đề tuyển sinh chuyên toán 09 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÂM ĐỒNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 1 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
Ngày thi : 20 tháng 6 năm 2009
Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (1,5 đ) Rút gọn biểu thức P =
⇔
.
Câu 2 (1,5 đ) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn
( ) ( )
2 2
2009 2009 n
10 25 10 25 10+ − − =
.
Câu 3 (1,5 đ) Giải phương trình x
6
+ 19x
3
– 216 = 0.
Câu 4 (1,5 đ) Giải hệ phương trình
2 2
x y + xy = 120
x + y = 8




Câu 5 (1,5 đ) Hai đường tròn đồng tâm O có các bán kính là R và r (R > r). AB là một dây của đường

tròn (O ; R) đồng thời tiếp xúc với đường tròn (O ; r). Tính diện tích hình vành khăn giới hạn bởi hai
đường tròn đồng tâm nói trên biết AB = 20cm.
Câu 6 (1,5 đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =
2
x 2 5 x 6− +
.
Câu 7 (1,5 đ) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH (H
∈
BC),
µ
o
B 60=
.
Chứng minh AB + BH = HC.
Câu 8 (1,5 đ) Với mọi x, y là các số thực khác 0.
Chứng minh rằng không thể xảy ra đẳng thức (x
2
+ y
2
)
3
= (x
3
+ y
3
)
2
.
Câu 9 (1,5 đ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình xy + x – 2y = 5.
Câu 10 (1,5 đ) Cho a, b là các số thực thỏa mãn a > 3b và ab = 1.

Chứng minh
2 2
a 9b
2 6
a 3b
+
≥
−
.
Câu 11 (1,5 đ) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH (H
∈
BC).
Chứng minh AB + AC – BC < AH.
Câu 12 (1,0 đ) Cho hai phương trình : x
2
+ bx + c = 0 (1)
và x
2
+ cx + b = 0 (2)
Biết bc
≥
2 (b + c). Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.
Câu 13 (1,25 đ) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB, BC và CA lần lượt là 4, 5 và 6. Chứng
minh
µ µ
B 2C=
.
Câu 14 (1,25 đ) Cho nửa đường tròn đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn, bờ
là đường thẳng AB, kẻ tia tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn. Từ điểm E trên nửa đường tròn (E
≠

A,
E
≠
B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax ở C. Gọi H là hình chiếu của E lên AB, giao điểm của
CB và EH là M. Chứng minh M là trung điểm EH.
. . . . . . . HẾT . . . . . . .
HỌ VÀ TÊN THÍ SINH : Số báo danh
Chữ ký giám thị 1 : Chữ ký giám thị 2

Trang 1/1
Câu 1 (1,5 đ) Rút gọn biểu thức P =
⇔
.

P 2
=
(
)
2. 10 3 11 10 3 11− − +
0.25
=
20 6 11 20 6 11− − +
0.25
=
( ) ( )
2 2
11 3 11 3− − +
0.5
=
11 3 11 3− − +

=
( ) ( )
11 3 11 3− − +
= –6 0.25
Suy ra P = –3
2
0.25
Câu 2 (1,5 đ) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn
( ) ( )
2 2
2009 2009 n
10 25 10 25 10+ − − =
.
( ) ( )
2 2
2009 2009
10 25 10 25+ − −
=
( ) ( )
2009 2009 2009 2009
10 25 10 25 10 25 10 25+ + − + − +
0.5
=
( )
2009
2.10 .50
=
2009
100.10
=

2011
10
0.5
Suy ra 10
2011
= 10
n

⇒
n =2011 0.5
Câu 3 (1,5 đ) Giải phương trình x
6
+ 19x
3
– 216 = 0.
Đặt t = x
3
ta có PT : t
2
+ 19t – 216 = 0 0.25
Lập và tính đúng
∆
= 1225 0.25
Tìm được t
1
= 8 ; t
2
= –27 0.5
Suy ra x
1

= 2 ; x
2
= –3 0.5
Câu 4 (1,5 đ) Giải hệ phương trình
2 2
x y + xy = 120
x + y = 8




Từ hệ đã cho suy ra xy = 15 0.25
Lập luận được x và y là nghiệm của phương trình X
2
– 8X + 15 = 0 0.25
Tìm được X
1
= 5 ; X
2
= 3 0.5
Suy ra (x,y) = (5 ; 3) hoặc (x,y) = (3 ; 5) 0.5
Câu 5 (1,5 đ) Hai đường tròn đồng tâm O có các bán kính là R và r (R > r). AB là một dây của
đường tròn (O ; R) đồng thời tiếp xúc với đường tròn (O ; r). Tính diện tích hình vành khăn giới
hạn bởi hai đường tròn đồng tâm nói trên biết AB = 20cm.
Gọi tiếp điểm của AB với (O ; r) là I.
Lập luận được tam giác AOI vuông ở I 0.25
Tính được IA

= 10cm 0.25
Viết được công thức S

VK
=
2 2
πR πr−
0.25
Lập luận đến S
VK
=
π
IA
2
0.5
Tính được S
VK
=100
π
cm
2
0.25
Câu 6 (1,5 đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =
2
x 2 5 x 6− +
.
Biến đổi đến Q = (x –
5
)
2
+ 1 0.5
Suy được Q
≥

1 hay giá trị nhỏ nhất của Q là 1 0.5
Xác định đúng giá trị của x =
5
để Q đạt giá trị nhỏ nhất 0.5
Trang 1/1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÂM ĐỒNG
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
Ngày thi : 20 tháng 6 năm 2009
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn : TOÁN
R
r
I
B
A
O
Câu 7 (1,5 đ) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH (H
∈
BC),
µ
o
B 60=
. Chứng minh AB +
BH = HC.
Lập luận được
AB + BH = AB + AB.cos60
o
= AB + AB.
1

2
=
3
2
AB 0.5
Lập luận được
HC = AC.cos30
o
= (AB.tg60
o
).cos30
o
0.5
= (AB.
3
).
3
2
=
3
2
AB 0.25
Kết luận AB + BH = HC 0.25
Câu 8 (1,5 đ) Với mọi x, y là các số thực khác 0.Chứng minh rằng không thể xảy ra đẳng thức (x
2
+ y
2
)
3
= (x

3
+ y
3
)
2
.
Giả sử (x
2
+ y
2
)
3
= (x
3
+ y
3
)
2
(với x khác 0, y khác 0)

⇒
x
6
+ y
6
+ 3x
2
y
2
(x

2
+ y
2
) = x
6
+ y
6
+ 2x
3
y
3
⇒
3x
2
y
2
(x
2
+ y
2
) = 2x
3
y
3
0.25

⇒
3(x
2
+ y

2
) = 2xy (vì x khác 0, y khác 0) 0.25

⇒
(x
2
– 2xy + y
2
) + 2(x
2
+ y
2
) = 0
⇒
(x – y)
2
+ 2(x
2
+ y
2
) = 0 (*) 0.5
Mặt khác, với x khác 0, y khác 0 suy được (x – y)
2
+ 2(x
2
+ y
2
) > 0 (**) 0.25
Phát hiện (*) và (**) mâu thuẫn suy ra đpcm 0.25
Câu 9 (1,5 đ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình xy + x – 2y = 5.

Từ PT đã cho suy ra x = 2 +
3
y + 1
0.5
Lập luận được y + 1
∈
{–1 ; 1 ; –3 ; 3} 0.25
Suy ra y
∈
{–2 ; 0 ; –4 ; 2} 0.25
Tìm được nghiệm nguyên (–1 ; –2), (5 ; 0), (1 ; –4), (3 ; 2) 0.5
Câu 10 (1,5 đ) Cho a, b là các số thực thỏa mãn a > 3b và ab = 1.
Chứng minh
2 2
a 9b
2 6
a 3b
+
≥
−
(*)
Lập luận được BĐT (*)
⇔
( )
2 2
a 9b 2 6 a 3b+ ≥ −
( vì a – 3b > 0) 0.25

⇔
( )

2 2
a 6ab 9b 2 6 a 3b 6ab 0− + − − + ≥
0.5

⇔
( ) ( )
2
a 3b 2 6 a 3b 6 0− − − + ≥
(vì ab = 1) 0.25

⇔
( )
2
a 3b 6 0− − ≥
(đúng) 0.25
Vậy BĐT (*) đúng (đpcm) 0.25
Câu 11 (1,5 đ) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH (H
∈
BC).
Chứng minh AB + AC – BC < AH.
Lập luận được AB
2
+ AC
2
= BC
2
, AB.AC = AH.BC 0.25
Ta cần chứng minh AB + AC < AH + BC (*) 0.25
Thật vậy (*)
⇔

(AB + AC)
2
< (AH + BC)
2
0.25
(vì AB + AC > 0, AH + BC > 0)
(*)
⇔
AB
2
+AC
2
+2AB.AC < AH
2
+BC
2
+2AH.BC 0.25

⇔
BC
2
+ 2AH.BC < AH
2
+ BC
2
+ 2AH.BC 0.25

⇔
0 < AH
2

(đúng) Suy ra đpcm

0.25
Trang 1/1
A
B
H
C
C
H
A
B
60
o
Câu 12 (1,0 đ) Cho hai phương trình : x
2
+ bx + c = 0 (1) và x
2
+ cx + b = 0 (2)
Biết bc
≥
2 (b + c). Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.
Xét PT (1) ta có
∆
1
= b
2
– 4c, xét PT (2) ta có
∆
2

= c
2
– 4b 0.25
Ta có
∆
1

+
∆
2

= b
2
+ c
2
– 4(b + c)
Theo đề 2(b + c)
≤
bc
⇔
– 4(b + c)
≥
–2bc 0.25

⇔
b
2
+ c
2
– 4(b + c)

≥
b
2
+ c
2
–2bc

⇔
∆
1

+
∆
2

≥
(b – c)
2

≥
0 0.25
Suy được tồn tại
∆
1

≥
0 hoặc
∆
2

≥
0, từ đó ít nhất một trong hai phương trình
đã cho có nghiệm 0.25
Câu 13 (1,25 đ) Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB, BC và CA lần lượt là 4, 5 và 6. Chứng
minh
µ µ
B 2C=
.
Kẻ phân giác BD (D
∈
AC)
⇒
AD DC AD+DC AC 6 2
= = = = =
AB BC AB+BC 4+5 9 3
0.5
Chứng minh được
DAB∆
đồng dạng
BAC∆
(c.g.c) 0.25
⇒
·
µ
ABD C=
0.25
Suy ra được
·
µ
ABC 2C=

(đpcm) 0.25
Câu 14 (1,25 đ) Cho nửa đường tròn đường kính AB, trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn,
bờ là đường thẳng AB, kẻ tia tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn. Từ điểm E trên nửa đường tròn
(E
≠
A, E
≠
B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax ở C. Gọi H là hình chiếu của E lên AB,
giao điểm của CB và EH là M. Chứng minh M là trung điểm EH.
Gọi giao điểm của tia BE và tia Ax là D, suy ra
được tam giác DEA vuông ở E 0.25
Chứng minh được CD = CA = CE 0.25
Chứng minh được
EM MH BM
= =
DC CA BC
0.5
Suy ra được EM = MH (đpcm) 0.25
Chú ý: Nếu HS giải đúng bằng cách khác thì giám khảo phân bước tương ứng để cho điểm.
HẾT
Trang 1/1
⇔
M
D
C
H
x
E
O
B

A