Đề + đáp án thi HSG cấp tỉnh 2009-2010

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8 (lần 2)

Năm học 2009 - 2010
Bài 1: Cho biểu thức M =






+
+
−
+
−
2
1
36
6
4
3
2
xx
xx
x
:









+
−
+−
2
10
2
2
x
x
x
a) Rút gọn M
b)Tính giá trị của M khi
x
=
2
1
Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- 4b
2
c

2
a) Phân

tích biểu thức A thành nhân tử.
b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam
giác thì A < 0.
Bài 3:
a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
A = x
2
- 2xy + 2y
2
- 4y + 5
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau :
B =
1
)1(3
23
+++
+
xxx
x
Bài 4:
Cho hình bình hành ABCD . Với AB = a ; AD = b. Từ đỉnh A , kẻ
một đường thẳng a bất kỳ cắt đường chéo BD tại E, cắt cạnh BC
tại F và cắt tia DC tại G.
a) Chứng minh: AE
2
=EF.EG
b). Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì

tích BF.DG không đổi.
Bài 5:
Chứng minh rằng nếu
)1()1(
22
xzy
xzy
yzx
yzx
−
−
=
−
−
Với x
≠
y ; xyz
≠
0 ; yz
≠
1 ;
xz
≠
1.
Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)
HD:
Bài 1:
a) Rút gọn M
M=







+
+
−
+
−
2
1
36
6
4
3
2
xx
xx
x
:








+

−
+−
2
10
2
2
x
x
x
=






+
+
−
−
+− 2
1
)2(3
6
)2)(2(
2
xxxxx
x
:
2

6
+x
M =
6
2
.
)2)(2(
6 +
+−
− x
xx
=
x−2
1
b)Tính giá trị của M khi
x
=
2
1
x
=
2
1
⇔
x =
2
1
hoặc x = -
2
1

Với x =
2
1
ta có : M =
2
1
2
1
−
=
2
3
1
=
3
2
Với x = -
2
1
ta có : M =
2
1
2
1
+
=
2
5
1

=
5
2

Bài 2a) Phân

tích biểu thức A thành nhân tử.
Ta có : A = ( b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- 4b
2
c
2
= ( b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- (2bc)
2
= ( b

2
+ c
2

- a
2
-2bc)( b
2
+ c
2
- a
2
+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a)
b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam
giác thì A < 0.
Ta có: (b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác)
(b+c +a) >0 ( BĐT trong tam giác)
(b-c -a) <0 ( BĐT trong tam giác)
(b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác)
Vậy A< 0
Bài 3:
a)Ta có : A = x
2
- 2xy + y
2
+y
2
- 4y +4 + 1
= (x-y)
2

+ (y - 2)
2
+ 1
Do (x-y)
2

≥
0 ; (y - 2)
2

≥
0
Nên A= (x-y)
2
+ (y - 2)
2
+ 1
≥
1
Dấu ''='' xãy ra
⇔
x = y và y = 2
Vậy GTNN của A là 1
⇔
x = y =2
b) B =
1
)1(3
23
+++

+
xxx
x
=
1)1(
)1(3
2
+++
+
xxx
x
=
)1)(1(
)1(3
2
++
+
xx
x
=
1
3
2
+x
Do x
2
+1>0 nên B =
1
3
2

+x
≤
3
Dấu ''='' xãy ra
⇔
x = 0
Vậy GTLN của B là 3
⇔
x = 0
Bài 4:

E

F

A

B

D

C

G
a)
Do AB//CD nên ta có:

ED
EB
EG

EA
=
=
DG
AB
(1)
Do BF//AD nên ta có:

ED
EB
EA
EF
=
=
FB
AD
(2)
Từ (1) và (2)
⇒
EA
EF
EG
EA
=
Hay AE
2
= EF. EG
b). Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì
tích BF.DG không đổi.
Từ (1) và (2)

⇒
AD
FB
DG
AB
=
Hay BF.DG = AB.AD = ab (không đổi)
Bài 5:
Từ GT
⇒
(x
2
-yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y
2
- xz)
⇔
x
2
y- x
3
yz-y
2
z+xy
2
z
2
= xy
2
-x
2

z - xy
3
z +x
2
yz
2

⇔
x
2
y- x
3
yz - y
2
z+ xy
2
z
2
- xy
2
+x
2
z + xy
3
z - x
2
yz
2
= 0
⇔

xy(x-y) +xyz(yz +y
2
- xz - x
2
)+z(x
2
- y
2
) = 0
⇔
xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0
⇔
(x -y)
[ ]
yzxzzyxxyzxy ++++− )(
= 0
Do x - y
≠
0 nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = 0
Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm