c ®Þnh c¸c gãc cđa
ABCV
§Ị sè 18
- 8 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
C©u 1:Rót gän: M =
2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
a bc b ac c ab
a b a c b a b c a c a b
− − −
+ +
+ + + + + +
C©u 2:Cho: x =
2 2 2
( )( )
;
2 ( )( )
b c a a b c a c b
y

bc a b c b c a
+ − + − + −
=
+ + + −
TÝnh gi¸ trÞ P = (x+y+xy+1)
3
C©u 3:Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR cã Ýt nhÊt mét bÊt ®¼ng thøc sai trong c¸c bÊt ®¼ng thøc sau:
2a(1-b) > 1 8c(1-d) > 1
3b(1-c) > 2 32d(1-a) > 3
C©u 4:Cho P = 5x+y+1; Q = 3x-y+4
CMR: NÕu x = m; y = n Víi m, n
∈
N th× P.Q lµ sè ch½n.
C©u 5:a, CMR PT: 2x
2
– 4y
2
= 10 kh«ng cã nghiƯm nguyªn.
b, T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt n > 1 sao cho:
A = 1
2
+ 2
2

+ +n
2
lµ mét sè chÝnh ph¬ng.
C©u 6:Cho
ABCV
vu«ng c©n ë A, qua A vÏ ®êng th¼ng d sao cho B, C thc cïng nưa mỈt ph¼ng cã

bê lµ d, vÏ BH, CK cïng vu«ng gãc víi d (H, K lµ ch©n ®êng vu«ng gãc).
a, CMR: AH = CK
b, Gäi M lµ trung ®iĨm BC. X¸c ®Þnh d¹ng
MHKV
®Ị sè 19
C©u 1: Cho a, b, c ≠ 0; a
2
+ 2bc ≠ 0; b
2
+ 2ca ≠ 0; c
2
+ 2ab ≠ 0 vµ a
2
+ b
2
+ c
2
= (a+b+c)
2
CMR: S =
2 2 2
2 2 2
1
2 2 2
a b c
a bc b ac c ab
+ + =
+ + +
M =
2 2 2

1
2 2 2
bc ca ab
a bc b ac c ab
+ + =
+ + +
C©u 2: a, Cho a, b, c > 0
CMR:
2 2 2 2 2 2
1 1 1a b b c a c
a b b c a c a b c
+ + +
+ + ≤ + +
+ + +
b, Cho 0
≤
a, b, c
≤
1. CMR: a+b+c+
1
abc

≥
1 1 1
a b c
+ +
+ abc
C©u 3: a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt:
A =
1 2 5 3 8x x x+ + + + −

b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt:
M =
2 2
2 2
x xy y
x xy y
+ +
− +
(x,y > 0)
C©u 4:a,T×m nghiƯm
∈
Z
+
cđa:
1 1 1
2
x y z
+ + =
b, T×m nghiƯm
∈
Z cđa: x
4
+ x
2
+ 4 = y
2
– y
C©u 5: Cho
ABCV
, ®Ỉt trªn c¸c ®o¹n kÐo dµi cđa AB, AC c¸c ®o¹n BD = CE. Gäi M lµ trung ®iĨm

cđa BC, N lµ trung ®iĨm cđa DE. CMR: MN // ®êng ph©n gi¸c trong cđa gãc
µ
A
cđa
ABCV
C©u 6: T×m c¸c sè nguyªn d¬ng n vµ sè nguyªn tè P sao cho
P =
( 1)
1
2
n n +
−
- 9 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
®Ị sè 20
C©u 1:a, Cho a+b+c = 1; a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 vµ
x y z
a b c
= =
; abc ≠ 0
CMR: xy + yz + xz = 0
b, Cho x, y, z > 0 vµ 2x
2

+ 3y
2
– 2z
2
= 0 , CMR: z lµ sè lín nhÊt.
C©u 2:a, Cho a, b, c ≠ 0
CMR:
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + +
b, Cho n
∈
N, n > 1
CMR:
2 2
1 1 1 1

5 13 ( 1) 2n n
+ + + <
+
C©u 4: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt víi a, b, c > 0
a, P =
a b c a b c a b c
b c c a a b c b a
+ + +
+ + + + +
+ + +
b, Q =

a b c d
b c d a c d a b d a b c
+ + +
+ + + + + + + +
C©u 5: T×m c¸c sè chÝnh ph¬ng sao cho chia nã cho 39 ®ỵc th¬ng sè nguyªn tè vµ d 1
C©u 6:Cho tø gi¸c ABCD, ®êng th¼ng AB vµ CD c¾t nhau t¹i E. Gäi F, G lµ trung ®iĨm cđa AC, BD.
a, CMR: S
EFGV
=
1
4
ABCD
S
b, Gäi M lµ giao ®iĨm cđa AD, BC. Chøng minh FG ®i qua trung ®iĨm ME.
§Ị sè 21
C©u 1: Cho a, b, c tho¶ m·n a+b+c = abc
CMR: a(b
2
-1)( c
2
-1) + b(a
2
-1)( c
2
-1) + c(a
2
-1)( b
2
-1) = 4abc
C©u 2: Cho n lµ sè nguyªn tè

CMR: A = n
4
– 14n
3
+71n
2
– 154n + 120 chia hÕt cho 24.
C©u 3:T×m nghiƯm nguyªn cđa PT: 4x
2
y = (x
2
+1)(x
2
+y
2
)
C©u 4: T×m a, b ®Ĩ M = x
4
- 6x
3
+ax
2
+bx + 1 lµ b×nh ph¬ng cđa mét ®a thøc kh¸c.
C©u 5: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa PT:
P = x
2
+y
2
vµ biÕt x
2

+y
2
+xy = 4
C©u 6: T×m c¸c sè a, b, c tho¶ m·n ®ång thêi c¸c B§T:
a b c< −
;
b a c< −
;
c a b< −
C©u 7:Cho h×nh thang ABCD (AD//BC), AD > BC. C¸c ®êng chÐo AC vµ BD vu«ng gãc víi nhau t¹i I.
Trªn AD lÊy ®iĨm M sao cho AM cã ®é dµi b»ng ®é dµi trung b×nh cđa h×nh thang ABCD.
CMR:
MACV
c©n t¹i M
®Ị sè 22
C©u 1:Cho x
3
+ x = 1.
TÝnh A =
4 3 2
5 2
2 3 5
2
x x x x
x x x
− + − +
− − +
C©u 2:Gi¶i BPT:
2 2
1 4 3x x− + − =

C©u 3:Cho 3 sè d¬ng x, y, z tho¶ m·n:
x = 1 -
1 2y−
- 10 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
y = 1 -
1 2z−
z = 1 -
1 2x−
T×m sè lín nhÊt trong ba sè x, y, z.
C©u 4:Cho x, y tho¶ m·n: x+y=1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa M = x
3
+y
3
+xy
C©u 5:CMR:
2 2 2
1 1 1 5

1 2 3n
+ + + <
C©u 6: T×m nghiƯm nguyªn d¬ng cđa PT sau: x+y+z+t = xyzt
C©u 7: Cho h×nh vu«ng ABCD, lÊy ®iĨm M n»m trong h×nh vu«ng sao cho:
·
MAB
=
·
MBA
= 15

0
. CMR:
MCAV
®Ịu
§Ị sè 23
C©u 1: a, Cho a
2
+ b
2
+ c
2
=
ab bc ca+ +
. CMR: a = b = c
b, Cho (a
2
+ b
2
)( x
2
+ y
2
) = (ax+by)
2
. CMR:
a b
x y
=
víi x, y ≠ 0
c, Rót gän:

A = (x
2
-x+1)(x
4
-x
2
+1)(x
8
-x
4
+1)(x
16
-x
8
+1)(x
32
-x
16
+1)
C©u 2:a, T×m sè nguyªn d¬ng n ®Ĩ n
5
+1 chia hÕt cho n
3
+1
b, T×m c¸c sè a, b, c sao cho: ax
3
+bx
2
+c chia hÕt cho x+2 vµ chia cho x
2

-1 thi d x+5.
c, NÕu n lµ tỉng 2 sè chÝnh ph¬ng th× n
2
còng lµ tỉng 2 sè chÝnh ph¬ng.
C©u 3:a, Cho A = 11 1 (n ch÷ sè 1), b = 100 05 (n-1 ch÷ sè 0). CMR: ab + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng.
b, T×m nghiƯm tù nhiªn cđa PT: x+y+1 = xyz
C©u 4: a, Cho x, y
∈
N T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa A =
8 ( )
x y
x y x y
+
+ − +
b, Cho x, y, z > 0 x+y+z = 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt B =
x y
xyz
+
C©u 5: a, MCR:
7 1 1 1 1 1 5
1
12 2 3 4 99 100 6
< − + − + + − <
b, MCR:
1 1 1 1
1 ( ; 0)
2 3 4 2 1 2
n
n
n N n+ + − + + > ∈ >

−
C©u 6: Cho
ABCV
vu«ng t¹i A, c¹nh hun BC = 2AB, D lµ ®iĨm trªn AC sao cho gãc
·
ABD
=
1
3
·
ABC
, E lµ ®iĨm trªn AB sao cho gãc
·
ACE
=
1
3
·
ACB
. F lµ giao ®iĨm cđa BD vµ CE, K vµ H lµ ®iĨm
®èi xøng cđa F qua BC, CA. CMR: H, D, K th¼ng hµng.
®Ị sè 24
C©u 1: Cho M =
2
3 2 2
25 2
( ) : ( )
10 25 2
x y
x x y y

− −
− + − −
TÝnh gi¸ trÞ M biÕt: x
2
+9y
2
-4xy = 2xy-
3x −
C©u 2:a, Cho a+b = ab. TÝnh (a
3
+b
3
-a
3
b
3
)
3
+ 27a
6
b
6
.
b, Cho a, b tho¶ m·n:
2
2
a b
a b a b
+ =
+ −

- 11 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
T×m c¸c gi¸ trÞ cã thĨ cđa N =
3
5
a b
a b
−
+
C©u 3:a, T×m sè tù nhiªn n ®Ĩ n
4
+4 lµ sè nguyªn tè.
b, T×m sè nguyªn tè p sao cho 2p+1 lµ lËp ph¬ng cđa sè tù nhiªn.
C©u 4: a, Cho
1; 1999; 1 1999a a c b< − < − <
. CMR:
3998ab c− <
b, Chøng tá cã Ýt nhÊt mét bÊt ®¼ng thøc sau lµ sai:
a(a+b) < 0; 2a > b
2
+1
c, Chøng tá cã Ýt nhÊt 1 B§T sau lµ ®óng
a
3
b
5
(c-a)
7
(c-b)

9

≤
0; bc
5
(c-b)
9
(a-c)
13
≤
0; c
9
a
7
(b-c)
5
(b-a)
3
≤
0
C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = (x+5)
4
+ (x+1)
4
C©u 6:Cho
ABCV
cã 3 gãc nhän, ®êng cao AH, BK, CL c¾t nhau t¹i I. Gäi D,E,F lµ trung ®iĨm cđa
BC, CA, AB, Gäi P, Q, R lµ trung ®iĨm cđa IA, IB, IC.
a, CM: PQRE, PEDQ lµ h×nh ch÷ nhËt.
b, CM: PD, QE, RF c¾t nhau t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®o¹n th¼ng.

c, CM: H,K,L,D,E,F,P,Q,R cïng c¸ch ®Ịu mét ®iĨm.
®Ị sè 25
C©u 1:Cho A = 4x
2
+8x+3; B = 6x
2
+3x
a, BiÕn ®ỉi S thµnh tÝch biÕt S = A + B
b, T×m gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ A vµ B lÊy gi¸ trÞ lµ sè ®èi nhau.
C©u 2: Cho 3 sè x, y, z tho¶ m·n ®ång thêi
x
2
+2y = -1
y
2
+2z = -1
z
2
+2x = -1
TÝnh gi¸ trÞ cđa A = x
2001
+ y
2002
+ z
2003
C©u 3:CMR PT: 2x
2
-4y
2
= 10 kh«ng cã nghiƯm nguyªn.

C©u 4:Cho 2 ®êng th¼ng ox vµ oy vu«ng gãc víi nhau vµ c¾t nhau t¹i O, Trªn ox lÊy vỊ hai phÝa cđa O
hai ®o¹n th¼ng OA = 4cm; OB = 2cm. Gäi M lµ mét ®iĨm n»m trªn ®êng trung trùc cđa ®o¹n AB. MA,
MB c¾t nhau víi oy ë C vµ D. Gäi E lµ trung ®iĨm cđa AC, F lµ trung ®iĨm cđa BD.
a, CMR: MF + ME =
1
2
(AC+BD)
b, §êng th¼ng CF c¾t ox t¹i P. Chøng minh P lµ mét ®iĨm cè ®Þnh khi M di chun trªn ®êng
trung trùc cđa AB.
C©u 5:T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa ph©n sè mµ tư sè lµ mét sè cã 3 ch÷ sè, MÉu sè lµ tỉng c¸c ch÷ sè cđa
tư sè.
®Ị sè 26
C©u 1:Cho x, y > 0 sao cho: 9y(y-x) = 4x
2
. TÝnh:
x y
x y
−
+
C©u 2: Cho a, b, c tho¶ m·n: abc = 1 vµ
2 2 2
2 2 2
a b c a c b
b c a c b a
+ + = + +
CMR: Cã Ýt nhÊt 1 ph©n sè lµ b×nh ph¬ng cđa mét trong 2 sè cßn l¹i.
C©u 3:T×m c¸c nghiƯm nguyªn tho¶ m·n 2 BPT: 16 + 5x > 3+ 11 vµ
7 3
6
4 2 2

x x
+ < +
- 12 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
C©u 4:Cho A =
2 2 2
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
x a x b x c
a b a c b a b c c a c b
− − −
+ +
− − − − − −
a, A thay ®ỉi nh thÕ nµo nÕu ta ho¸n vÞ 2 trong 3 sè a, b, c.
b, T×m A nÕu x=a.
c, T×m A nÕu b =
;
3 4
a a
c =
d, NÕu a-b = b-c > 0. T×m x nÕu ph©n thøc thø nhÊt b»ng ph©n thøc thø 3. T×m gi¸ trÞ cđa ph©n
thøc thø nhÊt vµ ph©n thøc thø 3.
C©u 5:Cho
a b c
≥ ≥
> 0. CMR:
2 2 2 2 2 2
3 4
a b c b a c

a b c
c a b
− − −
+ + ≥ − +
C©u 6:Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD, LÊy P thc BD, trªn tia CP lÊy M sao cho
PM = CP, KỴ ME ⊥ AD; MF ⊥ AB
a, CMR: AM // BD; EF // AC
b, CMR: E,F,P th¼ng hµng.
C©u 7: Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh lµ 1, trªn AB, AD lÊy M,N sao cho
·
MCN
= 45
0
. TÝnh chu vi
AMNV
®Ị sè 27
C©u 1:Cho M = x
3
+x
2
-9x-9; N = (x-2)
2
– (x-4)
2
a, Rót gän A =
M
N
b, CMR: NÕu x ch½n
⇒
A tèi gi¶n.

C©u 2:T×m sè cã 4 ch÷ sè
abcd
tháa m·n:
665(abcd +ab +ad +cd +1) = 738(bcd +b+ d)
C©u 3: CMR: (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10
≥
1
C©u 4:Cho sè chÝnh ph¬ng M gåm 4 ch÷ sè. NÕu ta thªm vµo mçi sè cđa M mét ®¬n vÞ th× ®ỵc mét sè
N lµ sè chÝnh ph¬ng. T×m hai sè M, N.
C©u 5: So s¸nh A, B biÕt:
A = 2
0
+2
1
+ +2
100
+90
10
B = 2
101
+10
20
C©u 6:CHo
ABCV
, ®êng cao AF, BK, CL c¾t nhau t¹i H. Tõ A kỴ Ax
⊥
AB, tõ C kỴ Cy
⊥
BC. Gäi P lµ
giao cđa Ax vµ Cy. LÊy O, D, E lµ trung ®iĨm cđa BP, BC, CA.

a, CMR:
ODEV
®ång d¹ng víi
HABV
b, Gäi G lµ träng t©m cđa
ABCV
CMR: O, G, H th¼ng hµng.
§Ị sè 28
C©u 1: Rót gän: A =
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
x y z
x z z x x y
+ +
− + − + −
, víi x+y+z = 0
C©u 2:a, CMR: M =
7 2
8
1
1
n n
n n
+ +
+ +
kh«ng tèi gi¶n
n Z
+
∀ ∈

b, CMR: NÕu c¸c ch÷ sè a, b, c
≠
0 tho¶ m·n:
ab
:
bc
= a:c
Th×:
abbb
:
bbbc
= a:c
- 13 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
C©u 3: a, Rót gän: P =
4 4 4 4 4
4 4 4
(1 4)(5 4)(9 4)(13 4) (21 4)
(3 4)(7 4) (23 4)
+ + + + + + +
+ + + + +
b, Cho Q =
1
1, 00 1
(mÉu cã 99 ch÷ sè 0).
T×m gi¸ trÞ cđa Q víi 200 ch÷ sè thËp ph©n.
C©u 4:a, Cho a, b, c
≥
0. CMR: a

4
+b
4
+c
4

≥
abc(a+b+c).
b, CMR: NÕu a, b, c lµ sè ®o 3 c¹nh cđa 1 tam gi¸c th×:
a
2
+b
2
+c
2
< 2(ab+ac+bc).
C©u 5:Cho x, y tho¶ m·n: x
2
+y
2
= 4+xy.
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa A = x
2
+y
2
C©u 6:Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh lµ 1. Trªn AB, AD lÊy P, Q sao cho
APQV
c©n cã chu vi lµ 2.
a, CMR: PQ + QD = PQ
b, CMR:

·
PCQ
= 45
0
§Ị sè 29
C©u 1:Cho A =
2 2 2
2 2 2
4 4 4
; ; .
2 2 2
bc a ca b ab c
B C
bc a ca b ab c
− − −
= =
+ + +
CMR: NÕu a+b+c = 0 th×:
a, ABC = 1
b, A + B + C = 3
C©u 2: Cho n
∈
N, n > 0
CMR:
2 2 2
1 2 1
1 1,65
2 3 n
+ + + + <
C©u 3: Cho a, b, c, d lµ c¸c sè nguyªn d¬ng.

a, CMR: A =
a b c d
a b c a b d b c d a c d
+ + +
+ + + + + + + +
kh«ng lµ sè nguyªn.
b, T×m 5 sè tù nhiªn liªn tiÕp sao cho lËp ph¬ng cđa sè nµy b»ng tỉng c¸c lËp ph¬ng cđa 4 sè cßn
l¹i.
C©u 4: Cho x, y, z tho¶ m·n. xyz = 1;
1 1 1
x y z
x y z
+ + < + +
CMR: Cã 1 trong 3 sè x, y, z lµ lín h¬n 1.
C©u 5:Cho
ABCV
, ®êng th¼ng d c¾t AB, AC, trung tun AM t¹i E, F, N.
a, CMR:
2AB AC AM
AE AF MN
+ =
b, Gi¶ sư d // BC. Trªn tia ®èi cđa tia FB lÊy K, KN c¾t AB t¹i P, KM c¾t AC t¹i Q. CMR: PQ //
BC.
C©u 6:Cho h×nh thang cã ®é dµi hai ®êng chÐo lµ 3,5. §é dµi ®o¹n th¼ng nèi trung ®iĨm 2 ®¸y lµ 2.
T×m diƯn tÝch h×nh thang?
§Ị sè 30
C©u 1:CMR:
; 1n N n∀ ∈ ≥
2 2
1 1 1 1 9

5 13 25 ( 1) 20n n
+ + + + <
+
C©u 2:Cho: (x-y)
2
+(y-z)
2
+(z-x)
2
= (x+y-2z)
2
+(y+z-2z)
2
+(x+z-2y)
2
- 14 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
CMR: x = y = z.
C©u 3:a, Ph©n tÝch thµnh nh©n tư:
A = x
3
(x
2
-7)
2
-36x.
b, CMR: A
M

210 víi mäi x
∈
N
C©u 4: Cho:
0 , , 1a b c≤ ≤
. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa: P = a+b+c-ab-bc-ca
C©u 5:Cho
ABCV
vu«ng t¹i B, trªn tia ®èi tia BA lÊy D sao cho: AD = 3AB. §êng th¼ng vu«ng gãc
víi CD t¹i D c¾t ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AC t¹i E. CMR:
BDEV
c©n
®Ị sè 31
C©u 1:Cho a+b+c = 0
CMR:
( )( ) 9
a b b c c a c a b
c a b a b b c c a
− − −
+ + + + =
− − −
C©u 2:T×m x, y, z biÕt:
2 2 2
x y z+ +
≤
xy+3y+2z -4
C©u 3:Cho a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh cđa 1 tam gi¸c.
CMR:
1
a b b c c a

a b b c c a
− − −
+ + <
+ + +
C©u 4: a, Cho a, b, c > 0 vµ a+b+c = 27
T×m a, b, c sao cho: ab+bc+ca ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
b, T×m 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp sao cho lËp ph¬ng cđa 1 sè b»ng tỉng c¸c lËp ph¬ng cđa 3 sè cßn
l¹i.
C©u 5:T×m nghiƯm nguyªn d¬ng cđa PT:
x
2
+ (x+y)
2
= (x+9)
2
C©u 6:Cho lơc gi¸c låi ABCDEF, c¸c ®êng th¼ng AB, EF c¾t nhau t¹i P, EF vµ CD c¾t nhau t¹i Q, CD
vµ AB c¾t nhau t¹i R. C¸c ®êng th¼ng BC vµ DE; DE vµ FA; FA vµ BC c¾t nhau t¹i S,T,U.
CMR: NÕu
AB CD EF
PR QR QP
= =
th×
BC DE FA
US TT TU
= =
®Ị sè 32
C©u 1:a, CMR: 6
2k-1
+1 chia hÕt cho 7 víi
; 0K N n∈ >

b, CMR: Sè a = 11 1 + 44 4 + 1 lµ b×nh ph¬ng cđa mét sè tù nhiªn.
(Trong ®ã cã 2k ch÷ sè 1 vµ k ch÷ sè 4).
C©u 2:a, T×m sè d cđa phÐp chia: x
2002
+x+1 chia cho x
2
-1
b, T×m sè nguyªn d¬ng x, y sao cho :
3(x
3
-y
3
) = 2001.
C©u 3: a, Cho a, b, c > o.
CMR:
1 1 1 9
2( )a b b c c a a b c
+ + ≥
+ + + + +
b, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt:
y = x
3
-6x
2
+21x+18 Víi
1
1
2
x− ≤ ≤
.

C©u 4:Cho
ABCV
(AB = AC). BiÕt
·
BAC
= 20
0
, vµ AB = AC = b; BC = a
CMR: a
3
+ b
3
= 3ab
2
§Ị sè 33
C©u 1:Cho a, b, c tho¶ m·n: a+b+c = 0 vµ ab+bc+ca = 0
- 15 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
T×m gi¸ trÞ cđa: M = (a-1)
1999
+ b
2000
+ (c+1)
2001
C©u 2: Cho x, y, z lµ c¸c sè nguyªn kh¸c 0. CMR:
NÕu : x
2
– yz = a
y

2
– zx = b
z
2
– xy = c
Th× ax+by+cz chia hÕt cho a+b+c
C©u 3:a, Cho n
∈
N, CMR: A = 10
n
+ 18n – 1 chia hÕt cho 27.
b, CMR: n
5
m – nm
5
chia hÕt cho 30 víi mäi m,n
∈
Z.
C©u 4: a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cđa M =
2
4 3
1
x
x
+
+
b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa: N =
2
2 2
8 6x xy

x y
+
+
C©u 5: Cho a, b, c lµ sè ®o 3 c¹nh cđa 1 tam gi¸c. X¸c ®Þnh d¹ng cđa tam gi¸c ®Ĩ:
A =
a b c
b c a a c b a b c
+ +
+ − + − + −
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
C©u 6: Cho h×nh vu«ng ABCD. Tø gi¸c MNPQ cã 4 ®Ønh thc 4 c¹nh cđa h×nh vu«ng
(M
∈
AB; N
∈
BC; P
∈
CD; Q
∈
DA)
a, CMR:
( )
4
ABCD
AC
S MN MP PQ QM≤ + + +
b, X¸c ®Þnh M, N, P, Q ®Ĩ chu vi MNPQ ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
c, X¸c ®Þnh M, N, P, Q ®Ĩ
MNPQ
S

®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
®Ị sè 34
C©u 1:Ph©n tÝch sè 1328 thµnh tỉng cđa 2 sè nguyªn x, y sao cho:
x chia hÕt cho 23, y chia hÕt cho 29. TÝnh x, y khi x-y = 52.
C©u 2:Cho f(x) =
5 3
2
30 6 15
x x x
− +
a, Ph©n tÝch f(x) thµnh tÝch.
b, Chøng tá f(x) nhËn gi¸ trÞ nguyªn kh¸c 17 víi mäi x
∈
Z.
C©u 3:Cã bao nhiªu sè
abc
víi
1 6;1 6;1 6a b c≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
tho¶ m·n abc lµ sè ch½n.
C©u 4:Cho
ABCV
, trung tun AM. Gäi E, F lµ c¸c ®iĨm lÇn lỵt thc AB, AC sao cho ME = MF.
CMR:
ABCV
lµ tam gi¸c c©n t¹i ®Ønh A trong c¸c trêng hỵp:
a, ME, MF lµ ph©n gi¸c trong cđa
;AMB AMCV V
b, ME, MF lµ trung tun cđa
;AMB AMCV V
®Ị sè 35

C©u 1:a, Cho c¸c sè a, b, c lµ 3 sè kh¸c nhau.
CMR:
2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
b a c a a b
a b a c b c b a c a c b a b b c c a
− − −
+ + = + +
− − − − − − − − −
b, T×m x, y, z biÕt:
x+y-z = y+z-x = z+x-y = xyz.
C©u 2: Gi¶i PT:
- 16 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
1 2 3 4
58 57 56 55
x x x x+ + + +
+ = +
C©u 3: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt.
A =
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1 1 1x y y z z x
+ +
+ + + + + +
(x, y, z > 0; xyz = 1).
C©u 4: T×m nghiƯm nguyªn cđa PT:
x(x
2

+x+1) = 4y(y+1)
C©u 5: Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh lµ a. LÊy M
∈
AC, kỴ ME
⊥
AB, MF
⊥
BC. T×m vÞ trÝ cđa M ®Ĩ
DEF
S
nhá nhÊt.
C©u 6:Cho
ABCV
cã
µ
A
= 50
0
;
µ
B
= 20
0
. Trªn ph©n gi¸c BE cđa
·
ABC
lÊy F sao cho
·
FAB
= 20

0
. Gäi I
lµ trung ®iĨm AF, nèi EI c¾t AB t¹i K vµ CK c¾t EB t¹i M. CMR: AI
2
+ EI
2
= EA + (MF
+
2
EK
).
§Ị sè 36
C©u 1:a, Cho a+b+c = 0 vµ a
2
+ b
2
+ c
2
= 14. T×m gi¸ trÞ B = a
4
+b
4
+c
4
.
b, Cho x > 0 vµ x
2
+
2
1

x
= 7. CMR: x
5
+
5
1
x
lµ sè nguyªn.
C©u 2:Cho a, b, c > 0. CMR:
3 3 3
a b c
ab bc ca
b c a
+ + ≥ + +
C©u 3:Cho a, b, c > 0 vµ a+b+c = 1.
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A =
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )a b c
a b c
+ + + + +
C©u 4:X¸c ®Þnh a, b sao cho f(x) = ax
4
+bx
3
+1 chia hÕt cho g(x) = (x-1)
2
.
C©u 5:T×m nghiƯm nguyªn cđa PT:
1 1 1

1
x y z
+ + =
C©u 6: CHo
ABCV
, trung tun AM. Qua D thc BC vÏ ®êng song song víi AM c¾t AB, AC t¹i E, F.
a, CMR: Khi D di ®éng trªn BC th× DE + DF cã gi¸ trÞ kh«ng ®ỉi.
b, Qua A vÏ ®êng th¼ng song song víi BC c¾t EF t¹i K.
CMR: K lµ trung tun cđa EF.
§Ị sè 37
C©u 1: Cho S = (n+1)(n+2) (n+n)
CMR: Víi mäi n
∈
N th× S chia hÕt cho 2
n
.
C©u 2:Cho f(x) = x
2
+nx+b tho¶ m·n:
1
( )
2
f x ≤
khi
1x ≤
. X¸c ®Þnh f(x).
C©u 3:Cho:
2 , , , 3a b c d≤ ≤
, CMR:
2 ( ) 3 3

3 ( ) 3 2
a c d d
b d c c
− +
≤ ≤
− +
C©u 4: Cho tø gi¸c låi ABCD. CMR: AD.BC + DC.AB
≥
AC.BD
C©u 5:Cho
ABCV
, O lµ ®iĨm n»m trong tam gi¸c ABC, ®êng th¼ng AO, BO, CO c¾t c¸c c¹nh cđa
ABCV
t¹i A
1
, B
1
, C
1
. T×m vÞ trÝ cđa O ®Ĩ: P =
1 1 1
OA OB OC
OA OB OC
+ +
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
- 17 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
§Ị sè 38
C©u 1:a, Gi¶i PT:

4
1
a b x a c x b c x x
c b a a b c
+ − + − + −
+ + + =
+ +
b, T×m c¸c sè a, b, c, d, e biÕt:
2a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
= a(b+c+d+e)
C©u 2:T×m nghiƯm nguyªn cđa PT: 1+x+x
2
+x
3
= y
3
C©u 3:a, Víi ®iỊu kiƯn nµo cđa x th× A tèi gi¶n, kh«ng tèi gi¶n.
A =
3 2
2 2
9 9

( 2) ( 4)
x x x
x x
+ − −
− − −
b, CMR: NÕu a
2
-bc = x; b
2
-ac = y; c
2
-ab = z;
Th× ax + by + cz chia hÕt cho x+y+z
C©u 4:Cho gãc vu«ng xEy quay quanh ®Ønh E c¶u h×nh vu«ng EFGH. Ex c¾t FG, GH t¹i M, N; Ey c¾t
FG, GH t¹i P, Q
a, CMR:
,NEP MMQV V
vu«ng c©n
b, Gäi R lµ giao cđa PN, QM. Gäi I, K lµ trung ®iĨm cđa NP. QM. Tø gi¸c EKRI lµ h×nh g×?
c, CMR: F, H, K, I th¼ng hµng.
C©u 5:Cho
ABCV
cã diƯn tÝch lµ S. Trªn AB lÊy BB
1
= AB. Trªn BC lÊy CC
1
= BC, trªn AC lÊy AA
1
=
AC.

T×m tû sè
1 1 1
A B C
S
V
vµ
ABC
S
V
theo S.
®Ị sè 39
C©u 1:a, T×m c¸c sè a, b, c, d biÕt:
a
2
+b
2
+c
2
+d
2
-ab-bc-cd- d+
2
5
= 0.
b, CMR: Víi mäi n
∈
N; n > 0 th× :
A = n
4
+ 2n

3
+ 2n
2
+ 2n + 1 kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng
C©u 2:T×m nghiƯm nguyªn cđa PT:
x
7
– x
5
+x
4
– x
3
– x
2
+ x = 1992.
C©u 3:Cho x, y, z, t > 0 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa:
A =
x y z t y z t x z t x y t x y z
y z t x z t x y t x y z x y z t
+ + + + + + + +
+ + + + + + +
+ + + + + + + +
C©u 4:a, Cho a, b, c ®«i mét kh¸c nhau. CMR: Trong c¸c B§T sau cã Ýt nhÊt mét B§T lµ sai.
(a+b+c)
2

≤
9ab; (a+b+c)
2

≤
9bc; (a+b+c)
2

≤
9ac.
b, Cho n
∈
N; n > 0. CMR:
1 1 1 1 1 1 1
(1 ) ( )
1 3 2 1 2 4 2n n n n
+ + + ≥ + + +
+ −
C©u 5:Cho
ABCV
, tõ D trªn AB kỴ Dx//BC c¾t AC t¹i E, tõ C kỴ Cy//AB c¾t Dx t¹i F. AC c¾t BF t¹i I.
a, Chøng tá ta cã thĨ chän vÞ trÝ D ®Ĩ BF lµ ph©n gi¸c gãc
µ
B
b, CMR: NÕu D lµ trung ®iĨm cđa AB th× CI = 2IE.
c, Víi D lµ ®iĨm bÊt kú trªn AB. CMR: IC
2
= IE.IA.
§Ị sè 40
C©u 1:T×m tỉng S
n
= 7 + 77 + +
77 7

uuuuuuux
(n ch÷ sè)
C©u 2:CMR: S = 1+2+3+ +n (n
∈
N) cã tËn cïng lµ 0, 1, 3, 5, 6 hc 8.
- 18 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
C©u 3: a, CMR: 1
2
+ 2
2
+ + n
2
=
( 1)(2 1)
6
n n n+ +
b, CMR: Víi n
∈
N th×:
( 1)(2 1)
6
n n n+ +
lµ sè nguyªn.
C©u 4:CMR: NÕu n
∈
Z th×:
5 3
7

5 3 15
n n n
+ +
lµ sè nguyªn tè.
C©u 5: Cho a, b, c > 0
CMR:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
b c c a a b b c c a a b
+ + ≥ + +
+ + + + + +
C©u 6:Cho
ABCV
vu«ng c©n t¹i A, M lµ trung ®iĨm BC. Tõ M vÏ gãc 45
0
, 2 c¹nh cđa gãc c¾t AB, AC
t¹i E,F.
a, X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa E, F ®Ĩ
MEF
S
V
®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
b,
MEF
S
V
lín nhÊt lµ bao nhiªu?
®Ị sè 4
C©u 1: a, Cho a+b+c = 0. CMR:

( )( ) 0
a b b c c a c a b
c a b a b b c c a
− − −
+ + + + =
− − −
b, CMR víi mäi x, y
∈
Z
A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y
4
lµ sè chÝnh ph¬ng.
C©u 2:T×m sè nguyªn x, y, z tho¶ m·n:
x
2
+ y
2
+ z
2
< xy + 3y -3
C©u 3: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt: y =
2
4 3
1
x
x
+
+
C©u 4: T×m x, y
∈

Z
+
: x
2
+ (x+y)
2
= (x+9)
2
C©u 5: CMR: A = 10
n
+ 18n -1 chia hÕt cho 27 (n
∈
N)
C©u 6: Cho
ABCV
, trªn BC, CA, AB lÊy M, N, P sao cho:
;(0 1)
BM CN AP
k k
MC NA PM
= = = < ≠
vµ kỴ c¸c ®o¹n AM, BN, CP.
T×m diƯn tÝch tam gi¸c t¹o bëi c¸c ®o¹n AM, BN, CP. BiÕt
ABC
S S=
V
C©u 7: T×m sè nguyªn x, y :
2 3 5x y+ =
§Ị sè 42
C©u 1: Cho 3 sè x, y, z: xyz = 1; vµ

1 1 1
x y z
x y z
+ + < + +
CMR: Cã ®óng 1 trong 3 sè lín h¬n 1.
C©u 2:T×m gi¸ trÞ nguyªn x, y tho¶ m·n ®ång thêi:
x+y
≥
25
y
≤
2x+18
y
≥
x
2
+4x
C©u 3:Gi¶i PT:
2 3
3 4 1x x− + − =
C©u 4:Cho 3 sè a, b, c tho¶ m·n: a
4
+b
4
+c
4
< 2(a
2
b
2

+ b
2
c
2
+ a
2
c
2
)
Chøng minh r»ng: Tån t¹i tam gi¸c mµ cã ®é dµi 3 c¹nh lµ a, b, c.
- 19 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
C©u 5:Cho 2 ®êng th¼ng ox, vµ oy vu«ng gãc víi nhau, c¾t nhau t¹i O. Trªn Ox lÊy vỊ 2 phÝa cđa ®iĨm
O hai ®o¹n OA = 4cm; OB = 2cm. Gäi M lµ ®iĨm n»m trªn ®êng trung trùc cđa AB. MA, MB c¾t Oy ë
C, vµ D. Gäi E lµ trung ®iĨm CA; F lµ trung ®iĨm cđa DB.
a, CMR:
, ,MA BFO OEAV V V
®ång d¹ng vµ t×m tû sè ®ång d¹ng.
b, CMR: OEFM lµ h×nh b×nh hµnh.
c, §êng th¼ng EF c¾t Ox t¹i P. CMR: P lµ ®iĨm cè ®Þnh khi M di chun trªn ®êng th¼ng trung
trùc AB.
d, Cho MH = 3cm, tø gi¸c OFME lµ h×nh g×?
§Ị sè 43
C©u 1: Cho a, b, c lµ ba sè ph©n biƯt tho¶ m·n:
0
a b c
b c c a a b
+ + =
+ + +

CMR:
2 2 2
0
( ) ( ) ( )
a b c
b c c a a b
+ + =
− − −
C©u 2:Cho a, b, c
≠
0 vµ
0
x y z
a b c x y z
a b c
+ + = + + = + + =
. CMR: xa
2
+ yb
2
+ zc
2
= 0.
C©u 3: Gi¶i PT:
a, (x-4)(x-5)(x-6)(x-7) = 1680.
b,
2
2
2
2 7

2 4
2 3
x x
x x
x x
+ +
= + +
+ +
C©u 4:Cho a, b, c tho¶ m·n:
1 1 1
2
1 1 1a b c
+ + ≥
+ + +
. CMR: abc
1
8
≤
.
C©u 5:Cho a, y, z
≥
0 vµ x, y , z
∈
Z tho¶ m·n: a + by
≤
36 vµ 2x + 3z
≤
72.
CMR: NÕu b 3 th× x+y+z nhËn gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 36.
C©u 6:Cho h×nh vu«ng OCID cã c¹nh lµ a. AB lµ ®êng th¼ng bÊt kú ®i qua I c¾t tia OC, OD t¹i A, vµ B.

a, CMR: CA.DB cã gi¸ trÞ kh«ng ®ỉi (theo a).
b,
2
2
CA OA
DB OB
=
c, X¸c ®Þnh vÞ trÝ A, B sao cho DB = 4CA.
d, Cho
2
8
3
AOB
a
S =
V
. TÝnh CA + DB theo a.
§Ị sè 44
C©u 1:Cho a > b > 0. So s¸nh A, B:
A =
2 1 2 1
2 2
1 1
;
1 1
n n
n n
a a a b b b
B
a a a b b b

− −
+ + + + + + + +
=
+ + + + + + + +
C©u 2:a, Cho x+y+z = 0
CMR: 2(x
5
+y
5
+z
5
) = 5xyz(x
2
+y
2
+z
2
)
b, Cho a, b, c
≠
0. TÝnh gi¸ trÞ M = x
2003
+y
2003
+z
2003
.
BiÕt z, y, z:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2

x y z x y z
a b c a b c
+ +
= + +
+ +
C©u 3:a, Cho a, y, z
0
≥
CMR: a(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y)
0
≥
b, Cho a, b, c tho¶ m·n a+b+c > 0; ab+bc+ca > 0; vµ abc > 0.
- 20 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
CMR: C¶ 3 sè ®Ịu d¬ng.
C©u 4:T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = x
100
– 10x
10
+10.
C©u 5:Víi gi¸ trÞ nµo cđa A th× PT:
2 1 3x a x− + = +
cã nghiƯm duy nhÊt.
C©u 6:Cho
ABCV
®êng th¼ng d//BC c¾t AB, AC t¹i D, E.
a, CMR: Víi mäi ®iĨm F trªn BC lu«n cã
DEF
S

V
kh«ng lín h¬n
1
4
ABC
S
V
b, X¸c ®Þnh vÞ trÝ D, E ®Ĩ
DEF
S
V
lín nhÊt.
§Ị sè 45
C©u 1:a, Cho
1 1 1 1
a b c abc
+ + =
CMR:
1 1 1 1
n n n n n n
a b c a b c
+ + =
+ +
(víi n lµ sè nguyªn d¬ng lỴ; a, b, c
≠
0)
b, Cho abcd = 1. TÝnh gi¸ trÞ:
M =
1 1 1 1
1 1 1 1abc ab a bcd bc b acb cd c abd ad d

+ + +
+ + + + + + + + + + + +
C©u 2: Cho a, b > 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: P =
2 2
2 2
ab a b
a b ab
+
+
+
C©u 3:a, Cho a, b
∈
Q vµ a, b kh«ng ®ång thêi b»ng kh«ng. CMR:
2 2 2
2 2 2
1
1 1 1
a b c
a b c
+ + >
+ + +
b, Cho a, b, c tháa m·n: a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. CMR:
1
1

2
ab bc ca− ≤ + + ≤
C©u 4: T×m nghiƯm nguyªn cđa PT:
a, xy – 2 = x + y
b, 3xy + x – y = 1
C©u 5: Gi¶i PT: x
4
+3x
3
+4x
2
+3x+1 = 0
C©u 6:Cho
ABCV
cã ®êng cao lµ AA
1
, BB
1
, CC
1
, h×nh chiÕu cđa A
1
lªn AB, AC BB
1,
CC
1
lµ H, I, K, P.
CMR: H, I, K, P th¼ng hµng.
§Ị sè 47
C©u 1:Cho a, b, c

0
≠
; a
3
+b
3
+c
3
= 3abc
TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc: P =
(1 )(1 )(1 )
a b c
b c a
+ + +
C©u 2:a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa M =
2
2
3 6 10
2 3
x x
x x
+ +
+ +
b, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = x
2
+ 26y
2
- 10xy + 14x - 76y + 59.
C©u 3:Cho a+b+c+d = 1
CMR: (a+c)(b+d) + 2ac +2bd

1
2
≤
b, Cho 3 sè d¬ng a, b, c ®Ịu nhá h¬n 1. CMR: cã Ýt nhÊt 1 mƯnh ®Ị sau lµ sai:
- 21 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
a(1-b) >
1
4
; b(1-c) >
1
4
; c(1-a) >
1
4
C©u 4:a, T×m x, y
Z∈
: x
2
+ (x+1) = y
4
+ (y+1)
4
b, Cho N = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n+1)(n+2)
CMR: 4N+1 lµ sè chÝnh ph¬ng víi mäi n
∈
Z
+
c, T×m nghiƯm nguyªn d¬ng cđa PT:

x
2
– (x+y)
2
= -(x+y)
2
C©u 5:X¸c ®Þnh a, b, c ®Ĩ: f(x) = x
4
+ax
2
+bx+c chia hÕt cho g(x) = (x-3)
3.
C©u 6:Cho O lµ trùc t©m cđa
ABCV
(cã 3 gãc nhän). Trªn OB, OC lÊy B
1
, C
1
sao cho:
·
1
AB C
=
·
0
1
90AC B =
. CMR: AB
1 =
AC

1
§Ị sè 49
C©u 1: a, CMR: NÕu (y-z)
2
+(z-x)
2
+(x-y)
2
= (y+z-2x)
2
+(z+x-2y)
2
+(y+x-2z)
2
th× x = y = z.
b, Cho x
2
-y = a; y
2
-z = b; z
2
-x = c.
TÝnh P = x
3
(z-y
2
) + y
3
(x-z
2

) + z
3
(y-x
2
) + xyz(xyz-1)
C©u 2: T×m x ®Ĩ: P =
4 3 2
2
4 16 56 80 356
2 5
x x x x
x x
+ + + +
+ +
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
C©u 3: CMR:
2 2
1 1 1 1
1
1 1n n n n
+ + + + >
+ −
víi n
N∈
; n > 0.
C©u 4: T×m nghiƯm nguyªn d¬ng cđa PT:
2(x+y+z) + y = 3xyz.
C©u 5:Cho
ABCV
, trung tun AD. Gäi G lµ träng t©m

ABCV
, mét c¸t tun quay quanh G c¾t AB,
AC t¹i M, N.
CMR:
3
AB AC
AM CM
+ =
C©u 6: Cho
ABCV
, mét h×nh ch÷ nhËt MNPQ thay ®ỉi sao cho: M
∈
AB; N
∈
AC; P
∈
BC, Q
∈
BC.
T×m tËp hỵp t©m O cđa h×nh ch÷ nhËt MNPQ
§Ị sè 50
C©u 1:a, Cho x+y=a; x
2
+y
2
=b; x
3
+y
3
= c.

CMR: a
3
-3ab+2c = 0.
b, X¸c ®Þnh a, b, c, d ®Ĩ ®¼ng thøc sau ®óng víi mäi x.
3
4 2
2
1 1 1 1
x x a b cx d
x x x x
+ +
= + +
− + − +
C©u 2: Cho a, b, c
0≠
. Gi¶i PT:
1 1 1
2( )
x a x b x c
bc ac ab a b c
− − −
+ + = + +
C©u 3:a, Cho a, b, c lµ ®é dµi c¸c c¹nh cđa 1 tam gi¸c.
CMR:
2
a b c
b c c a a b
+ + <
+ + +
b, Cho a, b, c lµ sè tù nhiªn kh«ng nhá h¬n 1.

CMR:
2 2 2
1 1 1 3
1 1 1 1a b c abc
+ + ≥
+ + + +
- 22 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
C©u 4: Cho x, y, z tho¶ m·n: xy+yz+zx = 1
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: M = x
4
+y
4
+z
4
C©u 5:
T×m nghiƯm nguyªn cđa PT: 5x – 3y = 2xy – 11
C©u 6: Cho h×nh thang ABCD (AB//CD). Giao ®iĨm cđa AC, BD lµ O, ®êng th¼ng qua O vµ song song
AB c¾t AD, BC t¹i M, N.
a, CMR:
1 1 2
AB CD MN
+ =
b, Cho
2 2
; ;
AOB COD
S a S b= =
V V

TÝnh
ABCD
S
c, T×m ®iĨm K trªn BD sao cho ®êng th¼ng qua K vµ song song AB bÞ hai c¹nh bªn vµ 2 ®êng
chÐo chia thµnh 3 ®o¹n b»ng nhau.
- 23 -