ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN I NĂM 2010 MÔN TOÁN VÀ ĐÁP ÁN

Sở GD ĐT Vĩnh Phúc
Trờng THPT Tam Dơng

đề thi Khảo sát chuyên đề lớp 12
Môn: Toán
Thi gian lm bi: 180 phỳt
Cõu 1 (2.0 im): Cho hm s
3 2 3
3 4y x mx m= +
(m l tham s) cú th l (C
m
)
1. Kho sỏt v v th hm s khi m = 1.
2. Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i v cc tiu i xng nhau qua ng
thng y = x.
Cõu 2 (2.0 im ) :
1. Gii phng trỡnh:
2
3 4 2sin 2
2 3 2(cotg 1)
sin 2
cos
x
x
x
x
+
+ = +
.

2. Tỡm m h phng trỡnh:
3 3 2
2 2 2
3 3 2 0
1 3 2 0
x y y x
x x y y m

+ =


+ + =


cú nghim thc.
Cõu 3 (2.0 im): 2. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P) v
ng thng (d) ln lt cú phng trỡnh:
(P): 2x y 2z 2 = 0; (d):
1 2
1 2 1
x y z+
= =

1. Vit phng trỡnh mt cu cú tõm thuc ng thng (d), cỏch mt phng (P) mt
khong bng 2 v vt mt phng (P) theo giao tuyn l ng trũn cú bỏn kớnh bng 3.
2. Vit phng trỡnh mt phng (Q) cha ng thng (d) v to vi mt phng (P)
mt gúc nh nht.
Cõu 4 (2.0 im):
1. Cho parabol (P): y = x
2

. Gi (d) l tip tuyn ca (P) ti im cú honh x = 2.
Gi (H) l hỡnh gii hn bi (P), (d) v trc honh. Tớnh th tớch vt th trũn xoay
sinh ra bi hỡnh (H) khi quay quanh trc Ox.
2. Cho x, y, z l cỏc s thc dng tha món: x
2
+ y
2
+ z
2
3. Tỡm giỏ tr nh nht ca
biu thc:
1 1 1
1 1 1
P
xy yz zx
= + +
+ + +
Cõu 5 (2.0 im):
1. Trong mt phng vi h ta Oxy, hóy lp phng trỡnh tip tuyn chung ca elip
(E):
2 2
1
8 6
x y
+ =
v parabol (P): y
2
= 12x.
2. Tỡm h s ca s hng cha x
8

trong khai trin Newton:
12
4
1
1 x
x


ữ

o0o
Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.
H v tờn thớ sinh: SBD:
Câu Nội dung
Điểm
I
1. Khi m = 1, hàm số có dạng: y = x
3
− 3x
2
+ 4
+ TXĐ: R
+ Sự biến thiên: y’ = 3x
2
− 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Hàm số đồng biến trên: (−∞; 0) và (2; +∞)
Hàm số nghich biến trên: (0; 2)
Hàm số đạt CĐ tại x
CĐ
= 0, y

CĐ
= 4; đạt CT tại x
CT
= 2, y
CT
= 0
y” = 6x − 6 = 0 ⇔ x = 1
Đồ thị hàm số lồi trên (−∞; 1), lõm trên (1; +∞). Điểm uốn (1; 2)
0.25
Giới hạn và tiệm cận:
3
3
3 4
lim lim 1
x x
y x
x
x
→±∞ →±∞
 
= − + = ±∞
 ÷
 
0.25
LËp BBT:
0.25
§å thÞ:
0.25
2/. Ta có: y’ = 3x
2

− 6mx = 0 ⇔
0
2
x
x m
=


=

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ≠ 0.
0.25
Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m
3
), B(2m; 0) ⇒
3
(2 ; 4 )AB m m= −
uuur
Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m
3
)
0.25
Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với
đường thẳng y = x và I thuộc đường thẳng y = x
0.25
0
x
4
+∞
−∞

−
+
+
0
0
y’
−∞
2
+∞
y
0
x
y
O
3
3
2 4 0
2
m m
m m

− =

⇔

=


Giải ra ta có:
2

2
m = ±
; m = 0 0.25
Kết hợp với điều kiện ta có:
2
2
m = ±
II
2/. Đk:
2
x k
π
≠
0.25
Phương trình đã cho tương đương với:
( )
2
2 2
2
2
4
3 1 2 3 2
sin 2
2(sin cos )
3 3 2
sin cos
3 2 3 0
tg cotg
tg cotg
tg tg

x x
x
x x
x x
x x
x x
+ + − =
+
⇔ + − =
⇔ + − =
0.25
⇔
3
3
1
3
6
tg
tg
x k
x
x
x k
π


= − + π
= −



⇔


π
=

= + π




0.25
KL: So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm :
6 2
x k
π π
= +
; k∈Z 0.25
2/.
3 3 2
2 2 2
3 3 2 0 (1)
1 3 2 0 (2)
x y y x
x x y y m

− + − − =


+ − − − + =



Điều kiện:
2
2
1 0 1 1
0 2
2 0
x x
y
y y

− ≥ − ≤ ≤


⇔
 
≤ ≤
− ≥




0.25
Đặt t = x + 1 ⇒ t∈[0; 2]; ta có (1) ⇔ t
3
− 3t
2
= y
3

− 3y
2
.
0.25
Hàm số f(u) = u
3
− 3u
2
nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên:
(1) ⇔ y = y ⇔ y = x + 1 ⇒ (2) ⇔
2 2
2 1 0x x m− − + =
0.25
Đặt
2
1v x= −
⇒ v∈[0; 1] ⇒ (2) ⇔ v
2
+ 2v − 1 = m.
Hàm số g(v) = v
2
+ 2v − 1 đạt
0;1 0;1
min ( ) 1; m ( ) 2
[ ] [ ]
axg v g v= − =
Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1 ≤ m≤ 2
0.25
III
1/. Đường thẳng (∆) có phương trình tham số là:

1 2 ;
2

x t
y t t R
z t
= −


= − + ∈


= +

0.25
Gọi tâm mặt cầu là I. Giả sử I(−t; −1 + 2t; 2+ t)∈(∆).
Vì tâm mặt cầu cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 nên:
| 2 1 2 4 2 2 | |6 5|
( ; ) 3
3 3
t t t t
d I
− + − − − − +
∆ = = =
⇔
2
3
7
3
t

t

=



= −


0.25
⇒ Có hai tâm mặt cầu:
2 1 8 7 17 1
; ; ; ;
3 3 3 3 3 7
vµ I I
   
− − −
 ÷  ÷
   
Vì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính bằng 4 nên mặt cầu
có bán kính là R = 5.
0.25
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
2 2 2 2 2 2
2 1 8 7 17 1
25 25
3 3 3 3 3 3
vµ x y z x y z
           
+ + − + − = − + + + + =

 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
           
0.25
2/. Đường thẳng (∆) có VTCP
( 1;2;1)u = −
r
; PTTQ:
2 1 0
2 0
x y
x z
+ + =


+ − =

Mặt phẳng (P) có VTPT
(2; 1; 2)n = − −
r
0.25
Góc giữa đường thẳng (∆) và mặt phẳng (P) là:
| 2 2 2 | 6
sin
3
3. 6
− − −
α = =
⇒ Góc giữa mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (Q) cần tìm là
6 3
cos 1

9 3
α = − =
0.25
Giả sử (Q) đi qua (∆) có dạng: m(2x + y + 1) + n(x + z − 2) = 0 (m
2
+ n
2
> 0)
⇔ (2m + n)x + my + nz + m − 2n = 0
Vậy góc giữa (P) và (Q) là:
2 2
| 3 | 3
cos
3
3. 5 2 4
m
m n mn
α = =
+ +
0.25
⇔ m
2
+ 2mn + n
2
= 0 ⇔ (m + n)
2
= 0 ⇔ m = −n.
Chọn m = 1, n = −1, ta có: mặt phẳng (Q) là: x + y − z + 3 = 0
0.25
IV

1/. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 2 là: y = 4x − 4
0.25
Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là:
2 2
4 2
0 1
(4 4)V x dx x dx
 
= π − −
 ÷
 ÷
 
∫ ∫
0.25
=
5
3
2 2
16 16
( 1)
0 1
5 3 15
x
x
 
π
π − − =
 ÷
 
0.5

2/. Ta có:
[ ]
1 1 1
(1 ) (1 ) (1 ) 9
1 1 1
xy yz zx
xy yz zx
 
+ + + + + + + ≥
 ÷
+ + +
 
0.25
2 2 2
9 9
3
3
P
xy yz zx
x y z
⇔ ≥ ≥
+ + +
+ + +
0.25
⇒
9 3
6 2
P ≥ =
0.25
Vậy GTNN là P

min
=
3
2
khi x = y = z 0.25
V
1/. Giả sử đường thẳng (∆) có dạng: Ax + By + C = 0 (A
2
+ B
2
> 0)
(∆) là tiếp tuyến của (E) ⇔ 8A
2
+ 6B
2
= C
2
(1)
(∆) là tiếp tuyến của (P) ⇔ 12B
2
= 4AC ⇔ 3B
2
= AC (2)
0.25
Thế (2) vào (1) ta có: C = 4A hoặc C = −2A.
Với C = −2A ⇒ A = B = 0 (loại)
0.25
Với C = 4A ⇒
2
3

A
B = ±

⇒ Đường thẳng đã cho có phương trình:
2 2 3
4 0 4 0
3
3
A
Ax y A x y± + = ⇔ ± + =
0.25
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm:
2 3
4 0
3
x y± + =
0.25
V
Ta có:
12
12
12
4 4 12 4
12
0
1 1 1
1 1 ( 1)
k
k k
k

x x C x
x x x
−
=
 
     
+ − = − + = − +
 ÷  ÷  ÷
 
     
 
∑
0.25
( )
12 12
12 4 12 4 4
12 12
0 0 0 0
12
12 4 5
12
0 0
1
( 1) ( 1)
( 1)
i
k k
k i
k k i k k i k i i
k k

k i k i
k
k k i k i
k
k i
C C x C C x x
x
C C x
−
− − − −
= = = =
− −
= =
 
= − = −
 ÷
 
= −
∑ ∑ ∑∑
∑∑
0.25
Ta chọn: i, k ∈N, 0 ≤ i ≤ k ≤ 12; 4k − 5i = 8
⇒ i = 0, k = 2; i = 4 , k = 7; i = 8, k 12
0.25
Vậy hệ số cần tìm là:
2 0 7 4 12 8
12 2 12 7 12 12
. . . 27159C C C C C C− + = −
0.25