co hoc luong tu nang cao

Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao
Mở đầu
Lý thuyết nhiễu loạn là cở sở ý nghĩ rằng, giải chính xác nghiệm của
các phương trình trong cơ học lượng tử. Nó cũng dùng để nghiên cứu cấu
trúc của hệ phân tử và nguyên tử, chúng ta cần biết bức xạ điện từ tương tác
của hệ. Bản chất của phổ phân tử và nguyên tử là sự hấp thụ và phát xạ bức
xạ điện từ bởi phân tử và nguyên tử, ngoài ra nó còn chịu sự chuyển dời từ
trạng thái này sang trạng thái khác.
Lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian là sử dụng để nghiên cứu quá
trình hấp thụ và bức xạ bởi nguyên tử. Tổng quát hơn là xét chuyển dời của
hệ lượng tử từ mức năng lượng này đến mức năng lượng khác. Trong quá
trình chuyển dời các mức năng lượng, xuất hiện sự hấp thụ và phát xạ
photon. Để làm sáng tỏa hơn chung ta nghiên cứu các nội dung sau.
1. Lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian.
2. Xác suất chuyển dời.
3. Xác suất chuyển dời cho nhiễu loạn hằng số.
4. Xác suất chuyển dời cho nhiễu loạn điều hòa.
Học viên: Nguyễn Văn Hùng
1
Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao
A. PHẦN LÝ THUYẾT
1. Lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian.
Ở đây ta chỉ xét hiện tượng mà được mô tả bởi hàm Hamilton và
hàm Hamilton có thể tách thành hai phần, một phần
0
H
không phụ thuộc
vào thời gian và một phần V(t) phụ thuộc thời gian mà V(t) rất bé so với
0
H
.

)()(
0
tVHtH
∧∧∧
+=
(1)
Trong đó
∧
0
H
được mô tả bởi hệ không nhiễu và giả sử nghiệm chính
xác là đã biết. Xét hệ khi không có nhiễu loạn nó được mô tả bởi hàm
Hamiton độc lập với thời gian
∧
0
H
và có trị riêng
n
E
, hàm riêng
n
Ψ
là
biết.

nnn
E
H
Ψ=Ψ

∧
0
(2)
Vector trạng thái tổng quát được cho bởi trạng thái dừng.


n
tiE
n
tHi
n
n
eet Ψ=Ψ=Ψ
−−
∧

0
)(
(3)
Trong khoảng thời gian
τ
≤≤ t0
thì hệ phụ thuộc thời gian, V(t) rất
bé so với
∧
0
H
.







><
≤≤
=
∧
∧
τ
τ
tt
ttV
t
V
,00
0)(
)(
(4)
Trong khoảng
τ
≤≤
t0
thì Hamilton của hệ là
)()(
0
tVHtH
∧∧∧
+=
và

phương trình Schrodinger tương ứng là.

)())((
)(
0
ttVH
dt
td
i Ψ+=
Ψ
∧∧

(5)
Trong đó
)(tV
∧
là tương tác đặc trưng của hệ với nhiễu loạn bên
ngoài.
Ảnh hưởng của
)(tV
∧
tới hệ như thế nào? Khi hệ tương tác với
)(tV
∧

thì nó cũng hấp thụ hoặc bức xạ năng lượng. Quá trình này không thể
đánh giá được vì hệ chuyển dời từ một trạng thái không nhiễu đến trạng
thái khác. Ý chính của lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc vào thời gian là trả
lời câu hỏi: Nếu hệ là không nhiễu trong trạng thái riêng
i

Ψ
của
∧
0
H
thì
Học viên: Nguyễn Văn Hùng
2
Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao
xác suất mà hệ sẽ được tìm thấy tại thời điểm sau đó trong trạng thái
riêng không nhiễu khác
j
Ψ
là gì?
Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần tìm nghiệm của phương trình
Schodinger (5). Phương pháp chuẩn để giải (5) là tìm
)(tΨ
trong các số
hạng của hệ số khai triển
)(tC
n
.

n
tiE
n
n
n
etCt Ψ∑=Ψ
−


)()(
(6)
Sau đó thay vào (5) để tìm các
)(tC
n
khác nhau bằng phương pháp
gần đúng. Thay vì tính tích này, chúng ta kết hợp với thế độc lập thời
gian, nó sẽ thích hợp với nghiệm (5) trong bức tranh tương tác.

I
I
I
ttV
dt
td
ih )()(
)(
Ψ=
Ψ
∧
(7)
Trong đó
)()(
0
tet
tiH
I
Ψ=Ψ


và
 tiHtiH
I
etVetV
00
)()(
−
∧∧
=
phương trình
tiến triển theo thời gian là
)(),()(
ii
tttUt Ψ=Ψ
∧
có thể viết lại như trong
bức tranh tương tác là.

(8)
Hoặc

I
ii
I
I
tttUt )(),()( Ψ=Ψ
∧
(9)
Trong đó toán tử tiến triển phụ thuộc thời gian được cho trong bức
tranh tương tác là.



i
tHi
i
tHi
i
I
ettUettU
0
0
),(),(
∧
∧
−
∧∧
=
(10)
Thay (9) vào (7) ta thu được.

),()(
),(
i
I
I
iI
ttUtV
dt
ttUd

ih
∧∧
∧
=
(11)
Nghiệm của phương trình này, với điều kiện ban đầu
∧∧
= IttU
iiI
),(
, là
cho bởi phương trình tích phân.

∫
∧∧∧
−=
t
t
iIIi
I
I
dtttUtV
i
ttU
,,,
),()(1),(

(12)
Lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian đưa ra nghiệm gần đúng
của phương trình tích phân này. Điều này bao gồm giả sử rằng

)(tV
I
∧
là
nhỏ sau mỗi lần lặp. Gần đúng bậc nhất là thu được bằng cách đặt
Học viên: Nguyễn Văn Hùng
3
Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao
1),(
'
=
∧
i
I
ttU
trong tích phân (12), dẫn đến
∫
∧∧
−=
t
t
Ii
I
I
dttV
i
ttU
,,
)1(
)(1),(


. Thay
),(),(
,
)1(
'
iIi
I
ttUttU
∧∧
=
vào (12) ta thu được gần đúng bậc hai là.

(13)
Thay
),(
)2(
i
I
ttU
∧
vào (12) ta thu được gần đúng bậc ba, cứ lặp lại
nhiều lần như vậy ta được.

(14)
Chuỗi này như là chuỗi Dyson
Bây giờ chúng ta tính xác suất chuyển dời. Nó có thể được cho bởi
các yếu tố ma trận của (14) với trạng thái riêng của
∧
0

H
.
1.1 xác suất chuyển dời.
Xác suất chuyển dời tương ứng với sự chuyển dời từ trạng thái
không nhiễu ban đầu
i
Ψ
đến trạng thái không nhiễu khác
j
Ψ
được cho
từ (14) và do
1=ΨΨ
∑
n
n
n
ta được.
(15)
Trong đó ta sử dụng.
(16)
Trong đó
fi
ω
tần số chuyển dời giữa mức đầu i và mức cuối f , được
xác định là.

iiff
if
fi

HH
EE
ΨΨ−ΨΨ=
−
=
∧∧
00
(
1

ω
(17)
Học viên: Nguyễn Văn Hùng
4
Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao
Xác suất chuyển dời ở (15) có thể viết theo khai triển hằng số
)(tC
n
như giới thiệu ở (6) là.

2
)2()1()0(
)( +++=
ffffi
CCCtP
(18)
Trong đó:

ififf
C

,
)0(
δ
=ΨΨ=
;
∫
ΨΨ−=
∧
t
tfi
iff
dtetV
i
C
0
,,)1(
, )(
,
1
ω

(19)
Xác suất chuyển dời bậc nhất cho
fi
Ψ→Ψ
với
fi ≠
( ở đây
0=ΨΨ
if

) là thu được ở (15) tại bậc thứ nhất trong
)(tV
I
.

2
0
,
,
1
)()(
∫
ΨΨ−=
∧
t
tfi
ifìf
dtetV
i
tp
ω

(20)
Theo nguyên tắc chúng ta có thể sử dụng (15) để tính xác suất
chuyển dời cho vài bậc trong
)(tV
I
∧
. Tuy nhiên, các số hạng cao hơn bậc
thứ nhất trở nên giảm nhanh. Vấn đề lớn nhất của vật lý nguyên tử và hạt

nhân, bậc thứ nhất (16) là đủ dùng. Chúng ta sẽ áp dụng (16) để tính xác
suất chuyển dời cho hai trường hợp: Nhiễu loạn hằng số và nhiễu loạn
điều hòa.
1.2 Xác suất chuyển dời cho nhiễu loạn hằng số.
Trong trường hợp
∧
V
độc lập với thời gian, từ (20) dẫn đến.

2
2
2
2
0
,
2
111
)(
,
fi
ti
if
t
ti
ifìf
fi
fi
e
VdteVtp
ω

ω
ω
−
ΨΨ=ΨΨ=
∧∧
∫

(21)
Sử dụng






=−
2
sin41
2
2
θ
θ
i
e
(với
t
fi
ωθ
=
) thay vào (21) ta được.









ΨΨ
=
∧
2
sin
4
)(
2
22
2
t
V
tp
fi
fi
if
ìf
ω
ω

(22)

Vì hàm phụ thuộc thời gian, xác suất chuyển dời này dao động hình
sin với tần số
fi
ω
π
2
như hàm
fi
ω
, tuy nhiên xác suất chuyển dời cho ở
(hình.1) la hình ảnh giao thoa: Nó đáng kể khi
0≈
fi
ω
và giảm rất nhanh
khi xa 0 ( ở đây, t xác định, chúng ta giả sử rằng

if
fi
EE −
=
ω
thay đổi
liên tục)
Học viên: Nguyễn Văn Hùng
5
Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao


6



4


2

0
2

4

6

x
y

Hình.1
(
( )
[ ]
22
2sin,,1
fififi
yxt
ωωω
===
)
Nghĩa là xác suất chuyển dời của hệ tìm thấy trong trạng thái
f

Ψ
và
năng lượng
f
E
là lớn khi
fi
EE ≈
hoặc khi
0≈
fi
ω
. Chiều cao và rộng của
đỉnh, xung quanh tâm
0=
fi
ω
là tỉ lệ với
2
t
và
t
1
. Riêng, diện tích giới hạn tỉ
lệ với t; vì diện tích ở dưới đỉnh tâm, xác suất chuyển dời tỉ lệ với t. vì thế
xác suất chuyển dời cùng đường với thời gian. Đỉnh tâm hẹp và rộng khi
thời gian tăng, nó thuộc hàm Delta. Do đó, khi
∞→
lim
thì xác suất chuyển

dời như hình dáng của hàm Delta.
Vì
∞→t
ta sử dụng hệ thức tiệm cận.

)(
)(sin
2
2
lim
y
ty
yt
t
δ
π
=
∞→
(23)
Ta viết biểu thức sau.

( )
fi
fi
fi
t
t
ωδπ
ω
ω

2
2
sin
2
1
1
2
2
=














(24)
Bởi vì
)(2
2
fi
fi
ωδ

ω
δ
=








. Vì
iffi
EE −=
ω

, ở đây
( )
)(
iffi
EE −=
δωδ

,ta thay vào (22) thu được.

( )
ififìf
EEV
t
tp

−ΨΨ=
∧
δ
π
2
2
)(

(25)
Tốc độ chuyển dời, được định nghĩa như là xác suất chuyển dời trên
một đươn vị thời gian, là cho bởi.
Học viên: Nguyễn Văn Hùng
6
Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao

( )
ifif
if
if
EEV
t
tP
−ΨΨ==Γ
∧
δ
π
2
2
)(


(26)
Số hạng Delta
)(
if
EE −
δ
bảo đảm định luật bảo toàn năng lượng.
Khi
∞→lim
thì tốc độ chuyển dời chỉ khác không giữa các trạng thái có
năng lượng bằng nhau. Do đó hằng số nhiễu loạn (độc lập với thời gian)
cũng không làm mất năng lượng và cũng không bổ sung năng lượng cho
nó.
Chuyển dời trở nên liên tục của trạng thái cuối.
Bây giờ tính tốc độ chuyển dời toàn phần ứng với chuyển dời từ
trạng thái ban đầu
i
Ψ
liên tục cho đến trạng thái cuối
f
Ψ
. Nếu
( )
f
E
ρ

là mật độ cho trạng thái cuối, số mỗi trạng thái cho khoảng năng lượng,
số trạng thái cuối với khoảng năng lượng
f

E
và
ff
dEE +
là bằng
( )
ff
dEE
ρ
. Tốc độ chuyển dời toàn phần có thể thu được từ (26) là.
( ) ( ) ( )
fiffifff
if
if
dEEEEVdEE
t
tP
W −ΨΨ==
∫∫
∧
δρ
π
ρ
2
2
)(

(27)
Hoặc

( )
ififif
EEVW −ΨΨ=
∧
δ
π
2
2

(28)
Mối quan hệ này gọi là quy tắc Fermi golden rule. Nó hàm ý rằng,
trong trường hợp nhiễu loạn hằng số, nếu ta đợi đủ lâu thì tốc độ chuyển
dời toàn phần trở thành hằng số.
1.3 Xác suất chuyển dời cho nhiễu loạn điều hòa.
Bây giờ xét nhiễu loạn điều hòa phụ thuộc thời gian.

titi
evevtV
ωω
−
+
∧∧∧
+=
)(
(29)
Với
∧
v
toán tử độc lập với thời gian. Vì nhiễu loạn là va chạm,
chẳng hạn như khi hạt tích điện tương tác với trường điện từ. Nhiều loạn

này gây ra chuyển dời của hệ từ trạng thái dừng đến trạng thái khác.
Xác suất chuyển dời tương ứng với nhiễu loạn này có thể thu được từ
(20) là.
Học viên: Nguyễn Văn Hùng
7
Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao

2
0
,
)(
0
,
)(
2
,
,
,
1
1
)(
∫∫
−
+
∧
+
∧
ΨΨ+ΨΨ=
t
ti

if
t
tfi
ifìf
dtevdtevtp
fi
ωω
ωω

(30)
Bỏ qua số hạng chéo, vì nó không đáng kể so với hai số hạng khác,
ta có thể viết biểu thức như sau.

2
)(
2
2
2
)(
2
2
1111
)(
ωωωω
ωωωω
−
−
ΨΨ+
+
−

ΨΨ=
−
+
∧
+
∧
fi
ti
if
fi
ti
ifif
fifi
e
v
e
vtP

(31)
Sử dụng






=−
2
sin41
2

2
θ
θ
i
e
thay vào (31) ta được.
( )




−
−
ΨΨ+
+
+
ΨΨ=
+
∧∧
2
2
2
22
2
2
2
)(
)((sin
1
2/)((sin

1
)(
ωω
ωω
ωω
ωω
fi
fi
if
fi
fi
ifif
v
t
vtP

(32)
Trong (hình.2), tại đỉnh
ωω
−=
fi
giá trị xác suất chuyển dời lớn nhất
2
2
2
4
)(
ifif
v
t

tP ΨΨ=
∧

, hoặc tại
ωω
=
fi
giá trị xác suất chuyển dời lớn
nhất
2
2
2
4
)(
ifif
v
t
tP ΨΨ=
+
∧

. Đây là điều kiện cộng hưởng, nghĩa là xác suất
của chuyển dời là lớn nhất khi tấn số của trường nhiễu loạn là
fi
ω
±
. Còn
ω
ra xa
fi

ω
±
thì
)(tP
if
giảm.

1

6


1

4


1

2


1
1

2

1

4


1

6

x
y
,
1

6

1

4

1

2

1
1

2

1

4

1


6

x
y
Hình.2
Chú ý rằng (32) tương tự (22). Nghĩa là
Học viên: Nguyễn Văn Hùng
8
Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao
)(
2
)(
2
)(
2
2
ϖδ
π
ϖδ
π




−−ΨΨ++−ΨΨ=
+
∧∧
ififififif
EEv

t
EEv
t
tP
(33)
Tốc độ chuyển dời là.
)(
2
)(
2
2
2
ϖδ
π
ϖδ
π




−−ΨΨ++−ΨΨ=Γ
+
∧∧
ififififif
EEvEEv
(34)
Tốc độ chuyển dời này chỉ khác không khi thỏa mãn hai điều kiện.
ω
−=
if

EE
ω
+=
if
EE
.
Hai điều kiện này không thể đồng thời thỏa mãn; nó có thể hiểu
ngầm là. Điều kiện thứ nhất
ω
−=
if
EE
hệ kích thích, vì thế năng lượng
cuối nhỏ hơn năng lượng ban đầu. khi nhiễu loạn hệ hồi phục cho photon
ở trên có năng lượng
ω

cho thế
)(tV
∧
thấy ở hình.3. Quá này gọi là phát
xạ cưỡng bức, hệ dễ dàng phát xạ photon với năng lượng
ω

. Điều kiện
thứ hai,
ω
+=
if
EE

năng lượng cuối lớn hơn năng lượng ban đầu, hệ
hấp thụ photon với năng lượng
ω

từ thế
)(tV
∧
. Như vậy ta có thể thấy số
hạng
ti
e
ω
và
ti
e
ω
−
trong thế
)(tV
∧
tương ứng với phát xạ và hấp thụ photon
có năng lượng
ω

.
Cuối cùng, hiệu ứng nhiễu loạn điều hòa là truyền cho hệ hoặc nhận
từ hệ một photon có năng lượng
ω

. Ngược lại, nhiễu loạn hằng số

không truyền cho hệ cũng không lấy năng lượng của hệ.

i
E

f
E


fi
EE −=
ω


if
EE −=
ω

f
E

i
E

Phát xạ cưỡng bức photon Hấp thụ photon
Hình 3
Chú ý:
Vì trạng thái cuối trở nên liên tục, chúng ta có thể thấy, bằng cách tương tự
từ biểu thức (28) và (34) dẫn đến tốc độ chuyển dời hấp thụ và phát xạ là.

( )
ω
ρ
π


−=
∧
+
ΨΨ=
if
EE
fif
abs
if
EVW
2
2
(35)
Học viên: Nguyễn Văn Hùng
9
Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao
( )
ω
ρ
π


−=
∧

ΨΨ=
if
EE
fif
emi
if
EVW
2
2
(34)
Từ (29) là Hermitian,
∗
+
∧∧
ΨΨ=ΨΨ
fiif
VV
, ta có
22
ifif
vv ΨΨ=ΨΨ
∧∧
ở đây.

ωω
ρρ
 −=+=
=
ifif
EE

f
emi
if
EE
f
abs
if
E
W
E
W
)()(
(36)
Biểu thức này biết như điều kiện của cân bằng chi tiết.
Học viên: Nguyễn Văn Hùng
10
Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao
B. PHẦN BÀI TẬP
Bài 1:
a. Tính vị trí và toán tử xung lượng
)(tX
H
∧
và
)(tP
H
∧
trong bức tranh
Heisenberg cho dao động tử điều hòa một chiều.
b. Tìm phương trình chuyển động Heisenberg cho

)(tX
H
∧
và
)(tP
H
∧
.
Bài giải.
Trong bức tranh schodinger trong đó toán tử không phụ thuộc tường
minh vào thời gian. Hàm Hamilton của dao động tử điều hòa có dạng.

∧
∧
∧
+=
22
2
2
1
2
Xm
m
p
H
ω
(1.1)
a) Sử dụng giao hoán tử.

∧∧

∧
∧
∧
−=






=








P
m
i
XP
m
XH

,
2
1
,

2
(1.2)

∧∧
∧
∧
∧
=






=








XmiPXmpH
222
,
2
1
,
ωω


(1.3)
Cùng với.
,,,
!3
1
,,
!2
1
, +


















+

















+






+=
∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧
−
∧
∧∧
BAAABAABABeBe
AA
(1.4)

Ta có thể viết:
(1.5)
Hoặc.

).sin(
1
)cos()( tP
m
tXtX
H
ω
ω
ω
∧∧∧
+=
(1.6)
Học viên: Nguyễn Văn Hùng
11
Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao
Tương tự ta tính được.
(1.7)
Hoặc.

)sin()cos()( tXmtPtP
H
ωωω
∧∧∧
−=
(1.8)
b) Để tìm phương trình chuyển động của

)(tX
H
∧
và
)(tP
H
∧
chúng ta cần sử
dụng phương trình Heisenberg:






=
∧∧
∧
HA
idt
tAd
H
H
,
1)(

cùng với (1.2) và (1.3)
ta được.





∧∧∧∧
−
∧
−
∧∧∧∧
∧
=






=






=
HiHitHitHit
H
H
ePe
m
i
i

eHXe
i
HtX
idt
tXd 1
,
1
),(
1)(
(1.9)





∧∧∧∧
−
∧
−
∧∧∧∧
∧
−
=






=







=
HiHitHitHit
H
H
eXe
i
mi
eHPe
i
Htp
idt
tPd )(
,
1
),(
1)(
2
ω
(1.10)
Hoặc.

)(
1)(
tp

mdt
tXd
H
H
∧
∧
=
;
)(
)(
2
tXm
dt
tPd
H
H
∧
∧
−=
ω
(1.11)
Bài 2:
Sử dụng biểu thức ở bài 1 cho
)(tX
H
∧
và
)(tP
H
∧

, hãy tính các giao hoán tử cho
dao động tử điều hòa sau.






∧∧
)(),(
21
tPtX
HH
,






∧∧
)(),(
21
tXtX
HH
,







∧∧
)(),(
21
tHtP
H
Bài giải.
Sử dụng:
Học viên: Nguyễn Văn Hùng
12
Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao

).sin(
1
)cos()( tP
m
tXtX
H
ω
ω
ω
∧∧∧
+=
và
)sin()cos()( tXmtPtP
H
ωωω
∧∧∧
−=

theo
hệ thức giao hoán
iPX =






∧∧
,
và
0,, =






=






∧∧∧∧
PPXX
, ta có.







−+=






∧∧∧∧∧∧
)sin()cos(),sin(
1
)cos()(),(
221121
tXmtPtP
m
tXtPtX
HH
ωωωω
ω
ω

)sin()sin(,)cos()cos(,
2121
ttXPttPX
ωωωω







−






=
∧∧∧∧

)]sin()sin()cos()[cos(
2121
tttti
ωωωω
+=

(2.1)
Hoặc.

( )
[ ]
2121
cos)(),( ttitPtX
HH
−=







∧∧
ω

(2.2)
Tính toán tương tự.






++=






∧∧∧∧∧∧
)sin(
1
)cos(),sin(
1
)cos()(),(

221121
tP
m
tXtP
m
tXtXtX
HH
ω
ω
ωω
ω
ω

)cos()sin(,
1
)sin()cos(,
1
2121
ttXP
m
ttPX
m
ωω
ω
ωω
ω







+






=
∧∧∧∧

)]cos()sin()sin()[cos(
2121
tttt
m
i
ωωωω
ω
−=

(2.3)
Hoặc

[ ]
)(sin)(),(
2121
tt
m
i

tXtX
HH
−−=






∧∧
ω
ω

(2.4)
Tượng tự, ta có.






−−=






∧∧∧∧∧∧
)sin()cos(),sin()cos()(),(

221121
tXmtPtXmtPtPtP
HH
ωωωωωω

)cos()sin(,)sin()cos(,
2121
ttPXmttXPm
ωωωωωω






−






−=
∧∧∧∧

[ ]
)sin()cos()cos()sin(
2121
ttttmi
ωωωωω

−−= 
(2.5)
Hoặc

( )
[ ]
2121
sin)(),( ttmitPtP
HH
−−=






∧∧
ωω

(2.6)
Học viên: Nguyễn Văn Hùng
13
Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao
Bài 3. Tính lượng
nXtXn
H
∧∧
)(
cho trạng thái thứ n của dao động tử điều
hòa một chiều, trong đó

)(tX
H
∧
và
∧
X
là các toán tử vị trí trong bức tranh
Heisenberg và bức tranh Schrodinger.
Bài giải.
Sử dụng biểu thức của
).sin(
1
)cos()( tP
m
tXtX
H
ω
ω
ω
∧∧∧
+=
chúng ta có.

( )
tnXpn
m
tnXnnXtXn
H
ω
ω

ω
sin
1
)cos()(
2
∧∧∧∧∧
+=
(3.1)
Từ dao động điều hòa
∧
X
và
∧
P
cho bởi.









+=
∧
+
∧∧
aa
m

X
ω
2

,








−=
∧
+
∧∧
aa
m
ip
2
ω

Và
11 ++=
+
∧
nnna
và
1−=

∧
nnna
chúng ta có.

















+








+=

∧
+
∧∧
+
∧∧
naaaan
m
nXn
ω
2
2










+++=
+
∧∧∧
+
∧∧
+
∧
naaaaaan
m

2
2
2
ω

(3.2)

















+









−=
∧
+
∧∧
+
∧∧∧
naaaan
i
nXPn
2










−++=
+
∧∧∧
+
∧∧
+
∧
naaaaaan

i
2
2
2

(3.3)
Ta có:
0
2
2
==
∧
∧
+
nannan
,
nnaan =
∧
∧
+
,
1+=
∧
+
∧
nnaan
nên (3.2)
và (3.3) là.

( )

12
2
2
+=
∧
n
m
nXn
ω

(3.4)

2
i
nXPn −=
∧∧
(3.5)
Vậy

[ ]
)sin()cos()12(
2
)( títn
m
nXtXn
H
ωω
ω
−+=
∧∧


(3.6
Học viên: Nguyễn Văn Hùng
14
Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao
Bài 4. Hàm Hamilton tương tác của một hạt có khối lượng m, điện tích q và
spin
S
trong trường điện từ dọc theo trục z là
z
S
mc
qB
H
∧∧






−=
. Viết phương
trình chuyển động Heisenberg cho các toán tử
)(tS
x
∧
,
)(tS
y

∧
và
)(tS
z
∧
, và giải
chúng thu được các toán tử như hàm của thời gian.
Bài giải.
Ta được phép viết
z
SH
∧∧
=
ω
trong đó






−=
mc
qB
ω
. Giao hoán
∧
H
với các
toán tử spin tương ứng có thể được suy ra từ

yzx
SiSS
∧∧∧
−=






,
và
xzy
SiSS
∧∧∧
=






,
:
yx
SiHS
∧∧∧
−=







ω
,
,
xy
SiHS
∧∧∧
=






ω
,
,
0, =






∧∧
HS
z

(4.1)
Phương trình chuyển động Heisenberg cho
)(tS
x
∧
,
)(tS
y
∧
và
)(tS
z
∧
có thể
thu được từ


∧∧
−
∧∧∧∧
∧






=







=
HitHit
H
H
eHAe
i
HtA
idt
tAd
),0(
1
),(
1)(
, và sử dụng (4.1)
dẫn đến.
)()0(),0(
1
),(
1)(
tSeSe
i
i
eHSe
i
HtS
idt

tSd
y
Hi
y
HitHit
x
Hit
x
x
∧
−
∧
−
∧∧∧∧
∧
−=
−
=






=







=
∧∧∧∧
ω
ω





(4.2)
Tương tự chúng ta có.
)()0(),0(
1
),(
1)(
tSeSe
i
i
eHSe
i
HtS
idt
tSd
x
Hi
x
HitHit
y
Hit

y
y
∧
−
∧
−
∧∧∧∧
∧
==






=






=
∧∧∧∧
ω
ω





(4.3)

0),0(
1
),(
1)(
=






=






=
∧∧
−
∧∧∧∧
∧


Hit
z
Hit

z
z
eHSe
i
HtS
idt
tSd
(4.4)
Để giải (4.2) và (4.3), chúng ta có thể ghép chúng vào hai phương trình
có lợi hơn là.

)(
)(
tSi
dt
tSd
±
∧
±
∧
±=
ω
(4.5)
Học viên: Nguyễn Văn Hùng
15
Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao
Trong đó:
)()()( tSitStS
yx
∧∧

±
∧
±=
. Nghiệm của (4.5) là
ti
eStS
ω
)0()(
±
∧
±
∧
=
,
với






+=
−
∧
+
∧∧
)()(
2
1
)( tStStS

x
và






−=
−
∧
+
∧∧
)()(
2
1
)( tStS
i
tS
y
dẫn đến.

)sin()0()cos()0()( tStStS
yxx
ωω
∧∧∧
−=
(4.6)

)sin()0()cos()0()( tStStS

xyy
ωω
∧∧∧
+=
(4.7)
Giải (4.4) ta thu được.

0
)(
=
∧
dt
tSd
z
=>
)0()(
zz
StS
∧∧
=
(4.8)
Bài 5: khảo sát hạt không spin có khối lượng m, chuyển động trong hố thế
một chiều sâu vô hạn với tường tại
0=x
và
ax =
.
a) Tìm
)(tX
H

∧
và
)(tP
H
∧
trong bức tranh Heisenberg.
b) Nếu tại t = 0 hạt ở trạng thái
[ ]
2
)()(
)0,(
21
xx
x
Φ+Φ
=Ψ
, với
)(
1
xΦ
và
)(
2
xΦ

là trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích thứ nhất tương ứng với







=Φ
a
xn
a
x
n
π
sin
2
)(
, tìm vector trạng thái
),( txΨ
cho t > 0 trong bức tranh
Schrodinger.
c) Tính
),(),( txXtx ΨΨ
∧
và
),(),( txPtx ΨΨ
∧
như một hàm phụ thuộc thời
gian trong bức tranh Schrodinger.
d) Tính
),()(),( txtXtx
H
ΨΨ
∧
và

),()(),( txtPtx
H
ΨΨ
∧
như một hàm phụ
thuộc thời gian trong bức tranh Schrodinger.
Bài giải:
a) Vì hàm Hamilton của hạt là động năng thuần túy
m
P
H
2
2
∧
∧
=
chúng ta có
0, =






∧∧
PH
và:

∧∧∧∧∧
−=







=






P
m
i
XP
m
XH

,
2
1
,
2
(5.1)
Sử dụng biểu thức này.
Học viên: Nguyễn Văn Hùng
16
Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao

,,,
!3
1
,,
!2
1
, +


















+

















+






+=
∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧
−
∧
∧∧
BAAABAABABeBe
AA
, ta thu được.

,,
!2

1
,)(
2
+


















+






+==

∧∧∧∧∧∧
−
∧∧
∧∧
XHH
it
XH
it
XeXetX
HitHit
H


(5.2)
Vì
0,,, =












−=













∧∧∧∧∧
PH
m
i
XHH

chúng ta có.

∧∧∧∧∧∧
+=






+= P
m
t

XXH
it
XtX
H
,)(

(5.3)
Còn
)(tP
H
∧

,,
!2
1
,)(
2
+



















+






+==
∧∧∧∧∧∧
−
∧∧
∧∧
PHH
it
PH
it
PePetP
HitHit
H


(5.4)
Mặt khác, vì
0, =







∧∧
PH
ta có

∧∧
= PtP
H
)(
(5.6)
b) Từ năng lượng thứ n cho bởi
2
222
2ma
n
E
n

π
=
, ta có.

[ ]
2
)()(

),(
21
21
 tiEtiE
exex
tx
−−
Φ+Φ
=Ψ













+






=

−
−
a
x
e
a
x
e
a
tiE
tiE
ππ
2
sinsin
1
2
1


(5.7)
c) sử dụng (5.7) ta có thể viết.






ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ=ΨΨ
−
∧

−−
∧∧∧∧
 tEEitEEi
eXeXXXtxXtx
)(
12
)(
212211
1212
2
1
),(),(

(5.8)
Vì
2
a
X
nn
=ΦΦ
∧
Và
∫
−=













=ΦΦ=ΦΦ
∧∧
a
a
dx
a
x
a
x
x
a
XX
0
2
1221
9
162
sinsin
2
π
ππ

Chúng ta có thể viết (5.8) là.







+−+=ΨΨ
−−−−
∧
)(
9
16
222
1
),(),(
)()(
2
1212
 tEEitEEi
ee
aaa
txXtx
π










−=
2
2
2
2
3
cos
9
8
2
ma
taa 
π
π
(5.9)
(Vì
2
2
12
2
3
ma
t
EE

π
=−
)

Tương tự: tính
),(),( txPtx ΨΨ
∧
ta có
0=ΦΦ
∧
nn
P
và
Học viên: Nguyễn Văn Hùng
17
Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao
∫
=












−=ΦΦ−=ΦΦ
∧∧
a
a

i
dx
a
x
a
x
x
a
iPP
0
1221
3
82
cossin
4 

ππ
, Dẫn đến.






ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ=ΨΨ
−
∧
−−
∧∧∧∧
 tEEitEEi

ePePPPtxPtx
)(
12
)(
212211
1212
2
1
),(),(

(5.10)
Hoặc.








=






−=ΨΨ
−−−
∧

2
2
)()(
2
3
sin
3
8
)(
3
8
2
1
),(),(
1212
ma
t
a
ee
a
i
txPtx
tEEitEEi


π
(5.11)
d ) Từ (5.3) ta có.

),(),(),(),(),()(),( txPtx

m
t
txXtxtxtXtx
H
ΨΨ+ΨΨ=ΨΨ
∧∧∧
(5.12)
Thay (5.10) và (5.13) vào (5.14) ta được.









+








−=ΨΨ
∧
2
2

2
2
2
2
3
sin
3
8
2
3
cos
9
8
2
),()(),(
ma
t
am
t
ma
taa
txtXtx
H

ππ
π
(5.13)
Và
),()(),( txtPtx
H

ΨΨ
∧
, từ (5.6) và (5.11) ta có.

( ) ( )








=ΨΨ=ΨΨ
∧∧
2
2
2
3
sin
3
8
),(),(,)(,
ma
t
a
txPtxtxtPtx
H

π

(5.14)
Bài 6:
Một hạt ban đầu ở trạng thái dừng trong hố thế sâu vô hạn của tường nằm
tại
0
=
x
và
ax =
, nó đưa ra tại t = o cho nhiễu loạn phụ thuộc thời gian
2
t
exV
−
∧∧
=
ε
với
ε
là số thực rất bé. Tính xác suất mà hạt sẽ tìm thấy ở trạng
thái kích thích thứ nhất tại
+∞=t
.
Bài giải.
Xác suất chuyển dời từ trạng thái dừng
1
=
n
đến trạng thái kích thích
thứ nhất

2
=
n
cho bởi.

2
0
12
2
21
21
)(
1
∫
+∞
∧
→
ΨΨ= dtetVp
ti
ω

(6.1)
Trong đó.

2
2
2
2
2
2

12
21
2
3
22
4
mamama
EE


πππ
ω
=−=
−
=
, (6.2)
Học viên: Nguyễn Văn Hùng
18
Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao

12
)( ΨΨ
∧
tV
=
∫
−−
=













a
tt
e
a
dx
a
x
a
x
xe
a
0
2
22
9
16
sin
2
sin
2

π
εππε
(6.3)
( Với
2
222
2ma
n
E
n

π
=
và






=Ψ
a
xn
a
x
n
π
sin
2
)(

)
Thay (6.2) và (6.3) vào (6.1) ta được.

2
0
2
2
21
2
21
9
16
∫
+∞
−
→






= dte
a
p
tti
ω
π
ε


(6.6)
Đặt
21
2
ω
i
ty −=
, bình phương hai vế ta được
22
21
2
21
4/ ytti −−=−
ωω
và
dydt =
,









−







=






=
∫
+∞
−
−
→
42
24
2
2
2
0
4
2
2
21
8
9
exp
9

16
49
16
2
2
21
am
a
dyee
a
p
y


π
π
επ
π
ε
ω
(6.7)
( với
2
2
21
2
3
ma

π

ω
=
)
Học viên: Nguyễn Văn Hùng
19
Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao
Kết luận
Lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian đã giải quyết sự hấp thụ hoặc
phát xạ năng lượng khi có thế tương tác
)(tV
∧
, bằng việc giải nghiệm gần
đúng của phương trình Schrodinger và tính được xác suất chuyển rời. cụ thể
hơn là xác suất chuyển rời hằng số và xác suất chuyển dời điều hòa. Tính
được các xác suất chuyển dời đó, thì chúng ta sẽ tính được tốc độ chuyển
dời. Từ tốc độ chuyển rời đó sẽ hiểu hơn về việc hấp thụ hoặc phát xạ
photon của hệ.
Trong quá trình làm tiểu luận này, do trình độ dịch tiếng anh của tôi còn
kém nên không thể không thiếu sót. Kính mong thầy và các anh (chị) trong
lớp đóng góp cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn!

Học viên: Nguyễn Văn Hùng
20
Tiểu luận cơ học lượng tử nâng cao
Mục lục
Trang
Mở đầu
A. PHẦN LÝ THUYẾT………………………………………… 2
1. Lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian………………… 2
1.1 xác suất chuyển dời…………………………………………4

1.2 Xác suất chuyển dời cho nhiễu loạn hằng số…………… 5
1.3 Xác suất chuyển dời cho nhiễu loạn điều hòa…………….7
B. PHẦN BÀI TẬP……………………………………………….11
Kết luận………………………………………………………… 20
Mục lục……………………………………………………………21
Học viên: Nguyễn Văn Hùng
21