ÔN ĐẠI HỌC THEO CHỦ ĐÊ

Chuyên đề hàm số Chuyên đề 1: Chiều biến thiên
Chuyên Đề Hàm số_ Luyện thi đại học năm 2009 – 2010
Chuyên đề 1: Chiều biến thiên của đồ thị hàm số
A.Cơ sở lý thuyết:
I. Lý thuyết chung:
1. y = f(x) đồng biến trên (a, b)
( )
' 0f x⇔ ≥
với mọi x
∈
(a, b).
2. y = f(x) nghịch biến trên (a, b)
( )
' 0f x⇔ ≤
với mọi x
∈
(a, b).
3. y = f(x) đồng biến trên
[ ]
;a b
thì Min f(x) = f(a); Max f(x) = f(b)
4. y = f(x) nghịch biến trên
[ ]
;a b
thì Min f(x) = f(b); Max f(x) = f(a).
Chú ý:
 Nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ giao điểm của
đồ thị y = f(x) với đồ thị y = g(x).
 Nếu hàm số
0y ≥
,

∀∈
(a, b) mà f(x) liên tục tại a và b thì
0y ≥

∀∈
[ ]
;a b
.
 Bất phương trình
( )f x m≥
đúng
x I∀ ∈

⇔
Min f(x)
m≥

x I∀ ∈
 Bất phương trình
( )f x m≤
đúng
x I∀ ∈

⇔
Max f(x)
m≤

x I∀ ∈
 BPT
( )f x m≥

có nghiệm
x I∈
⇔
max f(x)
m≥

x I∀ ∈
 BPT
( )f x m≤
có nghiệm
x I∈

⇔
Max f(x)
m≤

x I∀ ∈
 Tam thức bậc hai: 
2
0y ax bx c= + + ≥

x∀ ∈¡

0
0
a >

⇔

∆ ≤



2
0y ax bx c= + + ≤

x∀ ∈¡

0
0
a <

⇔

∆ ≤

B. Bài tập:
1. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1
1 3 2
3
y m x mx m x= − + + −
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đồng biến trên tập xác
định của nó.
1
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 1: Chiều biến thiên
2. Cho hàm số
4mx
y

x m
+
=
+
. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch
biến trên khoảng
( )
;1−∞
.
3. Cho hàm số
3 2
3 4y x x mx= + − −
. Với giá trị nào của m thì hàm số
đồng biến trên khoảng
( )
;0−∞
.
4. Cho hàm số
3 2
3 2y x x mx= − + + −
. Với giá trị nào của m thì hàm số
đồng biến trên khoảng
( )
0;2
.
5. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1
1 3 4

3
y x m x m x= − + − + + −
. Với giá trị nào của m
thì hàm số đồng biến trên khoảng
( )
0;3
.
6. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1
1 3 2
3 3
m
y x m x m x= − − + − +
. Với giá trị nào của
m thì hàm số đồng biến trên
[
)
2;+∞
.
7. Cho hàm số
( )
( ) ( )
3 2 2
2 7 7 2 1 2 3y x mx m m mx m m= − − − + + − −
.
Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên
[
)

2;+∞
.
8. Tìm m để hàm số
1 1
sin sin2 sin3
4 9
y mx x x x= + + +
luôn đồng biến.
9.Tìm m để
( ) ( )
2
4 5 cos 2 3 3 1y m x m x m m= − + − + − +
luôn nghịch biến.
10.Tìm m để hàm số
3 2
3 3 3 4y x x mx m= − + + +
đồng biến với mọi x.
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 2: Cực trị
Chuyên đề 2: Cực trị của hàm số
A.Cở sở lý thuyết:
I. Cực trị hàm bậc ba:
 Điều kiện tồn tại cực trị
Hàm số
( )y f x=
có cực đại và cực tiểu
'( ) 0f x⇔ =
có hai nghiệm
phân biệt
⇔
2

' 3 0b ac∆ = − >

 Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = x
0

⇔

0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
=


<

 Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = x
0

⇔

0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
=



>

 Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu
Thực hiện phép chia y cho y’ khi đó phần dư chính là phương trình
đường thẳng qua cực đại, cực tiểu.
 Chú ý: sử dụng định lý viét cho hoành độ các điểm cực trị.
II. Cực trị hàm bậc bốn:
 y’ = 0
 có đúng 1 nghiệm hoặc có đúng hai nghiệm (1 nghiệm đơn
và 1 nghiệm kép) thì hàm số y có đúng 1 cực trị.
 Có 3 nghiệm phân biệt: thì hàm số có 3 cực trị.
B. Bài Tập:
11. Tìm m để hàm số:
( ) ( )
3 2 2 2
1
2 3 1 5
3
y x m m x m x m= + − + + + + −
đạt
cực tiểu tại x = - 2.
12. Tìm m để
( ) ( )
3 2
2 3 1 6 2 1y x m x m x= + − + − −
có đường thẳng đi
qua CĐ, CT song song với đường thẳng d: y = - 4x + 3.
13. Tìm m để

( ) ( )
3 2
2 3 1 6 1 2y x m x m m x
= + − + −
có CĐ, CT nằm trên
đường thẳng d: y = - 4x.
14. Tìm m để
3 2
7 3y x mx x= + + +
có đường thẳng đi qua CĐ, CT
vuông góc với đường thẳng d: y = 3x - 7.
3
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 2: Cực trị
15. Tìm m để hàm số
3 2 2
3y x x m x m= − + +
có cực đại, cực tiểu đối
xứng với nhau qua d:
1 5
2 2
y x= −
16. Cho
( ) ( )
3 2
2
cos 3sin 8 1 cos2 1
3
y x a a x a x= + − − + +
a. CMR: Hàm số luôn có CĐ, CT.
b. Giả sử hàm số đạt cực trị tại x

1
, x
2
. CMR:
2 2
1 2
18x x+ ≤
17. Tìm m để hàm số
3 2
1
1
3
y x mx x m= − − + +
có khoảng cách giữa
các điểm CĐ và CT là nhỏ nhất.
18. Tìm m để hàm số
( ) ( )
3 2
1 1
1 3 2
3 3
y mx m x m x= − − + − +
đạt cực trị
tại x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
+ 2x

2
= 1.
19. Tìm m để hàm số
( )
4 2 2
9 10y mx m x= + − +
có 3 điểm cực trị.
20. Tìm m để hàm số
4 2 4
2 2y x mx m m= − + +
có CĐ, CT lập thành
tam giác đều.
21. Tìm m để hàm số
4 2 2
2 1y x m x= − +
có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh
của một tam giác vuông cân.
22.Tìm m để hàm số
3 2 2
1
( 2) (5 4) ( 1)
3
y x m x m x m= + − + + + +
đạt cực
trị tại x
1
, x
2
thỏa mãn điều kiện x
1

< -1 < x
2
.
23. Cho hàm số:
( )
3 2
1 1 3
sin cos sin2
3 2 4
y x a a x a x
 
= − + +
 ÷
 
.
Tìm a để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
, x
2
và x
1
2
+ x
2
2
= x
1
+x
2
.

24. Cho hàm số
( )
3 2
3 2 1 3y mx mx m x m= − + + + −
Tìm m để hàm số có CĐ và CT. CMR: khi đó đường thẳng đi qua
CĐ, CT luôn đi qua 1 điểm cố định.
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 2: Cực trị
25. Cho hàm số
( )
3 2 2 2
3 3 1 3 1y x x m x m= − + + − − −
Tìm m để hàm số có CĐ và CT và các điểm cực trị của đồ thị hàm
số cách đều gốc tọa độ O.
26. Cho hàm số
( )
3 2
3 3 2 1y x x m m x= − − + −
Tìm m để hàm số có hai cực trị cùng dấu.
27. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
2 1 2 2y x m x m x
= − − + − +
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị
hàm số có hoành độ dương.
28. Cho hàm số
( )
3 2
2 3 3 11 3y x m x m= + − + −
Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT tại hai điểm A, B sao cho 3 điểm A,

B, C(0; -1) thẳng hàng.
29. Cho hàm số
( )
( )
3 2 2
2 1 3 2 4y x m x m m= − + + − − + −
Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm CĐ, CT nằm về hai phía của
trục tung.
30. Cho hàm số
4 2
1 3
2 2
y x mx= − +
Tìm m để đồ thị hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.
31. Cho hàm số:
4 2
2 2y x mx m= − +
Xác định m để hàm số có các điểm CĐ, CT:
a. Lập thành 1 tam giác đều.
b. Lập thành 1 tam giác vuông.
c. Lập thành 1 tam giác có diện tích bằng 16.
C. Bài Tập tương tự:
32. Tìm m để đồ thị có cực đại, cực tiểu
a.
3 2
1
. ( 6). (2 1)
3
y x mx m x m= + + + − +
b.

3 2
( 2). 3 . 5y m x x m x= + + + −
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 2: Cực trị
33. CMR với mọi m hàm số
3 2
2. 3(2 1) 6 .( 1) 1y x m x m m x= − + + + +
sau
luôn đạt cực trị tại x
1
, x
2
và x
1
– x
2
không phụ thuộc vào m.
34. Tìm m để đồ
3 2 2
3 3( 1)y x mx m x m= − + − +
đạt cực tiểu tại x = 2
35. Tìm m để
3 2
3 ( 1) 1y mx mx m x= + − − −
không có cực trị.
36. Cho hàm số
3 2 2
2. 3(3 1) 12.( ) 1y x m x m m x= − + + + +
Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu.Viết phương trình
đường thẳng đi qua CĐ, CT.
37. Tìm m để

3 2 3
( ) 3 4f x x mx m= − +
có cực đại, cực tiểu đối xứng
với nhau qua đường thẳng y = x.
38. Tìm a để hàm số
3 2
4
. 2(1 sin ) (1 cos2 ). 1
3
y x a x a x= − − − + +
luôn đạt
cực trị tại x
1
, x
2
thỏa mãn
2 2
1 2
1x x+ =
39. Tìm m để hàm số
3 2
3
2
m
y x x m= − +
có cực đại, cực tiểu nằm về
2 phía của đường thẳng y = x.
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 3: GTLN, GTNN của hàm số
Chuyên đề 3: GTLN và GTNN của hàm số
A. Cơ sở lý thuyết:

 Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D
+Nếu tồn tại 1 điểm x
0
thuộc D sao cho:
0
( ) ( )f x f x≤

∀
x D∈
thì M = f(x
0
) được gọi là GTLN của hàm số trên tập D.
+Nếu tồn tại 1 điểm x
0
thuộc D sao cho:
0
( ) ( )f x f x≥

∀
x D∈
thì M = f(x
0
) được gọi là GTLN của hàm số trên tập D.
 Để tìm GTLN, GTNN ta có thể
 Lập bảng biến thiên của hàm số rồi kết luận.
 (Xét trên đoạn
[ ]
;a b
)
+ Giải phương trình y’=0 với x thuộc D. Giả sử có các

nghiệm x
1
, x
2
.
+ Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
)
+ So sánh các giá trị trên và kết luận.
 Biến đổi và đặt ẩn phụ, đặt điều kiện cho biến mới và tìm
GTLN, GTNN của hàm số theo biến mới.
 Ứng dụng của GTLN, GTNN để giải PT, BPT:

Giải phương trình:
+ Lập phương trình hoành độ giao điểm, chuyển về dạng
một bên là hàm số theo x, một bên là hàm theo m( giả sử là g(m)).
+ Để PT có nghiệm thì
⇔
min ( , ) ( ) max ( , )f x m g m f x m≤ ≤
.
+ Tương tự cho trường hợp có k nghiệm và vô nghiệm.

Giải bất phương trình:
Áp dụng các tính chất sau:
+Bất phương trình
( )f x m≥
đúng
x I∀ ∈

⇔
Min f(x)
m≥

x I∀ ∈
+Bất phương trình
( )f x m≤
đúng
x I∀ ∈

⇔
Max f(x)
m≤

x I∀ ∈
+ Bất phương trình
( )f x m≥
có nghiệm
x I∈
⇔
max f(x)
m≥

x I∀ ∈
+Bất phương trình
( )f x m≤
có nghiệm
x I∈

⇔
Max f(x)
m≤

x I∀ ∈
7
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 3: GTLN, GTNN của hàm số
B. Bài tập:
40.Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2 cos2 4siny x x= +
trên đoạn
0;
2
π
 
 
 
.
41.Tìm GTLN, GTNN của hàm số
3
4
2sin sin
3
y x x= −
trên đoạn
[ ]
0;
π
.
42. Tìm GTLN, GTNN của hàm số

2
cos 2 sin cos 4y x x x= − +
.
43. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
6 6
4 4
1 sin cos
1 sin cos
x x
y
x x
+ +
=
+ +
.
44. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2x
y x e= −
trên đoạn
[ ]
0;1
.
45. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
1y x x= + −
.
46. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
( ) ( )
3sin 4cos 10 3sin 4cos 10y x x x x= − − + −
.

47. Chứng minh rằng:
sin tan 2x x x+ >
,
0;
2
x
π
 
∀ ∈
 ÷
 
.
48. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
3 2
8 16 9y x x x= − + −
trên đoạn
[ ]
1;3
.
49. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2 cosx x+
trên đoạn
0;
2
π
 
 
 
.
50.Tìm GTLN, GTNN của hàm số

2
3 9y x x= + −
.
51.Tìm GTLN, GTNN của hàm số
3 2
3y x x= −
trên đoạn
[ ]
1;1−
.
52.Tìm GTLN, GTNN của hàm số
4 4
sin cosy x x= −
.
53.Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
y x x= −
trên đoạn
[ ]
1;1−
.
54.Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
sin cosy x x= +
.
55.Tìm GTLN, GTNN của hàm số
sin 3 sin 1
2 sin
x x
y

x
+ −
=
−
.
56.Tìm GTLN, GTNN của hàm số
3
sin cos2 sinx 2y x x= − + +
8
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 3: GTLN, GTNN của hàm số
57.Tìm GTLN, GTNN của
2
3 2y x x= − +
trên đoạn
[ ]
10;10−
.
58. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
2
3
2
x
y
x x
+
=
+ +
.
59. Tìm GTLN, GTNN của hàm số

1
x
x
y e
e
= +
.
60. Tìm m để phương trình
3 2
3 0x x m− + =
có ba nghiệm phân biệt.
61. Tìm m để bất PT:
3
3
1
3 2x mx
x
− + − ≤ −
nghiệm đúng với mọi
1x ≥
.
62. a. Tìm m để phương trình
2
2 1x x m+ + =
có nghiệm.
b. Tìm m để bất phương trình
2
2 1x x m+ + >
với mọi x
∈¡

.
63. Tìm m để phương trình:
2
9 9x x x x m+ − = − + +
có nghiệm.
64. Tìm m để phương trình:
( ) ( )
3 6 3 6x x x x m+ + − − + − =
có
nghiệm.
65. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
( ) ( )
4 4 6 6 2
4 sin cos 4 sin cos sin 4x x x x x m+ − + − =

66.Tìm m để phương trình:
cos2 4sin cos 2 0m x x x m− + − =
có
nghiệmx
0;
4
π
 
∈
 ÷
 
.
C. Bài tập tương tự:
67. Xác định m để phương trình
( )

2
1 4 1x x m+ − + =
có nghiệm.
68. Xác định m để phương trình
9 2 1x x m− = +
có nghiệm thực.
69. Tìm m để BPT:
( ) ( )
2
3 2 2 5 2 5 0m x m x m− − − − + >
có nghiệm.
70.Tìm GTLN, GTNN của
1 9y x x= − + −
trên đoạn
[ ]
3;6
.
71.Tìm m để phương trình:
( ) ( )
2 2 2 2x x x x m− + + − − + =
có
nghiệm.
9
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 4: Tiếp tuyến
Chuyên Đề 4: Tiếp tuyến và các bài toán liên quan
A.Cơ sở lý thuyết:
1.Dạng toán 1: Viết PTTT tại 1 điểm thuộc đồ thị hàm số.

Phương pháp:
Áp dụng công thức từ ý nghĩa hình học

của đạo hàm:
( ) ( )
0 0 0
'y y f x x x− = −
 Biết điểm có tung độ và hoành độ cho trước.
 Biết điểm có hoành độ cho trứơc.
 Biết điểm có tung độ cho trước.
2.Dạng toán 2: Viết PTTT có hệ số góc cho trước

Phương pháp:
Từ
( )
'k f x=
ta suy ra các nghiệm x
1
, x
2
. Thế x
1
, x
2
vào y ta được
tọa độ tiếp điểm. Áp dung dạng 1 ta có PTTT.
Các biến dạng của hệ số góc:
 Biết trực tiếp:
1; 2; 3, . k v v= ± ± ±
 Tiếp tuyến song song với 1 đường thẳng cho trước.
 Tiếp tuyến vuông góc với 1 đường thẳng cho trước.
 Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox một góc bằng
α

.
 Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc
α
.
 Tiếp tuyến hợp với đường thẳng d cho trước 1 góc bằng
α
cho
trước.
3.Dạng toán 3: Viết PTTT đi qua 1 điểm A cho trước.

Phương pháp:
Gọi x
i
là hoành độ tiếp điểm. Khi đó PTTT có dạng
( ) ( ) ( )
'
i i i
y f x x x f x= − +
Vì TT đi qua A nên tọa độ thỏa mãn phương trình, giải phương
trình ta đựơc các nghiệm x
i
. Thế ngược lại ta được PTTT cần tìm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình chính là số tiếp tuyến kẻ từ A
đến đồ thị
10
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 4: Tiếp tuyến
B.Bài Tập:
72. Viết PTTT của đồ thị (C):
3
3 5y x x= − +

khi biết:
a. Tại điểm M(2; 7).
b. Hoành độ tiếp điểm là x
0
= - 1.
c. Tung độ tiếp điểm là y
0
= 5.
d. Tại các giao điểm của (C) với đường thẳng
d: 7x + y = 0
73. Cho hàm số (C):
1
2
x
y
x
+
=
−
a. Viết PTTT của đồ thị hàm số tại giao điểm A của đồ thị với
trục tung.
b. Viết PTTT của đồ thị hàm số, biết tuyết tuyến đi qua điểm
B(3; 4).
c. Viết PTTT của đồ thị hàm số, biết rằng tiếp tuyến đó song
song với tiếp tuyến tại điểm A.
74. Cho hàm số (C):
3 2
1
2 3
3

y x x x= − +
Viết PTTT d của đồ thị hàm số tại điểm uốn và chứng minh rằng d
là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
75. Cho hàm số (C
m
):
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x= − +
Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng – 1. Tìm m để tiếp
tuyến của (C
m
) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0.
76. Cho hàm số (C):
2 1
1
x
y
x
−
=
−
Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C). Tìm điểm M
thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường
thẳng IM.
77.Chohàmsố(C):

3 2
1 1 4
2
3 2 3
y x x x= + − −
11
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 4: Tiếp tuyến
Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đó song song với
đường thẳng d: y = 4x + 2.
78. Cho hàm số (C):
3
y x x= −
Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm
A(0; 2).
79. Cho hàm số (C):
2 3
1
x
y
x
−
=
−
Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với
đường thẳng: x – y + 2007 = 0.
80. Cho hàm số (C):
1
x
y
x

=
−
Viết PTTT d của đồ thị hàm số (C) sao cho d và hai tiệm cận của
(C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
81. Cho hàm số (C):
1
2 1
x
y
x
− +
=
+
Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đó qua giao điểm
của tiệm cận đứng và trục Ox.
82. Cho hàm số (C):
3 2
2 6 5y x x= − + −
Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1; -13).
83. Cho hàm số (C):
3 1
1
x
y
x
+
=
+
Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến với
đồ thị hàm số (C) tại điểm M(-2; 5).

84. Cho hàm số (C
m
):
( )
3 2
3 1 1y x mx m x= + + + +
Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm
có hoành độ x = - 1 đi qua điểm A(1; 2).
85. Cho hàm số (C):
2
1
x
y
x
=
+
12
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 4: Tiếp tuyến
Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai
trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng
1
4
.
86. Cho hàm số (C):
3 2
4 6 1y x x= − +
Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm
M(-1; -9).
87. Cho hàm số (C):
2

2 3
x
y
x
+
=
+
Viết PTTT của đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành,
trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân
tại gốc tọa độ O.
88. Cho hàm số (C):
1
1
x
y
x
+
=
−
Xác định m để đường thẳng y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm phân
biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau.
89. Cho hàm số (C):
2 1
1
x
y
x
−
=
−

Cho M bất kì trên (C) có x
M
= m. Tiếp tuyến của (C) tạ M cắt hai
tiệm cận tại A, B. Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận. Chứng minh M là
trung điểm của AB và diện tích tam giác IAB không đổi.
90. Cho hàm số (C
m
):
3 2
3 1y x x mx= + + +
Tìm m để (C
m
) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1),
D, E. Tìm m để các tiếp tuyến của (C
m
) tại D và E vuông góc.
91. Tìm giao điểm của tiếp tuyến với (C):
1
3
x
y
x
+
=
−
với trục hoành,
biết tiếp tuyến vuông góc với d: y = x + 2001
13
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 5: Tìm điểm trên đồ thị
Chuyên đề 5:

Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước
A.Phương pháp:
1. Dạng 1: Tìm điểm cố định của họ (C
m
): y = f(x, m)
 Giả sử M(x
0
, y
0
) là điểm cố định của họ (C
m
).
 Khi đó: y
0
= f(x
0
, m) với mọi m.
Nhóm theo bậc của m rồi cho các hệ số bằng 0 ta nhận
được cặp giá trị (x
0
; y
0
).
 Kết luận.
Chú ý:  am + b = 0,
∀
m
⇔

0

0
a
b
=


=

 am
2
+ bm + c = 0,
∀
m
⇔

0
0
0
a
b
c
=


=


=

2.Dạng 2: Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ nguyên.

 Giả sử hàm số y =
ax b
cx d
+
+
, ta biến đổi về dạng phân thức.
 Nếu a chia hết cho c
⇒
ta chia tử cho mẫu và sử dung
tính chia hết.
 Nếu a không chia hết cho c
⇒
ta chia tử cho mẫu
( )
ax b a bc ad
y
cx d c c cx d
+ −
= = +
+ +

⇔

bc ad
cy a
cx d
−
− =
+
Vì cy – a là nguyên nên ta phải có (bc – ad) chia hết cho cx + d.

Từ đó suy ra giá trị nguyên cần tìm.
3.Dạng 3: Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số (C): y = f(x) thỏa mãn
điều kiện K.
 Giả sử M(x
0
; y
0
) = M(x
0
; f(x
0
)).
 Thiết lập điều kiện K cho điểm M.
 Kết luận.
14
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 5: Tìm điểm trên đồ thị
B.Bài tập:
92. Cho hàm số (C
m
):
3 2
3 9 1y x mx x= − + +
Tìm m để điểm uốn của (C
m
) thuộc đường thẳng y = x + 1.
93. Cho hàm số (C
m
):
2
1

mx m
y
x
− −
=
+
Chứng minh rằng họ (C
m
) luôn đi qua 1 điểm cố định. Tìm điểm cố
định đó.
94. Cho hàm số (C):
1
2
x
y
x
−
=
+
Tìm trên đồ thị hàm số tất cả những điểm có các toạ độ là nguyên.
95. Cho hàm số (C):
3 2
3 2y x x= − + −
.
Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) mà qua đó kẻ được một và chỉ một
tiếp tuyến với đồ thị (C).
96. Cho hàm số (C):
2
1
x

y
x
+
=
−
Tìm các điểm thuộc trục Oy để từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C)
sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox.
97. Cho hàm số (C):
4 2
2 1y x x= − + −
Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó kẻ được 3 tiếp
tuyến với đồ thị (C).
98. Cho hàm số (C
m
):
( )
3 2 2 2
3 3 1 1y x mx m x m= − + − + −
Tìm m để trên đồ thị (C
m
) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau
qua gốc tọa độ O.
99. Cho hàm số (C):
3 2
3 2y x x= + −
Tìm trên đồ thị (C) của hàm số cặp điểm đối xứng với nhau qua
điểm I(2; 18).
100. Cho hàm số (C):
3
12 12y x x= − +

Tìm trên đường thẳng y = - 4 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ
thị (C).
101. Cho (C):
( )
3
1 1y x k x= + − +

Chuyên đề hàm số Chuyên đề 5: Tìm điểm trên đồ thị
Viết phương trình tiếp tuyến d tại giao điểm của (C) với Oy.
Tìm k để d tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8.
102. Cho hàm số (C):
4
2
x
y
x
+
=
−
Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm phân biệt đối xứng với
nhau qua đường thẳng d: x – 2y – 6 = 0.
103. Cho hàm số (C):
2
3
x
y
x
+
=
−

Tìm trên đồ thị (C) của hàm số điểm M cách đều hai đường tiệm
cận của (C).
104. Cho hàm số (C):
3
3y x x= −
a. CMR: đường thẳng d: y = m(x+1) + 2 luôn cắt (C) tại 1
điểm A cố định.
b. Tìm m để d cắt (C) tại A, B, C phân biệt sao cho tiếp tuyến
với đồ thị tại B, C vuông góc với nhau.
105. Tìm các điểm trên đồ thị (C):
3
1 2
3 3
y x x= − +
mà tiếp tuyến tại
đó vuông góc với đường thẳng d:
1 2
3 3
y x
−
= +
.
106. Cho (C
m
):
3 2
1y x mx m= + − −
Viết PTTT của (C
m
) tại các điểm cố định mà (C

m
) đi qua.
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 6: Tương giao giữa hai đồ thị
Chuyên Đề 6: Tương giao giữa hai đồ thị hàm số
A.Cơ sở lý thuyết:
1. Bài toán tương giao tổng quát:
Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và y = g(x,m). Hoành độ giao
điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình
f(x, m) = g(x,m) (1).

Nhận xét: Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị
hàm số.
Chú ý: Nếu đường thẳng d có hệ số góc k đi qua điểm M(x
0
; y
0
) thì
phương trình d: y – y
0
= k(x – x
0
). Sau đó lập phương trình tương
giao của d và (C).
2.Bài toán cơ bản:
Cho đồ thị y = f(x, m) và trục hoành: y = 0.
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình
f(x,m) = 0.
3.Phương pháp chung:

Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ

Cho phương trình:
1
1 1 0
( ) 0
n n
n n
f x a x a x a x a
−
−
= + + + + =
.
Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ
p
x
q
=
(p, q)=1 thì
\
n
q a
và
0
\p a
.

Phương pháp hàm số
Chuyển phương trình hoành độ tương giao về: g(x) = m.
Khi đó số nghiệm chính là số giao điểm của đồ thị y = g(x) và
đường thẳng y = m.
Chú ý: Phương pháp hàm số chỉ sử dụng được khi tham số là có

bậc là 1.
B.Tương giao hàm bậc 3 với trục Ox.
1.Các phương pháp xét tương giao:
17
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 6: Tương giao giữa hai đồ thị
 Phương pháp nhẩm nghiệm cố định: Dùng phương pháp
nhẩm nghiệm hữu tỷ.
Nếu f(x, m) = 0 có nghiệm x =
α
thì

( )
( )
2
( , ) ( ) ( ) ( )f x m x a m x b m x c m
α
= − + +
.
 Phương pháp nhẩm nghiệm chứa tham số:
Suy ra các hệ số đi với tham số phải bằng triệt tiêu tham số.

( )
( )
( )
2
( , ) ( ) ( ) ( )f x m x m a m x b m x c m
ϕ
= − + +
.
 Phương pháp hình dạng đồ thị và vị trí cực trị.

 Phương pháp hàm số: Đưa phương trình tương giao về 1 đồ
thị và 1 đường thẳng g(x) = m.
2.Tương giao hàm bậc 3 với Ox có hoành độ lập thành cấp số
a. Lập thành cấp số cộng:
Điều kiện cần: Giả sử cắt Ox tại x
1
, x
2
, x
3
lập cấp số. Khi đó đồng
nhất hai vế ta có:
2
3
b
x
a
−
=
. Thế vào phương trình ta tìm đựơc điều
kiện cần tìm.
Điều kiện đủ: Thử lần lượt từng giá trị tham số và kiểm tra có thoả
mãn đề bài không. Từ đó kết luận.
b. Cấp số nhân.
Tương tự ta cũng có:
3
2
d
x
a

−
=
. Thế vào và kiểm tra.
C.Tương giao hàm bậc 4 với trục Ox.
1.Tương giao hàm bậc 4 với Ox có hoành độ lập thành cấp số
cộng.
Phương pháp: Sau khi đặt t = x
2
ta đựơc phương trình bậc hai. Căn
cứ vào điều kiện đề bài thì f(t) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt t
1
,
t
2
dương và thỏa mãn t
2
= 9t
1
.
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 6: Tương giao giữa hai đồ thị
Vậy điều kiện là:
2 1
0
0
0
9
S
P
t t
∆ >



>


>


=

D. Phép Suy đồ thị:
Cho đồ thị y = f(x) ta suy ra các đồ thị hàm số sau:

( )
y f x=

( )
y f x=
 Từ
( )
( )f x
y
g x
=
suy ra
( )
( )
f x
y
g x

=
.
E. Bài Tập:
107. Tìm m để đồ thị (C
m
):
( )
( )
3 2 2
3 1 2 4 1 4 ( 1)y x m x m m x m m= − + + + + − +
cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ đều lớn hơn 1.
108. Tìm m để đồ thị (C
m
):
( )
3 2 2 2
2 2 1 (1 )y x mx m x m m= − + − + −
cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ đều dương.
109. Tìm m để đồ thị (C
m
):
( )
3 2 2
3 2 4 9y x mx m m x m m= − + − + −
cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng.
110. Tìm m để đồ thị (C
m
):
( )
3 2

(3 1) 5 4 8y x m x m x
= − + + + −
cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số nhân.
111. Tìm m để đồ thị (C
m
):
4 2
2( 1) 2 1y x m x m= − + + +
cắt Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng.
112. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
4 2 4 2
2 2x x m m− = −
.
113. Cho hàm số (C):
2 1
2
x
y
x
+
=
+
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 6: Tương giao giữa hai đồ thị
a. CMR: đường thẳng y = - x + m luôn cắt (C) tại hai điểm A,
B phân biệt. Tìm m để độ dài AB đạt giá trị nhỏ nhất.
b. Tìm m để phương trình:
2sin 1
sin 2
x
m

x
+
=
+
có đúng hai nghiệm
thuộc khoảng
[ ]
;o
π
.
114. Cho hàm số (C):
2
3
x
y
x
+
=
−
.
Tìm điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận
đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của (C).
115. a. Chứng minh rằng đường thẳng d: 2x – y + m = 0 luôn cắt đồ
thị (C):
1
1
x
y
x
+

=
−
tại A, B phân biệt thuộc 2 nhánh của (C).
b. Tìm m để AB đạt min.
116. Cho hàm số (C):
3 5
2
x
y
x
−
=
−
. Tìm M thuộc (C) để tổng khoảng
cách từ M đến hai tiệm cận của (C) là nhỏ nhất.
117. Cho hàm số:
4 2
2 4y x x= −
Với giá trị nào của m, phương trình
2 2
2x x m− =
có đúng 6 nghiệm
thực phân biệt?
118. Cho hàm số (C
m
):
( )
4 2
3 2 3y x m x m= − + +
Tìm m để đường thẳng y = - 1 cắt đồ thị (C

m
) tại 4 điểm phân biệt
đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
119. Cho hàm số (C):
3 2
3 4y x x= − +
CMR: mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k(k > - 3)
đều cắt đồ thị hàm số (C) tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là
trung điểm của đoạn thẳng AB.
120. Cho hàm số (C):
3
3 2y x x= − +
Gọi d là đường thẳng đi qua A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m
để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt.
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 6: Tương giao giữa hai đồ thị
121. Cho hàm số (C):
2 1
1
x
y
x
−
=
+
Với các giá trị nào của m đường thẳng d
m
đi qua điểm A(-2; 2) và
có hệ số góc m cắt đồ thị (C)
a. Tại hai điểm phân biệt
b. Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.

122. Cho hàm số (C):
2
2 1
x
y
x
+
=
+
a. CMR: đường thẳng d: y = mx + m – 1 luôn đi qua một điểm
cố định của (C) khi m thay đổi.
b. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt (C)
tại hai điểm thuộc cùng 1 nhánh của (C).
123. Cho hàm số (C):
1
2
x
y
x
−
=
−
Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt
mà hai tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau.
124. Cho hàm số (C):
3 2
3y x x= − +
Tìm k để phương trình:
3 2 3 2
3 3 0x x k k− + + − =

có 3 nghiệm phân
biệt.
125. Cho hàm số (C):
3 2
2 9 12 4y x x x= − + −
.
Tìm m để phương trình:
3 2
2 9 12x x x m− + =
có 6 nghiệm phân biệt.
126. Cho hàm số (C):
3 2
3 6y x x= − −
.
Tìm m để phương trình:
3 2
3 6x x m− − =
có 4 nghiệm phân biệt.
127. Cho hàm số (C): y = 3x – 4x
3
.
Tìm m để phương trình:
( )
2
3 4x x m− =
có 4 nghiệm phân biệt.
128. Cho hàm số (C):
3
3 2y x x= − +
Tìm m để phương trình:

( )
2
1 2x x x m− − − =
có 3 nghiệm phân biệt.
129. Cho hàm số (C):
3 2
6 9 6y x x x= − + −
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 6: Tương giao giữa hai đồ thị
Tìm m để đường thẳng d: y = mx – 2m – 4 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm
phân biệt.
130. Cho hàm số (C
m
):
( )
3 2
2 3 1 6 2y x m x mx= − + + −
Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại duy nhất một điểm.
131. Cho hàm số (C
m
):
4 2
1y x mx m= − + −
Tìm m để đồ thị hàm số (C
m
) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
132. Cho hàm số (C):
3
3 4y x x= −

Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 3
3 4 3 4x x m m− = −
.
133. Cho hàm số (C):
4 2
y x x= −
Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình
( )
2 2
4 1 1x x k− = −
.
134. Cho hàm số (C):
2
1
x
y
x
=
−
a. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
=
−
b. Biện luận theo m số nghiệm
[ ]

1;2x ∈ −
của phương trình:
( )
2 0m x m− − =
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 7: Đáp số và hướng dẫn
Đáp số và hướng dẫn:
Chuyên đề 1: Chiều biến thiên
1/
2m ≥
2/
2 1m− ≤ ≤ −
3/
3m ≤ −
4/
0m ≥
5.
12
7
m ≥
6/
2
3
m ≥
7/
5
1
2
m− ≤ ≤
8/
5

6
m ≥
9/
4
1
3
m≤ ≤
10/
3
2
m ≥
Chuyên đề 2: Cực trị
11/ m = 3 12/ m = 5 hoặc m = 1 13/ m = 1
14/
3 10
2
m = ±
15/ m = 0 17/ m = 0
18/ m = 2 hoặc
2
3
m =
19/
3
0 3
m
m
< −



< <

20/
3
3m =
21/
1m = ±
22/ m < - 3 23/
2
2
2
a k
a k
π
π
π
=



= +

24/
1
0
m
m
>



<

25/
1
2
m = ±
26/
5 1
; 1
2 2
m m
−
< < ≠
27/
5
2
4
m< <
28/ m = 4 29/ 1 < m < 2
30/
0m ≤
31/ a.
3
3m =
; b. m = 1; c. m = 4
Chuyên đề 3: GTLN, GTNN của hàm số
40/ Min =
2
khi x = 0; Max =
2 2

khi
4
x
π
=
41/ Max =
2 2
3
khi
4
x
π
=
; Min = 0 khi
x
π
=
42/ Max =
81
16
khi
1
sin 2
4
x
−
=
; Min =
7
2

khi
4
x k
π
π
= +
43/ Min =
5
6
khi
4 2
k
x
π π
= +
; Max = 1 khi
2
k
x
π
=
23
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 7: Đáp số và hướng dẫn

60/ 0 < m < 4 61/
2
3
m ≤
62/ a.
1
2
m ≥
; b.
1
2
m <
63/
9
10
4
m
−
≤ ≤
64/
9 6 2
3
2
m
− +
≤ ≤
65/
9
1
16

m
−
≤ ≤
66/ 1 < m < 2
Chuyên đề 4: Tiếp tuyến
72/ a.
9 11y x= −
; b. y = 7;
c.
3 5; 6 6 3 5; 6 6 3 5y x y x y x= − + = + + = − +
; d. y = 7
73/ a.
3 1
4 2
y x
−
= −
; b.
3 13y x= − +
; c.
3 11
4 2
y x
−
= +
74/
8
3
y x= − +
75/ m = 4 76/

1
2
(0;1)
(2;3)
M
M



77/
26 73
4 ; 4
3 6
y x y x= − = +
78/ y = 2x + 2
79/ y = - x – 3; y = - x + 1 80/ y = - x ; y = - x + 4
81/
1 1
12 2
y x
−
 
= +
 ÷
 
82/ y = 6x – 7; y = - 48x – 61
83/
81
4
S =

84/
5
8
m =
85/
1
2
1
( ; 2)
2
(1;1)
M
M
−

−



86/
15 21
24 15;
4 4
y x y= + = −
87/ y = -x + 2
88/ m = - 1.
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 7: Đáp số và hướng dẫn

Chuyên đề 5: Tìm điểm thuộc đồ thị thoả mãn tính chất.
92/
2
0
m
m
= ±


=

93/ M(1 ; -1)
94/
( ) ( ) ( )
( 5;2); 3;4 ; 1; 2 ; 1;0A B C D− − − −
95/ A(1; 0)
96/
2
1
3
a
−
< ≠
97/ M(0; -1) 98/
1
0 1
m
m
< −



< <

99/ A(1; 2); B(3; 34) 100/
4
4
2
3
m
m
< −



< ≠

101/
9 4 5
7 4 3
k
k

= ±

= − ±



Chuyên đề 6: Tương giao giữa hai đồ thị
107/
1
1
2
m< ≠
108/
2
1
3
m< <
109/
1m =
110/
2m =
111/
4
4
9
m m
−
= ∨ =
113/ a. m = 0; b.
1
1
2
m≤ <

114/
1
2
(3 5;1 5)
(3 5;1 5)
M
M

− −

+ +


115/ b.
1m = −
116/
1
2
(1;2)
(3;4)
M
M



117/ 0 < m < 1 118/
1
1
3
0

m
m
−

< <



≠

120/
15
4
24
m
m

>



≠
