Chương 8: Không gian vectơ pps

Ch ơng 8: Không gian vectơ
8.1. Không gian vectơ n chiều
8.1.1.Vectơ n chiều.
Định nghĩa 8.1. Một tập hợp gồm n số thực đợc sắp xếp có thứ tự có
dạng: X = (x
1
, x
2
, x
3
, , x
n
) đợc gọi là một vectơ dòng n chiều; hoặc có dạng:
X =
n
x
x
.
.
.
x

ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ

1
2
đợc gọi là một vectơ cột n chiều.
x
j
(j =
,n1
) đợc gọi là thành phần thứ j của vectơ.
Hai vectơ n chiều đợc gọi là bằng nhau nếu các thành phần tơng ứng
bằng nhau và đợc gọi khác nhau nếu có ít nhất một thành phần khác
nhau.
Ví dụ 8.1 X = (1, 0, 3) là vectơ dòng 3 chiều với x
1
= 1, x
2
= 0, x
3
= 3.
Y =

ữ

2
1
là vectơ cột 2 chiều với x
1
= 2, x
2
= 1.
Một vectơ n chiều mà tất cả các phần tử của nó đều bằng 0 đợc gọi là

vectơ không n chiều và ký hiệu là 0
n
= (0, 0, , 0).
Một vectơ n chiều có thành phần thứ j bằng 1, còn các phần tử khác
đều bằng 0 đợc gọi là vectơ đơn vị n chiều thứ j và ký hiệu là E
j
.
E
j
= (0, 0, , 1, 0, , 0).
Nh vậy có n vectơ dòng đơn vị và n vectơ cột đơn vị E
1
, E
2
, , E
n
.
8.1.2. Các phép tính về vectơ.
Cho hai vectơ n chiều X = (x
1
, x
2
, , x
n
), Y = (y
1
, y
2
, , y
n

); k là số
thực bất kỳ. Thì phép cộng hai vectơ X, Y và phép nhân vectơ X với số k đ-
ợc ký hiệu và xác định nh sau:
X + Y = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, , x
n
+ y
n
);
kX = (kx
1
, kx
2
, , kx
n
).
Tích vô hớng của hai vectơ X và Y đợc ký hiệu và xác định nh sau:
< X,Y > = x
1
y
1
+ x
2

y
2
+ + x
n
y
n
.
Ví dụ 8.2. Cho X = (1, 3, 2, 0), Y = (4, 2, 6, 3). Thì:
X + Y = (3, 5, 4, 3); 2X = (2, 6, 4, 0).
8.1.3. Không gian vectơ n chiều.
Định nghĩa 8.2. Tập hợp tất cả các vectơ n chiều, trên đó xác định phép
cộng vectơ và phép nhân một vectơ với một số đợc gọi là không gian vectơ n
chiều. Ký hiệu là R
n
.
Ví dụ 8.3.
R
1
là trục số; vectơ 0 là số 0; vectơ đơn vị là số 1.
R
2
là mặt phẳng toạ độ; vectơ 0
2
là (0,0); hai vectơ đơn vị là E
1
= (1,0)
và E
2
= (0,1).
Định nghĩa 8.3. Trong R

n
cho tập hợp C . Nếu C

, tổng của hai
vectơ bất kỳ trong C và tích của một số với một vectơ bất kỳ trong C cũng
là một vectơ của C .Thì tập C đựơc gọi là một không gian con của R
n
.
Ví dụ 8.4. Các tập hợp sau đây là các không gian con của R
n
.
C
1
= {( x
1
, x
2
, , x
n
) R
n
: x
i
= x
j
; 1 i < j n},
C
2
= {( x
1

, x
2
, , x
n
) R
n
: x
1
+ x
2
+ + x
n
= 0; 1 i < j n}.
Ví dụ 8.5. Dễ dàng chứng minh đợc các kết quả sau:
(i) Mọi đờng thẳng trong R
2
đi qua điểm (0,0) đều là không gian con
của R
2
.
(ii) Mọi đờng thẳng (mặt phẳng) trong R
3
đi qua điểm (0,0,0) đều là
không gian con của R
3
.
Nhận xét 8.1.
(i) Tập { 0
n
} là một không gian con của R

n
và là không gian con nhỏ
nhất của R
n
. Không gian con lớn nhất của R
n
là R
n
.
(ii) Mọi không gian con R
n
của đều chứa vectơ 0
n
.
8.2. độc lập tuyến tính-phụ thuộc tuyến tính
8.2.1. Tổ hợp tuyến tính.
Trong R
n
cho tập hợp C . Xét các vectơ có thể nhận đợc từ C qua
các phép cộng vectơ và phép nhân một vectơ với một số.
Định nghĩa 8.4. Một vectơ X R
n
đợc gọi là một tổ hợp tuyến tính của
các vectơ thuộc C (hay X đợc biểu thị tuyến tính qua các vectơ thuộc C )
nếu X có thể viết dới dạng:
X = a
1
x
1
+ a

2
x
2
+ + a
m
x
m

trong đó x
j
C, a
j
R (j = 1, 2, , m).
Ví dụ 8.6. (i) Vectơ 0
n
luôn là tổ hợp tuyến tính của mọi tập C trong R
n
vì
0.X = 0
n
với mọi X C.
(ii) Trong R
n
cho tập C = {E
1
, E
2
, , E
n
các vectơ đơn vị}. Mọi vectơ trong

R
n
đều là tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc tập C .
(iii) Trong R
n
cho hệ {A
1
, A
2
, , A
m
}. Vectơ A
j
(1 < j < m) biểu thị tuyến
tính qua các vectơ còn lại của hệ nếu tồn tại các số k
1
, k
2
, , k
j-1
, k
j+1
, , k
m
sao cho:
A
j
= k
1
A

1
+ k
2
A
2
+ + k
j-1
A
j-1
+ k
j+1
A
j+1
+ + k
m
A
m
.
Chú ý 8.1.
(i) Do hạn chế của chơng trình môn học, ta chỉ hạn chế xét tổ hợp
tuyến tính của các vectơ thuộc tập C, với tập C chỉ có hữu hạn phần tử.
(ii) Trong chơng này ta luôn giả thiết số véctơ của một hệ véctơ là
một số nguyên, dơng.
Định nghĩa 8.5. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc
tập C đợc gọi là bao tuyến tính của C, ký hiệu là l(C).
Ví dụ 8.7. (i) l(0
n
) = 0
n
.

(ii) Cho vectơ X bất kỳ trong R
n
thì l(X) = {kX: k R}
Nhận xét 8.2.
(i) Cho E
1
, E
2
, , E
n
là các vectơ đơn vị trong R
n
thì l(E
1
, E
2
, , E
n
) = R
n
.
(ii) Cho A
1
, A
2
, , A
m
là các vectơ trong R
n
thì l(A

1
, A
2
, , A
m
) là một không
gian con của R
n
.( l(A
1
, A
2
, , A
m
) đợc gọi là không gian con sinh bởi hệ {A
1
,
A
2
, , A
m
}).
8.2.2. Định nghĩa hệ vectơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến
tính.
Định nghĩa 8.6. Một ràng buộc a
1
x
1
+ a
2

x
2
+ + a
m
x
m
với x
j
C, a
j
R (j
= 1, 2, , m) đợc gọi là một quan hệ tuyến tính của C. Quan hệ tuyến tính
trên đợc gọi là không tầm thờng nếu có ít nhất một hệ số a
j
0.
Định nghĩa 8.7. Hệ {A
1
, A
2
, , A
m
} các vectơ trong R
n
đợc gọi là hệ phụ
thuộc tuyến tính nếu có một quan hệ tuyến tính không tầm thờng. Hệ {A
1
,
A
2
, , A

m
} các vectơ trong R
n
đợc gọi là hệ độc lập tuyến tính nếu nó không
phải là hệ phụ thuộc tuyến tính.
Nhận xét 8.3.
(i) Hệ {A
1
, A
2
, , A
m
} các vectơ trong R
n
là hệ độc lập tuyến tính nếu:
k
1
A
1
+ k
2
A
2
+ + k
m
A
m
= 0
n
k

1
= k
2
= = k
m
= 0.
(ii) Để xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của hệ
vectơ {A
1
, A
2
, , A
m
} trong R
n
ta đi giải hệ k
1
A
1
+ k
2
A
2
+ + k
m
A
m
= 0
n
. Nếu

hệ có nghiệm duy nhất k
1
= k
2
= = k
m
= 0 thì hệ {A
1
, A
2
, , A
m
}là hệ độc
lập tuyến tính. Nếu ngoài nghiệm k
1
= k
2
= = k
m
= 0 còn có nghiệm với ít
nhất một k
j
nào đó khác 0 thì hệ {A
1
, A
2
, , A
m
}là hệ phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ 8.8. Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ

vectơ sau:
(i) {E
1
, E
2
, , E
n
} các vectơ đơn vị trong R
n
.
(ii) A
1
= (1, 0, 3, 2), A
2
= (2, 2, 0, 1), A
3
= (1, 2, 3, 1).
Giải.
(i) Ta có : k
1
E
1
+ k
2
E
2
+ + k
n
E
n

= 0
n
k
1
(1,0,0, ,0) + k
2
(0,1,0, ,0)

+ + k
n
(0,0,0, ,0,1) = 0
n
(k
1
,0,0, ,0) + (0, k
2
,0, ,0)

+ + (0,0,0, ,0, k
n
) = 0
n
(k
1
, k
2
, , k
n
) = 0
n

k
1
= k
2
= = k
n
= 0.
Vậy hệ các vectơ đơn vị trong R
n
là hệ độc lập tuyến tính.
(ii) Ta có : k
1
A
1
+ k
2
A
2
+ k
3
A
3
= 0
4
.
k
1
(1, 0, 3, 2) + k
2
(2, 2, 0, 1)

+ k
3
(1, 2, 3, 1) = 0
4
(k
1
2k
2
k
3
, 2k
2
+ 2k
3
, 3k
1
+ 3k
3
, 2k
1
+ 3k
2
k
3
) = 0
4
k
1
= k

2
= k
3
, k
3
tuỳ ý.
Vậy hệ các vectơ {A
1
, A
2
, A
3
} trong R
4
là hệ phụ thuộc tuyến tính.
8.2.3. Tính chất của hệ vectơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến
tính.
Tính chất 1. Cho X R
n
. Hệ {X} là hệ độc lập tuyến tính X

0
n
.
Tính chất 2. Hệ {A
1
, A
2
, , A
m

} R
n
là hệ độc lập tuyến tính thì hệ đó
không chứa vectơ 0
n
. Do đó, một hệ vectơ trong R
n
chứa vectơ 0
n
là hệ phụ
thuộc tuyến tính.
Tính chất 3. Cho hệ {A
1
, A
2
, , A
m
} R
n
là hệ phụ thuộc tuyến tính. Thì
mọi hệ chứa nó cũng là hệ phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh. Vì {A
1
, A
2
, , A
m
} R
n
là hệ phụ thuộc tuyến tính nên tồn

tại bộ số k
1
, k
2
, , k
m
không đồng thời bằng 0 sao cho:
k
1
A
1
+ k
2
A
2
+ + k
m
A
m
= 0
n
.
Giả sử hệ {B
1
, B
2
, , B
p
} R
n

là hệ chứa hệ {A
1
, A
2
, , A
m
}. Thì m p
và bằng cách sắp xếp lại vị trí của các vectơ trong hệ ta có:
{B
1
, B
2
, , B
p
} = {A
1
, A
2
, , A
m
, C
m+1
, C
m+2
, , C
p
}.
Khi đó, k
1
A

1
+ k
2
A
2
+ + k
m
A
m
+ 0.C
m+1
+ 0.C
m+2
+ + 0.C
p
= 0
n
.
Chứng tỏ hệ {B
1
, B
2
, , B
p
} là hệ phụ thuộc tuyến tính.
Nhận xét 8.4. Từ tính chất 3 suy ra một hệ vectơ độc lập tuyến tính trong
R
n
thì mọi hệ con của nó cũng độc lập tuyến tính.
8.2.4. Các định lý.

Định lý 8.1. Điều kiện cần và đủ để một hệ m vectơ n chiều (m 2) phụ
thuộc tuyến tính là trong hệ đó có ít nhất một vectơ biểu thị tuyến tính qua
các vectơ còn lại của hệ.
Chứng minh. Giả sử hệ {A
1
, A
2
, , A
m
} R
n
là hệ phụ thuộc tuyến tính.
Vậy tồn tại bộ số k
1
, k
2
, , k
m
không đồng thời bằng 0 (chẳng hạn k
1
0)
sao cho:
k
1
A
1
+ k
2
A
2

+ + k
m
A
m
= 0
n
.
=
2 3
1 2 3
1 1 1
m
m
k
k k
A A A A
k k k
.
Chứng tỏ A
1
biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại của hệ.
Ngợc lại, nếu trong hệ có A
j
biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại
của hệ. Thì tồn tại các số k
1
, k
2
, , k
j-1

, k
j+1
, , k
m
sao cho:
A
j
= k
1
A
1
+ k
2
A
2
+ + k
j-1
A
j-1
+ k
j+1
A
j+1
+ + k
m
A
m
.
k
1

A
1
+ k
2
A
2
+ + k
j-1
A
j-1
+(1) A
j
+ k
j+1
A
j+1
+ + k
m
A
m
= 0
n
với k
j
= 1 0. Vậy {A
1
, A
2
, , A
m

} là hệ phụ thuộc tuyến tính.
Nhận xét 8.5. Định lý 8.1 cho ta thấy để chứng minh một hệ vectơ phụ
thuộc tuyến tính ta chỉ cần chỉ ra trong hệ có một vectơ biểu thị tuyến
tính qua các vectơ còn lại của hệ là đủ. Chẳng hạn, trong ví dụ 8.8 (ii)
không cần làm dài dòng nh vậy mà chỉ cần nói A
3
= A
1
+ A
2
suy ra hệ đó
phụ thuộc tuyến tính.
Định lý 8.2. Nếu hệ {A
1
, A
2
, , A
m
} R
n
là hệ độc lập tuyến tính, vectơ X
biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ {A
1
, A
2
, , A
m
}. Thì cách biểu thị
đó là duy nhất.
Chứng minh. Giả sử vectơ X có hai cách biểu thị tuyến tính qua các

vectơ của hệ {A
1
, A
2
, , A
m
} là:
X = k
1
A
1
+ k
2
A
2
+ + k
m
A
m
và X = h
1
A
1
+ h
2
A
2
+ + h
m
A

m
.
X X = (k
1
h
1
)A
1
+ (k
2
h
2
)A
2
+ + (k
m
h
m
)A
m
= 0
n
. (8.1)
Mà hệ {A
1
, A
2
, , A
m
} là hệ độc lập tuyến tính nên từ (8.1) suy ra

k
j
= h
j
(j = 1,2, ,m).(đpcm)
Nhận xét 8.6. Theo kết quả của ví dụ 8.8 (i) thì hệ các vectơ đơn vị {E
1
,
E
2
, , E
n
} trong R
n
là hệ độc lập tuyến tính. Nếu X = (x
1
, x
2
, , x
n
) R
n
.
Thì X = x
1
E
1
+ x
2
E

2
+ + x
n
E
n
. Hay X biểu thị tuyến tính qua các vectơ
của hệ độc lập tuyến tính {E
1
, E
2
, , E
n
}. Kết hợp với định lý 8.2 ta có thể
kết luận rằng: Mỗi vectơ trong R
n
đều đợc biểu thị tuyến tính duy nhất
qua các vectơ của hệ các vectơ đơn vị {E
1
, E
2
, , E
n
}.
Chúng ta công nhận định lý sau:
Định lý 8.3. Trong R
n
cho hai hệ vectơ {A
1
, A
2

, , A
m
} và {B
1
, B
2
, , B
k
} với
k > m. Đồng thời mỗi vectơ của hệ {B
1
, B
2
, , B
k
} đều biểu thị tuyến tính
qua các vectơ của hệ {A
1
, A
2
, , A
m
}. Thì hệ {B
1
, B
2
, , B
k
} phụ thuộc tuyến
tính.

8.3. cơ sở và số chiều của không gian vectơ
8.3.1. Hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại trong R
n
.
Định nghĩa 8.7. Hệ vectơ {A
1
, A
2
, , A
m
} R
n
đợc gọi là hệ vectơ độc lập
tuyến tính cực đại trong R
n
nếu hệ đó độc lập tuyến tính và khi bổ sung
thêm bất kỳ một vectơ n chiều nào khác vào hệ thì đợc hệ mới phụ thuộc
tuyến tính.
Ví dụ 8.9.
(i) Hệ các vectơ đơn vị {E
1
,E
2
, ,E
n
}trong R
n
là hệ độc lập tuyến tính
cực đại trong R
n

(điều này đợc suy ra từ nhận xét 8.6 và định lý 8.1).
(ii) Trong R
n
cho hệ vectơ:
A
1
= (1,0,0, ,0), A
2
= (0,2,0, ,0), , A
n
= (0,0,0, ,n).
CMR: hệ {A
1
, A
2
, , A
n
} độc lập tuyến tính cực đại trong R
n
.
Thật vậy, k
1
A
1
+ k
2
A
2
+ + k
n

A
n
= 0
n
k
1
(1,0,0, ,0) + k
2
(0,2,0, ,0)

+ + k
n
(0,0,0, ,n) = 0
n
(k
1
,0,0, ,0) + (0,2 k
2
,0, ,0)

+ + (0,0,0, ,n k
n
) = 0
n
(k
1
,2 k
2
, ,n k
n

) = 0
n
k
1
= k
2
= = k
n
= 0 (8.2)
Mặt khác, Vectơ bất kỳ X = (x
1
, x
2
, , x
n
) R
n
. Thì:
X = x
1
A
1
+
x
2
2
A
2
+ +
n

x
n
A
n
.
Hay X biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ {A
1
, A
2
, , A
n
}. Kết
hợp với (8.2) ta đợc hệ {A
1
,A
2
, ,A
n
} độc lập tuyến tính cực đại trong R
n
.
Nhận xét 8.7. Nếu một hệ độc lập tuyến tính trong R
n
và mọi vectơ thuộc
R
n
đều biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ đó. Thì hệ đó độc lập
tuyến tính cc đại trong R
n
.

Thật vậy, giả sử hệ {A
1
, A
2
, , A
m
} R
n
là hệ độc lập tuyến tính và
mọi vectơ thuộc R
n
đều biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ đó.
Lấy vectơ bất kỳ X R
n
thì tồn tai các số k
1
, k
2
, , k
m
sao cho:
X = k
1
A
1
+ k
2
A
2
+ + k

m
A
m
.
Bổ sung X vào hệ {A
1
, A
2
, , A
m
} thì đợc hệ mới {A
1
, A
2
, , A
m
,X} là
hệ phụ thuộc tuyến tính (vì X biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại của
hệ). Do đó hệ {A
1
, A
2
, , A
m
} độc lập tuyến tính cực đại trong R
n
.
Đinh lý 8.4 (Tính chất của hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại trong R
n
).

Trong R
n
có nhiều hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại. Nhng mỗi hệ
vectơ độc lập tuyến tính cực đại trong R
n
đều có số vectơ bằng nhau và
bằng n. Số n đợc gọi là số chiều của R
n
.
Chứng minh. Theo kết quả của ví dụ 8.9 (i) thì hệ các vectơ đơn vị
{E
1
,E
2
, ,E
n
} là hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại trong R
n
với số vectơ
của hệ là n.
Giả sử hệ {A
1
, A
2
, , A
m
} R
n
là hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại
trong R

n

khác với hệ {E
1
,E
2
, ,E
n
} ta cần chứng minh m = n.
Giả sử m > n. Vì hệ {A
1
,A
2
, ,A
m
} độc lập tuyến tính cực đại trong R
n
nên nó là hệ độc lập tuyến tính và mỗi vectơ trong hệ các vectơ đơn vị
{E
1
,E
2
, ,E
n
} của R
n
đều đợc biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ {A
1
,
A

2
, , A
m
}. áp dụng định lý 8.3 ta đợc hệ {A
1
, A
2
, , A
m
} phụ thuộc tuyến
tính. Trái với giả thiết m n.
Mặt khác, nếu n > m chứng minh tơng tự nh trên nhng đổi vai trò
của hai hệ {A
1
, A
2
, , A
m
} và {E
1
,E
2
, ,E
n
} cho nhau ta lại đợc n m từ đó
suy ra m = n.(đpcm)
Định nghĩa 8.8. Mỗi hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại trong R
n
đợc gọi
là một cơ sở của không gian R

n
.
Ví dụ 8.10. Từ định nghĩa 8.8 và ví dụ 8.9 ta có:
(i) Hệ các vectơ đơn vị {E
1
,E
2
, ,E
n
} là một cơ sở của không gian R
n
.
(ii) Hệ {A
1
, A
2
, , A
n
} đợc cho bởi:
A
1
= (1,0,0, ,0), A
2
= (0,2,0, ,0), , A
n
= (0,0,0, ,n)
là một cơ sở của không gian R
n
.
Định nghĩa 8.9. Giả sử hệ {A

1
, A
2
, , A
n
} là một cơ sở của R
n
, X là một
vectơ trong R
n
và
X = k
1
A
1
+ k
2
A
2
+ + k
n
A
n
.
Thì bộ số (k
1
, k
2
, , k
n

) là duy nhất (định lý 8.2) và đợc gọi là toạ độ
của vectơ X theo cơ sở {A
1
, A
2
, , A
n
}, hay vectơ hệ số phân tích của vectơ X
theo cơ sở {A
1
, A
2
, , A
n
}.
Ví dụ 8.11.
(i) Hệ các vectơ đơn vị {E
1
,E
2
, ,E
n
} là một cơ sở của không gian R
n
,
X = (x
1
,x
2
, ,x

n
) R
n
. Thì
X = x
1
E
1
+ x
2
E
2
+ + x
n
E
n

Vậy (x
1
,x
2
, ,x
n
) là toạ độ của vectơ X theo cơ sở {E
1
,E
2
, ,E
n
}.

(ii) Hệ {A
1
, A
2
, , A
n
} đợc cho bởi:
A
1
= (1,0,0, ,0), A
2
= (0,2,0, ,0), , A
n
= (0,0,0, ,n)
là một cơ sở của không gian R
n
, X = (x
1
,x
2
, ,x
n
) R
n
. Thì
X = x
1
A
1
+

x
2
2
A
2
+ +
n
x
n
A
n
.
Vậy
n
x
x
x , , ,
n

ữ

2
1
2
là toạ độ của X theo cơ sở {A
1
, A
2
, , A
n

}.
Nhận xét 8.8. Từ các kết quả của ví dụ 8.11 ta có các kết quả sau:
(i) Toạ độ của một vectơ trong R
n
theo cơ sở đơn vị là chính nó.
(ii) Một vectơ trong R
n
nhng toạ độ của nó theo hai cơ sở khác nhau
của R
n
thì khác nhau.
8.3.2. Cơ sở và số chiều của không gian con.
Trong phần này ta luôn giả thiết C là một không gian con của R
n
.
Định nghĩa 8.9. Hệ {A
1
, A
2
, , A
m
} C đợc gọi là hệ độc lập tuyến tính
cực đại trong C nếu hệ đó là hệ độc lập tuyến tính, đồng thời khi bổ sung
thêm bất kỳ một vectơ nào khác của C vào hệ đó thì đợc một hệ mới phụ
thuộc tuyến tính.
Ví dụ 8.12. Cho C = {X = (a, a + b, a b) R
3
a, b R }, A
1
= (1, 1, 1) và

A
2
= (0, 1, 1). Chứng minh rằng:
(i) C là một không gian con của R
3
.
(ii) Hệ {A
1
, A
2
} là hệ độc lập tuyến tính cực đại trong C.
Giải. (i) Ta có: 0
3
= (0,0,0) = (0, 0+0, 00) C. C . (8.3)
Lấy X, Y bất kỳ trong C thì X = (a, a+b, ab), Y = (c, c+d, cd) với
a, b, c, d là các số thực bất kỳ. Khi đó,
X + Y = [(a+c), (a+c)+(b+d), (a+c)(b+d)] C ; (8.4)
k X = (ka, ka+kb, kakb) C. (k R) (8.5)
Từ (8.3), (8.4) và (8.5) C là không gian con của R
3
.
(ii) Ta có: A
1
= (1, 1, 1) = A
1
= (1, 1+0, 10) C ; (8.6)
A
2
= (0, 1, 1) = A
2

= (0, 0+1, 01) C . (8.7)
Từ (8.6), (8.7) hệ {A
1
, A
2
} C .
Ta lại có: k A
1
+ h A
2
= 0
3
(k, k+h, kh) = 0
3
k = h = 0. (8.8)
Lấy X bất kỳ thuộc C thì X = (a, a+b, ab) với a, b là các số thực,
nên
X = (a, a+b, ab) =(a,a,a) + (0, b, b) = aA
1
+ bA
2
. (8.9)
Từ (8.8), (8.9) hệ {A
1
, A
2
} độc lập tuyến tính cực đại trong C .
Đinh lý 8.5 (Tính chất của hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại trong
không gian con).
Trong không gian con C của R

n
có nhiều hệ vectơ độc lập tuyến tính
cực đại. Nhng mỗi hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại trong C đều có số
vectơ bằng nhau.
Định nghĩa 8.10. Mỗi hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại trong không
gian con C đợc gọi là một cơ sở của không gian con đó. Số vectơ trong
một cơ sở của không gian con C đợc gọi là số chiều của không gian con
đó và ký hiệu là dim C .
Ví dụ 8.13. Cho C = {X = (a+c, a+b, b+c, 2a+b+c) R
4
a, b, c R }.
(i) Chứng minh rằng C là một không gian con của R
4
.
(ii) Tìm một cơ sở và tinh số chiều của C.
Giải. (i) Ta có: 0
3
= (0,0,0,0) = (0+0, 0+0, 0+0.2.0+0+0) C. C .
Lấy X, Y bất kỳ trong C thì X = (x
1
+ x
3
, x
1
+x
2
,x
2
+ x
3

, 2x
1
+ x
2
+x
3
), Y
= (y
1
+ y
3
, y
1
+y
2
,y
2
+y
3
, 2 y
1
+y
2
+y
3
) với x
j
, y
j
(j =1, 2, 3) là các số thực bất kỳ.

Khi đó, X+Y C; k X C. (k R)
C là không gian con của R
4
.
(ii) Lấy X bất kỳ thuộc C thì X = (a+c, a+b, b+c, 2a+b+c)
= (a,a,0,2a) +(0,b,b,b) + (c,0,c,c) = a A
1
+ b A
2
+ c A
3
,
trong đó A
1
= (1,1,0,2) = (1+0,1+0, 0+0,2+0+0) C ;
A
2
= (0,1,1,1) = (0+0,0+1,1+0,2.0+1+0) C ;
A
3
= (1,0,1,1) = (0+1,0+0, 0+1, 2.0+0+1) C .
Vậy hệ {A
1
, A
2
, A
3
} C và A
1
A

2
= A
3
.
Ta lại có: a A
1
+ b A
2
=0
4
(a, a+b, b,2a+b)=0
4
a= b = 0. Do đó hệ
{A
1
, A
2
} độc lập tuyến tính.
Lấy X bất kỳ thuộc C thì X = (a+c, a+b, b+c, 2a+b+c) với a, b, c là
các số thực, nên
X = (a,a,0,2a) +(0,b,b,b) + (c,0,c,c) = (a+c)A
1
+ (bc)A
2
hệ {A
1
, A
2
} độc lập tuyến tính cực đại trong C . Vì vậy hệ {A
1

,
A
2
} là một cơ sở của C và dim C = 2.
8.4. hạng của hệ vectơ
8.4.1. Phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào một hệ vectơ.
Định nghĩa 8.10. Trong R
n
, cho hệ vectơ {A
1
, A
2
, , A
m
}. Các phép biến
đổi sau đây thực hiện vào hệ vectơ {A
1
, A
2
, , A
m
} đợc gọi là các phép biến
đổi sơ cấp thực hiện vào hệ vectơ đó:
Đổi chỗ hai vectơ cho nhau;
Nhân một vectơ trong hệ với một hằng số tuỳ ý khác 0;
Nhân một vectơ trong hệ với một hằng số tuỳ ý rồi cộng vào một vectơ
khác của hệ.
Chú ý 8.2. Khi thực hiện phép biến đổi sơ cấp vào một hệ vectơ trong R
n
thì hệ đã cho đợc đa về một hệ mới. Trong hệ mới đó có vectơ thay đổi và

vectơ không thay đổi, cụ thể là:
Đối với phép biến đổi thứ nhất, vectơ đợc cộng vào là vectơ thay đổi,
các vectơ khác không đổi.
Đối với phép biến đổi thứ hai vectơ đợc nhân với hằng số là vectơ
thay đổi, các vectơ khác không đổi.
Đối với phép biến đổi thứ ba, vectơ đợc cộng thêm vào là vectơ thay
đổi, các vectơ khác không đổi.
Ví dụ 8.14. Trong R
4
cho hệ{A
1
, A
2
, A
3
} với A
1
= (1,0,2,1); A
2
= (1,3,0,0) và
A
3
= (0,1,1,2).
Cộng A
1
vào A
2
thì đợc hệ mới là:
A
1

= (1,0,2,1); A

2
= (2,3,2,1); A
3
= (0,1,1,2).
Nhân A
1
với 2 thì đợc hệ mới là:
A

1
= (2,0,4,2); A
2
= (1,3,0,0); A
3
= (0,1,1,2).
Nhân A
1
với 2 rồi cộng vào A
3
thì đợc hệ mới là:
A
1
= (1,0,2,1); A
2
= (1,3,0,0); A

3
= (2,1,5,4).

8.4.2. Hệ con độc lập tuyến tính cực đại của một hệ vectơ.
Cho m và p là các số nguyên, dơng, 1 p m và hệ {A
1
, A
2
, , A
m
}
R
n
. Từ hệ {A
1
, A
2
, , A
m
} lấy ra p vectơ giả sử đó là các vectơ B
1
, B
2
, , B
p
.
Thì hệ {B
1
, B
2
, , B
p
} đợc gọi là hệ con của hệ {A

1
, A
2
, , A
m
}.
Định nghĩa 8.11. Hệ {B
1
, B
2
, , B
p
} đợc gọi là hệ con độc lập tuyến tính
cực đại trong hệ {A
1
, A
2
, , A
m
} R
n
nếu hệ {B
1
, B
2
, , B
p
} độc lập tuyến
tính và khi bổ sung thêm bất kỳ một vectơ nào khác trong hệ {A
1

,A
2
, , A
m
}
vào hệ {B
1
, B
2
, , B
p
} thì đợc hệ mới phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ 8.15. Trong R
5
cho hệ {A
1
, A
2
, A
3
, A
4
} với:
A
1
= (1,0,2,1,0); A
2
= (1,3,0,0,1);
A
3

= (2,3,2,1,1); A
4
= (0,3,2,1, 1).
CMR hệ {A
1
, A
2
} độc lập tuyến tính cực đại trong hệ {A
1
, A
2
, A
3
, A
4
}.
Giải.
Để chứng minh hệ {A
1
, A
2
} độc lập tuyến tính cực đại trong hệ {A
1
,
A
2
, A
3
, A
4

} ta cần chứng minh hệ {A
1
, A
2
} độc lập tuyến tính và các hệ
{A
1
,A
2
,A
3
}, {A
1
,A
2
,A
4
} phụ thuộc tuyến tính.
Ta có: a A
1
+ b A
2
= 0
5
(a+b,3b,2a,a,b) = 0
5
a = b = 0. Hay hệ
{A
1
, A

2
} độc lập tuyến tính.
A
3
= A
1
+ A
2
; A
4
= A
1
A
2
. Chứng tỏ các hệ {A
1
,A
2
,A
3
}, {A
1
,A
2
,A
4
} là
những hệ phụ thuộc tuyến tính do đó hệ {A
1
, A

2
} độc lập tuyến tính cực
đại trong hệ {A
1
, A
2
, A
3
, A
4
}.
Ví dụ 8.16.
(i) Hệ {0
n
} không có hệ con độc lập tuyến tính cực đại.
(ii) Hệ {X} với X 0
n
có hệ con độc lập tuyến tính cực đại là chính nó.
(iii) Trong R
n
cho hệ {A
1
, A
2
, , A
m
} là hệ độc lập tuyến tính thì hệ
con độc lập tuyến tính cực đại trong hệ {A
1
, A

2
, , A
m
} là chính nó.
Nhận xét 8.9. Với A
1
, A
2
, A
3
, A
4
đợc cho nh trong ví dụ 8.15, ta cũng
chứng minh đợc mỗi hệ trong các hệ {A
1
, A
3
}, {A
1
, A
4
}, {A
2
, A
3
}, {A
2
, A
4
},

{A
3
, A
4
} đều là hệ độc lập tuyến tính cực đại trong hệ {A
1
, A
2
, A
3
, A
4
}. Qua
đó ta thấy hệ vectơ {A
1
, A
2
, A
3
, A
4
} có nhiều hệ con độc lập tuyến tính cực
đại, mỗi hệ con độc lập tuyến tính cực đại đó đều có số vectơ bằng nhau và
bằng 2. Vấn đề đặt ra là kết luận trên có đúng cho mọi hệ vectơ hay
không? Định lý sau đây khẳng định điều đó.
Đinh lý 8.6 .Một hệ vectơ trong R
n
có thể có nhiều hệ con độc lập tuyến
tính cực đại. Nhng mỗi hệ con độc lập tuyến tính cực đại của nó đều có số
vectơ bằng nhau.

Định nghĩa 8.12. Mỗi hệ con độc lập tuyến tính cực đại của một hệ vectơ
trong R
n
đợc gọi là một cơ sở của hệ vectơ đó.
Nhận xét 8.10. Từ nhận xét 8.9 và định lý 8.6 ta thấy một hệ vectơ trong
R
n
có thể có nhiều cơ sở.
Ví dụ 8.17. Cho hệ 4 vectơ:
A = (2,1,2,3); B =(1,3,4,4); C = (1,1,6,2); D = (2,5,2,7).
Tìm một cơ sở của hệ vectơ {A,B,C,D}.
Giải. Ta có D = A + 2B 2C nên hệ {A,B,C,D} là hệ phụ thuộc tuyến tính.
Xét aA + bB + cC = 0
4

(2a +b+c, a+3b+c, 2a+4b+6c, 3a+4b+2c) = 0
4
a = b = c = 0.
Chứng tỏ hệ {A,B,C} độc lập tuyến tính. Do đó, nó độc lập tuyến
tính cực đại trong hệ {A,B,C,D}. Vậy hệ {A,B,C} là một cơ sở của hệ
{A,B,C,D}. Tơng tự, chúng ta cũng chứng minh đợc mỗi hệ con gồm ba
vectơ trong bốn vectơ của hệ {A,B,C,D}, đều lập thành một cơ sở của hệ
{A,B,C,D}.
8.4.3. Hạng của hệ vectơ.
Định nghĩa 8.13. Hạng của một hệ vectơ trong R
n
là số vectơ của một hệ
con độc lập tuyến tính cực đại trong hệ vectơ đó.
Ký hiệu hạng của hệ vectơ {A
1

, A
2
, , A
m
} R
n
là: hg(A
1
, A
2
, , A
m
)
hoặc h(A
1
, A
2
, , A
m
).
Cho hệ vectơ {A
1
,A
2
, ,A
m
} R
n
; r = hg(A
1

, A
2
, , A
m
). Thì trong hệ
{A
1
,A
2
, , A
m
} có ít nhất một hệ con độc lập tuyến tính cực đại gồm r vectơ
và ta có: 0 r m.
r = 0 A
1
= A
2
= = A
m
=0
n
.
r = m hệ vectơ {A
1
,A
2
, ,A
m
} đôc lập tuyến tính.
r < m hệ vectơ {A

1
,A
2
, ,A
m
} phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ 8.18.
(i) hg(0
n
) = 0, hg(X) = 1 (X R
n
\{0
n
}).
(ii) hg(A
1
, A
2
, A
3
, A
4
) =2 với A
1
, A
2
, A
3
, A
4

đợc cho nh trong ví dụ 8.15.
(iii) hg(E
1
, E
2
, , E
n
) =n với E
1
, E
2
, , E
n
là các vectơ đơn vị trong R
n
.
Đinh lý 8.7. Nếu thêm vào hoặc bớt đi ở một hệ vectơ trong R
n
, một tổ hợp
tuyến tính của các vectơ trong hệ đó thì không làm thay đổi hạng của hệ
vectơ đó.
Chứng minh. Giả sử hệ vectơ {A
1
,A
2
, ,A
m
} R
n
có r = hg(A

1
, A
2
, , A
m
).
Vậy trong hệ {A
1
,A
2
, ,A
m
} có một hệ con độc lập tuyến tính cực đại gồm r
vectơ, không giảm tổng quát giả sử đó là các vectơ A
1
,A
2
, ,A
r
. Khi đó, mọi
vectơ còn lại của hệ {A
1
,A
2
, ,A
m
} đều biểu thị tuyến tính qua các vectơ
của hệ {A
1
,A

2
, ,A
r
}. Nghĩa là, tồn tại các số thực
j
i

(j = 1,2, ,m; i =
1,2, ,r) sao cho:
A
j
=
j j j
r r
A A A + + +
1 1 2 2
(j = 1,2, ,m).
Giả sử vectơ X
0
= k
1
A
1
+ k
2
A
2
+ + k
m
A

m
. Thì
X
0
= k
1
A
1
+ k
2
A
2
+ + k
r
A
r
+ k
r+1
(
r r r
r r
A A A
+ + +
+ + +
1 1 1
1 1 2 2
)
+ k
r+2
(

r r r
r r
A A A
+ + +
+ + +
2 2 2
1 1 2 2
) + + k
m
(
m m m
r r
A A A + + +
1 1 2 2
)
=
r r
A A A + + +
0 0 0
1 1 2 2
,
trong đó
i
=
0
( i = 1,2, ,r) là các số thực. chứng tỏ X
0
đợc biểu thị tuyến
tính qua các vectơ của hệ {A
1

,A
2
, ,A
r
}.
Nếu thêm vào hệ {A
1
,A
2
, ,A
m
} vectơ X
0
thì đợc hệ mới {A
1
,A
2
, ,A
m
,
X
0
}. Ta cần chứng minh hg(A
1
,A
2
, ,A
m
, X
0

) = r.
Thật vậy, theo kết quả trên thì hệ {A
1
,A
2
, ,A
r
} độc lập tuyến tính,
các hệ {A
1
,A
2
, ,A
r
, A
j
} (với r < j m) và hệ {A
1
,A
2
, ,A
r
, X
0
} phụ thuộc
tuyến tính vì có A
j
hoặc X
0
biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ {A

1
,A
2
,
,A
r
}. Nên hệ {A
1
,A
2
, ,A
r
} độc lập tuyến tính cực đại trong hệ
{A
1
,A
2
, ,A
m
,X
0
}, hay hg(A
1
,A
2
, ,A
m
,X
0
) = r.

Nếu bớt đi từ hệ {A
1
,A
2
, ,A
m
} vectơ X
0
ta chứng minh tơng tự.
Đinh lý 8.8. Các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào một hệ vectơ trong R
n
không làm thay đổi hạng của hệ vectơ đó.
Nhận xét 8.11.
(i) Giả sử hệ vectơ {A
1
,A
2
, ,A
m
} R
n
có r = hg(A
1
,A
2
, ,A
m
), hệ
{A
1

,A
2
, ,A
r
} là hệ con độc lập tuyến tính cực đại trong hệ {A
1
,A
2
, ,A
m
}.
Khi đó,
r = hg(A
1
,A
2
, ,A
r
) = hg(A
1
,A
2
, ,A
m
).
(ii) Giả sử hệ vectơ {A
1
,A
2
, ,A

m
} R
n
có A
m
biểu thị tuyến tính qua các
vectơ còn lại của hệ thì
hg(A
1
,A
2
, ,A
m-1
) = hg(A
1
,A
2
, ,A
m
).
(iii) Để tìm hạng của một hệ vectơ trong R
n
, ngời ta thờng sử dụng các
định lý 8.7 và 8.8 đa việc tìm hạng của một hệ vectơ phức tạp về việc tìm
hạng của một hệ vectơ đơn giản hơn.
Ví dụ 8.19. Tìm hạng của hệ vectơ sau:
A
1
= (1,0,2,3,0); A
2

= (2,1, 4, 6,0); A
3
= (3, 1, 2, 9,0); A
4
= (3, 1,6,3,0).
Giải. Ta có A
4
= A
1
+ A
2
nên theo nhận xét 8.11 (ii) ta có:
hg(A
1
,A
2
, A
3
,A
4
) = hg(A
1
,A
2
,A
3
).
Nhân A
1
với (2) rồi cộng vào A

2
đợc A

2
= (0,1,0,12,0).
Nhân A
1
với (3) rồi cộng vào A
3
đợc A

3
= (0, 1,8,0,0).
Theo định lý 8.8 ta có: hg(A
1
,A
2
,A
3
) = hg(A
1
, A

2
, A

3
).
Mặt khác, k
1

A
1
+ k
2
A

2
+ k
3
A

3
= 0
5

k
1
(1,0,2,3,0) + k
2
(0,1,0,12,0) + k
3
(0, 1,8,0,0) = 0
5
(k
1
,k
2
k
3
,2k

1
+8 k
3
,3 k
1
,12k
2
,0) = 0
5
k
1
= k
2
= k
3
= 0.
Vậy hệ {A
1
, A

2
, A

3
} độc lập tuyến tính nên hg(A
1
, A

2
, A

3
) = 3.
Do đó, hg(A
1
,A
2
, A
3
,A
4
) = hg(A
1
,A
2
,A
3
) = hg(A
1
, A

2
, A

3
) = 3.
Câu hỏi ôn tập chơng 8
Câu 1. Chứng minh bao tuyến tính của m véc tơ trong R
n
là một không

gian con của R
n
.
Câu 2. Định nghĩa hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính (PTTT), hệ véc tơ độc
lập tuyến tính (ĐLTT). Cho ví dụ minh hoạ bằng các hệ 3 véc tơ 4 chiều.
Câu 3. H y chỉ ra điều kiện cần và đủ để 1 hệ gồm:ã một véc tơ trong R
n
;
hai véc tơ trong R
n
là hệ PTTT.
Câu 4. Phát biểu và chứng minh các tính chất liên quan đến các hệ ĐLTT
và PTTT. Nêu các hệ quả của chúng.
Câu 5. Phát biểu và chứng minh các định lý 8.1 và 8.2.
Câu 6. Nêu hai định nghĩa hệ véc tơ độc lập tuyến tính cực đại trong R
n
.
Giải thích vì sao chúng tơng đơng nhau. Phát biểu và chứng minh định lý
8.4.
Câu 7. Nêu các định nghĩa hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ véc
tơ. Định nghĩa hạng của hệ véc tơ. Chứng minh các tính chất về hạng của
hệ véc tơ.
Câu 8. Các phép biến đổi sơ cấp với hệ véc tơ. Phát biểu định lý về sự bảo
toàn hạng của hệ véc tơ qua các phép biến đổi sơ cấp. Chứng minh định lý
trên cho phép biến đổi sơ cấp loại 3.
Câu 7. Định nghĩa hệ véc tơ độc lập tuyến tính cực đại và số chiều của
không gian con của R
n
.
Câu 10. Cho hệ véc tơ {A

1
,A
2
, ,A
m
,A} R
n
, trong đó hệ con
{A
1
,A
2
, ,A
m
}
là hệ ĐLTT. Chứng minh hệ vectơ đ cho là PTTT khi và chỉ khi A là tổã
hợp tuyến tính của các véc tơ đứng trớc nó.
Câu 11. Sử dụng định lý 3 về sự ĐLTT và PTTT, chứng minh trong R
n
:
a) Mọi hệ véc tơ ĐLTT chứa không quá n véc tơ.
b) Mọi hệ có số véc tơ lớn hơn n đều PTTT.
c) Mọi hệ ĐLTT gồm đúng n véc tơ là một cơ sở.
Câu 12. Nếu một hệ véc tơ trong R
n
có hạng bằng r, h y chứng tỏ rằngã
mọi hệ con ĐLTT của nó nếu chứa đúng r véc tơ sẽ là một cơ sở.
Câu 13. Cho hệ véc tơ {A
1
,A

2
, ,A
m
} R
n
. Chứng minh rằng:
hệ (A
1
,A
2
, ,A
m
) ĐLTT hg(A
1
,A
2
, ,A
m
)= m
hệ (A
1
,A
2
, ,A
m
) PTTT hg(A
1
,A
2
, ,A

m
) < m
Câu 14. Chứng minh rằng nếu véc tơ A R
n
biểu thị tuyến tính qua các
véc tơ của một hệ PTTT thì cách biểu thị đó không phải là duy nhất.