các dạng toán ôn thi vào 10

DẠNG TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI – CĂN THỨC BẬC HAI.
Bài 1: Cho biểu thức:
a 1 1 2
K :
a 1
a 1 a a a 1
 
 
= − +
 ÷
 ÷
 ÷
−
− − +
 
 
a) Rút gọn biểu thức K.
b) Tính giá trò của K khi a = 3 +
2 2
.
c) Tìm các giá trò của a sao cho K < 0.
HD: Nhắc HS xác đònh điều kiện của biểu thức.
c)
a 1
K 0 0 a 1 0 0 a 1
a
−
< ⇔ < ⇔ − < ⇔ < <
(vì a>0)
Bài 2: Cho biểu thức:
4 x 8x x 1 2

P :
4 x
2 x x 2 x x
   
−
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ −
   
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trò của x để P = - 1.
c) Tìm m để với mọi giá trò x > 0 ta có
m( x 3)P x 1− > +
.
HD: c) Rút gọn
4x
P
x 3
=
−
, khi đó BPT có dạng:
4mx x 1 (4m 1)x 1> + ⇔ − >
+ Nếu
4m 1 0
− ≤
thì tập nghiệm không thể chứa mọi giá trò x > 9.
+ Nếu
4m 1 0

− >
thì nghiệm của BPT là
1
x
4m 1
>
−
. Do đó BPT thỏa
mãn với mọi x > 9
1
9
4m 1
⇔ ≥
−
và 4m – 1 > 0. Suy ra
5
m
18
≥
.
Bài 3: a) Cho biết:
A 9 3 7= +
và
B 9 3 7= −
. Hãy so sánh A + B và A.B.
b) Tính giá trò của biểu thức:
1 1 5 5
M :
3 5 3 5 5 1
−

 
= −
 ÷
− + −
 
.
Bài 4: Cho
1 1
A
2(1 x 2) 2(1 x 2)
= +
+ + − +
a) Tìm x để A có nghóa.
b) Rút gọn A.
Bài 5: Cho biểu thức:
y xy
x y x y
P x :
x y xy y xy x xy
   
−
+
= + + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ + −
   
a) Với giá trò nào của x và y, biểu thức có nghóa?
b) Rút gọn P.
c) Tìm số trò của biểu thức với x = 3,

y 4 2 3= +
.
Bài 6: Cho biểu thức:
3 3 2 2
2
x 1 x 1 x(1 x )
A x x :
x 1 x 1 x 2
  
− + −
= + −
 ÷ ÷
− + −
  
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trò của A khi cho
x 6 2 2= +
.
c) Tính giá trò của x để A = 3.
Bài 7: Cho biểu thức:
2
2
x 1 x 1 x 4x 1 x 2010
K
x 1 x 1 x 1 x
 
+ − − − +
= − +
 ÷
− + −

 
a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức xác đònh.
b) Rút gọn K.
c) Với những giá trò nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trò
nguyên?
HD: Cách dùng MTBT để tìm tập hợp ước của một số, chẳng hạn tìm
Ư(2010).
1. n 0 SHIFT RCL (STO) (-) (A) ALPHA (-) (A) + 1 SHIFT RCL (STO) (-) (A)
2. n <- để đưa con trỏ về cuối dòng biểu thức bên phải.
3. n tiếp ALPHA
∫
(:) 2010
÷
ALPHA (-) (A)
4. n = (ta chỉ lấy kết quả là số nguyên)
5. Cứ tiếp tục bấm = cho tới khi
2010
30
67
=
thì ngưng.
KL: Ư(2010) =
{ }
1; 2010; 2; 1005; 3; 670; 5; 402; 6; 335; 10; 201; 15; 134; 30; 67± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±
.
Bài 8: a) Tìm giá trò của x để biểu thức
2
1
x 2 2x 5− +
có giá trò lớn

nhất.
b) Rút gọn biểu thức:
2 2 2 2 4 2 2
2
2 2 2 2
a a b a a b 4 a a b
P :
b
a a b a a b
 
+ − − − −
= −
 ÷
 ÷
− − + −
 
, với
a b 0> >
.
HD: a)
2 2
2
1 1
x 2 2x 5 (x 2) 3 3
3
x 2 2x 5
− + = − + ≥ ⇒ ≤
− +
.
Do đó, khi

x 2=
thì biểu thức
2
1
x 2 2x 5− +
có giá trò lớn nhất là
1
3
.
b) Rút gọn:
2 2 2
2 2 2
1 neu a 0
4ab a b
P
1 neu a 0
b 4 a a b
>

−
= =

− <
−

.
Bài 9: Cho biểu thức
x 2 x 1 x 1
A :
2

x x 1 x x 1 1 x
 
+ −
= + +
 ÷
 ÷
− + + −
 
với
x 0; x 1> ≠
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh rằng 0 < A < 2.
Bài 10: Cho biểu thức
2
x 2 x 2 1 x
P
x 1
x 2 x 1 2
 
− + −
 
= −
 ÷
 ÷
 ÷
−
+ +
 
 
a) Rút gọn P.

b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm giá trò lớn nhất của P.
HD: a)
P x(1 x)= −
b) Với 0 < x < 1 thì
x 0>
và
x 1 1 x 0 P 0< ⇒ − > ⇒ >
.
c)
2
1 1 1
P x x x
2 4 4
 
= − + = − − + ≤
 ÷
 
. Đẳng thức xảy ra khi
1
x
2
=
hay
1
x
4
=
.
Bài 11: Cho biểu thức

x 3 x x 3 x 2 9 x
P 1 : (x 0, x 9, x 4)
x 9
2 x 3 x x x 6
   
− − − −
= − + − ≥ ≠ ≠
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
− + + +
   
a) Thu gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trò của x để P = 1.
Bài 12: Cho
x 2 x 1 x 1
P
x 1
x x 1 x x 1
+ + +
= + −
−
− + +
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh
1
P
3
<
với

x 0, x 1≥ ≠
.
HD: a)
x 2
P
x x 1
+
=
+ +
b)
Bài 13: a) Rút gọn biểu thức:
1
A 3 2 8 50 32
5
= + − −
.
B 3 2 50 4 0,5 2 32 7 8= + − + −
C 3 50 2 12 18 75 8= − − + −
2 3 2 3 2 3 2 3
P
2 3 2 3 2 3 2 3
+ + − + − −
= −
+ − − + + −
2 2
D x 2x 1 x 4x 4= − + + − +
b) Tính:
1
b ) 2 3. 2 3+ −
2

b ) 11 1. 11 1+ −
c) Tính giá trò biểu thức:
1 1
S
5 2 5 2
= +
+ −
.
2 3 2 3
S
2 3 2 3
+ −
= +
− +
d) Chứng minh:
1
d ) 2 3 2 3 6+ + − =
2
3 1 3
d ) 1
2 2
+
+ =
3
2 3 2 3
d ) 2 3
2 3 2 3
+ −
− =
− +

4
5 3 5 3
d ) 8
5 3 5 3
+ −
+ =
− +
e) So sánh:
1
e )5 2 3 va 3 2 2− −