Chuyen de Bat Phuong trinh

Bất phơng trình
Giải bất ph ơng trình không chứa tham số
Muốn giải một bất phơng trình bậc cao, về cơ bản chúng ta vẫn phải tìm cách:
a) Đa vế trái của bất phơng trình (vế phải của bất phơng trình là 0) về dạng tích, thơng của
các nhị thức, tam thức bậc hai (cách làm tơng tự nh ở mụcI).
b) Dựa vào cách đặt ẩn phụ ( các dạng tơng tự nh ở mục I) để đa về bất phơng trình bậc hai
quen thuộc.
Ví dụ 1:
Giải các bất phơng trình sau

9 5
)
2
a x
x
+p

5
) 6b x
x
+ p
Giải:
)a

2 2 2
9 5 5 9 2 9 10
0 0
2 2 2
x x x x
BPT
x x x

+ + +
f fp

(*)
Xét
2
2 9 10x x +

5
0 2;
2
x x= = =

2 0 0x x= =
Ta có bảng xét dấu :
2
5
0 2
2

2 0 * *

2 9 10 * 0 0

x
x
x x
+
+ + +
+ + + +

(*) 0 0VT + +P
Xem bảng xét dấu ta có nghiệm của bpt là:
5
(0;2) ( ; )
2
x +
)b

2
6 5
0
x x
BPT
x
+
p

(**)
Xét
2
6 5 0 1; 5x x x x + = = =
Mẫu
0 0x x
= =
Ta có bảng xét dấu:
2
0 1 5
0 * *
5 6 * 0 0

(**) 0 0
x
x
x x
VT
+
+ + +
+ + + +
+ +P
Xem bảng xét dấu ,vậy nghiệm bpt
(**)
là
( ;0) (1;5)x

Bài tập t ơng tự : Giải bất phơng trình sau

4 3 2
8 3 32 4 0x x x x +
H ớng dẫn :
Phân tích vế trái
BPT
đã cho về dạng tích của các nhị thức , tam thức bậc 2
Cách 1: Tách nhóm các số hạng sao cho hợp lý
Ta có:
4 3 2 4 2 3 2
8 3 32 4 4 8 32 4x x x x x x x x x + = + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
4 8 4 4 4 8 1x x x x x x x x= + = +

Cách 2:Xét nghiệm của đa thức
4 3 2
( ) 8 3 32 4g x x x x x= +
, nếu có nghiệm hữu tỷ
p
x p
q
=
là
ớc (kể cả âm ) của
4;q
là ớc của
1


nghiệm hữ tỷ nếu có của
( )g x
chỉ có thể là
2; 4
. Dùng
lợc đồ Hoocne ta thấy
2x =
, và khi đó chia
( )g x
cho
( ) ( )
2 2x x +
ta đợc
( ) ( )
( )

2
( ) 2 2 8 1g x x x x x= + +
Cách 3: Dùng phơng pháp hệ số bất định
3 11
VD T
, ta cũng đa đợc
( ) ( )
2 2
( ) 4 8 1g x x x x= +
.
Vậy
( ) ( )
2 2
4 8 1BPT x x x +
0
Ta có bảng xét dấu:
2
2
2 4 15 2 4 15
4 0 * 0 *
8 1 * 0 * 0
0 0 0 0
x
x
x x
VTBPT
+ +
+ + +
+ + + +
+ + +

Vậy nghiệm của
(
]
)
: ; 2 4 15;2 4 15;BPT x

+ +


Ví dụ2:
Giải bất phơng trình

4 4
( 3) ( 5) 4 (1)x x+ + +
Giải:
Đặt
3 5
4 4
2
t x x x t
+
= + = + =
(1)
trở thành:
( ) ( )
4 4
1 1 4t t + +

4 2
6 1 0t t +

2
2
3 10 ( )
3 10
t t
t





+


Từ
( )
2
2
3 10 4 10 3t x + +

2
8 19 10 0
4 10 3
4 10 3
x x
x
x
+ + =

+

Vậy nghiệm của bpt đã cho là
4 10 3; 4 10 3x x + +
Ví dụ 3:
Giải bất phơng trình sau

4 3 2
2 21 74 105 50 0x x x x + + p

(2)
Giải:
Thấy
0x =
không thoả mãn
(2)BPT
2
0x f
, chia hai vế
(2)BPT
cho
2 2
2
25 5
0 (2) 2 21 74 0x x x
x x

+ + +
ữ ữ

f p
,
đặt
5
t x
x
= +
BPT
trở thành
2
2( 10) 21 74 0t t + p
2
9
2 21 54 0 6
2
t t t + p p p
Vậy ta có
9 5
2
5
6
x
x
x
x

+

+


p
p
1
5
(0;2) ( ; )
2
( ;0) (1;5)
VD
x
x

+






5
(1;2) ( ;5)
2
x
Kết luận nghiệm của BPT là

5
(1;2) ( ;5)
2
x
Ví dụ 4:
Giải bất phơng trình sau
4 2
14 24 8x x x +f

(4)
Giải:
( )
( )
2
2 2 2
(4) 14 2 24 8m BPT x m m x x m + + + +f

(4')
Xét
( )
2 2
( ) 14 2 24 8f x m x x m= + + +

( )
( )
( )
( ) ( )
2
2 3
2 3

2
' 144 14 2 8
144 112 14 16 2
32 14 16 2
1 4
f
m m
m m m
m m m
m m
= + +
= + + +
=
= +
Chọn
m
sao cho:
' 0
14 2 0
f
m
=



+

f
chọn
1m =

Khi đó
(4')
trở thành:
( )
( )
2
2
2
1 4 3x x+ f

( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
2
2
1 4 3 1 4 3
4 4 4 2 0
2 4 2 0
2
4 2 0
2
; 2 6 2 6;
x x x x
x x x x
x x x

x
x x
x
x
+ + + +
+ +
+




+






+ +


f
f
f
f
Vậy nghiệm của
BPT
đã cho là:
( ) ( )
( )

; 2 6 2 6; 2 2;x + +
Bài tập t ơng tự:
Giải BPT sau ( tham số
0a
)

3 4 2 2
6 9 3 0a x a x x a+ + +

(4'')
H ớng dẫn :
* Nếu
0 (4 '') 3a x=
*Nếu
0a f
, nhân hai vế của
(4'')
với
4 4 3 2 2
(4'') 6 9 3 0a a x a x ax a a + + +
Đặt
t ax BPT=
trở thành:
4 2 2
6 9 3 0t at t a a+ + +

( )
2 2 4
9 3 2 1 0a t a t t + + +

(4''')
Xét
( ) ( )
2
2 4
9 2 1 4.9
a
t t t = +
( )
( )
2
2
9 4 4 1 9 2 1t t t= + + = +
, vậy
(4''')VT
có hai nghiệm đối với ẩn
a
là:
2 2
1
;
3 3
t t t t
a a
+ + +
= =

( ) ( )
2 2
2 2

1
(4''') 9( )( ) 1 3 3
3 3
t t t t
VT a a t t a t t a
+ + +
= + = + + + +


Thay
t ax=
, ta có
(4''')
trở thành:
( ) ( )
2 2 2
3 3 1 0ax x a x ax a + + + +
Mặt khác ta có
( )
2 2
3 1 0a x ax a x+ + + f

2
(4'') 3 0ax x +
Đáp số :
* 0 (4 '') 3a x=

1 1 1 12 1 1 12
*0 (4'') ;
12 2 2

a a
a x x
+
p p


1
* (4 '')
12
a x R

II.Bất phơng trình chứa tham số, vấn đề tập nghiệm của
bất phơng trình
Cơ sở lý thuyết:
*
2
0ax bx c+ + f

( 0)a
vô nghiệm
2
0,ax bx c x R + +

0
0a

p
*
2
0 ( 0)ax bx c a+ + p
vô nghiệm
2
0,ax bx c x R + +

0
0a





f
*Cho bất phơng trình:
2
0 (1)ax bx c+ + f
. Điều kiện cần và đủ để
(1)BPT
đợc thoả mãn với
x E
là:
E X
, với
X
là tập nghiệm của
(1)BPT
,( Tập

E
cho trớc có thể là:
( )
[
) ( ) ( )
; ; ; ; ; ; ;

+ +
)
Ví dụ1: Cho tam thức:

( ) ( )
2
( ) 1 2 1 2 1f x m x m x m= + +
Xác định
m
sao cho:
)a
Bất phơng trình
( ) 0f x p
vô nghiệm;
)b
Bất phơng trình
( ) 0f x
có nghiệm.
Giải:
1
)* 1: ( ) 4 1 0
4
a m f x x x= + fp p

Vậy
1m =
không thoả mãn đều kiện bài toán.
*
( ) ( ) ( )
2
2
1: ' 1 1 2 1 5m m m m m m = + = +
( ) 0f x p
vô nghiệm
( ) 0,f x x R

2
' 0
5 0
5
0
1 0
m m
m
a
m


+

f
f
)b
Để xác định
m
sao cho bất phơng trình
( ) 0f x
có nghiệm , ta giải bài toán:''Xác định
m

sao cho
( ) 0f x
vô nghiệm''
*
1
1: ( ) 0 4 1 0
4
m f x x x= +
Vậy
1m =
không thích hợp.
*
1:m
Ta có:
( ) 0f x
vônghiệm
( ) 0,f x x R p

2

'
5 0
0
0
1 0
o
m m
m
a
m


+






p
p
p
p
p
Tóm lại, điều kiện để
( ) 0f x
vô nghiệm là
0m p
.
Vậy, điều kiện để

( ) 0f x
có nghiệm là
0m
Bài tập t ơng tự : Với những giá trị nào của
m
thì :

2
2
3 5
1 6,
2 1
x mx
x R
x x
+

+
p

(1)
H ớng dẫn:
Để ý thấy
2
2 1 0x x + f
do
2 0
9 0
a =

=

f
p
Vậy
( )
2 2 2
(1) 2 1 3 5 6 2 1x x x mx x x + + +p

( )
( )
2
2
( ) 1 4 0
(1')
( ) 9 6 1 0
f x x m x
g x x m x

= + +



= +


f
Hệ
(1')

có nghiệm với
1 0, 0
9 0, 0
f
g
x R








f p
f
Đáp số:
0 5m p
Ví dụ 2:Cho bất phơng trình:
2
3 4 0mx x m + + p

(2)
)a
Tìm
m
để bất phơng trình
(2)
đợc thoả mãn với
0x f

.
)b
Tìm
m
để bất phơng trình
(1)
có nghiệm
0x f
Giải:
)a
Cách giải1: Phơng pháp tam thức bậc hai.
Gọi X là tập nghiệm của
(1)BPT
.Ta tìm
( )
: 0; (*)m X+
+
0m f
không thích hợp.
+
4
0 : (2) 3 4 0
3
m x x= + fp
4
;
3
X

= +

ữ

, không thoả mãn
(*)
+
0m p
:
( ) ( ) ( )
9 4 4 2 1 2 9m m m m = + = +
Xét dấu

và
a
:
1
0
9
: (*)
0
2
TH m X R
a



=


p
p

p
thoả mãn
9 1
0
2 2
0 0
* 0 *
m
a

+
+ +
+ +
P
( ) ( )
2 2 1
0
9
: 0 0 ; ;
0
2
TH X x x
a



= +


p

p
2 1
(*) 0x x

0
9
0 4
2
0
P m
S









.
Tổng hợp các kết quả trên, ta đợc:
4m
.
Cách giải 2: Phơng pháp hàm số:
Đối với học sinh đã đợc học kiến thức về khảo sát hàm số thì phơng pháp giải này là khá
hiệu quả ( Nếu nh việc cô lập đợc tham số từ bất phơng trình đã cho là đơn giản).
Cơ sở lý thuyết:
Giả sử hàm số
( )y f x=

có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên
D
,
f
liên tục trên
D
.
*
( )BPT f x m
có nghiệm
( )
x D
x D Max f x m


.
*
( ) , ( )
x D
BPT f x m x D Min f x m


.
*
( )BPT f x m
có nghiệm
( )
x D
x D Min f x m

.
*
( ) , ( )
x D
BPT f x m x D Max f x m


Trở lại bài toán ta có:
( )
2
(2) 1 3 4m x x + p

2
3 4
1
x
m
x


+
p
(do
2
1 0,x x R+ f
)
Yêu cầu bài toán
2
3 4

, 0
1
x
m y x
x

=
+
fp

(*)

Xét
( )
( )
( )
2
2
2
1
0;
3 8 3
3
' 0
1
3 0;
x
x x
y
x

x


= +
+ +

= =

+
= +


Ta có bảng biến thiên của hàm số
( )
2
3 4
, 0;
1
x
y x
x

= +
+
nh sau:
0 3
' 0
1
4 0
2

x
y
y
+
+
]Z
Xem bảng biến thiên ta có
1
4
2
y p
( )
, 0;x +
, vậy
(*)
đợc thoả mãn
4m

)b
Cách giải1( phơng pháp tam thức bâc hai - bạn đọc tự giải)
Cách giải2: Phơng pháp hàm số
Tơng tự câu
)a
Yêu cầu bài toán trở thành :
( )
2
3 4
0; :
1
x

x m y
x

+ =
+
p
(***)
Tơng tự nh câu
)a
ta có
1
4
2
y p
( )
, 0;x +
1
(***)
2
m p
.
Bài tập t ơng tự : Xác định
m
để bất phơng trình :
2 2
) 2 1 0a x x m +
,
[ ]
1; 2x
2

) 3 6 0, 0b x x m x + f
Đáp số:
)a
1m

hoặc
1m


) 0b m
Ví dụ 3: Tìm
( ) ( )
2 2
: ( , ) 0, ( 0)m f m x x px q ax bx c x R a= + + + +
Cách giải:
Gọi
2 2
( ) , ( )h x x px q g x ax bx c= + + = + +
.
( ) 0,f x x R x R
ta có
( ), ( )h x g x
không trái dấu với nhau.
0
0
0 (*)
1
f
g
a

o
a b c
p q














= =


f
f
Chú ý: Trong
(*)
quy ớc mẫu thức bằng
0
thì tử thức cũng bằng
0
Bài tập áp dụng: Tìm
m

để
( ) ( )
2 2
( ) 1 0,f x x x x x m x R= + + +
Giải:
Ta có
2
( ) 1 0,
h
h x x x m= + f
Bởi thế
( ) 0, ( )f x x R h x
và
2
( )g x x x m= + +
là tơng đơng.
Vậy
1 1
1
1 1 1
m
m= = =

Ví dụ 4: Cho
( )
2
2 2
( ) 6 4 2f x x a x x a= +
Tìm a để
( ) 0,f x x R

Giải:
Viết lại
2 2 4 2
1
( ) ( ) 2( 1) 6 4f x f a a x a x x x= = +
( )
2
' 2 1
a
x = = +
2 2
1 1 2
( ) 0 2 , 2 2f a a x x a x x = = + =
( ) ( )
1 1 2
( )f a a a a a =

( ) ( )
2 2
2 2 2 ( )x x a x x a f x= + =
Gọi
2 2
( ) 2 2 ; ( ) 2h x x x a g x x x a= = +
Ta thấy
( ) 0,
1 2
( ) 0,
( ) 0,
1 2
h x x R

f x x R
g x x R








' 0
3 0
3
' 0
1 0
h
g
a
a
a


+





+

Đáp số:
3a
Bài tập t ơng tự : Tìm
a
để
( )f x =
( ) ( ) ( ) ( )
4 3 2
2 4 5 3 1 2 0,x x a x a x a a x R + + + + +
H ớng dẫn :
Viết lại
( ) ( )
2 2
1
( ) ( ) 2 2 2 1f x f a x x a x x a= = = + +
Yêu cầu bài toán
0
7 3
0
7 3
4 2
5
4 2
1 2
3
2 1
h
g

a
a
a
a
a





















=

=

+