Chuyên đề khảo sát HS-Ôn thi TN 12

Gv Diệp Quốc Quang -THCS Cư Đrăm- Krông Bông
Chủ đề 1
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT, VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ
MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
A. LÝ THUYẾT.
I. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ.
1. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a, b).
 Nếu f’(x) > 0 với mọi x
∈
(a; b) thì hàm số đồng biến trên (a; b).
 Nếu f’(x)< 0 với mọi x
∈
(a; b) thì hàm số nghịch biến trên (a; b).
2. Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (x
0
- h; x
0
+ h) và có đạo hàm trên
khoảng đó (có thể trừ điểm x
0
).
Hàm số đạt cực trị tại x
0
nếu và chỉ nếu f’(x) đổi dấu khi x đi qua x
0
.
x x
0
- h x
0
x

0
+ h
f’(x) + 0 -
f(x)
CĐ
3. Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C), ta có:
Đường thẳng y = y
0
là tiệm cận ngang của (C) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được
thỏa mãn:
0 0
lim ( ) , lim .
x x
f x y y
→+∞ →−∞
= =
Đường thẳng x = x
0
là tiệm cận đứng của (C) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được
thỏa mãn:
4. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
1) Tìm TXĐ của hàm số và xét các tính chất: tính chãn lẻ, tính tuần hoàn (nếu có).
2) Xét sự biến thiên của hàm số:
 Tính đạo hàm, tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
 Xét dấu đạo hàm và suy ra chiều biến thiên, tìm cực trị của hàm số.
 Tìm các giới hạn tại vô cực và tiệm cận (nếu có).
 Lập bảng biến thiên.
3) Vẽ đồ thị.
 Xác định một số điểm đặc biệt thuộc đồ thị.
 Vẽ đồ thị.

5. GTLN, GTNN của hàm số liên tục.
1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D
Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
0 0
: ( )
: ( )
x D f x M
x D f x M
∀ ∈ ≤
∃ ∈ =
(ký hiệu M=maxf(x) )
Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
0 0
: ( )
: ( )
x D f x m
x D f x m
∀ ∈ ≥
∃ ∈ =
(ký hiệu m=minf(x) )
2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b)
+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b)
+ Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại
(cực tiểu) là GTLN (GTNN) của hàm số trên (a,b)
x x
0
- h x
0
x
0

+ h
f’(x) - 0 +
f(x)
CT
Gv Diệp Quốc Quang -THCS Cư Đrăm- Krông Bông
3) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b].
+ Tìm các điểm x
1
,x
2
, , x
n

∈
[a,b] mà tại đó đạo hàm bằng không hoặc không xác định.
+ Tính f(a), f(x
1
), f(x
2
), , f(x
n
), f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
[ , ]
[ , ]
max ( ) ; min ( )
a b
a b
M f x m f x= =
Chú ý:

 Có thể sử dụng tính chất của bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên
một đoạn, khoảng.
 Hàm số liên tục trên một đoạn luôn có GTLN, GTNN trên đoạn đó. Hàm số liên tục
trên một khoảng có thể không có GTLN, GTNN.
II. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ, TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
HÀM SỐ.
6. Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C
1
) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C
2
). Số giao
điểm của (C
1
) và (C
2
) là số nghiệm phân biệt của phương trình f(x) = g(x) và ngược lại.
7. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), có đồ thị (C) và x
0

∈
(a; b). Nếu tồn tại
đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x
0
thì tiếp tuyến với (C) tại M
0
(x
0
; f(x
0
)) có phương trình

là : y - f(x
0
) = f’(x
0
)(x - x
0
).
B. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN.
I. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
 Thực hiện theo các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
1. Hàm số bậc ba y = ax
3
+ bx
2
+ cx +d (a ≠ 0).
Các dạng của đồ thị hàm số bậc 3
a > 0 a < 0
Phương trình
y’ = 0 có hai
nghiệm phân
biệt
x
y
1
x
y
1
Phương trình
y’ = 0 có
nghiệm kép

x
y
1
x
y
1
Phương trình
y’ = 0 vô
nghiệm
x
y
1
x
y
1
Ví dụ : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = - x
3
+ 3x
2
-2 ;
Gv Diệp Quốc Quang -THCS Cư Đrăm- Krông Bông
Hướng dẫn:
TXĐ: D = R
y’ = -3x
2
+ 6x
y’ = 0
⇒
-3x
2

+ 6x
0

2
x
x
=

⇔

=


y’ > 0 khi
(0;2)x∈
nên hàm số đồng biến trên
(0;2)
y’ < 0 khi
( ;0) (2; )x∈ −∞ ∪ +∞
nên hàm số đồng biến trên
( ;0) (2; )−∞ ∪ +∞
.
Khi qua x = 0 đạo hàm đổi dấu từ - sang + nên x = 0 là điểm cực tiểu
⇒
y
ct
= y(0) = -2
Khi qua x = 2 đạo hàm đổi dấu từ + sang – nên x = 2 là điểm cực đại
⇒
y

cđ
= y(2) = 2
3 2 3 2
lim ( 3 2) ; lim ( 3 2)
x x
x x x x
→−∞ →+∞
− + − = +∞ − + − = −∞
Bảng biến thiên
x -
∞
0 2 +
∞
y’ - + -
y
+
∞
-2
2
-
∞
Đồ thị
Một số điểm đặc biệt
x = -1
⇒
y = 2
⇒
A(-1; 2)
x = 1
⇒

y = 0
⇒
B(1; 0)
x = 3
⇒
y = -2
⇒
C(3; -2)
Bài tập tự làm
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số
sau:
a) y = x
3
– 6x
2
+ 9x; b) y = -
x
3
+ 3x
2
;
c) y = 2x
3
+ 3x
2
– 1; d) y =
-x
3
+ 3x
2

- 9x +1.
2. Hàm số bậc bốn trùng phương
y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0).
Các dạng đồ thị hàm số bậc 4
trùng phương
a > 0 a < 0
Phương trình
y’ = 0 có ba
nghiệm phân
biệt.
x
y
1
x
y
1
x
y
f
x
( )
=
-
x
3
+3

⋅
x
2
(
)
-2
1
Gv Diệp Quốc Quang -THCS Cư Đrăm- Krông Bông
Phương trình
y’ = 0 có một
nghiệm.
x
y
1
x
y
1
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x
4
– 2x
2
+ 1
Hướng dẫn:
TXĐ: D = R
y’ = 4x
3
– 4x
y’ = 0
⇔
x = 0; x = -1; x = 1

y’ > 0 khi
( 1;0) (1; )x∈ − ∪ +∞
do đó hàm số đồng biến trên
( 1;0) (1; )− ∪ +∞
y’ < 0 khi
( ; 1) (0;1)x∈ −∞ − ∪
do đó hàm số nghịch biến trên
( ; 1) (0;1)−∞ − ∪
x = -1 và x = 1 là các điểm cực tiểu => y
ct
= y(-1) = y(1) = 0
x = 0 là điểm cực đại => y
cđ
= y(0) =1
4 2
lim ( 2 1)
x
x x
→±∞
− + = +∞
Bảng biến thiên
x -
∞
-1 0 1 +
∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
y +
∞
1 +
∞

0 0
Đồ thị
Bài tập tự làm
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
của các hàm số sau:
a) y = x
4
– 2x
2
+ 1 b) y = -x
4
+ 3x
2
+ 4; c) y = x
4
- 3x
2
+
4;
d/ y = x
4
– 2x
2
– 1 e/ y =
4
2
3
2 2
x
x− + +

f/ y = - x
4
+ 2x
2

3. Hàm số bậc nhất trên bậc nhất
ax b
y
cx d
+
=
+
(ad - bc ≠ 0, c ≠ 0 ).
Các dạng đồ thị
D = ad - bc > 0 D = ad - bc < 0
x
y
f
x
( )
=
x
4
-2
⋅
x
2
(
)
+1

1
Gv Diệp Quốc Quang -THCS Cư Đrăm- Krông Bông
x
y
L
1
x
y
1
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a/ y =
2 4
1
x
x
−
−
b/ y =
1 2
2
x
x
−
+

Hướng dẫn: Đồ thị của các hàm số như sau
a) y =
2 4
1
x

x
−
−
b) y =
1 2
2
x
x
−
+

x
y
f
x
( )
=
2
⋅
x-4
x-1
2
I
2
4
O
1
x
y
f

x
( )
=
2
⋅
x-4
x-1
2
I
2
4
O
1
Bài tập tự làm
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a)
2
1
x
y
x
−
=
+
b)
2
2 1
x
y
x

−
=
+
2. Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị .
Bài toán 1: Viết PTTT của hàm số y = f(x) (C) tại điểm M
0
(x
0
; y
0
)
Bước 1: PTTT cần tìm có dạng: y – y
0
=
f
′
(x
0
)(x – x
0
);
Bước 2: Tính
f
′
(x); Suy ra
f
′
(x
0
);

Bước 3: Thay x
0
, y
0
và
f
′
(x
0
) vào bước 1.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 5.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(3; 5).
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có hoành độ là x = -1; x = 1;
HD:
a) TXĐ: D = R.
y’ = 3x
2
- 6x
' 2
0
0 3 6 0
2
x
y x x
x

=

= ⇔ − = ⇔

=

Bảng biến thiên:
x -
∞
0 2 +
∞
y’ + 0 - 0 +
y
-
∞
5
1
+
∞
Đồ thị:
b) Tại M(3; 5)
phương trình tiếp
tuyến của đồ thị
hàm số có dạng
y – y
0
=
f
′
(x

0
)(x –
x
0
);
Với x
0
= 3; y
0
= 5;
f’(3) = 9
Vậy phương trình
tiếp tuyến là y = 9x
- 22.
c) * x = -1
⇒
y = 1; f’(-1) = 9
⇒
phương trình tiếp tuyến là y = 9x + 10.
* x = 1
⇒
y = 3; f’(1) = -3
⇒
phương trình tiếp tuyến là y = -3x + 6.
Bài tập tự làm
Bài 1: Cho hàm số (C): y = x
3
+ 3x
2
+ 1.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(-2; 5)
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1
Bài 2: Cho hàm số (C): y = -x
3
+ 3x + 2
x
y
-1
3
1
5
2
O
1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm I(0; 2). ĐS: y = 3x + 2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại các điểm có hoành độ là x = 0, -2, 2.
Bài 3: Cho hàm số (C): y = - x
4
+ 2x
2
+ 1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 2
3. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết phương của tiếp tuyến.
Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến.
(hay: biết phương tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (d) )
C1:  Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k ⇒ ⇒ x = x
0

( hoành độ tiếp điểm)
 Bước 2: Tìm y
0
và thay vào dạng y = k(x – x
0
) + y
0
. ta có kết quả
C2:  Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**) (trong đó m là tham số chưa biết)
 Bước 2: Lập và giải hệ pt:
( )
'( )
f x kx m
f x k
= +


=

⇒ m = ? thay vào (**). Ta có kết quả
Ví dụ 1: Cho hàm số (C): y = x
3
– 3x
2
+ 4
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y =
5
1
3

x− −
.
Hướng dẫn :
a) Đồ thị :
b) Tiếp tuyến song song với đường
thẳng y =
5
1
3
x− −
nên hệ số góc của
tiếp tuyến là
f’(x
0
) =
5
3
−
⇒
3x
2
– 6x =
5
3

⇔
9x
2
–
18x + 5 = 0

⇔
x =
5
3
và x =
1
3
HS tự làm tiếp.
Ví dụ 2: Cho hàm số (C): y =
1
3
x
x
+
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường phân giác phần tư thứ nhất
Hướng dẫn:
a) Đồ thị:
b) HD: Đường phân giác phần tư thứ nhất
là: y = x. Tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng y = x, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến
là k = -1.
Do đó f’(x) = -1
⇒

( )
( )
2
2

5
4
1 3 4
1
3
x
x
x
x
=

− = − ⇔ − = ⇔

=
−

x = 5
⇒
y = 3
x = 1
⇒
y = -1
ĐS: y = -x và y = -x + 8
x
y
f
x
( )
=
x+1

x-3
-1
O
1
x
y
f
x
( )
=
x
3
-3
⋅
x
2
(
)
+4
2
4
O
1
Bài tập tự làm
Cho hàm số (C): y = x
4
– 2x
2
– 3
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến là 24.
c) Viết pttt của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x + 1
d) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x - 3
4. Dựa vào đồ thị của hàm số y = f(x), biện luận theo m số nghiệm của phương trình
dạng f(x) = m.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
- 4.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của các phương trình sau:
1) x
3
+ 3x
2
– 4 = m; 2) x
3
+ 3x
2
– m = 0.
HD: a) BBT:
x -
∞
-2 0 +
∞
y’ + - +
y
+
∞

0
-4
-
∞
Đồ thị:
b1) Số nghiệm của phương trình
x
3
+ 3x
2
– 4 = m chính bằng số
giao điểm của đồ thị hai hàm số
y = x
3
+ 3x
2
– 4 (C) và đường
thẳng y = m (song song với trục
Ox)
Dựa vào đồ thị ta thấy:
Với m > 3 hoặc m < 0 thì pt có
một nghiệm,
Với m = 4 hoặc m = 0 thì pt có
hai nghiệm
Với 0 < m < 4 thì pt có ba nghiệm phân biệt.
b2) Phương trình x
3
+ 3x
2
– m = 0

⇔
x
3
+ 3x
2
– 4 = m – 4
Số nghiệm của phương trình x
3
+ 3x
2
– m = 0 chính bằng số giao điểm của đồ thị hai hàm số
y = x
3
+ 3x
2
– 4 (C) và đường thẳng y = m - 4 (song song với trục Ox)
(tương tự câu a) HS tự làm tiếp)
Bài tập tự làm
Bài 1: Cho hàm số
3 2
3 1= − + −xy x
có đồ thị (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b. Dùng đồ thị (C), xác định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt
3 2
3 0
− + =
xx k
.
Bài 2: Cho hàm số

4 2
2 1− −= x xy
có đồ thị (C)
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b.Dùng đồ thị (C ) , hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
4 2
2 0
− − =
x x m
Bài 3:Cho hàm số
3
2
−
−
=
x
x
y
có đồ thị (C)
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + 1 cắt đồ thị của hàm
số đã cho tại hai điểm phân biệt .
x
y
f
x
( )
=
x
3

-3
⋅
x
2
(
)
+4
2
4
O
1
Bài 4: Cho hàm số
3 2
3 1= − + +y x x
có đồ thị (C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A(3;1).
c. Dùng đồ thị (C) định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt
3 2
3 0− + =x x k
.
Bài 5: Cho hàm số y =
4 2
1 3
2 2
− +x mx
có đồ thò (C).
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 3.
2) Dựa vào đồ thò (C), hãy tìm k để phương trình
4 2

1 3
3
2 2
− + −x x k
= 0 có 4 nghiệm phân
biệt.
Bài 6: C ho hàm sè
2 1
1
+
=
−
x
y
x

a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C) hàm số
b. Tìm m để đường thẳng d : y = - x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt .
Bài 7: Cho hàm số y = (2 – x
2
)
2
có đồ thò (C).
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2) Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình x
4
– 4x
2
– 2m + 4 =
0

5. Tìm GTLN và GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn.
Phương pháp: Sử dụng quy tắc tìm GTLN, GTNN
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số:
a) Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số
4
1
2
= + +
−
y x
x
trên
[ ]
3;5
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = cos
2
x – cosx + 2
Hướng dẫn:
a) y’ = 1 -
2
4
( 2)x −
=
( )
2
2
4
2
x x
x

−
−
y’ = 0
⇔
( )
2
2
2
0
4
0 4 0
4
2
x
x x
x x
x
x
=

−
= ⇔ − = ⇔

=
−

Trên [3;5] ta có y’ = 0 khi x = 4
y(3) = 8; y(4) = 7; y(5) =
22
3

Vậy GTLN của hàm số trên [3;5] là 8 đạt được khi x = 3
GTNN của hàm số trên [3;5] là 7 đạt được khi x = 4.
b) Đặt t = cosx với t
∈
[-1; 1].
Khi đó bài tốn đưa về tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f(t) = t
2
– t +2 trên [-1; 1]
f'(t) = 2t -1
f’(t) = 0
⇔
t = ½
f(-1) = 4; f(1/2) = 7/4; f(1) = 2
Vậy GTLN của hàm số là 7/4 đạt được khi t = ½ tức cosx = ½
⇔
x =
2 , K Z
3
K
π
π
± + ∈
.
GTNN của hàm số là 4 đạt được khi t = -1 tức cosx = -1
⇔
x =
2 ,K K Z
π π
+ ∈
Bài tập tự làm

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a)
3 2
2 3 1y x x= + −
trên [-2;-1/2] ; [1,3).
b)
2
4y x x= + −
.
c)
3
4
2sinx- sin
3
y x=
trên đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ)
d)
2 os2x+4sinxy c=
x∈[0,π/2] (TN-THPT 01-02/1đ)
e)
2
3 2y x x= − +
trên đoạn [-10,10].
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
y= x 1 3x 6x 9 + + − + +
trên
đoạn[-1,3].
Bài 3: Chứng minh rằng
2

2
6 3
2
7 2
x
x x
+
≤ ≤
+ +
với mọi giá trị x.
6. Một số bài toán khác.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ (2m-1)x – 2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1;
b) Tìm m để hàm số có một cực đại và một cực tiểu.
Hướng dẫn:
a) m = 1 => y = x
3
+ 3x
2
+ x – 2 có đồ thị như sau:
b) Hướng dẫn
y’ = 3x
2
+ 6x + 2m -1
Hàm số có một cực đại
và một cực tiểu khi và

chỉ khi phương trình y’
= 0 có hai nghiệm phân
biệt và dấu của y’ thay
đổi khi đi qua các giá
trị đó.
Do đó
∆
’ = 9 -3(2m-1)
> 0
⇔
m < 2
Vậy với m < 2 thì hàm
số luôn có một cực đại
và một cực tiểu.
Bài tập tự làm
Bài 1: Cho hàm số (C
m
): y = 2x
3
+ 3(m – 1)x
2
+ 6(m – 2)x – 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 2
b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (C
m
) đi qua điểm A(1; 4). ĐS: m = 2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C) đi qua điểm B(0; -1).
Bài 2: Cho hàm số y = x
3
– 2x

2
– (m - 1)x + m = 0
a) Xác định m để hàm số có cực trị.
b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C).
c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi (C) và đoạn OA.
Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)
2
(x –1)
2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình : (x
2
– 1)
2
– 2n + 1 = 0
Bài 4: Cho hàm số
mx
mxm
y
−
+−
=
)1(
(m khác 0) và có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C
2
).
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
2

), tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng x
= 3, x = 4.
x
y
f
x
( )
=
x
3
+3
⋅
x
2
+x
(
)
-2
-1
O
1

Chủ đề 2
HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT
I TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC
1. Hàm số mũ, hàm số lôgarit.
Hàm số y = a
x
(a > 0, a
≠

1) y = log
a
x (a > 0, a
≠
1)
TXĐ R (0, +
∞
)
Tập giá trị (0, +
∞
) R
Đạo hàm y
’
= a
x
lna y
’
=
1
ln a
x
Chiều biến thiên
a > 1: Hàm số luôn đồng biến.
0<a<1 : Hàm số luôn nghịch biến.
Tiệm cận Ox là tiệm cận ngang Oy là tiệm cận đứng.
Đồ thị
- Đi qua các điểm
(0; 1), (1; a)
- Nằm phía trên trục
hoành.

- Đi qua các điểm
(1; 0), (a; 1)
- Nằm bên phải trục
tung.
2. Phương trình mũ, phương trình lôgarit.
 Phương trình a
x
= b (a > 0, a
≠
1) có nghiệm duy nhất x = log
a
b khi b > 0, vô nghiệm
khi b
≤
0.
 Phương trình log
a
x = b (a > 0, a
≠
1) luôn có nghiệm x = a
b
với mọi b.
3. Bất phương trình mũ.
4. Bất phương trình lôgarit.
Bất phương trình
Tập nghiệm
a > 1 0< a < 1
log
a
x > b (a

b
; +
∞
) (0; a
b
)
log
a
x < b (0; a
b
) (a
b
; +
∞
)
5. Một số điều kiện tương đương.
a) a > 0, a
≠
1 : a
f(x)
= a
g(x)

⇔
f(x) = g(x);
log
a
f(x) = log
a
g(x)

⇔
( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x
>


=

b) a > 1 : a
f(x)
< a
g(x)

⇔
f(x) < g(x);
log
a
f(x) < log
a
g(x)
⇔
0 < f(x) < g(x).
c) a > 1 : a
f(x)
< a
g(x)

⇔

f(x) > g(x);
log
a
f(x) < log
a
g(x)
⇔
f(x) > g(x) > 0.
II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN
1. So sánh hai biểu thức chứa mũ và lôgarit.
Bất phương trình Điều kiện
Tập nghiệm
a > 1 0< a < 1
a
x
> b
b
≤
0 R R
b > 0 (log
a
b; +
∞
) (-
∞
; log
a
b)
a
x

> b
b
≤
0
∅
∅
b > 0 (-
∞
; log
a
b) (log
a
b; +
∞
)
Phương pháp chung: Đưa về cùng cơ số và áp dụng tính đơn điệu của hàm số mũ và hàm
số lôgarit.
Không dùng máy tính hãy so sánh các cặp số sau đây:
( ) ( )
7 5 2
3 2 2
5 7 1 1
2 2
1 1
) và ; b) 4- 5 và 4+ 5
2 2
) log 6 và log 6 ; d) log 3 và log 6
a
c
−

   
 ÷  ÷
   
2. Tính đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit.
Phương pháp chung: Sử dụng các quy tắc và công thức tính đạo hàm đã học.
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2 3 2 2
) 3 b) y = x ln( 1).
x
a y x x= − +
3. Biến đổi các biểu thức chứa mũ và lôgarit.
Rút gọn các biểu thức sau:
( ) ( )
( )
2 3
6 2 4
2 3 4 3 3
2 2
1
2 3 3 3 3
3 3
1
log 3 3log 5
log 5 log 3 1+log 5
1 log2
2
1
log 24 log 72
a 1

2
a) A = b) B = ;
1
log 18 log 72
3
c) C = 36 10 8 d) D = 16 4 ;
a a
a a a
−
+
−
−
− −
+ +
−
+ − +
4. Phương trình mũ.
Phương pháp chung: Để giải phương trình mũ ta có thể áp dụng một trong các phương
pháp sau:
 Đưa về cùng cơ;
 Đặt ẩn phụ;
 Lôgarit hóa;
Ví dụ Giải các phương trình sau:
( ) ( )
2
2 1 1
4x 2 x
a) 3 2 2 3 ; b) e 6 0; c) 4 .3 1
x x
x x

e
− +
+ = − + − = =
Hướng dẫn :
a) Nhận xét
( )
1
1
2 3 2 3
2 3
−
− = = +
+
Do đó phương trình trở thành
( ) ( )
2 1 ( 1)
3 2 2 3 2 1 1 0
x x
x x x
− − +
+ = + ⇔ − = − − ⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0
b) Đặt t = e
2x
> 0
Phương trình trở thành t
2
+ t – 6 = 0
⇔
t = 2 và t = -3 < 0 (loại)

t =2
⇒
e
2x
= 2
⇔
x= ½.
c) Lôgarit hóa hai vế phương trình theo cơ số 3 ta có phương trình
log
3
4
x
+ x
2
= 0
⇔
x(log
3
4 + x) = 0
⇔
x = 0 và x = - log
3
4
Bài tập tự làm
Giải các phương trình sau:
a) 64
x
– 8
x
– 56 = 0 (ĐS: 1) b) 3.4

x
– 2.6
x
= 9
x
(ĐS: 0)
c) 5
2x
– 2.5
x
– 15 = 0 (ĐS: 1) d) 2.16
x
– 17.4
x
+ 8 = 0
e) 4.9
x
+ 12
x
– 3.16
x
= 0 (ĐS: 1)
5. Phương trình lôgarit.
Phương pháp chung: Để giải phương trình lôgarit có thể áp dụng một trong các phương
pháp sau:
 Đưa về cùng cơ;
 Đặt ẩn phụ;
 Mũ hóa;
Ví dụ : Giải các phương trình logarit sau:
a)

2 1 2
2
log ( 1) log ( 3) log ( 7)x x x+ − + = +
; b) ln
3
x – ln
2
x = 4lnx -4;
Hướng dẫn:
a) ĐK: x > -1
phương trình trở thành log
2
(x+1) + log
2
(x+3) = log
2
(x+7)
⇔
log
2
(x+1)(x+3) = log
2
(x+7)
⇔
x
2
+ 4x + 3 = x + 7
⇔
x
2

+ 3x – 4 = 0
⇔
x = 1 hoặc x = -4 < - 1 (loại)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
b) Đặt t = lnx ta có phương trình sau
t
3
– t
2
– 4t + 4 = 0
⇔
(t – 1)(t – 2)(t + 2) = 0
⇔
t = 1; t = 2; t = -2
Với t = 1
⇒
lnx = 1
⇔
x = e
Với t = 2
⇒
lnx = 2
⇔
x =e
2
Với x = -2
⇒
lnx = -2
⇔
x = e

-2
.
Bài tập tự làm
Giải các phương trình logarit sau:
a) log
3
(5x + 3) = log
3
(7x + 5) (VN) b) log(x – 1) – log(2x – 11) = log2 (7)
c) log
4
(x + 2) = logx (2) d) log
4
x + log
2
4x = 5(4)
e)
2
1 1
log( 5) l 5 log
2 5
x x og x
x
+ − = +
(2) g)
2
2
log 16 log 64 3
x
x

+ =
(4;
3
1
2
)
6. Bất phương trình mũ và lôgarit
Phương pháp chung: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ, hàm số logarit và các tính
chất, công thức biến đổi của lũy thừa và logarit.
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:
a)
2
3
2 4
x x− +
<
(x < 1 hoặc x > 2) b) 3
x + 2
+ 3
x – 1

≤
28 (x
≤
1)
c)
2
6
3 1
x x− −

<
(-2 < x < 3)
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau:
a)
1 1
2 2
log (2 3) log (3 1)x x+ > +
(x > 2) b) log
8
(4 – 2x)
≥
2 (x
≤
- 30)
c)
1 1
5 5
log (3 5) log ( 1)x x− > +
(
5
3)
3
x< <
BÀI TẬP LÀM THÊM
Bài
( )
4 1 2
3 3 3
0,75
5

2
1 3 1
4 4 4
1
1/ / : 0,25 . / : , 0 .
16
a a a
a Ti nh b Ru t gon A a
a a a
−
−
−
−
 
+
 ÷
 
 
′ ′
+ = >
 ÷
 
 
+
 ÷
 
&
Bài
2 5 3 2
1 1

2 / :
3 3
CMR
   
<
 ÷  ÷
   
.
Bài 3/
1
27
5
log 2
3 8 6
5
2 4
3
5
5
5
5
5 5
4
ˆ
`
: / 3 ; / log 6.log 9.log 2;
. .
/ log ; / log log ( 5 )
a
nla n

Ti nh a b
a a a
c d
a
′
 
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Bài 4/ Biểu diễn log
30
8 qua log
30
5 và log
30
3.
Bài 5/ So sánh các số : a./ log
3
5 và log
7
4 ; b/ log
0,3
2 và log
5
3 .
Bài 6/ Tính đạo hàm các hàm số sau:

2
2
/ 2 3sin 2 ; / 5 ln 8 .
1
/ ; / ln
2 4 1
x
x
x
x
a y xe x b y x x sosx
x e
c y e d y
e
= + = − +
 
 
= − =
 ÷
 ÷
+
 
 
Bài 7/ Giải các pt sau:
( )
2
2 2
1 1 1
ln 1 ln ln 2

2
2
2 2 1
4
sin cos
9 3 9
/ 4 6 9 ; / 4 6 2.3 0;
/ 3 log log 8 1 0. / log 4 log 8;
8
/ 2 4.2 6; / log 27 log 3 log 243 0.
x x x
x x x
x x
x x
a b
x
c x x d x
e f
− − −
+ +
+ = − − =
 
− + = + =
 ÷
 
+ = − + =
Bài 8/Giải các pt sau:
( )
( ) ( ) ( )
2 3 3 7

4 2
3 9 4 2
2 2
7 11
/ ; / 2.16 17.4 8 0;
11 7
/ log 2 log ; / 9 5.3 6 0;
/ log 2 log 2 ; / log log 4 5;
/ 2 9.2 2 0;
x x
x x
x x
x x
a b
c x x d
e x x f x x
g
− −
+
   
= − + =
 ÷  ÷
   
+ = − + =
+ = + + =
− + =
Bài 9: Giải các bất phương trình sau:
a)
2
2 3

7 9
9 7
x x−
 
≥
 ÷
 
(
1
1
2
x≤ ≤
) b) 2
2x – 1
+ 2
2x – 2
+ 2
2x – 3

≥
448 (x
9
2
≥
)
c)
2
4 15 13
3 4
1

2
2
x x
x
− +
−
 
<
 ÷
 
(
3
2
x ≠
)
Bài 10: Giải các bất phương trình sau:
a) 4
x
– 3.2
x
+ 2 > 0 (x < 0 hoặc x > 1) b) (0,4)
x
– (2,5)
x + 1
> 1,5 (x < -1)
c) 9
x
– 5.3
x
+ 6 < 0 (log

3
2 < x < 1) d) 16
x
– 4
x
– 6
≤
0 (x
≤
log
4
3)
Bài 11: Giải các bất phương trình sau:
a)
1 1
2 2
log (2 3) log (3 1)x x+ > +
(x > 2) b) log
8
(4 – 2x)
≥
2 (x
≤
- 30)
c)
1 1
5 5
log (3 5) log ( 1)x x− > +
(
5

3)
3
x< <
d) log
0,2
x – log
5
(x – 2) < log
0,2
3 (x > 3)
e)
2
3 3
log 5log 6 0x x− + ≤
(9
≤
x
≤
27) f) log
3
(x + 2) > log
9
(x + 2) (x > -1)
MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP
NĂM 2009 – 2010
ĐỀ SỐ 1
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số số y = - x
3
+ 3x

2

– 2, gọi đồ thị hàm số là ( C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương
trình y
//
= 0.
Câu II ( 3,0 điểm )
1.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
4
( ) 1
2
= − + −
+
f x x
x
trên
[ ]
1;2−
2.Tính tích phân
( )
2
0
sin cos
π
= +
∫
I x x xdx
3.Giaûi phöông trình :

4 8 2 5
3 4.3 27 0
+ +
− + =
x x
Câu III ( 1,0 điểm ) Một hình trụ có diện tích xung quanh là S,diện tích đáy bằng diện tích
một mặt cầu bán kính bằng a. Hãy tính
a). Thể tích của khối trụ
b). Diện tích thiết diện qua trục hình trụ
II. PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
(Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần, phần cho chương trình chuẩn IVa, Va; phần
cho chương trình nâng cao IVb, Vb)
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x + 2y + 4z – 3 = 0
và hai đường thẳng
( ) ( )
1 2
2 2 0
1
: ; :
2 0
1 1 1
+ − =


−
∆ ∆ = =

− =
− −

x y
x y z
x z
1.Chứng minh
( )
1
∆
và
( )
2
∆
chéo nhau
2.Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu ( S) biết tiếp diện đó song song với hai đường
thẳng
( )
1
∆
và
( )
2
∆
Câu V.a ( 1,0 điểm ).
Tìm thể tích của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y=2x

2

và y = x
3
xung quanh trục Ox
Câu IVb. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng
( ) : 3 0+ + − =P x y z
và
đường thẳng (d) có phương trình là giao tuyến của hai mặt phẳng:
3 0+ − =x z
và 2y-3z=0
1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M (1;0;-2) và qua (d).
2. Viết phương trình chính tắc đường thẳng (d’) là hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt
phẳng (P).
Câu Vb. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:(2+i)
3
- (3-i)
3
.
ĐỀ SỐ 2
I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 ĐIỂM)
Câu I (3 điểm) Cho hàm số
3 2
3 1= − + +y x x
có đồ thị (C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A(3;1).
c. Dùng đồ thị (C) định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt
3 2
3 0− + =x x k

.
Câu II (3 điểm)
1. Giải phương trình sau: a.
2 2
2 2 2
log ( 1) 3log ( 1) log 32 0+ − + + =x x
. b.
4 5.2 4 0
+ =
−
x x

2. Tính tích phân sau:
2
3
0
(1 2sin ) cos
π
+=
∫
x xdxI
.
3. Tìm MAX, MIN của hàm số
( )
3 2
1
2 3 7
3
= − + −f x x x x
trên đoạn [0;2]

Câu III (1 điểm)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD và O là tâm của đáy ABCD. Gọi I là trung điểm cạnh
đáy CD.
a. Chứng minh rằng CD vuông góc với mặt phẳng (SIO).
b. Giả sử SO = h và mặt bên tạo với đáy của hình chóp một góc
α
.
Tính theo h và
α
thể tích của hình chóp S.ABCD.
II. PHẦN RIÊNG (3 ĐIỂM)
(Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần, phần cho chương trình chuẩn IVa, Va; phần
cho chương trình nâng cao IVb, Vb)
Câu IV.a (2 điểm) Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;2;3) và đường thẳng d có
phương trình
1
1 1
2 1 2
+
− −
= =
y
x z
.
1. Viết phương trình mặt phẳng
α
qua A và vng góc d.
2. Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng
α
.

Câu V.a (1 điểm) Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:
2
2 17 0+ + =z z
Câu IV.b (2 điểm) Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4)
1) Viết phương trình mặt phẳng
α
qua ba điểm A, B, C. Chứng tỏ OABC là tứ diện.
2) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC.
Câu V.b (1 điểm) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc: z
3
- (1 + i)z
2
+ (3 + i)z - 3i = 0
ĐỀ SỐ 3
I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 ĐIỂM)
Câu I. ( 3 điểm) Cho hàm sè
2 1
1
+
=
−
x
y
x

1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C) hàm số.
2. Tìm m để đường thẳng d: y = - x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Câu II. (3 điểm)
1. Giải phương trình:
2 2

log ( 3) log ( 1) 3− + − =x x
2. Tính tích phân: a. I=
3
2
0
1+
∫
xdx
x
b. J=
2
2
2
0
( 2)+
∫
xdx
x
3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = cos
2
x – cosx + 2
Câu III: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. SA
⊥
(ABCD) và SA = 2a.
1. Chứng minh BD vng góc với mặt phẳng SC.
2. Tính thể tích khối chóp S.BCD theo a.
II. PHẦN RIÊNG (3 ĐIỂM)
(Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần, phần cho chương trình chuẩn IVa, Va; phần
cho chương trình nâng cao IVb, Vb)
Câu IV.a (2 điểm) Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm A( 2; -1;1), B( 0;2;- 3) C( -1; 2;0).

1. Chứng minh A,B,C khơng thẳng hàng.Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
2. Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.
Câu V.a (1 điểm) Giải phương trình:
2 1 3
1 2
+ − +
=
− +
i i
z
i i
Câu IV.b (2 điểm) Trong khơng gian cho hai điểm A(1;0;-2), B( -1; -1;3) và mặt phẳng
(P): 2x – y +2z + 1 = 0
1. Viết phương trình mặt phẳng ( Q) qua hai điểm A,B và vng góc với mặt phẳng (P)
2. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Câu V.b (1 điểm) Cho hàm số
2
x 3x
y
x 1
−
=
+
(c). Tìm trên đồ thò (C) các điểm M cách đều 2
trục tọa độ.
ĐỀ SỐ 4
I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 ĐIỂM)
Câu I: (3 điểm) Cho hàm số y = (2 – x
2
)

2
có đồ thò (C).
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2) Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:x
4
– 4x
2
–2m+4 = 0.
Câu II: (3 điểm)
1. Giải các phương trình: a.
2
2 4
log 6log 4+ =x x
b.
1
4 2.2 3 0
+
− + =
x x
2. Tính tích phân :
0
2
1
16 2
4 4
−
−
=
− +
∫

x
I dx
x x
3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x
4
– 2x
3
+ x
2
trên đoạn [-1;1]
Câu III: (1 điểm)Trong khơng gian cho hình vng ABCD cạnh 2a. Gọi M,N lần lượt là
trung điểm các cạnh AB và CD. Khi quay hình vng ABCD xung quanh trục MN ta được
hình trụ tròn xoay. Hãy tính thể tích của khối trụ tròn xoay được giới hạn bởi hình trụ nói
trên.
II. PHẦN RIÊNG (3 ĐIỂM)
(Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần, phần cho chương trình chuẩn IVa, Va; phần
cho chương trình nâng cao IVb, Vb)
Câu IV.a (2 điểm) Trong khơng gian Oxyz cho 2 điểm A(5;-6;1) và B(1;0;-5)
1. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (
∆
) qua B có véctơ chỉ phương
r
u
(3;1;2).
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và (
∆
)
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và chứa (
∆
)

Câu V.a (1 điểm) Tính thể tìch các hình tròn xoay do các hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau đây quay quanh trục Ox: y = - x
2
+ 2x và y = 0
Câu IV.b (2 điểm) Trong khơng gian Oxyz cho 4 điểm A(3;-2;-2), B(3;-2;0), C(0;2;1),
D(-;1;2)
1) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Từ đó suy ra ABCD là một tứ diện
2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)
Câu Vb: (1 điểm) Tính thể tìch các hình tròn xoay do các hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau đây quay quanh trục Ox: y = cosx, y = 0, x = 0, x =
2
π
Đề số 5
I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 ĐIỂM)
Câu 1 (3 điểm) Cho hàm số
4 2
2 1= − +y x x
, gọi đồ thị của hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C).
Câu 2 (1 điểm) Giải phương trình
4 2
log log (4 ) 5+ =x x
.
Câu 3 (1,5 điểm) Giải phương trình
2
4 7 0− + =x x
trên tập số phức.
Câu 4 (1,5 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại đỉnh B,
cạnh bên SA vng góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp

S.ABC.
II. PHẦN RIÊNG (3 ĐIỂM)
(Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần, phần cho chương trình chuẩn 5a, 6a; phần cho
chương trình nâng cao 5b, 6b)
Câu 5a (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
3
( ) 3 1
= − +
f x x x
trên
[0; 2].
Câu 6a (2 điểm) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm E (1; 2; 3) và mặt phẳng
(a): x + 2y – 2z + 6 = 0.
1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc toạ độ O và tiếp xúc với mặt phẳng (a).
2. Viết phương trình tham số của đường thẳng (D) đi qua điểm E và vng góc với mặt
phẳng (a).
Câu 5b (1 điểm)Tính tích phân
2
2
1
2
1
=
+
∫
xdx
J
x
.
Câu 6b (2 điểm) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M (−1; −1; 0) và (P): x +

y – 2z – 4 = 0.
1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (P).
2. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm M và vuông góc với mặt
phẳng (P). Tìm toạ độ giao điểm H của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P).