Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hoá

Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hoá
Năm học 2007-2008
Câu 1.(5 điểm)
1.Khảo sát
1
1
x
y
x
−
=
+
2.Xác định điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách đến 2
trục tọa độ là ngắn nhất;
Câu 2.(4 điểm )
1.Cho hàm số
2
1y x x m= + − −
. Xác định m để
0y ≤
trên tập xác định
của nó.
2.Trong mặt phẳng Oxy cho Hypepol (H) có phương trình chính tắc
là:
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
.Biết tâm sai e=2; hình chữ nhật cơ sở của nó cắt các

trục tọa độ Ox ở A,C và trục Oy ở B,D. Đường tròn nội tiếp hình thoi
ABCD có bán kính bằng
2
. Tìm phương trình (H).
Câu 3.(4 điểm)
1.Giải phương trình: 4cos
2
x - 4cos2xcos
2
x-6sinxcosx+1=0.
2.Cho
0a
≥
,giải biện luận theo a:
3 4 2 2
6 9 3 0.a x a x x a+ − + + ≥
3.Giải hệ phương trình:
3 2
3 9 4
2
2
x y xy
x y xy

+ =


+ =



Câu4.(6 điểm)
Trong không gian Oxyz cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
.Biết
A
1
(0,0,0),B
1
(a,0,0),D
1
(0,a,0),A(0,0,a) với a>0 Gọi M,N lần lượt là
trung điểm AB,B
1
C
1
.
1.Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với hai
đường thẳng AN,BD
1
.
2.Tính thể tích của tứ diện ANBD
1.
3.Tính góc và khoảng cách giữa các đường thẳng AN và BD
1.

- 1 -
Tuyn tp thi hc sinh gii tnh Thanh Hoỏ
Cõu 5.(1 im) Cho
2 (2 2) , 1,2,3
n
n n
a b n+ = + =
Tỡm
lim
n
n
n
a
b

Năm 2006-2007
Câu1(7.0 điểm).
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số :
2
1
(1)
1
x x
y
x
+ +
=
+
2.Tìm k để đờng thẳng :(2-k)x-y+1=0 cắt đồ thị(1)tại hai điểm phân biệt A,B
sao cho các tiếp tuyến với đồ thị(1) tại A,B song với nhau.

3.CMR:Phơng trình :x
2
+x+1=(x+1)
2
9 x-
có đúng hai nghiệm.
Câu2(5.0 điểm).
1.áp dụng khai triển nhị thức niu tơn (x
2
+x)
100
.CMR:

0 99 1 100 99 198 199 199
100 100 100 100
1 1 1 1
100 ( ) 101 ( ) 199 ( ) 200 ( ) 0
2 2 2 2
C C C C- + - + =
.
2.Cho tích phân :
0
sin2
,
2 os2x
n
nx
I dx n N
a c
p

= ẻ
-
ũ
.Tìm a sao cho I
2006
, I
2007
, I
2008
theo thứ
tự lập thành cấp số cộng.
Câu3(7.0 điểm).
1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đờng tròn
2 2
( ) : 4 6 3 0C x y x y+ - + - =
tâm I và đờng thẳng (d) có phơng trình :x+by-2=0
CMR:(d) và (C) luân cắt nhau tại hai điểm phân biệt P,Q với mọi b.Tìm b để
tam giác PIQ có diện tích lớn nhất.
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các điểm
A(2;0;0),B(0;8;0),C(0;0;3) và N là điểm thoả mãn :
.ON OA OB OC= + +
uuur
uuur uuur uuur
Mặt
phẳng (P) thay đổi cắt các đoạn OA,OB,OC,ON lần lợt tại các điểm A
1
, B
1
,
C

1
, N
1
.Hãy xác định toạ độ diểm N
1
sao cho :
1 1 1
2007
OA OB OC
OA OB OC
= = =
.
Câu4(1.0 điểm).
Tìm tập hợp các điểm M trong không gian có tổng bình phơng các khoảng
cách đến mặt của một tứ diện đều ABCD cho trớc bằng một số dơng k lhông
đổi.
(Nm 2005-2006)
Bi1:(2,0 im).
- 2 -
Tuyn tp thi hc sinh gii tnh Thanh Hoỏ
Chng minh rng :
0: osxx c

>1-
2
x
2
.
Bi 2:(2,0 im)
Tớnh I=

4
3
0
os
dx
c x


.
Bi 3:(2,0 im)
Tìm m để :
2
4 2 .2 2 0,
x x
m m x + >
.
Bài 4:(2,0 điểm).
Giải hệ phơng trình:
2 2
4 4 2 2
7
21
x y xy
x y x y

+ + =


+ + =

Bài 5:(2,0 điểm).
Giải phơng trình:
3 sin( ) sin( ) 2sin(5 ) 0
3 6 6
x x x

+ + + + =
.
Bài 6:(2,0 điểm).
Cho tam giác ABC nhọn có
0
45B =
.Tìm GTNN của biểu thức
cot cotT gA gC= +
.
Bài 7:(2,0 điểm)
Tính giới hạn sau:
2
0
os( osx)
2
lim
x
sin
2
x
c c

Bài 8:(2,0 điểm).
Giải phơng trình :
2 2
log 1 1 log 3 2
8
9
9
x
x x
+
=
.
Bài 9:(2,0 điểm).
Trong mặt phẳng Oxy,cho A(-3,4);B(-3,0);C(1,1). Hãy lập phơng trình đờng thẳng d qua
A và chia miền tứ giác ABOC thành 2 phần có diện tích bằng nhau.
Bài 10:(2,0 điểm).
Cho góc tam diện vuông Oxyz,trên oz lấy điểm Acố định , biết OA=a. Gọi (P) là mặt
phẳng thay đổi chứa điểm A và cắt Ox,Oy lần lợt tại B,C sao cho:
1 1 2
OB OC a
+ =
.
CMR: (P) luân chứa một đớng thẳng cố định và tính thể tích nhỏ nhất của tứ diện OABC
có thể đợc .
(Năm 2004-2005)
Bài 1:(5,0 điểm )
Cho hàm số y=x
4
-6x
2

+5
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số(C)
- 3 -
Tuyn tp thi hc sinh gii tnh Thanh Hoỏ
2)Cho điểm M (C) có hoành độ là a.Tìm tất cả các giá trị của a để tiếp
tuyến của (C) tại M cắt (C) ở 2 điểm phân biệt M.
Bài 2:(5,0 điểm)
1)Tính đạo hàm cấp n của hàm số :
2
2
2 1
sin
2
x
y x
x x

= +

2)Tính
1
2
0
2I x x m dx= +

.
Bài 3:(4,0 điểm)
1)Xác định m để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
2
2 2 1x x x m =

2) Xác định m để phơng trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

2
2 2
1
2
2
4 log ( 2 3) 2 log (2 2) 0
x m
x x
x x x m

+
+ + + =
.
Bài 4:(4,0 điểm)
Cho hai đờng tròn (C
1
):x
2
+y
2
-10x-2y+25=0 và (C
2
):x
2
+y
2
-4x+4y+4=0.
Viết phơng trình các đờng thẳng tiếp xúc vứi cả 2 đờng tròn trên.

Bài 5:(2,0 điểm)
Cho ,, là 3 góc tạo bởi đờng thẳng d theo thứ tự với 3 đờng thẳng chứa 3
cạnh BC,CA,AB của tam giác ABC đều .
CMR:
2 2 2
16(sin .sin .sin

+
2 2 2
os . os . os ) 1c c c

=
.

(Năm 2003-2004)
Bài 1:(6,0 điểm)
1)Cho đờng cong (C) có phơng trình :y=sinx+1,x
3
,
2 2


ữ

.Tìm GTNN của
hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với (C) và trục hoành .
2)Cho hàm số y=
2 2
2
2 2

( 1)( ) 3 ( ) 4
1 1
x x
m m m
x x
+ +
+ +
.
Tìm m để hàm số chỉ có 1 cực trị duy nhất .
- 4 -
Tuyn tp thi hc sinh gii tnh Thanh Hoỏ
Bài 2:(3,0 điểm)
Tìm a để hệ có 2 nghiệm :
2 2
2
7 6 5 6 12 0
2( 2) ( 4) 0
x x x x x
x a x a a

+ + + =


+ =


.
Bài 3:(7,0 điểm )
1)Xác định số nghiệm của phơng trình : 2
sinx

+2
cosx
=,x[0,
2

]
2)Cho 1<a+1<b+1<c. CMR: log
c
(a+c)<log
c-b
c.
Bài 4:(4,0 điểm )
Cho góc tam diện Oxyz
1)Alà điểm trên Oz sao cho :OA=25a (a>0).khoảng cách từ A đến Ox,Oy là
7a ,20a .Tính khoảng cách từ A đến (Oxy) biết
0
60xoy =
2)Cho gó
60xoy yoz xoz = = =
o
.Điểm A0 cố định trên Oz ,với OA=d
không đổi .
M và N là hai điểm chuyển động trên Ox,Oy sao cho :
1 1 1
OM ON d
+ =
(1)
CMR:Đờng thẳng MN luân đi qua 1 điểm cố định.
(Năm 2002-2003)
Bài 1:(4,0 điểm)

Cho hệ phơng trình :
log (3 ) log (3 ax) 2
x y
x ay y+ = + =
1)Giải hệ phơng trình khi a=2
2)Tìm a để hệ có 3 nghiệm phân biệt
Bài 2:(4,0 điểm)
Cho hàm số: y=
2
1x
x a
+
+
1) Với a=1.CMR : Luân tìm đợc 2 điểm và chỉ có 2 điểm trên đờng cong sao cho tiếp
tuyến tại đó // với đờng thẳng 2x-2y+1=0
2)Tìm GTNN của a tập giá trị cảu hàm số đã cho chứa đoạn [0,1]
Bài 3:(4,0 điểm )
1)Giải phơng trình :
2 os(x- ) os(x- ).sin 2 3sin 2 4 0
4 4
c c x x

+ =
- 5 -
Tuyn tp thi hc sinh gii tnh Thanh Hoỏ
2)Cho
ABCV
,O l điểm trong tam giác sao cho : OCA=OAB=OBC=.
CMR: cotg=cotgA+cotgB+cotgC
Bài 4:(2,0 điểm)

Với x là góc cho trớc k,tìm giới hạn :
2 2
1 1 1
lim( )
2 2 2 2 2 2
n n
n
x x x
tg tg tg

+ + +
Bài 5:(6,0 điểm )
Cho hình tứ diện ABCD có CD(ABC),CD = CB,
ABCV
vuông tại A.Mặt phẳng qua C
vuông góc với DB,cắt DB,DA lần lợt tại M,I.Gọi Tlà giao điểm của 2 tiếp tuyến tịa Avà C
của đờng tròn đờng kính BC trong mặt phẳng (ABC).
1)CM:C,T,M,I đồng phẳng
2)CM:IT là tiếp tuyến của mặt cầu đờng kính CD,và mặt cầu đờng kính CB.
3)Gọi N là trung điểm của AB ,K là điểm trên CD sao cho :CK=
1
3
CD.
CM: d(BK,CN)=d(AM,CN)
(Năm 2001-2002)
Bài 1:
Cho bất phơng trình :
2 os3x+(m-1)cos2x+10cosx+m-1 0(1)c
1)Giải khi m=-5
2)Tìm m để (1) thoả mãn

0;
3
x





Bài 2:
Giải phơng trình :
1
log ( osx-sinx)+log ( osx+cos2x)=0
x
x
c c
B i 3:
Giải phơng trình :
2
1
2
2 4
2 1
1 3
4 4
4 4 4
x
x x
x
x
x

+
+
=
Bài 4:
Biết đa thức :
2001 2000
1 2000 2001
( )f x x a x a x a= + + +
có 2001 nghiệm phân biệt ,
,và a
1996
=1996,a
1998
=1998.CMR:
1997
a
>1997.
Bài 5:
1)Cho tứ diện OABC có góc tam diện đỉnh O vuông .Đờng cao
OH=h,OA=a,OB=b,OC=c.CMR: a.cotgA+b.cotgB+c.cotgC3h.
- 6 -
Tuyn tp thi hc sinh gii tnh Thanh Hoỏ
2)Có thể chia đa giác lồi đã cho thành một số tứ giác không lồi đợc không?
Hãy chứng minh điều khẳng định của mình .
(Năm 2000-2001)
Bài 1:(5,0)
Cho phơng trình sin
4
x+(1-sinx)
4

=m
1)Giải khi m=
1
8
2)Tìm m để phơng trình có nghiệm
Bài 2: (6,0)
1)Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác ,còn x,y,z là 3 số thoả mãn : ax+by+cz=0.
CM:xy+yz+zx0
2)Cho x0, CM:
2 3
log (1 2 ) log (3 ( 2) )
x x x
+ > +
Bài 3:(4,0)
Cho a
1
,a
2
, ,a
n
(n>3)là các số thực thoả mãn :
2 2
1 1
;
n n
i i
i i
a n a n
= =

.
CM: Max
{ }
1 2
, , , 2,
n
a a a
với n 3 thì kết luận trên cò đúng không ?
Bài 4:(4,0)
Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' với AA'=2AB=8a, E là trung điểm của cạnh AB và
M là điểm trên cạnh DD' sao cho :DM=
(1 )
AD
a
AC
+
,F là điểm di động trên cạnh AA'.
1)Tìm vị trí điểm F trên cạnh AA'sao cho CF+FM có GTNN
2)Với điểm F thoả mãn điều kiện câu1.
Hãy tính góc hợp bởi mặt phẳng (D,E,F) và (D,B,C).
3)Với giả thiết điểm F thoả mãn câu1, và AàCD.Tính V
ABCDA'B'C'D'
Bài 5:(1,0)
- 7 -
Tuyn tp thi hc sinh gii tnh Thanh Hoỏ
Tìm các số nguyên dơng a,b,c và k thoả mãn :
1c b a
ab bc ca a b c kabc
> >

+ + + + + =

(Năm 1999-2000)
Bài 1:
1)Lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên và có nghiệm là cos72
0
và
cos144
0
.
2)Tìm m sao cho a>0 thì phơng trình :
2
2
8
(1 )
log 2 3log (1 )
x x
a m x x

+ =
,có
nghiệm dơng <
1
2
.
Bài 2:
Cho 0<x
1

<x
2
<. CMR:
3 3
1 2
1 2
1 2
6 6
sinx sinx
x x
x x
>
.
Bài 3:
Tìm hàm số y=f(x) biết rằng f(xy)+f(x-y)+f(x+y+1)=xy+2x+1,x,yR.
Bài 4:
Cho hình chóp đều (P),đáy là đa giác đều n cạnh có diện tích bằng diện tích
mỗi mặt bên .
Đối với mỗi điểm M ở bên trong hình chóp (P) ngời ta đựng (n+1) hình chóp
đồng dạng với (P) mà mỗi đáy của chúng tơng ứng thuộc một mặt của (P)
còn đỉnh là M .Hãy tìm vị trí M để tổng diện tích các mặt của (n+1) hình
chóp đó nhỏ nhất .
Bài 5:
Xét tập hợp E={2001,2002,2003, ,2000+n}.Tìm số nguyên dơng n nhỏ
nhất để tập hợp E có tính chất sau: "với mỗi tập hợp con tuỳ ý của E thì trong
hai tập hợp A và E\A bao giờ cũng có ít nhất một tập hợp chứa ba phần tử
a,b,c sao cho:a-b+c=1999".
- 8 -
Tuyn tp thi hc sinh gii tnh Thanh Hoỏ
(Năm1998-1999)

Bài1:
Cho Elíp (E) có phơng trình :
2 2
1
9 4
x y
+ =
.Xét các điểm A(-3,0); B(3,0);
M(-3,a);N(3,b) trong đó a,b là số dơng thay đổi .
1)Xác định toạ độ giao điểm I=ANBM.
2)CMR:Điều kiện cần và đủ để đờng thẳng MN tiếp xúc (E)là ab=4.
3)Khi a,b thay đổi nhng sao cho đờng thẳng MN tiếp xúc với (E) thì giao
điểm I nằm trên đờng thẳng nào?
Bài 2:
Tìm miền giá trị của hàm số f:RR,f(x)=
3 2sinx
1 osx 1 osxc c
+
+ +
Bài 3:
Giả sử k Là số nguyên và P(x) là đa thức : P(x) = x
1999
-x
1997
+x
2
-3kx+3k+1.
1)CMR:đa thức P(x) không có nghiệm nguyên
2)CM: các số P(n) và P(n)+3 là nguyên tố cùng nhau đối với nZ
Bài 4:

Giả sử S là điểm nằm nhoài mặt phẳng hình bình hành ABCD sao cho các
tam giác :SAB,SBC,SCD,SAD tơng đơng >
1)CM:ABCD là hình thoi
2)Nếu khoảng cách từ S đến mf(ABCD) là 12,BD=30,AC=40.Tính khoảng
cách từ hình chiếu của điểm S trên (ABCD) tới mf(SBC).
Bài 5:
Trong mf cho
ABCV
và một điểm M thay đổi ở trong tam giác .Gọi A,B,C lần
lợt là hình chiếu của điểm M trên các đờng thẳng BC,CA,AB .Hãy xác
định vị trí của điểm M khi :MA.MA=MB.MB=MC.MC.
(Năm 1997-1998)
- 9 -
Tuyn tp thi hc sinh gii tnh Thanh Hoỏ
Bài1 :
Cho (P) có phơng trình : y
2
=6x
1)Tìm tiêu điểm và đờng chuẩn của (P)
Cho điểm K(1,-1).Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua K cắt (P)tại A,B sao
cho K là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Bài 2:
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác .Xét các số x,y,z thoả mãn
x+y+z=
2

.Tìm GTLN của biểu thức :
( , , )F x y z =
sinx sin sin
a

y z
b c
+ +
B i 3 :
Giải và biện luận phơng trình :ax
4
+(a+1)x
3
+(a
2
+2)x
2
+(a+1)x+a=0
Bài 4:
Giả sử 0<2 và a
1
,a
2
, ,là dãy số thực dơng thoả mãn:

n
a

a
n-1
+a
n-2
+ +a
1,
n2.

Bài 5:
Cho
ABCV
,gọi G là điểm (ABC),M là điểm miền tam giác ABC.
Các đờng thẳng đi qua M//GA,GB,GC theo thứ tự cắt các mặtphẳng(GBC),
(GCA),(GAB) tại A
1
,B
1
,C
1
.CMR: GM đi qua trọng tâm của tam giác A
1
B
1
C
1
- 10 -