mot so khai niem co ban ve to po

Chuyên đề tô pô:
Tô pô đai c ơng:
I) các khái niệm cơ bản:
1.1 không gian tô pô:
ĐN: cho tập hợ X họ gồm các tập con của X tm:
1)

và X


.
2) G
i
,

i
.N

thì




Ii
i
G
3) G
i
,

i

.N

thì

Ii
i
G



.
Khi đó X cùng với

lập nên một không gian tô pô .
Kì hiệu :
(X;

).
1.2: Cơ sở của không gian tô pô :
Cho không gian tô pô (X;

).
Họ con B của

goi là một cơ sở của không gian tô pô trên nếu :
clXx /;
U của X ta tồn tai môt một tập mở V
B
sao cho; x
.UV

1.3 KGTP X gọi là thỏa mãn tiên đề điếm đợc thứ 2 nếu tô pô trên đó có
một cớ đếm đợc .
1.4 cho khgtp X ;A,B
X
khi đó :
Ta gọi tập A trù mật trong B nếu B
A
.
Ta nói tập A trù mật khắp nơi trong X nếu X=
A
.
1.5 Họ hữu hãn địa phơng :
Họ {A
S
} đgl họ hữ hạn địa phơng nếu
cVlxx /,
của x sao cho S
x
={s
|S
V
S
A


} Là tập hữu hạn.
1.6 Họ rời rạc :
Họ {A
S

} đgl họ rời rạc nếu : nếu
cVlxx /,
của x sao cho
Tập S
x
={s
|S
V
S
A


}có |S
x
|
.1

1.7không gian tách đợc
(X;

).,A và B là các tập con của X đgl tách đợc nếu :
.

== BABA
1.8: Sự định hớng trên một tập ;
Nguyễn Văn Nho . học viên CH toán 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD
toán.
X
V
U

Chuyên đề tô pô:
Cho tập D
.


Quan hệ

trên D đgl một s dịnh hớng trên D nếu :
a) m,n,p

D thì m
.; pmpnn
b) m
.; Dmm
c)m,n
D
thì

p
.,: npmpD
tập D cùng với một sự định hớng trên nó gọi là một tập định hớng .
kí hiệu (D;
).
1.9:Lới :
Là một ánh xạ S : D
X
đgl một lới trên X .
n
n
S

kí hiệu {S
n
,n
;D
} .
1.10. hội tụ theo lới :
Gs X là một không gian tô pô ; {S
n
,n
;D
} là một lới trên X.
Lới s
n
đgl hội tụ về điểm x trong X nếu mỗi lân cận U của x ta có Lới s
n
nằm trong U từ một lúc nào đó .
1.11: Điểm giới hạn của lới;
điểm x là điểm giới hạn của Lới {s
n
}
Dn
nếu mọi lân cận U của v ta có L-
ới {s
n
}
Dn
thờng xuyên găp U.
1.12 ; ánh xạ liên tục :cho các khtpô X và Y khi đó :
ánh xạ f : X
Y

gọi là liên tục nếu tạo ảnh của một tập mở là một tập
mở.
1.13:ánh xạ đồng phôi :
ánh xạ f :
YX
đgl phép đồng phôi nếu f là song ánh và f; f
1
là các
ánh xạ liên tục .
1.14 : ánh xạ mở:
Nguyễn Văn Nho . học viên CH toán 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD
toán.
xS
n
U
Chuyên đề tô pô:
ánh xạ f : X
Y
đgl ánh xạ mở nếu ảnh của một tập mở là một
tập mở.
1.115: ánh xạ đóng :
ánh xạ f : X
Y
đgl ánh xạ đóng nếu ảnh của một tập đóng trong
X là một tập đóng trong Y.
1.16 : ánh xạ thu hẹp :
Cho ánh xạ f : X
Y
khi đó
ánh xạ f

A
: A
Y
đgl ánh xạ thu hẹp của f lên tập A.
1.17: phủ của một tập :
Họ {A
S
}
Ss
đgl cái phủ của tập B nếu B

Ss
s
A


.
Họ {A
S
}
Ss
đgl cái phủ của X nếu X

Ss
s
A

=
.
1.18 : Phủ tơng thích :

Ta nói rằng tô pô

trên KGTP X là tơng thích với cái phủ {A
i
}
Ii
i
AMXM ;
mở (đóng) trong A
i
Ii
thì M mở (đóng) trong X.
1.19 : T
1
- không gian :
KGTP X đgl T
1
nếu
:,, yxXyx
một lân cân U của x và một lân
cận V của y sao cho : y
VxU ;
.

1.20 : T
2
- không gian ( không gian Haus doff)
Không gian tô pô X đgl : T
2
nếu :

;,, yxXyx
tồn tại các lân cận U
và V sao cho x

= VUVyU ,,
Nguyễn Văn Nho . học viên CH toán 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD
toán.
x
y
U
V
Chuyên đề tô pô:
.
1.21 : không gian chính quy :
KGTP X đgl không gian chính quy nếu :
,Xx
tập đóng F
không chửa x thì tồn tại hai lân cận U và V sao cho :
x
.,;

= VUVFU

1.22: T
3
- không gian :
KGTP X đgl : T
3
- không gian nêu X là T
1

- không gian và X là
không gian chính quy .
1.23 : không gian hoàn toàn chính quy .
KGTP X đgl không gian hoàn toàn chính quy nếu
;Xx
tập F
đóng thì tồn tại hàm liên tục f : X
]1;0[
sao cho
f(x) =0 nếu x

F
, f(x) =1 nếu x
F
.
Nguyễn Văn Nho . học viên CH toán 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD
toán.
x y
U
V
x
F
U V
Chuyên đề tô pô:
KGTP X đgl T
2
1
3
- không gian nếu X là T
1

và X là KG hoàn toàn
chính quy .
1.24: không gian chuẩn tắc :
KGTP X đgl chuẩn tắc nếu mọi cặp tập đóng rời nhau tồn tại hai
lân cân rời nhau.
KGTP X đgl T
4
- không gian nếu X là T
1
và X là không gian hoàn
toàn chính quy .
:
1.25 : tổng các không gian :
Cho họ các khong gian tô pô (X

;
)




:X
.


=X
.


.

Đặt X =




X
; Xét phép nhúng i

: X






X
.
Cho bởi i

Xxxx = ;)(
.
Khi đó tô pô mạnh nhất trên X sao cho các ánh xạ i

nói trên liên
tục đgl tô pô tông của các tô pô


,

X cùng vói tô pô tổng gọi là tổng trc tiếp tô pô của các không gian
tô pô X

nói trên .
KH : X =

X




1.26: tô pô tích :
Cho họ các không gian tô pô : (X

;
)




. ký hiệu ;
X =




X
={ x= (x
)

| x
Ư};


X
.
Mỗi


.
Gọi P

:




X

X
là phép chiếu cho bởi
P

(x) = x

;

=

)(xx

.
Nguyễn Văn Nho . học viên CH toán 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD
toán.
A B
U
V
A : đóng.
B: đóng.
X KG
HTCQUY
Chuyên đề tô pô:
Tô pô yếu nhất trên X sao cho các phép chiếu liên tục , đgl tô pô
tích của các tô pô


,


.
X =




X
cùng với tô pô tích đgl không gian tích. (Tích Tikhonop).
1.27 : không gian thơng :
Cho không tô pô (x;
)

,R là một quan hệ tơng đơng trên X .
Xét tập thơng X/R và ánh xạ
./: RXX
cho bởi :
T(x) =[x] ,x
,X
.khi đó tô pô mịn nhât để trên X /R sao cho ánh xạ nói
trên liên tục gọi là tô pô thơng trên X/R .
Tập X/R cùng với tô pô thơng gọi là không gian thơng .
1.28 : ánh xạ định giá :
G/s F= { f: X
f
Y
} là họ các ánh xạ f: X
f
Y
( kgtp ). Ta gọi ánh
xạ e : X



Ff
f
Y
cho bởi :
[e(x) ]
f
=f(x) ;
FfXx ,
là ánh xạ định giá .

1.29; ánh xạ tách các điểm:
Họ F= { f: X
f
Y
} các ánh xạ từ không gian tô pô x vào không gian
tô pô Y
f
đgl tách các điểm của X nếu
yx
, tồn tại f
F
sao cho f(x)

f(y) .
Họ F= { f: X
f
Y
} gọi là tách các điểm và tập đóng của X nếu mọi
tập đóng A
X
với
Xx

\ A tồn tại hàm f
F
sao cho f(x)
).( Af
Nguyễn Văn Nho . học viên CH toán 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD
toán.
[x]

[y]
[z]
x
X

X/R
Chuyên đề tô pô:
1.30 : giả mêtric:
Hàm d : X
Xì
:
R
đgl một giả meetric nếu t/m các đk:
1) d(x,y) = d(y,x) ,
., Xyx
2) d(x,y)

d(x,z) + d(z,y),
.,, Xzyx
3) x= y thì d(x,y) =0.
Tập X cùng với một giả meetric trên nó gọi là không gian giả meetric.
1.31: ánh xạ đẳng cự :
Cho các không gian giả mêtric (X,d ) và ( Y,
)

. khi đó ánh xạ ;
F : X
Y
đgl một phép đẳng cự nếu :

( f(x),f(y)) =d(x,y).
Hai không gian giả mêtric (X,d ) và ( Y,
)

gọi là đẳng cự với nhau nêu
tồn tai một phép đẳng cự f: X
.Y
1.32:không gian giả meetrich hóa :
Kgt pô X đgl giả meetric hóa đợc nếu tồn tại một một giải meetric d trên
đó sao cho


d
.
1.33: không gian Linđơlốp.
KGTP X đgl không gian Linđlốp nếu mỗi phủ mở của X ,chứ một phủ con
đếm đợc .
1.34: không gian com pắc :
KGTP X đgl không gian compắc mọi phủ mở của X đếu chứa một phủ
con hữu hạn .
Tập con A đgl tập compac nếu không gian con A của X với tô pô cảm
sinh là không gian compac.
1. 35: họ có giao hữu hạn :
Họ {A
Iii
Ư}
các tập con của KGTP X đgl có tính giao hữu hạn nếu :
.

Ji
i
A
,J
I
,J hữ hạn .
1.36: Lọc :
Họ

các tập con của X cho trớc đgl một lọc trong X nếu t/m các ĐK:
1) nếu A


, thì A
.


2) nếu A


, và B


thì A
B

.
3) Nếu A

và A
B
, thì B


.
1.37 : siêu lọc :
Lọc

trong tập hợp X đgl siêu lọc trong X nếu không có lọc nào
'

mà


'

và


'

.
1.37: lọc hội tụ về điểm x :
Lọc

trong không gian tô pô X đgl hội tụ về điểm x nếu u(x)

.
1.38 : không gian compac điaị phơng :
Nguyễn Văn Nho . học viên CH toán 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD
toán.
Chuyên đề tô pô:
KGTP X đgl cp địa phơng nếu
,Xx
một l/c V của x sao cho
V
là tập
compac.
1.39: com păc hóa một điểm:
G/s (X,
)

là kgt pô không com pắc .
.X
Đặt X

=X
{
}
.khí hiệu :
U ={ V
|

X
hoặc V

hoặc X

\V là tập con đóng com pắc của
X}
Khi đó : cặp ( X,u) đgl com pắc hóa một điểm của không gian tô pô
không com pắc (X,
)

.
1.40: Không gian com pắc hóa :
Gs (X,
)

là KHTP không com pắc . Com pắc hóa KGTP X là cặp ( f, Y ) ;
Y là không gian tô pô . f : X
Y
là phép nhúng đồng phôi sao cho :

.)( YXf
II) một số kỹ thuật phổ biến của tô pô :
1) kỹ thuật xây dựng tập mở :
2) kỷ thuật lấy cái phủ hữu hạn .
3) kỹ thuật chứng minh một tập là một tập đóng:
4) kỹ thuật cm một ánh xạ liên tục ;
5) Kỷ thật xây dựng hại lân cân rời nhau .
6) Kỷ thuật lấy meetric trên một khong gian nào đó :
7) Kỷ thuật cm một không gian là một kg cp địa phơng .
8) Kỷ thuật lấy cơ sở :

9) Kỷ thuật cm đếm đợc .
10)kỹ thuật xác dịnh các phép toán lấy bao đóng.
11) Kỹ thuật so sánh các tập hợp .
Nguyễn Văn Nho . học viên CH toán 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD
toán.
x
x
V
V