lập trình khai triển các tấm thép vỏ tàu theo thuật toán hàm hóa đường hình, chương 6 pps

Chương 6:
Phương pháp Spline ứng dụng
trong bài toán xấp xỉ
Đường cong spline đi qua n điểm cho trước mà mỗi đoạn là
nh
ững đường bậc ba độc lập có độ dốc và độ cong liên tục tại mỗi
điểm kiểm soát hay điểm nút.
Với n điểm ta có n-1 đường cong (tức là mỗi đường cong bậc
ba sẽ đi qua 2 điểm ), mỗi đường cong tồn tại 4 vectơ hệ số hay
4(n-1) hệ số cho n-1 đường cong và 2(n-1) điều kiện biên tức mỗi
đường cong được xác định bởi hai điều kiện bi
ên tại điểm đầu và
điểm cuối của đường cong trong đó có n-2 điều kiện về độ dốc
được xác định bởi phương tr
ình đạo hàm bậc nhất thay cho tiếp
tuyến tại điểm cùng n-2 điều kiện về độ cong được xác định bởi
phương tr
ình đạo hàm bậc hai tại các điểm nối giữa các đường
cong với nhau.
Hay nói cách khác thuật ngữ spline trong trường hợp này
dùng để chỉ phương pháp biểu diễn đường cong mềm thông qua
các đoạn cong tham biến bậc ba với các điều kiện tại các điểm nối.
Ở đây chỉ c
òn lại hai điều kiện cần phải được thỏa mãn đó là
phải đưa vào độ dốc hay vectơ tiếp tuyến tại hai điểm đầu và điểm
cuối của đường cong spline.
Việc đưa vào đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai tại các
điểm nối giữa các đường cong ở đây để đảm bảo cho đường cong
được li
ên tục và trơn đều tại mọi điểm.
Dùng phương pháp Spline như trên ta có thể xấp xỉ một

đường cong bất k
ì được cho bởi các điểm gián đoạn về những
đường cong bậc ba spline xác định. Từ đó có thể áp dụng chúng
vào nhiều mục đích khác nhau.
Bài toán xấp xỉ Spline cũng như các dạng liên đới tương tự
được nhiều tác giả ứng dụng và đạt được nhiều kết quả rất quan
trọng trong nhiều lĩnh vực đặc biệt là trong kỹ thuật.
Mặc dù vậy mô hình toán Spline chỉ khả dụng khi bề mặt xấp
xỉ được cho trước. Điều này trong mục đích thiết kế đường hình
tàu th
ủy, khả năng đáp ứng của thuật toán xấp xỉ Spline bị hạn chế
đáng kể.
 Cách thành lập các điều kiện biên trong phương
pháp Spline cụ thể như sau:
Một đường cong spline được cho bởi n điểm gián đoạn. Như
đ
ã nói ở trên ta sẽ có được n-1 đường cong bậc ba spline thành lập
nên đường cong đó, với 4(n
-1) hệ số cần phải xác định tức là cần
phải thiết lập được một hệ gồm 4(n-1) phương trình. Và các
phương trình này được xác định bởi các điều kiện biên .
T
ại mỗi diểm nối giữa các đường cong ta sẽ có 4 phương
trình gồm: 2 phương trình qua điểm đó và một phương trình đạo
hàm bậc nhất, một phương trình đạo hàm bậc hai tại điểm đó. Còn
l
ại hai điểm đầu và cuối của đường cong cần xấp xỉ, mỗi điểm thiết
lập được hai phương trình: một phương trình qua điểm và một
phương tr
ình tiếp tuyến (phương trình hệ số góc ).

Tóm lại ta có n điểm được xác lập bởi (n-1) đường cong với
(n-2) điểm nối. Tại các điểm nối có 4(n-2) phương trình và 4
phương trình tại hai điểm đầu và cuối của đường cong cần xấp xỉ.
 4(n-2) + 2 + 2 = 4(n-1) phương trình
 Phương trình bậc ba tổng quát có dạng:
Y
i
= k
oi
+ k
1i
x + k
2i
x
2
+ k
3i
x
3
(x, y) là các tọa độ điểm tương ứng của đường cong xấp xỉ.
Đường cong bậc ba thứ i: i = 1÷ (n
-1)
+ Đạo hàm bậc nhất :
Y
i
’
= k
1i
+ 2k
2i

x + 3k
3i
x
2
+ Đạo hàm bậc hai:
Y
i
’’
= 2k
2i
+ 6k
3i
x
Vi
ệc đảm bảo tính liên tục của đường cong đến đạo hàm bậc
nhất và đạo hàm bậc hai tại các điểm nối có thể dễ dàng đạt được
bằng cách đặt y
i
’
(j) và y
i
’’
(j) lần lượt là đạo hàm bậc nhất và đạo
hàm bậc hai tại điểm cuối của đường cong thứ i bằng với y
(i+1)
’
(j)
và y
(i+1)
’’

(j) là đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai tại điểm đầu
của đường cong i+1 (j là điểm nối giữa đường cong i và đường
cong i+1, (j=1÷n-2).
+ Phương trình đạo hàm bậc nhất tại điểm nối:
y
i
’
(j) = y
(i+1)
’
(j)
 k
1i
+ 2k
2i
x
j
+ 3k
3i
x
j
2
= k
1(i+1)
+ 2k
2(i+)
x
j
+ 3k
3(i+)

x
j
2
Phương trình đạo hàm bâc hai tại điểm nối:
y
i
’’
(j) = y
(i+1)
’’
(j)
 2k
2i
+ 6k
3i
x
j
= 2k
2(i+1)
+ 6k
3(i+1)
x
j
Từ hệ phương trình điều kiện biên nêu trên ta thiết lập được
một ma trận cấp 4(n-1) với ma trận biến là:
[X] = [ k
0i
k
1i
k

2i
k
3i
]
[A].X = [B]
[A], [B]: là các ma tr
ận hằng số
[X] = [A]
-1
.[B]
Khi n càng l
ớn thì ta sẽ có một ma trận A cấp rất lớn, bất tiện
trong việc lập trình trên máy tính. Vì vậy ta phải dùng phương
pháp dời trục tọa độ để chia nhỏ đường cong Spline thành các đoạn
cong với số điểm nằm trong một khoảng giới hạn nào đó. Khi đó
cấp của ma trận A sẽ giảm thuận lợi cho ciệc lập trình.
Như vậy nếu dùng phương pháp này trong việc lập trình sẽ
gặp một trở ngại thứ hai đó là: cứ dời trục tọa độ ta phải đi xác
y1
y2 y3
y4
y5
yn-2
yn-1
1
2
3
4
5
n-2

n-1
n
y'n-1
y'1
j
định hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó, khó có thể thực hiện
được. V
ì thế chúng tôi đã đi đến một phương pháp thứ hai cũng
dựa trên cơ sở của phương pháp thứ nhất như đã trình bày khá cụ
thể ở trên.
Cách thành l
ập các điều kiện biên của phương pháp cụ thể
như sau:
Đường cong Spline được cho bởi các điểm gián đoạn; ta sẽ
có (n-2) đường cong tức là mỗi đường cong bậc ba sẽ đi qua 3
điểm gián đoạn đ
ã cho. Ứng với
4(n-2) hệ số cần phải xác định và tương ứng với hệ 4(n-2)
phương trình cần được thiết lập dựa vào những điều kiện biên như
phương pháp một. Điểm nối ở đây được xác định theo nguy
ên tắc
chấp nối với mục đích giảm sai số, đảm bảo độ trơn đều cho đường
cong và độ chính xác cho phương pháp. Khi đó điểm giữa của
đường cong thứ i sẽ tr
ùng với điểm đầu của đường cong thứ i+1 tại
điểm nối. V
à số điểm nối lúc này sẽ là (n-3) ứng với (n-2) đường
cong. Tại vị trí các điểm nối ta cũng có được 4 phương trình như
phương pháp thứ nhất, ta vẫn lấy 1 phương tr
ình qua điểm và 1

phương trình tiếp tuyến (phương trình hệ số góc) tại điểm đầu tiên
c
ủa đường cong ( điểm góc ). Riêng đối với hai điểm cuối của
đường cong (n
-2), lúc này điểm kề cuối của đường cong này không
ph
ải là điểm nối nên ta chỉ lấy 2 phương trình qua điểm tại 2 điểm
đó.
Với phương pháp nêu trên có thể đi xấp xỉ một đường cong
về dạng spline bậc ba khá chính xác, mặc dù vẫn có sai số nhưng
rất nhỏ, khi ta chia khoảng cách của các đường cong bậc ba càng
nh
ỏ thì sai số càng ít. Và một điều rất quan trọng trong phương
pháp này là ta ứng dụng được thuật toán Spline trong tính toán các
đại lượng hình học hình cong phẳng, sẽ giải quyết rất nhiều vấn đề
về việc xác định các yếu tố hình học tàu thủy. Vì thời gian cho
phép nên đề t
ài chỉ ứng dụng trực tiếp thuật toán trên trong việc
tính tay đ
òn ổn định tày thủy.