THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Đề thi số 2

Thi thử Đại học Môn Toán
THI THỬ ĐẠI HỌC
MÔN TOÁN
Đề thi số 2
Thời gian làm bài: 180 phút
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
23
23
+−= xxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận số nghiệm của phương trình
1
22
2
−
=−−
x
m
xx
theo tham số m.
Câu II (2 điểm)
a) Giải phương trình
( )
2
3 4 2 2 2 1 2sin x cos x sin x− = +
b) Giải phương trình
2 3
16 4
2
14 40 0

x x x
log x log x log x .− + =
Câu III ( 2 điểm)
a) Tính tích phân
3
2
3
x sin x
I dx.
cos x
π
π
−
=
∫
b) Cho hàm số
3
2
sin)(
2
−+−=
x
xexf
x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
)(xf
và chứng minh rằng
0)( =xf
có đúng hai nghiệm.
Câu IV (2 điểm) Trong không gian

Oxyz
cho đường thẳng d:
3
2
12
1
−
+
==
− zyx
và mặt phẳng
012:)( =−++ zyxP
a) Tìm tọa độ giao điểm
A
của đường thẳng d với mặt phẳng
)(P
. Viết phương trình của
đường thẳng
∆
đi qua điểm
A
vuông góc với d và nằm trong
)(P
.
b) Viết phương trình mặt phẳng
)(Q
chứa d sao cho khoảng cách từ điểm
)0,0,1(I
tới
)(Q

bằng
3
2
.
B. PHẦN DÀNH RIÊNG CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH
Câu Va (2 điểm)
Dành cho học sinh thi theo chương trình cơ bản
a) Trong mặt phẳng
Oxy
cho
ABC
∆
có
( )
0 5A ; .
Các đường phân giác và trung tuyến xuất
phát từ đỉnh
B
có phương trình lần lượt là
1 2
1 0 2 0d : x y ,d : x y .− + = − =
Viết phương trình
ba cạnh của tam giác ABC.
b) Có bao nhiêu số hữu tỉ trong khai triển
( )
60
3
2 3 .+
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 1
Thi thử Đại học Môn Toán

Câu Vb (2 điểm)
Dành cho học sinh thi theo chương trình nâng cao
a) Giải phương trình
12
9.
4
1
4.69.
3
1
4.3
++
−=+
xxxx
.
b) Cho chóp tứ giác đều
SABCD
có cạnh bên bằng a và mặt chéo
SAC
là tam giác đều. Qua
A
dựng mặt phẳng
)(P
vuông góc với
SC
.Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
)(P
và hình chóp.
ĐÁP ÁN
Câu I 2 điểm

a)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
3 2
3 2y x x .= − +
• Tập xác định: Hàm số có tập xác định
D R.
=
• Sự biến thiên:
2
3 6y' x x.= −
Ta có
0
0
2
x
y'
x
=

= ⇔

=

0,25
•
( ) ( )
0 2 2 2
CD CT
y y ; y y .= = = = −
0,25

• Bảng biến thiên:
x
−∞
0 2
+∞
y'


+
0
−
0
+

y
2
+∞
−∞

2−
0,25
• Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình
0,25
b)
Biện luận số nghiệm của phương trình
1
22
2
−
=−−

x
m
xx
theo tham số m.
• Ta có
( )
2 2
2 2 2 2 1 1
1
m
x x x x x m,x .
x
− − = ⇔ − − − = ≠
−
Do đó số nghiệm
của phương trình bằng số giao điểm của
( )
( )
2
2 2 1y x x x , C'= − − −
và đường
thẳng
1y m,x .= ≠
0,25
• Vì
( )
( )
( )
2
1

2 2 1
1
f x khi x
y x x x
f x khi x
>

= − − − =

− <


nên
( )
C'
bao gồm:
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng
1x .=
+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng
1x =
qua Ox.
0,25
• Học sinh tự vẽ hình
0,25
• Dựa vào đồ thị ta có:
+
2m :
< −
Phương trình vô nghiệm;
+

2m :
= −
Phương trình có 2 nghiệm kép;
0,25
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 2
Thi thử Đại học Môn Toán
+
2 0m :− < <
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;
+
0m :≥
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
0,25
Câu II 2 điểm
a)
Giải phương trình
( )
2
3 4 2 2 2 1 2sin x cos x sin x− = +
• Biến đổi phương trình về dạng
( ) ( )
2 3 2 1 2 1 0sin x sin x sin x+ − + =
0,75
• Do đó nghiệm của phương trình là
7 2 5 2
2 2
6 6 18 3 18 3
k k
x k ; x k ; x ; x
π π π π π π

π π
= − + = + = + = +
0,25
b)
Giải phương trình
2 3
16 4
2
14 40 0
x x x
log x log x log x .− + =
• Điều kiện:
1 1
0 2
4 16
x ;x ;x ;x .> ≠ ≠ ≠

• Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho
0,25
• Với
1x ≠
. Đặt
2
x
t log=
và biến đổi phương trình về dạng
2 42 20
0
1 4 1 2 1t t t
− + =

− + +
0,5
• Giải ra ta được
1 1
2 4
2
2
t ;t x ;x .= = − ⇒ = =
Vậy pt có 3 nghiệm x =1;
1
4
2
x ; x .= =
0,25
Câu III
a)
Tính tích phân
3
2
3
x sin x
I dx.
cos x
π
π
−
=
∫
• Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có
3 3

3
3
3 3
1 4
3
x dx
I xd J ,
cosx cosx cosx
π π
π
π
π π
π
−
− −
 
= = − = −
 ÷
 
∫ ∫
với
3
3
dx
J
cosx
π
π
−
=

∫
0,25
• Để tính J ta đặt
t sin x.=
Khi đó
3
3
3
2
2
2
3
3
2
3
2
1 1 2 3
1 2 1
2 3
dx dt t
J ln ln .
cosx t t
π
π
−
−
−
− −
= = = − = −
− +

+
∫ ∫
0,5
• Vậy
4 2 3
3
2 3
I ln .
π
−
= −
+
0,25
b)
Cho hàm số
3
2
sin)(
2
−+−=
x
xexf
x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
)(xf
và chứng
minh rằng
0)( =xf
có đúng hai nghiệm.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 3

Thi thử Đại học Môn Toán
• Ta có
x
f ( x ) e x cos x.
′
= + −
Do đó
( )
0
x
f ' x e x cos x.= ⇔ = − +
0,25
• Hàm số
x
y e=
là hàm đồng biến; hàm số
y x cosx
= − +
là hàm nghịch biến
vì
1 0y' sin x , x= − + ≤ ∀
. Mặt khác
0
=
x
là nghiệm của phương trình
x
e x cos x= − +
nên nó là nghiệm duy nhất.
0,25

• Lập bảng biến thiên của hàm số
( )
y f x=
(học sinh tự làm) ta đi đến kết
luận phương trình
0)( =xf
có đúng hai nghiệm.
• Từ bảng biến thiên ta có
( )
2 0min f x x .= − ⇔ =
0,5
Câu IV
a)
Tìm tọa độ giao điểm
A
của đường thẳng d với mặt phẳng
)(P
. Viết phương
trình của đường thẳng
∆
đi qua điểm
A
vuông góc với d và nằm trong
)(P
.
• Tìm giao điểm của d và (P) ta được
1 7
2
2 2
A ; ;

 
−
 ÷
 
0,25
• Ta có
( ) ( ) ( )
2 1 3 2 1 1 1 2 0
d P d p
u ; ; ,n ; ; u u ;n ; ;
∆
 
= − = ⇒ = = −
 
uur uur uur uur uur
0,5
• Vậy phương trình đường thẳng
∆
là
1 7
2 2
2 2
: x t; y t; z .∆ = + = − = −
0,25
b)
Viết
)(Q
chứa d sao cho khoảng cách từ điểm
)0,0,1(I
tới

)(Q
bằng
3
2
.
• Chuyển d về dạng tổng quát
2 1 0
3 2 0
x y
d :
y z
− − =


+ + =

0,25
• Phương trình mặt phẳng (Q) chứa d có dạng
( ) ( )
2 2
2 1 3 2 0 0m x y n y z ,m n− − + + + = + ≠

( )
2 3 2 0mx m n y nz m n⇔ − − + − + =
0,25
•
( )
( )
( ) ( )
1 2

2
1 0 7 5 3 0
3
d I; Q Q : x y z , Q : x y z .= ⇒ + + + = + + + =
0,5
Câu VIa
a)
Trong mặt phẳng
Oxy
cho
ABC
∆
có
( )
0 5A ; .
Các đường phân giác và trung
tuyến xuất phát từ đỉnh
B
có phương trình lần lượt là
1 2
1 0 2 0d : x y ,d : x y .− + = − =
Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC.
• Ta có
( )
1 2
2 1 3 5 0B d d B ; AB : x y .= ∩ ⇒ − − ⇒ − + =
0,25
• Gọi
A'
đối xứng với A qua

( ) ( )
1
2 3 4 1d H ; , A' ; .⇒

0,25
• Ta có
3 1 0A' BC BC : x y .∈ ⇒ − − =
0,25
• Tìm được
( )
28 9 7 35 0C ; AC : x y .⇒ − + =
0,25
b)
Có bao nhiêu số hữu tỉ trong khai triển
( )
60
3
2 3 .+
• Ta có
( )
60
60
60
3
3
2
60
0
2 3 2 3
kk

k
k
C .
−
=
+ =
∑

0,5
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 4
Thi thử Đại học Môn Toán
• Để là số hữu tỷ thì
( )
60 2 2
6
3
k k
k .
k
− ⇒

⇒



M M
M
M
Mặt khác
0 60k

≤ ≤
nên có 11
số như vậy.
0,5
Câu Vb
a)
Giải phương trình
12
9.
4
1
4.69.
3
1
4.3
++
−=+
xxxx
• Biến đổi phương trình đã cho về dạng
2 2 2 2
9
3 2 27 3 6 2 3
4
x x x x
. . . .+ = −
0,5
• Từ đó ta thu được
3
2
3 2 2

2
39 39
x
x log
 
= ⇔ =
 ÷
 
0,5
b) Cho chóp tứ giác đều
SABCD
có cạnh bên bằng a và mặt chéo
SAC
là tam
giác đều. Qua
A
dựng mặt phẳng
)(P
vuông góc với
SC
.Tính diện tích thiết
diện tạo bởi mặt phẳng
)(P
và hình chóp.
• Học sinh tự vẽ hình
0,25
• Để dựng thiết diện, ta kẻ
AC' SC.⊥
Gọi
I AC' SO.= ∩

0,25
• Kẻ
B' D'
//
BD.
Ta có
2
1 1 2 3 3
2 2 3 2 6
AD' C' B'
a a
S B' D' .AC' . BD. .= = =
0,5
Nguồn: Hocmai.vn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 5