Trắc ngiệm xác suất (Có đáp án) ppsx

Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có kỳ vọng và phương sai hữu hạn. Ký hiệu f
X
và F
X

tương ứng là hàm mật độ và hàm phân phối của X. Khẳng định nào dưới đây sai?
Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên ( 0, 10). Khi đó
P(X < 3) = 0,2
E(2X + 1) = 21
P(3 < X < 8) = 0,5
D(- 12X) = 100
1
SUBMIT ANSWERS
Nếu ký hiệu X là số viên đạn cần bắn cho đến khi có viên đạn đầu tiên trúng đích thì X là
biến ngẫu nhiên có phân phối
Nhị thức
Hình học
Siêu bội
Poisson
Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức B(20; 0,25 ) Khẳng định nào dưới đây là
đúng?
Một lô hàng có 500 sản phẩm trong đó có 5% phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại lần
lượt ra 50 sản phẩm để kiểm tra. Ký hiệu X là biến ngẫu nhiên chỉ số phế phẩm trong 50
sản phẩm đã kiểm tra. Khi đó
X có phân phối siêu bội
X có phân phối nhị thức
X có phân phối hình học
X không có phân phối đặc biệt
Một hộp có 5 chiếc bút trong đó có 2 chiếc bút đỏ. Chọn ngẫu nhiên ra 2 chiếc bút. Ký
hiệu X là biến ngẫu nhiên chỉ số bút đỏ trong 2chiếc bút được chọn. Khi đó
X có phân phối nhị thức tham số 0,4

2
E(X) = 2
D(5X +1) = 9
E(2X
2
+1) = 2
SUBMIT ANSWERS
Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có kỳ vọng, phương sai hữu hạn với hàm mật độ f
X
(x) .
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
Nếu DX = 0 thì EX = 0
D(aX) = aD(X)
Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có kỳ vọng và phương sai hữu hạn. Ký hiệu f
X
là hàm mật
độ
.
và F
X
là hàm phân phối của X. Khẳng định nào dưới đây luôn đúng?
EX > 0
E(Y) = 3
D(Y) = 0
E(Y
2
) = 9
Cho các biến ngẫu nhiên X, Y khác hằng số. Nếu EX = EY thì
DX = DY
E(aX + b) = E(aY + b)

X, Y có cùng phân phối
3
Chọn câu khẳng định đúng
Môment gốc bậc k bất kỳ của mọi biến ngẫu nhiên luôn tồn tại
Mỗi biến ngẫu nhiên chỉ có một điểm x
mod
duy nhất
Một biến ngẫu nhiên có thể có một khoảng trung vị
Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên luôn tồn tại hữa hạn
SUBMIT ANSWERS
4
5
Khẳng định nào dưới đây là đúng cho mọi biến cố A, B với 0 < P(A) < 1 và 0 < P(B)
<1 ?
Cho 2 biến cố A, B thoả mãn 0 < P(A < 1 và 0 < P(B) <1. Khi đó:
6
Cho các biến cố A, B thoả mãn 0
< 1. Khi đó
Cho các biến cố A, B thoả mãn 0 <P(A), P(B) < 1. Khi đó
A1 luôn đúng và A2 luôn sai
A2 luôn đúng và A1 luôn sai
A1 và A2 đều đúng
A1 luôn đúng và A2 có thể đúng
A1 và A2 có thể đều đúng
A1 có thể đúng còn A2 luôn sai
A1 và A2 luôn sai
7
A2 có thể đúng còn A1 luôn sai
B2 không là tính chất của hàm phân phối
B1 và B4 là các tính chất của hàm phân phối

B1 và B3 là các tính chất của hàm phân phối
B2 và B4 không là tính chất của hàm phân phối
A3 và A4 luôn luôn đúng
A2 sai và A3 đúng
A1 có thể đúng và A2 luôn luôn sai
A1 có thể đúng và A3 có thể sai
Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f
X
(u) là hàm chẵn đối với biến u. Ký hiệu
F
X
là hàm phân phối của X. Khẳng định nào dưới đây sai?
Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có kỳ vọng, phương sai hữu hạn với hàm mật độ f
X
(x) .
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
Nếu DX = 0 thì EX = 0
D(aX) = aD(X)
8
Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có kỳ vọng và phương sai hữu hạn. Ký hiệu f
X
là hàm mật
độ
.
và F
X
là hàm phân phối của X. Khẳng định nào dưới đây luôn đúng?
EX > 0
E(Y) = 3
D(Y) = 0

E(Y
2
) = 9
Chọn câu khẳng định đúng
Môment gốc bậc k bất kỳ của mọi biến ngẫu nhiên luôn tồn tại
Mỗi biến ngẫu nhiên chỉ có một điểm x
mod
duy nhất
Một biến ngẫu nhiên có thể có một khoảng trung vị
Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên luôn tồn tại hữa hạn
Nếu ký hiệu X là số viên đạn cần bắn cho đến khi có viên đạn đầu tiên trúng đích thì X là
biến ngẫu nhiên có phân phối
Nhị thức
Hình học
Siêu bội
Poisson
Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức B(20; 0,25 ) Khẳng định nào dưới đây là
đúng?
9
Một lô hàng có 500 sản phẩm trong đó có 5% phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại lần
lượt ra 50 sản phẩm để kiểm tra. Ký hiệu X là biến ngẫu nhiên chỉ số phế phẩm trong 50
sản phẩm đã kiểm tra. Khi đó
X có phân phối siêu bội
X có phân phối nhị thức
X có phân phối hình học
X không có phân phối đặc biệt
Một hộp có 5 chiếc bút trong đó có 2 chiếc bút đỏ. Chọn ngẫu nhiên ra 2 chiếc bút. Ký
hiệu X là biến ngẫu nhiên chỉ số bút đỏ trong 2chiếc bút được chọn. Khi đó
X có phân phối nhị thức tham số 0,4
E(X) = 2

D(5X +1) = 9
E(2X
2
+1) = 2
Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối rời rạc và g là một hàm Borel bất kỳ. Khi đó g(X)
có phân phối
rời rạc
không xác định
liên tục
rời rạc hoặc liên tục
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
Nếu X có phân phối nhị thức thì X
2
cũng có phân phối nhị thức
Nếu X có phân phối đều thì X
2
cũng có phân phối đều
10
Nếu X có phân phối mũ thì X
2
cũng có phân phối mũ
Tất cả các khẳng định trên đều sai
Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối liên tục, g là một hàm Borel và Y = g(X). Khẳng
định nào dưới đây đúng?
Y có phân phối liên tục
Y có phân phối rời rạc
Y có phân phối rời rạc hoặc liên tục
Tất cả các khẳng định trên đều sai
không còn là phân phối chuẩn
có phân phối chuẩn nếu a > 0

có phân phối chuẩn tắc
có phân phối chuẩn nếu a < 0
Cho F(x, y) là hàm phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên X và Y. Khẳng định nào
dưới đây sai?
Ký hiệu f
xy
, F
XY
tương ứng là hàm mật độ và hàm phân phối đồng thời của các biến ngẫu
nhiên liên tục X và Y. Ký hiệu
11
A1: “ f
xy
(u,v) > 1 với một số giá trị của u, v “
A2: “ F
XY
(u,v) > 1 với một số giá trị của u,v “
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A1 và A2 có thể đều đúng
A1 có thể đúng còn A2 luôn sai
A1 và A2 luôn sai
A2 có thể đúng còn A1 luôn sai
Cho các biến ngẫu nhiên liên tục X, Y có hàm mật độ f
X
và f
Y
. Khẳng định nào dưới đây là
đúng?
Nếu Z = X + Y và X, Y độc lập thì f
Z

(z) = f
X
(z) + f
Y
(z)
Nếu Z = XY và X, Y độc lập thì f
Z
(z) = f
X
(z).f
Y
(z)
Nếu Z = 2X thì f
Z
(z) = 2f
X
(z)
Tất cả các khẳng định trên đều sai
Ký hiệu f
xy
, F
XY
tương ứng là hàm mật độ và hàm phân phối đồng thời của các biến ngẫu
nhiên liên tục X và Y. Cho các đẳng thức :
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A1 luôn đúng và A2 luôn sai
A2 luôn đúng và A1 luôn sai
A1 và A2 đều đúng
A1 luôn đúng và A2 có thể đúng
Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập. Khẳng định nào dưới đây sai?

12
Chọn câu trả lời đúng nhất cho khẳng định sau: E(X
1
+ …. + X
n
) = EX
1
+ …… +EX
n

Chỉ khi các biến ngẫu nhiên này là độc lập
Chỉ khi các biến ngẫu nhiên này không tương quan
Chỉ khi các biến ngẫu nhiên này cùng có phân phối
Luôn có với mọi biến ngẫu nhiên X
1
, …, X
n

Chọn câu trả lời đúng nhất cho khẳng định sau: D(X
1
+ …. + X
n
) = DX
1
+ … +DX
n

Chỉ khi các biến ngẫu nhiên này có kỳ vọng bằng 0
Chỉ khi các biến ngẫu nhiên này không tương quan
Chỉ khi các biến ngẫu nhiên này cùng có phân phối

Luôn có với mọi biến ngẫu nhiên
13
14
15
Một số công thưc xác suất

Tính chất 1.1.2.
* .
*
*
.
*
(ct xs toàn fan)
16
Định nghĩa 1.1.6. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu
P(AB) = P(A) .
P(B)
Từ định nghĩa trên dễ suy ra các kết quả sau
• Hai biến cố A và B là độc lập với nhau khi và chỉ khi:
• hoặc
• Hai biến cố A và B là độc lập với nhau khi và chỉ khi độc lập hoặc là
độc lập hoặc là độc lập.
Định nghĩa 1.1.7. Dãy n biến cố B
1
, B
2
, , B
n
được gọi là
* Độc lập từng đôi nếu

P(B
i
B
j
) = P(B
i
) . P(B
j
) với mọi i j; i, j =
* Độc lập trong toàn thể nếu với bất kì 1 i
1
<i
2
<…< i
r
n; r = 2, 3,…, n thì
Chú ý: Nếu các biến cố B
1
, B
2
,…,B
n
độc lập trong toàn thể thì chúng độc lập từng đôi.
Tuy nhiên khẳng định ngược lại không chắc đúng.
• Hàm phân phối F(x) là hàm đơn điệu không giảm,
nghĩa là nếu x
1
< x
2
thì F(x

1
) F(x
2
).
• Hàm phân phối F(x) là hàm liên tục phải, nghĩa là
. Nói cách khác, nếu {x
n
} là dãy
giảm gồm các số thực hội tụ đến x thì
.
• F(x) = 0 và F(x) = 1
Nếu đã biết hàm phân phối của X thì ta có thể tính được mọi xác suất để X nhận giá trị
rơi vào các đoạn, khoảng khác nhau của trục số. Cụ thể, với a, b ta có
17
• P(X > a) = 1 – F(a).
• P(X < a) =
• P(X = a) =
• ;
;
• f(x)
•
• P(X = x) = 0
• tại các điểm liên tục của f(x).
•
=
• Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc, có phân phối xác suất P(X
= x
k
) = p
k

thì
• Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ thì
• Nếu a, b là các hằng số thì E(aX + b) = aE(X) + b.
• Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất P(X
= x
i
) = p
i
thì với mọi hàm thực g ta có
18
• Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ và g
là hàm Borel thì
• Nếu C là hằng số thì D(C) = 0
• Nếu a, b là các hằng số thì D(aX + b) = a
2
D(X).
• Nếu D[g(X)] = 0 thì g(X) là hằng số.
• . Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n, p) thì
E(X) = np và D(X) = np(1-p)
Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham
số l > 0 nếu phân phối xác suất của nó có dạng:
P(X = k) = , k = 0, 1, 2,….
Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối Poison tham số
thì
E(X) = D(X) =
Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối hình học tham số p nếu
phân phối xác suất của nó có dạng: P(X = k) = (1 – p)
k-1
p,
k = 1, 2,… Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối hình học

tham số p thì
E(X) = vàD(X) =
Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều trên đoạn [a,b]
19
nếu hàm mật độ của nó có dạng:
Hàm phân phối của X có dạng
1. Phân phối nhị thức. Định nghĩa 1.1. Xét dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành
công trong mỗi phép thử là p. Ký hiệu X là số lần “thành công” xuất hiện trong dãy n
phép thử. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức với tham số (n, p), ký
hiệu B(n, p) với
p
X
(k) = P(X = k) = ; k = 0,
1, , n
Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên đoạn [a, b] thì
E(X) =
2. Phân phối mũ
Định nghĩa 2.1. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối mũ tham số nếu hàm
mật độ của nó có dạng
Hàm phân phối của X có dạng

20
Một tính chất quan trọng của phân phối mũ là tính chất không nhớ. Ta nói biến ngẫu
nhiên không âm X không nhớ nếu với mọi s, t ta có
hoặc tương đương
P(X > s + t) = P(X > s). P(X > t).
Đẳng thức trên đúng nếu X có phân phối mũ
Định lý 2.2. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ tham số thì
E(X) =
3. Phân phối chuẩn

Định nghĩa 3.1. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn tổng quát tham số a,
s
2
, ký hiệu N(a,s
2
) nếu hàm mật độ của nó có dạng:
, x
* Trường hợp đặc biệt khi a = 0, s = 1, hàm mật độ của X có dạng:
và hàm phân phối
với x Î R.
21
Khi đó, X được gọi là có phân phối chuẩn tắc, ký hiệu N(0, 1).
Với x > 0, các giá trị của hàm F(x) được tính gần đúng trong cho trong bảng N(0, 1)
(xem cuối sách giáo khoa). Với x < 0, sử dụng tính chất F(- x) = 1 - F(x).
Mệnh đề 3.2. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn dạng N(a,s
2
) thì
i
1
. Biến ngẫu nhiên Z = có phân phối chuẩn dạng N(0;1).
i
2
. P[a < X < b] =
Định lý 3.5. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tham số a, s
2
thì
E(X) =
Định lí 3.6. (Định lí DeMoivre - Laplace) Giả sử xác suất để biến cố A xuất hiện trong
mỗi phép thử của dãy n phép thử Bernoulli là p, 0 < p < 1. Khi đó, nếu S
n

là số lần biến
cố A xuất hiện trong dãy n phép thử thì
trong đó , x Î R.
Vì ta xấp xỉ phân bố của một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc bằng phân bố của một đại
lượng ngẫu nhiên liên tục nên để có được xấp xỉ chính xác hơn, ta cần có hiệu chỉnh như
sau
5. Phân phối Student
Định nghĩa 5.1 Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối Student với k bậc tự do nếu hàm
mật độ của nó có dạng
22
trong đó , a > 0, b > 0, được gọi là hàm Bêta.
• Phân phối xác suất của hàm biến ngẫu nhiên
1. Trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc
Định lý 1.1. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y = g(X). Giả sử là các giá
trị của X có tính chất với j = 1, 2, Khi đó, biến ngẫu nhiên Y sẽ có phân phối
, i= 1, 2,
2. Trường hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục
a. Nếu Y = g(X) là biến ngẫu nhiên rời rạc
Giả sử Y = y
i
khi X (a
i
, b
i
). Khi đó
b. Nếu Y = g(X) là biến ngẫu nhiên liên tục
Trong trường hợp g là hàm đơn điệu, khả vi ta nhận được
Định lý 2.1. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f
X
và g là một hàm đơn

điệu, khả vi trên R sao cho Giả sử . Khi
đó, Y là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ
,
trong đó g
-1
(y) là hàm ngược của hàm g(y).
23
Véc tơ ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.1. Ta gọi X = (X
1
, X
2
,…, X
n
) là vectơ ngẫu nhiên n chiều với giá trị trong
R
n
.
• F(x
1
, x
2
,…, x
n
) là hàm đơn điệu không giảm theo các biến.
• F(x
1
, x
2
,…, x

n
) là hàm liên tục bên phải theo các biến.
• F(x
1
, x
2
,…, x
n
) = 1 và F(x
1
,x
2
,…,x
n
) = 0, 1 i n.
• P[ : a
1
X < b
1
; a
2
Y < b
2
] = F(b
1
,b
2
) – F(a
1
;b

2
) - F(b
1
;a
2
) + F(a
1
;a
2
)
2. Véc tơ ngẫu nhiên rời rạc
Ta xét trường hợp 2 chiều. Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc. Giả sử X nhận các
giá trị x
1
,

x
2
, , x
n
, và Y nhận các giá trị y
1
, y
2
, y
m
,
Định nghĩa 2.1. Dãy các xác suất
P([ : X = x
i

] [ : Y = y
j
]) =P(X = x
i
, Y = y
i
) = p
ij
, i = 1, 2 và j = 1, 2,
được gọi là phân phối đồng thời của hai biến ngẫu nhiên X, Y.
• Hàm phân phối đồng thời của X và Y là
F(x,y) = (x;y) R
2
.
Từ phân phối đồng thời của X và Y ta nhận được
Ø Phân phối xác suất của X là
P[X = x
i
] = , i = 1, 2,
Ø Phân phối xác suất của Y là
P[Y = y
i
] = , j = 1, 2,
3. Véc tơ ngẫu nhiên liên tục
24
Định nghĩa 3.1. Vectơ ngẫu nhiên n chiều X = (X
1
, X
2
,…, X

n
) gọi là có phân phối liên tục
tuyệt đối nếu hàm phân phối đồng thời của nó có dạng:
F(x
1
,x
2
,…,x
n
) = ; (x
1
,…,x
n
) R
n
Hàm dưới dấu tích phân f(x
1
, ,x
n
) được gọi là hàm mật độ đồng thời của n biến ngẫu
nhiên X
1
,…,X
n
.
Tính chất 3.2. Với (x
1
,…,x
n
) R

n
• f(x
1
,…,x
n
) =
• f(x
1
,…,x
n
) 0
• = 1
• Với D Ì R
n
thì
P[(X
1
,…,X
n
) D] =
Trong trường hợp 2 chiều, nếu biết f(x, y) là hàm mật độ đồng thời của X và Y thì
Ø Hàm mật độ của X là
Ø Hàm mật độ của Y là
4. Sự độc lập của các biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 4.1. Dãy n biến ngẫu nhiên X
1
,…,X
n
, i = cùng xác định trên không gian
xác suất ( , ,P) được gọi là độc lập nếu

P
trong đó B
1
,B
2
,…,B
n
B( R)
25