Đề thi ( Tham khảo)

Các bài tập rèn luyện kĩ năng tính toán
Bài 1: Phân tích các biẻu thức sau thành luỹ thừa bậc hai.
a)
8 2 15+
b)
10 2 21
c)
5 24+
d)
12 140
e)
14 6 5
f)
8 28
Bài 2: Phân tích ra thừa số :
a)
2 4 2 3 3
12 24 12x y x y x y+ +
b)
2
2
7 10x xy y +
c)
2
5 14x x
d)
2 2
2 4x xy y +
. e)
ab a
f)

2
a a
g)
5 6a a +
h)
6 8a a+ +
i)
ax by bx ay +
k)
ab b ab a b+ + +
Bài 3: Phân tích ra thừa số các biểu thức sau:
a)
1 3 5 15+ + +
b)
10 14 15 21+ + +
c)
35 14 15 6+
d)
3 18 3 8+ + +
Bài 4: Thực hiện phép tính:
a)
( )
28 2 14 7 7 7 8 + +
b)
( ) ( )
18 3 2 10 2 3 0, 4 +
c)
( )
15 50 5 200 3 450 : 10+
Bài 5: Giải các bất phơng trình:

a) 5(x 2) + 3 > 1 - 2(x
1)
b) 5 + 3x(x + 3) < (3x 1)
(x + 2)
c) 2x + (x 1) > x + 5
d)
1 1 5x x+ + >
e)
5 2 1 2
4 12
x x
>
f)
11 3 5 2
10 15
x x +
<
Bài 6: Với những giá trị nào của x thì giá trị của biểu thức
( )
3 1
2
8
x +
+
bé hơn giá trị của
biểu thức
1
3
4
x

Bài 7: Tìm các giá trị của x để:
a) x
2
2x + 5 có giá trị nhỏ nhất.x
b)
2
2
2 1
4 5
x x
x x
+
+ +
có giá trị nhỏ nhất.
c)
2
2
2 5
2 1
x
x
+
+
có giá trị lớn nhất.
d)
2
1
2 6x x+ +
có giá trị lớn nhất.

Bài 8: Giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu:
a)
1 3
4
2 2
x
x x

+ =

b)
8 1
2
7 7
x
x x

=

c)
2 2 2
5 5 25
5 2 10 2 50
y y y
y y y y y
+ +
=
+
Bài 9: Giải các phơng trình tích:
a) (x 7)(2x + 8) =

0
b) (x + 5)(x 7)(x + 8) =
0
c) (x
2
9)(x + 5)(x
2
+ 3) =
0
d) (x + 2)(x 5)(x
2
+ 2x +2) = 0
Bài 10: Giải các phơng trình chứ dấu giá trị tuyệt đối:
a)
5 2 3x =
b)
5 2 1x x =
c)
5 2 1x x =
d)
2
2 1 25x x + =
e)
2 2
6 9 4 4 1x x x x+ + = +
f)
1
5
x
x

+
=
g*)
1 1 10x x+ + =
h*)
(
)
2
5 3 2x + =
Bài 11: Giải các hệ phơng trình:
a)
4 2
8 3 5
x y
x y
+ =


+ =

b)
3
2 1
x y
x y
+ =


=

c)
2
2 2 0
2 0
x y
y x
+ =


=

d)
( )
2
2 3 3 5 0
5 0
x y x y
x y

+ =


=


e)
1 1
1
3 4
5

x y
x y

=




+ =


f)
1 3
1
2 1
2 3
1
2 1
x y
x y

+ =





=

h)
1
2 1
1
2 1
x y
x y
x y
x y

+ =





=



Bài 12: Giải các phơng trình bậc hai bằng cách hợp lí:
a) x
2
11x + 30 = 0 b) 5x
2
-17x +12 = 0 c) 3x
2
-19x - 22 = 0
d) 3x

2
-2x
3
- 3 = 0
e) x
2
x(1 +
2
) +
2
=
0
f) x
2
2(
3
- 1)x +
3
=
0
Bài 13: Giải các phơng trình sau:
a) 2x
4
7x
2
4 = 0 b) x
4
13x
2
+ 36 = 0

c) x - 3
x
+ 2 = 0
d) x
2
-
x
- 6 = 0
Bài 14: Giải các phơng trình sau:
a) 2x
3
x
2
+ 3x + 6 = 0 b) (x
2
+ x)( x
2
+ x + 1) = 6 c) x(x + 1)(x + 4)(x + 5) =
12
d) (x + 2)
4
+ (x + 4)
4
= 16 e) 2x
4
- 11x
3
+ 19x
2
- 11x +

2 = 0

f) 2(x
2
- 2x)
2
= 3x
2
6x +
9 = 0
g) (x + 1)
4
+ (x + 3)
4
= 2 h)2x
4
- 13x
3
+ 24x
2
- 13x +
2 = 0
Bài toán tổng hợp kiến thức và kĩ năng.
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a)
2 3 6 216 1
.
3
8 2 6

ữ
ữ


; b)
14 7 15 5 1
:
1 2 1 3 7 5


+
ữ
ữ


;
c)
5 2 6 8 2 15
7 2 10
+ +
+
; d)
5 3 5 3 5 1
5 3 5 3 5 1
+ +
+
+
Bài 2: Rút gọn biểu thức:

a)
1
:
a b b a
ab a b
+

với a, b > 0; a

b.
b)
1 1
1 1
a a a a
a a

+
+
ữ ữ
ữ ữ
+

; với a > 0, a

1.
Bài 3: Xét biểu thức:
3
1 2
x
P

x

=

a) rút gọn P.
b) Tính giá trị của P nếu
( )
4 2 3x =
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 4: Xét biểu thức
2
2
1
1
a a a a
A
a a a
+ +
= +
+
a) Rút gọn A.
b) Tìm a để A = 2.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 5: Cho biểu thức
3 2 2 3
3 2 2 3
a a b ab b
C
a a b ab b

+
=
+
a) Rút gọn C.
b) Tìm tỉ số giữa a và b sao cho
1
2
C =
.
Bài 6: Cho biểu thức:
2 2 2 2 2 2
1 :
a a b
D
a b a b a a b

= +
ữ


.
a) Rút gọn D.
b) Tính giá trị của D nếu
3
2
a
b
=
.
c) Tìm điều kiện của a,b để D < 1.

Bài 7: Cho biểu thức:
1 1
1
2 2 2 2
x
E
x
x x
= +

+
.
a) Rút gọn E.
b) Tìm giá trị của x để
1
3
E =
.
Bài 8: Xét biểu thức:
( )
2
1
2 2
.
1 2
2 1
x
x x
G
x

x x


+
=
ữ
ữ

+ +

a) Rút gọn biẻu thức G.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì G > 0.
c) Tìm giá trị lớn nhát của G.
Bài 9: Xét biểu thức
2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
H
x x x x
+ +
=
+
.
a) Rút gọn biểu thức H.
b) Tìm các giá trị của x để H < 1.
c) Tìm các giá trị của x

Z sao cho H

Z.

Bài 10: Xét biểu thức
( )
2
3 3
:
x y xy
x y
x y
I
x y
x y x y
+



=


+


.
a) Rút gọn I.
b) Chứng minh I

0
c) So sánh I với
I
.
Bài 11: Xét biểu thức:

1 2
1 :
1
1 1
a a
K
a
a a a a a

= +
ữ ữ
ữ ữ
+
+

.
a) Rút gọn K.
b) Tìm giá trị của a sao cho K > 1.
c) Tính giá trị cua K nếu
2008 2 2007a =
Bài 12: Xét biểu thức:
15 11 3 2 2
2 3 1 3
x x x
L
x x x x

= +
+ +
.

a) Rút gọn L.
b) Tìm các giá trị của x sao cho
1
2
L =
.
c) So sánh L với
2
3
.
Bài 13: Cho biểu thức:
3 2 2
1 :
1 2 3 5 6
x x x x
M
x x x x x

+ + +
= + + +
ữ ữ
ữ ữ
+ +

.
a) Rút gọn M.
b) Với giá trị nào của x để m < 0.
c) Tìm số m để các giá trị của x thoả mãn:
( )
( )

. 1 1 2M x m x+ = +
.
Bài 14: Cho biểu thức:
1 1 1 3 2
.
1 1
a a a a a a
N a
a a a a a a a

+ +

= +
ữ
ữ
ữ
+ +


.
a) Rút gọn N.
b) Với giá trị nào của a để
7N a= +
.
c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của a thuộc tập xác định ta đều có N > 6.
Bài 15: Cho biểu thức:
1 1 1 2
:
1
1 1 1 1

x x x
P
x
x x x x

+
= +
ữ ữ
ữ ữ

+ +

.
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi
7 4 3
2
x

=
.
Bài 16: Cho biểu
2 2
3 2
2 1 1 2
: 1
1 1 1
x x
Q
x x x x

+
=
ữ ữ
+ +

a) Rút gọn Q.
b) Tính giá trị của Q biết
8
5 3
x =
+
.
c) Tìm giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên.
Phơng trình và hệ phơng trình.
Bài 1: Cho đờng thẳng: 2x + m(y 1) = 4 (D).
a) Vẽ đờng thẳng (D) khi m = 1.
b) Xác định giá trị của m để đờng thẳng (D) song song với đờng thẳng y = -3x +
1 (D ).
c) Chứng minh rằng đờng thẳng (D) luôn đi qua một điểm cố định khi m thay
đổi.
Bài 2: Xét xem đờng thẳng (A
m
) có phơng trình: y = m(m 2)x + 3m + 3
và đờng thẳng (B
m
) có phơng rình: y = (m + 4)x + m + 1.
a) Với m = 1 hãy vẽ hai đờng thẳng (A
1
) và (B

1
) trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Với giá trị nào của m thì hai đờng thẳng (A
m
), (B
m
) song song với nhau.
Bài 3: Viết phơng trình đờng thẳng không đi qua gốc toạ độ:
a) Có hệ số góc bằng -2 và đi qua điểm M(2,5)
b) Đi qua các điểm M(2,5) và N(-1,11).
c) Đi qua điểm A(1,3) và song song với đờng thẳng y = -2x.
d) Đi qua điểm P(-1,2) và song song với trục tung.
e) Đi qua điểm Q(2,-3) và song song với trục hoành.
f) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3 và cắt trục hoành tại điểm có
hoành độ bằng 3
Bài 4: Cho hàm số y = 2x
2
(P) và y = m (D).
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên.
b) Với giá trị nào của m thì đờng thẳng (D) không cắt (P)? Cắt (P) tại một điểm
(Tiếp xúc (P))? Cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
c) Với m = 8 tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (D) và parabol (P) bằng ph-
ơng pháp đại số.
Bài 5: Cho hàm số y = x
2
(P) và hàm số y = 2x 1 (D).
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độvà xác định toạ độ giao
điểm của chúng.
b) Chứng minh (P) và (D) chỉ cắt nhau tại một điểm duy nhất.
Bài 6: Cho hàm số

2
4
x
y =
(P) và hàm số y = x + m (D).
a) Vẽ parabol (P) và xác định phơng của đờng thẳng (D).
b) Với giá trị nào của m thì đờng thẳng (D) không cắt parbol (P)? Tiếp xúc (P)?
Cắt (P) tại hai điểm phân biệt?
c) Chứng tỏ rằng đờng thẳng x = 2 cắt parabol tại một điểm duy nhất. Xác định
toạ độ giao điểm đó?
Bài 7: Cho hàm số
2
4
x
y =
và hàm số y = x + k .
a) Với giá trị nào của k đờng thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt?
b) Vẽ đồ thị và xác định toạ độ giao điểm của parabol và đờng thẳng khi k = -3.
Bài 8:
a) vẽ đồ thị (P) của hàm số y = 2x
2
.
b) Trên đồ thị (P) lấy điểm A có hoành độ x = 1 và điểm B có hoành độ x = 2.
Xác dịnh giá trị của m, n để đờng thẳng y = mx + n tiếp xúc với parabol (P) và song
song với AB.
Bài 9: Trong mặt phẳng toạ độ cho Parabol (P): y = ax
2
và điểm M(1;1) nằm trên
(P).
a) Hãy xác định hệ số a. Vẽ Parabol trong trờng hợp đó.

b) Lấy điểm N trên (P) có hoành độ x
N
= -2, tính tung độ y
N
. Viết phơng rình đ-
ờng thẳng MN.
c) Tìm điểm A trên trục tung để ba điểm M, A, N thẳng hàng.
d) Một đờng thẳng (D) qua A có hệ số góc m, đờng thẳng (D) cắt parabol (P) tại
hai điểm phân biệt P,Q.Gọi P
1
, Q
1
lần lợt là hình chiếu của P và Q trên trục
hoành . Chứng minh rằng OP
1
.OQ
1
= OA (Đơn vị trên hai trục toạ độ bằng
nhau).
Bài 10: Xét hàm số y = ax
2
+ bx + c.
a) Xác định các hệ số a, b, c biết đồ thị của hàm số cắt Oy tại điểm (0;-4), cắt Ox
tại điểm (-1;0) và đi qua điểm (1;6).
b) Tìm giao điểm thứ hai của đồ thị với trục Ox.
c) Chứng tỏ rằng đờng thẳng 3x + y +4 = 0 tiếp xúc với đồ thị của hàm số xác
định ở câu a)
Bài 11: Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình :
2
2 3

2 3
mx m y
x my

+ =

+ =

vô nghiệm? Có
nghiệm duy nhất? Vô số nghiệm?
Bài 12: Tìm các giá trị của k để phơng trình 10x
2
+ 40x + k = 0
a) Có hai nghiệm phân biệt; b) Có nghiệm kép; c) Vô nghiệm.
Bài 13: Cho phơng trình x
2
2x -25 = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
. Không giải phơng trình
hãy tính :
a)
1 2
1 1
x x
+
; b)
3 3
1 2

x x+
Bài14: Cho phơng trình: mx
2
2(m+1)x 2m = 0 (m

0) (1)
a) Giải phơng trình vơi m = -2 bằng hai cách :
Cách 1: Biến đổi thành phơng trình tích.
Cách 2: Dùng công thức nghiệm.
b) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Bài 15: Cho phơng trình: (2m 1)x
2
- 4mx + 4 = 0 (2) với ẩn là x.
a) Giải phơng trình (2) với m = 2.
b) Giải phơng trình (2) với m bất kì.
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng m.
Bài 16: Cho phơng trình bậc hai: x
2
2mx + 2m 1 = 0. (ẩn x, m là tham số) (3).
a) Giải phơng trình (3) khi m = 2.
b) Xác định giá trị của m để phơng trình (3) có nghiệm kép.
c) Với giá trị nào của m thì hai nghiệm của phơng trình (3) có hai nghiệm phân
biệt cùng dấu, khi đó hai nghiệm mang dấu gì?
Bài 17: Cho phơng trình: mx
2
2(m + 1)x + m + 3 = 0 (m

0).
a) Tìm giá trị của m để phơng trình có nghiệm.
b) Tìm giá trị của m để tổng các nghiệm bằng 6. Tính các nghiệm đó.

c) Trong trờng hợp phơng trình có nghiệm, tìm một hệ thức liên hệ giữa các
nghiệm độc lập với m.
Bài 18: Cho phơng trình: x
2
5x + 6 = 0 (4). Không giải ph ơng trình, lập một phơng
trình bậc hai có các nghiệm y
1
, y
2
là:
a) Số đối các nghiệm của phơng trình (4).
b) Nghịch đảo các nghiệm của phơng trình (4).
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, lập hệ phơng trình
Bài 1: Một ô tô đi từ A đến B, cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B đến A với vận tốc
bằng 2/3 vận tốc của ô tô thứ nhất. Sau 5 giờ chùng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả
quảng đờng mất bao lâu?
Bài 2: Một ô tô du lịch đi từ A đến C. Cùng một lúc tại địa điểm B nằm trên đoạn đ-
ờng AC, có một ô tô vận tải cùng đi đến C. Sau 5 giờ hai ô tô gặp nhau tại C. Hỏi ô
tô du lịch đi từ A đến B mất bao lâu, biết rằng vận tốc của ô tô tải bằng 3/5 vận tốc
của ô tô du lịch.
Bài 3: Đờng sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đờng bộ 10 km. Để đi từ
A đến B, canô đi mất 3 giờ 20 phút, ô tô đi hết 2 giờ. Vận tốc của canô kém vận tốc
của ô tô là 12 km/h. Tính vận tốc của canô.
Bài 4: Một ngời đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km. Sau đó 1 giờ 30
phút một ngời đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi
xe, biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc của xe đạp.
Bài 5: Một ngời đi xe máy từ từ A đến B với vận tốc trung bình 30 km/h. Khi đến
B,ngời đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình 25 km/h. Tính
quãng đờng AB, biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.
Bài 6: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh Bvới vận tốc trung bình 40 km/h. Lúc

đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi còn 60 km nữa thì đợc một nửa quãng đờng AB , ngời
lái xe tăng thêm vận tốc 10 km/h trên quãng đờng còn lại, do đó ô tô đến tỉnh B sớm
hơn dự định 1 giờ. Tính quãng đờng AB.
Bài 7: Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện, mỗi ngày đội
máy kéo cày đợc 52 ha. Vì vậy đọi không những đã cày xong trớc thời hạn 2 ngày
mà còncày thêm đợc 4 ha nữa. Tính diện tích thửa ruộng mà đội phải cày theo kế
hoạch đã định.
Bài 8: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong một công việc
đã định. Họ làm chung với nhau 4 giờ thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm việc khác, tổ
thứ hai làm phần công việc còn lai trong 10 giờ.Hỏi tổ thứ hai nếu làm mộ mình thì
sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
Bài 9: Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể thì sau 4
4
5
giờ thì đầy bể. Mỗi giờ lợng nớc
của vòi I chảy đợc bằng 1
1
2
lợng nớc của vòi II. Hỏi mỗi vòi chảy rieng thì trong bao
lâu đầy bể?
Bài 10: Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào một bể thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy. Nếu mở
vòi thứ nhất chảy trong 10 ohút và vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đợc
2
15
bể.
Hoir nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu mới đầy bể.
Bài 11: Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong
12 ngày. Họ cùng làm với nhau đợc 8 ngày thì đội 1 đợc điều động làm việc khác,
còn đội 2 tiếp tục làm. Do cải tiến kĩ thuật năng suất tăng gấp đôi nên đôi 2 đã làm
xong công việc còn lại trong 3 ngày rỡi. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì thì sau

bao nhiêu nagỳ sẽ làm xong công việc nói trên (với năng suất bình thờng)?
Phần hình học.
Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O). Tia phân giác cua góc A cắt BC ở
D, cắt đờng tròn ở E. Tiếp tuyến của đờng tròntại A cắt đờng thẳng BC ở M.
a) Chứng minh: MA = MD.
b) Gọi I là điểm đối xứng với D qua M, gọi F là giao điểm của IA với đờng tròn
(O). Chứng minh ba điểm E, O, F thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy một điểm M, dựng đờng
tròn (O) đờng kính MC. Đờng thẳng BM cắt đờng tròn tại D. Đờng thẳng AD cắt đ-
ờng tròn tại S.
a) Chứng minh: ABCD là tứ giác nội tiếp, CA là tia phân giác của góc SCB.
b) Gọi E là giao điểm của BCvới đờng tròn (O). Chứng minh rằng các đờng
thẳng BA, EM, CD đồng quy.
c) Chứng minh DM là phân của góc ADE.
d) Chứng minh M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A.
a) Nêu cách dựng đờng tròn tâm (O) qua A tiếp xúc với BC tại B. Nêu cáhc
dựng đờng tròn tâm O qua A tiếp xúc với BC tại C.
b) Hai đờng tròn (O) và (O ) có vị trí nào đối với nhau.
c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến chung của
hai đờng tròn (O)
d) Cho AB = 36 cm; AC = 48 cm. Tính độ dài BC và bán kính của các đờng tròn
(O) và (O )
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) .
a) Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đờng tròn tại M. Chứng minh
MC
2
= MI.MA.
b) Kẻ đờng kính MN . Các tia phân giác của góc B và góc C của tam giác ABC
cắt An tại P và Q. Chứng minh 4 điểm P, C, B, Q cùng thuộc một đờng tròn.

Bài 5: AC là dây cung bất kì của đờng tròn (O)đờng kính AB = 2R. Kẻ tiếp tuyến Ax
với nửa đờng tròn ấy. Tia phân giác của góc CAx cắt nửa đờng tròn ở E, cắt tia BC ở
D.
a) Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh DI

AB.
b) Tìm quỹ tích của D khi C di chuyển trên nửa đờng tròn (O).
c) Trên nửa mặt phảng bờ AB không chứa nửa đờng tròn nói trên ta dựng tam
giác vuông cân AMB ( đáy AB). Dựng cung AnB tâm M thuộc nửa mặt
phẳng với nửa đờng tròn (O). Tính diện tích của hình trăng khuyết tạo
thành.
Bài 6: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R.và một điểm M bất kì trên nửa
đờng tròn (M

A,B). Đờng thẳng d tiếp xúc với với nửa đờng tròn tại M và cắt đờng
trung trực của đoạn thẳng AB tại I. Đờng tròn tâm I tiếp xúc với với AB cắt đờng
thẳng d tại C và D (D nằm trong góc BOM).
a) Chứng minh các tia OC, OD là các tia phân giác của của các góc AOM,
BOM.
b) Chứng minh CA và BD vuông góc với AB.
c) Chứng minh AC.BD = R
2
.
d) Tìm vị trí của điểm M trên nửa đờng tròn (O) để tổng AC + BD đạt giá trị
lớn nhất.
Bài 7: Cho đờng tròn (O;R), hai đờng kính AB, CD vuông ógc với nhau. Trong đoạn
AB lấy điểm M khác O đờng thẳng CM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N, đờng
thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đờng tròn tại điểm P. Chứng
minh rằng:
a) Tứ giác OMNP nội tiếp.

b) Tứ giác CMPO là hình bình hành.
c) Tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
d) Khi M di động trên AB thì P chạy trên mộ đoạn thẳng cố định.
Bài 8: Trên một đờng thẳng cho 3 điểm A, B, C theo th tự đó và một đờng thẳng d
vuông góc với AC tại A. Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy một điểm M bất
kì . Tia CM cắt đờng thẳng d tại D. Tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N; Tia
DB cắt đờng tròn tại điểm thứ hai P.
a) Chứng minh tứ giác ABMD nội tiếp.
b) Chứng minh tích CM.CD không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
c) Tứ giác APND là hình gì? Tại sao?
Bài 9: Cho đoạn thẳng AB và điểm P nằm giữa A và B. Trên nửa mặt phẳng bờ AB
kẻ các tia Ax và By vuông góc với AB và lần lợt trên hai tia đó lấy hai điểm C và D
sao cho AC.BD = AP.BP (1).
a) Chứng minh hai tam giác APC và BPD đồng dạng.
b) Chứng minh:
ã
CPD
=90
0
.Từ đó suy ra cách dựng hai điểm C và D thoả mãn
(1).
c) M là hình chiếu P trên CD, chứng minh
ã
AMB
=90
0
.
d) Chứng minh điểm M chạy trên nửa đờng tròn cố định khi C, D lần lợt di
động trên Ax, By nhng vẫn thoả mãn (1).
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB>AC) đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng

bờ BC chứa A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, nửa đờng tròn đờng
tròn đờng kính HC cắt AC tại F.
a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật.
b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp.
c) Chứng minh AE.AB = AF.AC.
d) Chứng minh AF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng rròn.
Bài 11: CHo nửa đờng tròn (O) dờng kính AB, bán kính OC vuông góc với AB. Gọi
M là một điểm di động trên cung BC (M

B,C) AM cắt OC tại N.
a) Chứng minh rằng tích AM.AN không đổi.
b) Vẽ CD vuông góc với AM, Chứng minh tứ giác MNOB, AODC nội tiếp.
c) Xác định vị trí của M trên cung BC để tam giác COD cân tại D.
Bài 12: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O), H là trực tâm của
tam giác, M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.
a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành.
b) Gọi N và E lần lợt là các điểm đối xứng của M qua các đờng thẳng AB và
AC, chứng minh rằng 3 điểm N, H, E thẳng hàng.
c) Xác định vị trí của M để NE có độ dài lớn nhất.
Bài 13: Hai đờng tròn tâm O và O bán kính R và r (R>r) tiếp xúc ngoài tại M. Đ ờng
thẳng OO cắt đ ờng tròn (O) tại C, cắt đờng tròn (O ) tại D. Tiếp tuyến chung ngoài
AB (A

(O), B

(O )) cắt đ ờng thẳng của OO ở Htiếp tuyến chung ngoài của
của hai đờng tròn ở M cắt AB ở I.
a) Chứng minh tam giác OIO , tam giác AMB là các tam giác vuông.
b) Chứng minh AB = 2
Rr

.
c) Tia AM cắt (O) ở A tia BM cắt (O ) ở B , chứng minh ba điểm A, O, B và
A ,O ,B thẳng hàng và CD
2
= BB
2
+AA
2
.
d) Gọi N và N lần l ợt là giao điểm AM với OI, BM với O I. Tính độ dài các
đoạn thẳng MI, AB, OI, O I, OH, O H theo R và r. Tính diện tích tứ giác
INMN khi R = 3r.
Bài 14: Cho (O;R) bán kính AB, một điểm C (C

A,B) nằm trên đờng tròn. Tiếp
tuyến Cx của đờng tròn cắt AB tại I. Phân giác góc CIA cắt OC tại O .
a) Chứng minh rằng: (O ;O C) tiép xúc (O)và tiếp xúc với đ ờng thẳng AB.
b) Gọi D, E theo thứ tự là giao điểm thứ 2 của CA, CB với (O ). Chứng minh
rằng D,O ,E thẳng hàng.
Bài 15: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Một điểm M di động tren đờng tròn. Gọi
N là điểm đối xứng của A qua M, P là giao điểm thứ hai của đờng thẳng BN với (O);
Q,R là giao điểm của BM lần lợt với AP va với tiếp tuyến tại A của (O).
a) Chứng minh rằng: điểm N luôn nằm trên một đờng tròn cố định tiếp xúc với
đờng tròn (O). Gọi đó là đờng tròn (O ).
b) Chứng minh rằng RN là tiếp tuyến của đờng tròn (O ).
c) Tứ giác ARNQ là hình gì? Vì sao?.
Bài 16: Cho hai đờng tròn (O) và (O ) cắt nhau tạ hai điểm A và B kẻ cát tuyến
MAN (M

(O), N

(O )). Gọi E, G theo thứ tự là trung điểm của AM, AN.
a) Tứ giác OEGO là hình gì? Vì sao?
b) Tìm vị trí của M , N sao cho MN có độ dài nhỏ nhất có thể đợc.
c) Dựng cát tuyến MN sao cho MN=
4
3
OO .
Bài 17: Cho đờng tròn (O) hai dây AB và CD (AB > CD) các đờng thẳng chứa hai
dây cung đó cắt nhau tại I ở bên ngoài đờng tròn . Gọi E và F theo thứ tự là trung
điểm của AB và CD.
a) Chứng minh OE

AB.
b) Chứng minh rằng tứ giác OEIF nội tiếp, xác định tâm và bán kính của đờng
tròn đó.
c) So sánh các góc OIA và OIC.
Bài 18: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn .
C và D là hai điểm di động trên nửa đờng tròn, các tia AC và AD cắt Bx lần lợt tại E
và F (F nằm giữa B và E).
a) Chứng minh rằng tam giác ABF đồng dạng với tam giác BDF.
b) Chứng minh rằng CEFD nội tiếp.
Bài 19: Cho đờng tròn (O) . Vẽ hai dây AB và CD vuông góc tại M bên trong của đ-
ờng tròn. Từ A vẽ một đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng BC cắt đờng thẳng này
tại H, cắt đờng thẳng CD tại E. F là điểm đối xứng của C qua AB. Tia AF cắt tia AB
tại K, Chứng minh rằng:
a)
ã
MAH
=

ã
MCB
.
b) Tam giác ADE cân.
c) Tứ giác AHBK nội tiếp.
Bài 20: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, cân tại đỉnh A nội tiếp (O;R). Hai đờng
cao BD và CE gặp nhau tại H. Vẽ đờng kính AI.
a) Chứng minh rằng H nằm trên AI.
b) Chứng minh rằng tứ giác BHCI là hình thoi.
c) Dựng tam giác ABC nói trên biết R= 2,5cm và trực tâm H cách A là 3cm.
d) Tính diện tích tam giác cân ABC vừa dựng.
Bài 21: Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng
tròn (B, C là các tiếp điểm) CD là đờng kính của đờng tròn (O).
a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H và:
2
2
OB OH
AB AH
=
.
b) Trung trực của CD cắt BD tại E. Chứng minh EA = OC.
c) Chứng minh năm điểm A, E, B, O, C cùng nằm trên một đờng tròn.
Bài 22: Cho đờng tròn (O). A, B, C là ba điểm nằm trên đờng tròn. Gọi H là trực
tâm của

ABC. AH cắt đờng tròn (O) tại E, kẻ đờng kính AOF.
a) Chứng minh: EF//BC.
b) Chứng minh góc CAF bằng góc BCE.
c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh H, I, F thẳng hàng.
Bài 23: Cho đờng tròn (O) và điểm A ở ngoài đờng tròn đó. Vẽ các tiếp tuyến AB,

AC và cát tuyến ADE tới đờng tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của
DE.
a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, H, O, C cùng thuộc một đờng tròn.
b) Chứng minh rằng HA là tia phân giác của góc BHC.
c) Gọi I là giao điểm của BC và DE, chứng minh: AB
2
= AI.AH.
d) BH cắt đờng tròn (O) ở K. Chứng minh AE//CK.
Bài 24: Cho

ACB nội tiếp đờng tròn (O) và đờng thẳng d là tiếp tuyến của đờng
tròn tại C. Gọi AH và BI là các đờng cao của

ABC .
a) Chứng minh HI // d.
b) Gọi MN và EF lần lợt là hình chiếu của các đoạn thẳng AH và BI lên đờng
thẳng d. Chứng minh MN = EF
Bài 25: Cho

ABC nội tiếp đờng tròn (O). Một đờng tròn tâm I tuỳ ý đi qua B và C
cắt AB và AC tại M và N. Đờng tròn tâm K ngoại tiếp

AMN cắt đờng tròn (O) tại
điểm thứ hai là D. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AKIO là hình bình hành.
b) Góc AID bằng 90
0
.
Một số đề tham khảo
đề i

Bài 1 : Cho biểu thức : A =
2
1x
:
x1
1
1xx
x
1xx
2x









+
++
+

+
Rút gọn P b) Chứng minh rằng A > 0 với mọi giá trị của x TXĐ
Bài 2 : Cho phơng trình : x
2
4x + m 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = - 11
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x

1
; x
2
thoả mãn điều kiện :
10xx
2
2
2
1
=+
Bài 3 : Cho đoạn thẳng AB và C thuộc AB ( C A ; B). Kẻ trên nửa mặt phẳng bờ
AB hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB . Trên tia Ax lấy điểm I , tia Cz vuông
góc với CI tại C và cắt tia By tại K. Vẽ đờng tròn (O;
2
IC
) cắt IK ở P. Chứng minh
rằng :
a) Tứ giác CPKB nội tiếp.
b) AI . BK = AC . CB
c) Tam giác APB vuông
d) Giả sử A, B, I cố định. Tìm vị trí của điểm C sao cho diện tích tứ giác
ABKI lớn nhất.
đề iI
Bài 1 : Xét biểu thức : B =

++
+
+










1xx
x2
1xx
1x
1x
1
:1
1x
x
Rút gọn B b) So sánh B với 3. c) Tìm GTNN của B +
x
.
Bài 2 : Một công nhân đợc giao làm một số sản phẩm trong một số thời gian nhất

định. Khi còn làm nốt 30 sản phẩm cuối cùng ngời đó thấy nếu cứ giữ nguyên năng
suất thì sẽ chậm 30 phút. Nếu tăng năng suất thêm 5 sản phẩm một giờ thì sẽ xong
sớm hơn so với dự định là 30 phút. Tính năng suất của ngời thợ lúc đầu.
Bài 3 : Cho điểm C thuộc nửa đờng tròn (O; R) có đờng kính là AB ( AC > CB). Đ-
ờng thẳng vuông góc với AB tại O cắt AC ở D .
a) Chứng minh rằng : Tứ giác BCDO nội tiếp
b) Chứng minh : AD . AC = AO . AO
c) Tiếp tuyến tại C của nửa đờng tròn (O) cắt đờng thẳng qua D và song
song với AB tại E.
Chứng minh rằng : AC // EO
Gọi H là chân đờng cao hạ từ C xuống AB. Xác định vị trí của C để tam giác ACH
có HD là đờng