ĐỀ_ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH(HAY)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
TỈNH BẮC NINH – NĂM 2010
MÔN TOÁN 8
( Thời gian làm bài 120 phút )
Bài 1: ( 4 điểm )
Số N có dạng
x y z
p q r
( p,q,r là các số nguyên tố. x,y,z là các số nguyên
dương ) và pq-r =3; pr-q = 9. Biết các số
; ;
N N N
p q r
tương ứng có ít ước số
hơn ước số của N là 20;12 và 15. Tìm N ?
Bài 2 : ( 3 điểm )
a, Cho các số a,b,c thoả mãn
( )
2
0, , 2b a b c c ac bc ab≠ + ≠ = + −
.
Chứng minh rằng
( )
( )
2
2
2
2
a a c
a c
b c

b b c
+ −
−
=
−
+ −
b, Cho đa thức
( )
4 3 2
axP x x x x b= + − + +
và
( )
2
2Q x x x= + −
. Tìm a và b
để đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x).
Bài 3 : ( 4 điểm )
a, Giải phương trình
( ) ( ) ( ) ( )
1 5 3 7 297x x x x− + − + =
b, Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) sao cho
3
1
x x
xy
+
−
là số nguyên dương.
Bài 4 :(4 điểm ) Cho a,b,c,d là các số dương . Chứng minh rằng :

0
a b b c c d d a
b c c d d a a b
− − − −
+ + + ≥
+ + + +
Bài 5 ( 5 điểm ) Cho tam giác ABC cân tại A có AB=AC=a ; BC=c . Đường
phân giác trong BD của tam giác ABC có độ dài bằng cạnh bên của tam giác
ABC . chứng minh rằng
( )
2
1 1 b
b a
a b
− =
+
.
………………… Giám thị không giải thích gì thêm………………………
ĐÁP ÁN
Bà
i
Nội dung Điểm
1
+Ta có
( ) ( )
3
1 6
9
pq r
p r q

pr q
− =

⇒ + − =

− =

- Vì
1 3 2, 5, 7 2 3 7
x y z
p p q r N+ ≥ ⇒ = = = ⇒ =
- Khi đó số các ước của N bằng (x+1)(y+1)(z+1)
- Số các ước tương ứng của
, ,
2 5 7
N N N
tương ứng là :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 ; 1 1 ; 1 1
1 1 1 1 1 20
1 1 1 1 1 12
1 1 1 1 1 15
x y z x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
+ + + + + +

+ + + − + + =

⇒ + + + − + + =


+ + + − + + =

-
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 20
1 1 12 2, 4, 3
1 1 15
y z
x z x y z
x y
+ + =

⇔ + + = ⇔ = = =


+ + =

- Vậy N=
2 4 3
2 5 7 857500=
1
1
1

1
2 a, Ta có

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2
2 2
2 2
a a c a c c a c
a c ac bc ab a c a c b c a
+ − = + − + − =
+ − + − + − = − − +
- Chứng minh TT :
( ) ( ) ( )
2
2
2b b c b c b c a+ − = − − +
- Suy ra dpcm
b,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
1 0
1 2
2 0
1 1
2 4 2

P
Q x x x p x Q x
P
a b a
a b b
=

= − + ⇒ ⇔

− =


+ = − =
 
⇔ ⇔
 
− + = − =
 
M
1
0,5
0,5
1
3 a. PT đã cho
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
2

4 5 4 21 297
4 32 4 6 0
4 32 0 4
8
4 6 0
x x x x
x x x x
x x x
x
x x
⇔ + − + − =
⇔ + − + + =

+ − = =

⇔ ⇔


= −
+ + =


0,5
1
Vậy nghiệm của PT là x=4; x=-8
b, Ta có
( )
( ) ( )
( )
( )

( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
3
2
2 2
1 1 ; ; 1 1
1
1 1 1 1 1
1 1
1
x x
Z x x xy x xy
xy
x xy x xy xy
x x y xy x y xy
x y z xy z Z
+
+
+
∈ ⇒ + − − =
−
⇒ + − ⇒ + + − −
⇒ + − ⇒ + −
⇒ + = − ∈
M
M M
M M
Ta có PT x+y+z=xyz.

Do vai trò x,y,z như nhau , giả sử
{ }
2
3 3
1;3 1;2;3
x y z xyz x y z x yz z
z yz y
≥ ≥ ⇒ = + + ≤ ⇒ ≥ ≥
⇒ = ≥ ⇒ ∈
- Nếu y=1 thì x+2=x ( loại)
- Nếu y=2 thì x=3
- Nếu y=3 thì x=2 ( loại vì
x y≥
).
Vậy (x,y,z)=( 3;2;1) và các hoán vị của nó.
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
4 VT=
( ) ( )
( ) ( )
4
1 1 1 1
4
4 4
. . 4 0
a c b d c a d b
b c c d d a a b

a c b d
b c d a c d a b
a c b d
a b c d a b c d
+ + + +
+ + + −
+ + + +
   
= + + + + + −
 ÷  ÷
+ + + +
   
≥ + + + − =
+ + + + + +
Dấu = xảy ra khi a=b=c=d
1
1
1
1
5
A
H

b D

B a C
-Vẽ đường cao BH suy ra AH=AD/2
- Do BD là phân giác trong của tam giác ABC
( )
2

1
DA b DA DC b b
DA
DC a b a a b a b
= ⇒ = = ⇒ =
+ +
-Tam giác HAB vuông tại H
( )
2
2 2 2 2 2
2
4
AD
AB BH AH BH b⇒ = + ⇒ = −
-TT ta có
( )
2
2
2 2 2 2
. 3
2 4
AD AD
BH a b a b b AD
 
= − − = − + −
 ÷
 
Từ (1),(2) và (3) ta có
( ) ( )
( )

2
2
2
1 1
.
b b
b a b a b b
a b b a
a b
− + = − ⇔ − =
+
+
0,5
1
1
1
1,5