Biến đổi đồng nhất

GV: Đặng Hải Giang – THCS Thị Trấn Cẩm Xuyên
ÔN TẬP BIẾN ĐỔI ĐA THỨC – PHÂN THỨC – CĂN THỨC
1) Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn: a
3
b
3
+ b
3
c
3
+ c
3
a
3
= 3.a
2
b
2
c
2
.
Tính giá trị biểu thức: M =
1 1 1
a b c
b c a
   
+ + +
 ÷ ÷ ÷
   
.
2) Cho a

2
+ b
2
+ c
2
= a
3
+ b
3
+ c
3
= 1. Tính S = a + b
2
+ c
3
.
3) Tìm 3 số x, y biết:
2 3 4
2 3 4
1 1 1
x x x
y y y
+ = + = +
4) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện:
2 2
1 1 1x y y x− + − =
Tính giá trị biểu thức Q = x
2
+ y
2

5) Cho
1 1 1
0
a b c
+ + =
. Tính giá trị biểu thức P =
2 2 2
ab bc ca
c a b
+ +
6) Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì
1 1 1
1
1 1 1x xy y yz z zx
+ + =
+ + + + + +
7) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn:
a b c b c a c a b
c a b
+ − + − + −
= =
Tính giá trị biểu thức: M =
1 1 1
b c a
a b c
   
+ + +
 ÷ ÷ ÷
   
8) Cho

2 2 2 2
x y a b
x y a b
+ = +


+ = +

. Chứng minh rằng:
2010 2010 2010 2010
x y a b+ = +
.
9) Cho a, b, c khác 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn:
1 1 1
a b c
b c a
+ = + = +
.
Tính giá trị biểu thức A =
1
abc
.
10) Cho x, y, z thỏa mãn: xyz = 1 và
1 1 1
x y z
x y z
+ + = + +
. Chứng minh rằng tồn tại hai
trong ba số là nghịch đảo của nhau.
11) Cho abc = 1 và

3 3 3
3 3 3
a b c b c a
b c a a b c
+ + = + +
. Chứng minh rằng trong ba số a, b, c phải có
một số bằng lập phương của số còn lại.
12) Cho a, b, c khác 0 và thỏa mãn:
1
a b c
b c c a a b
+ + =
+ + +
.
Tính giá trị biểu thức: Q =
2 2 2
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
.
13) Cho S
k
=
( ) ( )
2 1 2 1
k k
+ + −
, với k nguyên dương.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m, n ( m > n ) thì S

m+n
+ S
m – n
= S
m
.S
n
14) Cho
2 4 2 2 4 2
3 3
x x y y y x a+ + + =
. CMR:
2 2 2
3 3
3
x y a+ =
.
GV: Đặng Hải Giang – THCS Thị Trấn Cẩm Xuyên
15) Tính
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 3 3 4 99 100
S = + + + + + + + + +
.
16) Cho
3 3
9 4 5 9 4 5x = + + −
a) Chứng minh x là nghiệm của phương trình x
3

– 3x – 18 = 0.
b) Tính x.
17) Cho 900 số nguyên dương x
1
, x
2
, …, x
900
khác nhau và lớn hơn 1.
Chứng minh:
1 2 900
1 1 1
60
x x x
+ + + <
18) Chứng minh: A =
1 3 5 2 1 1
. .
2 4 6 2
2 1
n
n
n
−
<
+
,
, 1n N n∀ ∈ ≥
.
19) Chứng minh: A =

1 1 1
2; , 0
2 1 3 2 ( 1)
n N n
n n
+ + + < ∀ ∈ >
+
20) Chứng minh:
3 5 3 5
2 ;
2 2
n n
n
S Z n N
   
+ −
= + − ∈ ∀ ∈
 ÷  ÷
   
.
21) Có tồn tại hay không các số hữu tỷ x, y, z, t sao cho:
( ) ( )
2 2
2 2 5 4 2x y z t+ + + = +
.
22) Cho
( ) ( )
2 2
2010 2010 2010x x y y+ + + + =
. Tính x + y ?

23) Cho
( ) ( )
2 2 2 2
1 1 ; 1 1a xy x y b x y y x= + + + = + + +
( với xy > 0 ). Tính b theo a.
24) Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn
0
a b c
b c c a a b
+ + =
− − −
. Chứng minh rằng trong
3 số đã cho phải có 1 số âm và một số dương?
25) Cho 3 số x, y, z thỏa mãn:
2 2 2
3 3 3
1
1
1
x y z
x y z
x y z
+ + =


+ + =


+ + =


. Tính giá trị biểu thức: T =
4 4 4
x y z+ +
26) Cho 44 số tự nhiên a
1
, a
2
, , a
44
thỏa mãn:
2 2 2
1 2 44
1 1 1
1
a a a
+ + + =
. Chứng minh rằng trong
44 số đã cho tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau.
27) Chứng minh rằng:
1 3 6 6 6 5
6 27
3 6 6 6
− + + +
< <
− + + +
( trong đó, biểu thức chứa căn có n dấu căn đối với tử số và n – 1 dấu căn đối với mẫu số ).
28) Cho a, b, x, y thỏa mãn:
4 4
2 2
1

1
x y
a b a b
x y

+ =

+


+ =

Chứng minh rằng:
( )
2 2
*
2
;
n n
n
n n
x y
n N
a b
a b
+ = ∀ ∈
+