Viết chương trình vẽ hoàn thiện tuyến hình tàu thủy, chương 3 ppt

Chương 3:

NGHIÊN CỨU THUẬT TỐN
2.1. Bài tốn hàm hố đường hình lý thuyết tàu.
2.1.1.Giới thiệu về bài tốn hàm hóa.
Đã từ lâu, bài toán hàm hoá bề mặt vỏ tàu thuỷ được đặt ra và
giải quyết dưới góc độ khoa học. Các ý tưởng, cũng như những kết
quả của các thế hệ chuyên gia đặt và giải quyết bài toán hàm hố
bề mặt vỏ tàu thuỷ, có đầy đủ cơ sở để khẳng định tính phức tạp
đặc thù của bài toán . Mặc dầu đạt được những kết quả và bước
phát triển quan trọng, đặc biệt trong điều kiện hiện đại ứng dụng
cơng nghệ tin học, hiện trạng bài tốn đang tiếp tục đặt ra những
vấn đề cần được giải quyết hồn chỉnh hơn. Nếu có thể đồng ý với
nhận định rằng, mục đích cơ bản và sâu xa nhất của bài toán hàm
hoá phải gắn liền với cơ sở phương pháp thiết kế tối ưu đường hình
tàu thuỷ, thì trên thực tế khoa học - công nghệ thiết kế tàu thuỷ,
điều mong muốn như vậy vẫn chưa thành hiện thực .
Với tính phức tạp đặc biệt của đường hình tàu _ đối tượng của
bài toán hàm hoá _rõ ràng không thể hy vọng đạt tới những kết quả
vững chắc theo hướng lựa chọn các công thức đơn giản kiểu các đa
thức luỹ thừa, trong đó thiếu hẳn những xem xét cần thiết về những
mối quan hệ, có tác dụng xác lập và điều khiển các biểu thức xấp


xỉ, phù hợp với các đặc điểm đường hình tàu như những dữ liệu
đầu vào.
Thuật tốn spline có thể được đánh giá như một thuật toán
năng động nhất trong mục đích xấp xỉ các điểm thuộc bề mặt lý
thuyết tàu thuỷ, do đó đang được áp dụng trong hầu hết các phần
mềm tính tốn, và cả thiết kế. Tuy vậy, về thực chất, biểu thức
thông dụng nhất cho các spline có dạng parabol bậc 3, cũng thuộc

nhóm các phương pháp lợi dụng các dạng cơng thức tốn thích
hợp, chỉ có thể đáp ứng tốt các mục đích tính tốn các yếu tố hình
học tàu, hoặc cùng lắm vẽ các đường hình tàu theo các điểm cho
trước, mà khơng đáp ứng một cách trực tiếp và chủ động các mục
đích thiết kế.
Đối với lý thuyết biến đổi phân thức tuyến tính, trên cơ sở các
dạng hàm thích hợp được biến đổi, theo các phương pháp xác định,
về dạng đáp ứng được những yêu cầu xấp xỉ đường hình tàu. Việc
tìm kiếm các quan hệ hàm, vừa cho phép thực hiện biến đổi toán
học thuận lợi, lại liên hệ được với các đặc điểm mang tính khách
quan, và mn hình mn vẻ của bề mặt vỏ tàu, là rất khó khăn,
địi hỏi trước hết ở trình độ tốn học cao, và ngay cả khi đó, khó
tránh khỏi sự áp đặt chủ quan từ phía người thiết kế.
Lý thuyết về các tham số điều khiển, theo ý tưởng chủ đạo cuả
V.A. Côvaliep, phải được đánh giá là bước phát triển đáng kể nhất
trong q trình giải quyết bài tốn đặt ra. Biểu thức hàm hố tìm


như nghiệm của bài toán điều kiện biên, trên cơ sở các phương
trình vi phân, phản ảnh chính xác các đặc điểm đường hình tàu, có
bản chất khoa học rõ rệt. Đặc biệt trong đó , những đặc điểm hình
học có ý nghĩa quan trọng quyết định đối với dáng điệu đường
cong _ đối tượng hàm hoá, được lựa chọn sử dụng như các tham số
điều khiển đối với các biểu thức xấp xỉ, phải được đánh giá như
một giải pháp hiệu quả cao.
2.1.2.Mơ hình tốn mới hàm hố ĐHLT tàu thuỷ
Bài toán về hàm xấp xỉ được PGS.TS NGUYỄN QUANG
MINH đề xuất trong bài tốn hàm hố đường hình lý thuyết tàu
thuỷ, mơ hình được xây dựng như sau :
Bài toán hàm hoá bề mặt lý thuyết tàu thuỷ là mơ hình xấp xỉ

3D, với những điều kiện biên cơ bản, xác định với từng loại đường
cong khác nhau, như các mặt đường nước, mặt cắt ngang, các
đường phân bố diện tích, thể tích, hoặc có thể mở rộng là đường
phân bố momen, cũng như đối với toàn bộ bề mặt lý thuyết tàu,
như một hệ thống hoàn chỉnh.
Tuy nhiên tiếp cận bài tốn bằng mơ hình 3D, trong nhiều
trường hợp, có thể làm cho bài tồn trở nên phức tạp.
Trong khi đó, kỳ vọng của bài tốn hàm hố đường hình lý
thuyết tàu _ một kiểu đường hình toán học, các tham số điều khiển
như vậy phải được quyết định bằng phương pháp toán và là các


nghiệm duy nhất của bài toán thiết kế tàu, với các điều kiện đầu
vào xác định.
Với phương bài toán như vậy, có lẽ hiệu quả hơn cả là đưa về
mơ hình bài tốn phẳng, đặt vấn đề tìm biểu thức xấp xỉ một đường
cong phẳng bất kỳ, thuộc đường hình tàu thuỷ, mà những đặc trưng
chủ yếu được phản ánh trên sơ đồ hình II.3. Bao gồm các nhánh:
đường cong hoặc lồi (cong lên), hoặc lõm (cong xuống) hoặc lồi
_lõm, lõm_lồi, với nhiều nhất 1 điểm uốn, liên tục đến đạo hàm
bậc một và đạo hàm bậc hai trong toàn miền xác định.

(a)

(b)

Hình II.1 Các đường hình tàu thuỷ đặc trưng
Hàm hóa chính xác một mặt cắt ngang, một mặt cắt dọc , một
mặt đường nước bất kỳ đồng nghĩa với việc hàm hố chính xác bề
mặt lý thuyết tàu hoàn chỉnh.

Ngồi những đặc trưng trực tiếp, như mơ tả trên hình vẽ, cần
đề cập đến những đặc trưng gián tiếp_khơng được đo đạt từ đường
hình mà chỉ có thể xác định qua tính tốn, chẳng hạn như diện tích
và trọng tâm của hình cong, giới hạn đường cong hàm hố với các
trục toạ độ_nếu không nghiệm đúng các giá trị của chúng, sẽ
khơng thể có một kết quả hàm hố đúng.
Đơn cử, hàm hoá một mặt cắt ngang với các điều kiện :
a) Toạ độ gốc z0nh : giao điểm giữa MCN đang xét với sống
chính và kích thước nửa rộng của tàu tương ứng y0nh , tuỳ thuộc
hình dạng đáy tàu, có thể gặp các trường hợp y0nh = 0 hoặc y0nh  0
.
b) Toạ độ thiết kế zt cho tuỳ ý, chẳng hạn đó là chiều chìm
thiết kế zt = T, hoặc độ cao mép boong zt = H, và kích thước nửa
rộng tương ứng yt = ytk (T) hoặc
yt = ytk(H)
c) Góc nghiêng của tiếp tuyến y’(z0nh) với MCN tại gốc
d) Góc nghiêng của tiếp tuyến y’(zt) với MCN tại zt
e) Các kích thước nửa rộng của tàu đo tại các độ cao, chẳng
hạn theo các MĐN tương ứng yinh(zinh) trong trường hợp mặt cắt
ngang hàm hoá theo toạ độ các điểm. Đối với trường hợp hàm hố
mặt cắt ngang theo các thơng số hình học xác định, thay vì toạ độ
điểm, có thể chọn thơng số này là diện tích mặt cắt ngang (h)
trong phạm vi chiều cao tính tốn h và các momen diện tích theo


các trục moz ,moy , tương ứng là hệ số diện tích mặt cắt ngang 
= (h)/ hyt và các toạ độ trọng tâm của diện tích E của mặt cắt
ngang zE = moy/ , yE = moz /.

Ngoài các điều kiện có nguồn gốc hình học như thế cịn có
các điều kiện ràng buộc về mặt tốn học, chẳng hạn:
f) Điều kiện về tính liên tục đến đạo hàm bậc nhất y’(z) và
đạo hàm bậc hai y”(z) của biểu thức tốn trong tồn miền xác định,
tương ứng với tính liên tục có trong bề mặt vỏ tàu.
g) Điều kiện về tính biến đổi đều y’(z) >0, tương ứng với các
đặc điểm hình dáng thn đều theo các vật thể gọi là thuỷ khí động
lực học; càng lên cao từ đáy và càng dịch chuyển từ mũi và đuôi
vào giữa tàu thì khơng gian tàu càng mở rộng.
h) Điều kiện về vị trí và số lượng các điểm uốn. Các đường
hình tàu nói chung đặc biệt đường hình các MCN thơng thường là
đường cong đơn điệu hoặc có nhiều nhất một điểm uốn, tại đó đạo
hàm bậc hai y”(z) đổi dấu.
Z
MB
ytt

ÑN6
ÑN5



E

ÑN4
Z
Z

ÑN2
ÑN1

0

Z

Zm

tt

ÑN3

0

y


Hình II.2. Mơ hình tốn hàm hố đường hình mặt cắt ngang
tàu thuỷ.
Từ kinh nghiệm tổng quan đã rõ, xấp xỉ đường hình các
MCN tàu thuỷ, theo trình bày trên đây, có thể chọn hàm cơ sở,
được viết tổng quát dưới dạng:
n

yi   a k z ik

(2.1.1)

0

Trong đó zi = z - z0, z0  z

 zt

, k = 0, 1,2, … , n.

Mặt khác cũng đã có đầy đủ các thông tin về ứng dụng hàm
cơ sở, như đã nhận định sơ bộ ở trên. Chẳng hạn, thông thường bậc
của biểu thức xấp xỉ nhận được có thể cao, thêm vào đó trong các
biểu thức nghiệm thiếu vắng các thơng số hình học đặc trưng, có
vai trị như những thơng số điều khiển…Nhằm chiếu cố cho mục
đích sâu xa và căn bản nhất của bài toán hàm hoá đường hình tàu,
khơng dừng lại ở các u cầu đồ hoạ, vẽ những đường cong theo
các điểm cho trước, mà là thiết kế tối ưu các đường cong đó, biểu
thức hàm cơ sở (2.1.1), có thể hiệu quả hơn, thay đổi về viết dạng:
n

yi   a k z ikm

(2.1.2)

0

Trong đó m là số dương, ngun hoặc khơng ngun. Có cơ
sở để nhận xét rằng việc áp dụng các luỹ thừa bậc không nguyên
làm đơn giản đáng kể giải quyết bài tốn theo mục đích cụ thể,
được đề cập ở trên.


Ngoài việc lựa chọn hiệu quả dạng hàm cơ sở, việc áp dụng
các điều kiện biên trong các mơ hình toán xấp xỉ rất cần được chú
ý. Cố gắng áp dụng đồng thời tất cả các điều kiện như vậy tất yếu

sẽ có cơ hội tốt nhất để đảm bảo độ chính xác của phép xấp xỉ,
song đồng thời có thể gây những trở ngại, có thể khơng cần thiết.
Về phương pháp toán, các điều kiện được chọn áp dụng trực
tiếp trong khi xác lập các hệ số ak và luỹ thừa m, xuất hiện như các
biến của bài toán hàm hoá trong biểu thức (2.1.2), thực chất được
coi là các tham số điều khiển. Áp dụng thêm một điều kiện biên
cho phép thành lập thêm một phương trình, xác định thêm một ẩn
số, và làm tăng thêm một số hạng trong các biểu thức nhận được.
Theo logic diễn biến như vậy, một mặt kết quả trong bài toán hàm
hoá có thể tăng lên, mặt khác có thể nảy sinh những trở ngại khơng
những chỉ cản trở, có khi cịn khơng vượt qua được, trong q trình
tìm kiếm các biểu thức nghiệm, mà cả trong quá trình áp dụng các
kết quả như vậy trong các mục đích thiết kế tàu, theo các yêu cầu
đầy đủ nhất đặt ra.
Nói tóm lại sự lựa chọn hợp lý các điều kiện biên, vừa phù
hợp với mơ hình tốn lựa chọn vừa đáp ứng các yêu cầu thực tiễn,
có ý nghĩa quan trọng và cần được chú ý thoả đáng.
Để vấn đề được đơn giản hơn, có thể nghĩ đến giải pháp thoả
mãn các điều kiện như vậy không phải đồng loạt, mà là từng bước,
với sự lựa chọn áp dụng hợp lý đối với chúng. Chẳng hạn thay vì


thực hiện các điều kiện buộc biểu thức hàm hoá phải đúng tại các
điểm cho trước thuộc đường cong yinh(zinh) có thể địi hỏi biểu thức
hàm hố nghiệm đúng các đại lượng thứ cấp như diện tích và
momen của nó theo các trục oy, oz. Cũng như vậy các điều kiện
về tính biến đổi đều, tính lồi tính lõm hoặc uốn sẽ không áp dụng
khi xác định bậc của đa thức luỹ thừa (2.1.2), mà để giải quyết các
vấn đề nảy sinh khác nhau, dù do những yêu cầu lập trình máy
tính, hoặc do các đặc điểm khu vực, như vùng mũi qủa lê, vùng

đuôi các tàu nhiều chân vịt…
Giả sử đầu tiên ta chọn 3 điều kiện là a), b), và e), điều đó
đồng nghĩa với thử chọn mơ hình tốn xấp xỉ dưới dạng đa thức
luỹ thừa (2.1.2), đến bậc 2m :
y  a1 z m  a 2 z 2 m

(2.1.3)

Với 3 tham số điều khiển, chứa trong đó thừa số bậc luỹ thừa m,
các hệ số a1, a2 như nhữngẩn số có thể xác định trên cơ sở hệ 3
phương trình dưới đây:
a0  a1h m  a 2 h 2 m  yt

a0 h 

a1h m1 a2 h 2 m1

 t
m  1 2m  1

h 2 a1h m2 a2 h 2 m2
a0


 moy
2
m  2 2m  2

(2.1.4)

Các ký hiệu trên (2.1.4) được chú dẫn ở trên, để dễ theo dõi chú ý
ở đây h là chiều cao tính tốn của mặt cắt, trong trường hợp đang
xét có thể hiểu đó là:
h = zt - z0nh
(2.1.5)
t , moytt tương ứng là diện tích tính tốn và mo men tĩnh của nó
theo trục oy, xác định theo cơng thức :
t 

ztt

 ydz

(2.1.6)

z 0 nh

moytt 

ztt

 yzdz

(2.1.7)

z 0 nh

Trong trường hợp khi đối tượng hàm hoá là đường cong,
được cho trước theo tạo độ các điểm yinh(zinh) các đại lượng (2.1.6)

và (2.1.7) chỉ có thể xác định gần đúng, mà việc lựa chọn hợp lý
các phép cầu phương đảm bảo độ chính xác tính tốn cần thiết có ý
nghĩa đặc biệt quan trọng cho kết quả của phép hàm hố.
Giải hệ phương trình (2.1.4) rất tiện lợi khi biến đổi về dạng:
a1 h m  a 2 h 2 m  ytt  y 0 nh

a1

hm
h 2m
 a2
A
m 1
2m  1

a1

(2.1.8)

hm
h 2m
 a2
B
m2
2m  2

Trong đó ký hiệu:
A

 tt  y 0 nh h

h

(2.1.9)


B

moytt  y 0 nh

h2
2

h2

Nghiệm của hệ phương trình (2.1.8) có thể tìm được dưới dạng các
biểu thức dưới đây:
m

a1 

 1,5( A  2 B)  2,25( A  2 B) 2  2( A  B )( A  4 B  y t )
2( A  B)

(m  1)(2m  1) A  y 0 nh  y t 
mh m

y tt  y 0 nh  a1 h m
a2 
h 2m

(2.1.10)

(2.1.11)

(2.1.12)

Chú ý mối quan hệ giữa diện tích t , mo men tĩnh moytt với
hệ số diện tích



và cao độ trọng tâm của diện tích đang xét có thể

viết :
A

 tt  y 0 nh h
 ytt   y 0 nh
h

(2.1.13)

Và
B

moytt  y 0 nh
h2

h2
2  y   y

tt
0 nh

(2.1.14)

Trong đó:


là hệ số diện tích giới hạn bởi đường hình MCN đang xét

   t / y tt h



là độ cao tương đối của trọng tâm phần diện tích nói trên

  moyt /  t h


Khi đó các biểu thức (2.1.10), (2.1.11) và (2.1.12) sẽ được viết thông qua các đại
lượng

 ,

về các dạng sau:
m

 1.5 y tt  (1  2 )  y 0 nh   
2 ytt  (1  2 )  y tt  (1   )

(2.1.15)

với
y 
y


2
  2,25 ytt  (1  2 )  y 0 nh   2  y tt  (1   )  0 nh  ( y tt   y onh )  4( y tt   0 nh )  y tt 
2 
2



Hoặc sau khi rút gọn sẽ được:

y 
y
1
 (1.5  3 )  (1.5  3 ) 2  2 (1   )  0 nh  (1  4 )  0 nh  
2  



m

y 
2 (1   )  0 nh 
2 


(2.1.16)

Trong đó:
y 0 nh  y 0 nh / y t

Ở đây

y 0 nh

ký hiệu kích thước nửa rộng của tàu ở điểm tận cùng dưới đáy (z0nh = 0

trong trường hợp y0nh =0, biểu thức (2.1.16) được thay đổi thành:
  (1  4 )  1
 (1.5  3 )  (1.5  3 ) 2  2(1   ) 




m
2(1   )

(2.1.17)

Khi kết cấu đáy tàu có dạng phẳng bằng hoặc phẳng nghiêng, để
phép tính được đơn giản, ln có thể chọn gốc toạ độ tính tốn
thích hợp sao cho luôn nhận được y0=0. Các biểu thức (2.1.13) và
(2.1.14) sẽ trở thành đơn giản hơn:

A

B

t
 y tt 
h
moyt
h2

(2.1.18)

 y tt 

Thay thế biểu thức (2.1.18) vào các biểu thức (2.1.11) và (2.1.12)
sẽ nhận được:
a1 

(m  1)(2m  1)   1y tt
mh m

y tt  a1 h m
a2 
h 2m

(2.1.19)

(2.1.20)

Các biểu thức (2.1.17), (2.1.19), (2.1.20) là lời giải của mơ

hình bài tốn xấp xỉ đường hình mặt cắt ngang tàu thuỷ, với sự lựa
chọn biểu thức xấp xỉ dưới dạng đa thức luỹ thừa bậc 2m.
Trong một điều kiện nào đó có thể yêu cầu nâng bậc của biểu
thức xấp xỉ , vì như đã được nhận xét ở trên, khi nâng bậc của đa
thức luỹ thừa tất yếu sẽ đòi hỏi phải thỏa mãn thêm các điều kiện
biên, tính điều khiển của biểu thức tốn để phù hợp hơn đối với
đường hình xấp xỉ được gia tăng, và do đó hiệu quả xấp xỉ sẽ được
cải thiện tương ứng. Tuy nhiên, đề tài này chỉ dừng lại ở việc
nghiên cứu và ứng dụng hàm xấp xỉ đến bậc 2m.
2.1.3 Thoả mãn đầy đủ các điều kiện kiện biên cũng như các
điều kiện đặc biệt đặt ra đối với bài toán hàm hoá đường hình
tàu thuỷ.


Các điều kiện gọi là biên, trong nghĩa cụ thể, phụ thuộc ở
tính chất của nhiệm vụ bài tốn. Ngồi ra các điều kiện a), b),
trong trường hợp xấp xỉ tốn học bề mặt lý thuyết một tàu nào đó
sẵn có, được cho chủ yếu là các điều kiện đầu tiên của e), đó là toạ
độ các điểm thuộc đường cong. Trong trường hợp bài tốn thiết kế
đường hình tàu mới, đó phải là các điều kiện sau của e)_ các thơng
số quan trọng khác như diện tích và các momen của diện tích ,
hoặc các đại lượng tương tự. Nếu đó có thể coi là các điều kiện cần
của phép xấp xỉ, thì đường lối giải quyết bài tốn hàm hố đường
hình mặt cắt ngang, trình bày ở trên đây, đã dựa trên chính việc lập
và giải quyết hệ phương trình đại số mà mỗi phương trình thoả
mãn một điều kiện như vậy.
Tuy vậy để chứng tỏ biểu thức (2.1.2) có thể áp dụng được
trong các bài tốn thiết kế tàu nói chung, cần xem xét sự thoả mãn
với các điều kiện còn lại e), f), g), h):

Xác định miền nghiệm của thừa số bậc luỹ thừa m, như đã rõ qua phân tích ở trên
có thể nhận xét rằng, nó khơng phụ thuộc vào kích thước cụ thể
của mặt cắt ngang đối tượng hàm hoá, mà chỉ phụ thuộc vào đặc
điểm hình dạng, trực tiếp đó là hệ số diện tích (  ) và độ cao tương
đối của trọng tâm ( ). Hơn nữa hiển nhiên rằng, để m có nghiệm
chỉ cần đặt điều kiện sao cho biệt thức dưới dấu căn không âm:
  (1  4 )  1
  (1.5  3 ) 2  2(1   ) 
0




(2.1.21)


Giải bất đẳng thức (2.1.21) sẽ xác lập được điều kiện tồn tại các
giá trị của nghiệm m dưới dạng quan hệ giữa hai tham số đang xét:
 (1 

  f1 (  ) 

2
2
2
)  (1  ) 2  4(0,25  )



2

(2.1.22)

Khi bất đẳng thức (2.1.22) được thực hiện, thừa số bậc luỹ
thừa m xác định sẽ cho phép xác định các hệ số a1 , a2 theo các
biểu thức (2.1.19), (2.1.20)mục đích của bài tốn xấp xỉ tốn học
đường hình các mặt cắt ngang theo mơ hình đang được đề cập đã
bước đầu. Tuy vậy cũng còn những yêu cầu khác cần được làm rõ,
chẳng hạn những vấn đề về dáng điệu đường cong, tính lồi lõm và
điểm uốn.
Viết các đạo hàm bậc một và bậc hai của biểu thức (2.1.2).
y '  ma1 z m 1  2ma 2 z 2 m 1  mz m 1 (a1  2a 2 z m )

(2.1.23)

y ' '  m(m  1)a1 z m 2  2m(2m  1)a 2 z 2 m1  mz m1 (a1  2a 2 z m ) (2.1.24)

Có thể chỉ ra rằng các biểu thức (2.1.2), (2.1.23) và (2.1.24)
đảm bảo tính liên tục của hàm xấp xỉ, đồng thời của đạo hàm bậc
một và đạo hàm bậc hai trong toàn miền xác định [z0 , zt], phân
biệt các trường hợp:
- Khi a1a2 >0, a1 >0, a2> 0, đồ thị đồng biến trong toàn miền
xác định
- Khi a1a2 <0, a1 >0, a2> 0, đồ thị có cực trị tại :
1

a
y '  0  z '  ( 1 ) m
2a 2

(2.1.25)


Điều kiện dồng biến của đường hình mặt cắt ngang trong trường hợp đang xét đượ
viết dưới dạng:
1

a
z '  ( 1 ) m  H
2a 2

(2.1.26)

hoặc:



a1
 Hm
2a 2

(2.1.27)


0,8

f 2 ( 

0,7

f 1 ( 
0,6
0,5

0

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9



Hình II.3 Miền xác định của biểu thức (2.1.2) trong mặt phẳng 
Giải bất phương trình (2.1.27) trên cơ sở các biểu thức
(2.1.19) và (2.1.20) sẽ nhận được điều kiện ràng buộc để biểu thức
(2.1.2) có thể áp dụng trong mục đích hàm hố đường hình mặt cắt
ngang, viết dưới dạng quan hệ  (  ):
1 

2C (C  3)  4

C (2C  3) 

  f 2 ( ) 

với

(2.1.28)


C

 3(   1)  9(   1) 2  8 (   1)
4

(2.1.29)

Hai điều kiện (2.1.22) và (2.1.28) cùng với (2.1.29) cho miền xác
định:
f1 ( )    f 2 (  )

(2.1.30)

Như minh hoạ trên hình (II.5) trong mặt phẳng mỗi điểm
thuộc miền gạch chéo, giới hạn giữa hai đường cong, sẽ tương ứng
với một trường hợp đường hình mặt cắt ngang, đặt trong hệ toạ độ
liên kết Oxyz.