He thong BT on vao 10

Giải các bài toán
bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình
* Dạng bài làm chung làm riêng:
Bài 1: Hai đội công nhân I và II đợc giao sửa một đoạn đờng. Nếu cả hai đội cùng làm thì sau 4 giờ là hoàn
thành công việc. Nếu đội I làm một mình trong 2 giờ, sau đó đội II tiếp tục làm một mình trong 3 giờ thì họ
đã hoàn thành đợc
7
12
công việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì sẽ hoàn thành công việc sau bao lâu?
Bài 2: Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không có nớc trong 3 giờ thì đầy. Nếu vòi I chảy nửa bể rồi nghỉ
và cho vòi II chảy tiếp cho đầy bể thì mất tổng cộng 8 giờ. Hỏi nếu để mỗi vòi chảy riêng sẽ đầy bể trong
bao lâu?
* Dạng bài về %:
Bài 3: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới
nên tổ I đã vợt mức 18% và tổ II đã vợt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vợt
mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm đợc giao của mỗi tổ theo kế hoạch là bao nhiêu?
Bài 4: Trong một kì thi, hai trờng A và B có tổng cộng 350 học sinh dự thi. Kết quả là hai trờng đó có tổng
cộng 338 học sinh trúng tuyển. Tính ra thì trờng A có 97% và trờng B có 96% số học sinh dự thi trúng
tuyển. Hỏi mỗi trờng có bao nhiêu học sinh dự thi?
Bài 5: Một hình chữ nhật có cạnh này bằng
2
3
cạnh kia. Nếu bớt mỗi cạnh đi 5m thì diện tích hình chữ nhật
đó phải giảm đi 16%. Tính các kích thớc của hình chữ nhật đó lúc đầu.
*Dạng bài về chuyển động:
Bài 6: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc trên quãng đờng từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy
nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B trớc ô tô thứ hai là
2
5
giờ. Tính vận tốc của mỗi xe.
Bài 7: Một ô tô khởi hành từ A để đi đến B cách nhau 240km. Một giờ sau, ô tô thứ hai cũng khởi hành từ

A đi đến B với vận tốc lớn hơn vận tốc ô tô thứ nhất 10km/h nên đã đuổi kịp ô tô thứ nhất ở chính giữa
quãng đờng AB. Tính vận tốc của mỗi xe.
Bài 8: Hai ngời đi xe đạp khởi hành cùng một lúc từ A và B cách nhau 60km và đi đến C hớng chuyển động
của họ vuông góc với nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tính vận tốc của mỗi ngời biết vận tốc của ngời đi từ A
nhỏ hơn vận tốc của ngời đi từ B 6km/h.
Bài 9: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 108km. Cùng lúc đó một ô tô khởi hành từ B đến A với vận
tốc hơn vận tốc xe đạp 18km/h. Sau khi hai xe gặp nhau, xe đạp phải đi mất 4 giờ nữa mới tới B. Tính vận
tốc mỗi xe.
Bài 10: Một ô tô dự định đi quãng đờng từ A đến B cách nhau 120km với một vận tốc và thời gian đã định.
Nhng sau khi đi đợc 1 giờ thì xe hỏng, nên phải dừng lại 20 phút để sửa chữa. Vì vậy để đến B đúng thời
gian đã định, ô tô phải tăng vận tốc thêm 8km/h trên quãng đờng còn lại. Tìm thời gian mà ô tô dự định để
đi hết quãng đờng AB.
Bài 11: Một ô tô dự định chuyển động đều trên quãng đờng dài 120km. Nhng khi đi đợc
1
3
quãng đờng xe
phải nghỉ 20 phút. Để đến đúng giờ dự định xe phải tăng vận tốc thêm 8km/h trên quãng đờng còn lại. Tính
vận tốc ô tô dự định đi.
Bài 12: Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 4km/h. Khi còn cách trung điểm quãng đờng 60km thì
xe tăng vận tốc thêm 10km/h, nên đã đến sớm hơn dự định 1 giờ. Tính quãng đờng AB.
Bài 13: Một ô tô đi trên quãng đờng dài 520km. Khi đi đợc 240km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10km/h và đi
hết quãng đờng còn lại. Tính vận tốc ban đầu của ô tô, biết thời gian đi hết quãng đờng là 8 giờ.
1
Bài 14: Một ngời dự định đi từ A đến B cách nhau 36km trong một thời gian nhất định. Đi đợc nửa đờng,
ngời đó nghỉ 18 phút nên để đến B đúng hẹn phải tăng vận tốc 2km/h. Tính vận tốc ban đầu.
Bài 15: Một máy bơm dùng để bơm đầy một bể nớc có thể tích 60m
3
với thời gian định trớc. Khi đã bơm đ-
ợc
1

2
thì mất điện trong 48 phút. Đến lúc có điện trở lại ngời ta sử dụng thêm một máy bơm thứ hai có công
suất 10m
3
/h. Cả hai máy bơm cùng hoạt động để bơm đầy bể đúng thời gian dự kiến. Tính công suất của
máy bơm thứ nhất và thời gian máy bơm thứ nhất hoạt động
*Dạng bài về chuyển động liên quan đến vận tốc dòng n ớc:
Bài 16: Một chiếc thuyền đi trên dòng sông dài 50 km. Tổng thời gian xuôi dòng và ngợc dòng là 4 giờ 10
phút. Tính vận tốc thực của thuyền biết rằng một chiếc bè thả nổi phải mất 10 giờ mới xuôi hết dòng sông.
Bài 17: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B cách nhau 24 km; cùng lúc đó, một bè nứa trôi với vận tốc
4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của
ca nô.
Bài 18: Một ca nô xuôi một khúc sông dài 100km rồi ngợc về 45km. Biết thời gian xuôi dòng nhiều hơn
thời gian ngợc dòng là 2 giờ và vận tốc lúc xuôi dòng hơn vận tốc lúc ngợc dòng là 5km/h. Hỏi vận tốc ca
nô lúc xuôi dòng và lúc ngợc dòng?
Bài 19: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5 giờ 20 phút một ca nô cũng khởi hành từ A
đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 2km. Tìm vận tốc của thuyền, biết vận tốc ca nô nhanh hơn thuyền
12km/h.
Dạng bài về số học:
Bài 20: Tìm số có hai chữ số biết tổng các chữ số của nó bằng
1
4
số đó, tích các chữ số của nó bằng
1
2
số
đó.
*Các dạng khác:
Bài 21: Một khu vờn hình chữ nhật có chiều rộng bằng
2

5
chiều dài và có diện tích bằng 360 m
2
. Tính chu
vi của khu vờn ấy.
Bài 22: Một miếng bìa hình chữ nhật có chu vi 20cm. Nếu giảm chiều rộng 2cm và tăng chiều dài 3cm thì
diện tích giảm 6cm
2
. Tìm kích thớc của miếng bìa đó đã cho.
Bài 23: Tính các kích thớc của hình chữ nhật có diện tích 40 cm
2
, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh thêm 3cm thì
diện tích tăng 48 cm
2
.
Bài 24: Một tam giác vuông có cạnh huyền dài 10 m. Tính các cạnh goác vuông, biết chúng hơn kém nhau
2m.
Bài 25: Một mảnh vờn hình chữ nhật có diện tích 320m
2
. Nếu tăng chiều rộng thêm 10m và giảm chiều dài
đi 16m thì diện tích mảnh đất không thay đổi. Tính kích thớc đám đất.
Bài 26: Một phòng họp có 360 chỗ ngỗi và đợc chia thành các dãy có số chỗ ngồi bằng nhau. Nếu thêm
mỗi dãy 4 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chỗ ngồi trong phòng họp không thay đổi. Hỏi ban đầu số chỗ
ngồi trong phòng họp đợc chia thành bao nhiêu dãy?
Bài 27: Một phòng họp có 360 chỗ ngỗi và đợc chia thành các dãy có số chỗ ngồi bằng nhau nhng vì có
400 ngời họp nên phải kê thêm một dãy và mỗi dãy kê thêm 1 ghế. Hỏi ban đầu trong phòng họp có bao
nhiêu dãy ghế?
Bài 28: Một phòng họp có 240 chỗ ngỗi và đợc chia thành các dãy có số chỗ ngồi bằng nhau. Nếu thêm
mỗi dãy 4 chỗ ngồi và bớt đi 4 dãy thì số chỗ ngồi trong phòng họp tăng thêm 16 chỗ ngồi. Hỏi ban đầu số
chỗ ngồi trong phòng họp đợc chia thành bao nhiêu dãy?

Bài 29: Lớp 9A đợc phân công trồng 480 cây xanh. Lớp dự định chia đều cho số HS, nhng khi lao động có
8 bạn vắng nên mỗi bạn có mặt phải trồng thêm 3 cây mới xong. Tính số HS lớp 9A.
2
Bài 30: Một công nhân cần trồng 210 cây bóng mát trong một thời gian đã định. Do thời tiết xấu nên mỗi
ngày trồng đợc ít hơn 5 cây so với dự kiến. Vì vậy đã hoàn thành công việc chậm 3.5 ngày so với dự kiến.
Hỏi theo dự kiến mỗi ngày ngời đó cần trồng bao nhiêu cây?
Bài 31: Một đoàn xe chở 480 tấn hàng. Khi sắp khởi hành có thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 8 tấn.
Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc.
Chúc các em học
tốt
Phần 1: Các loại bài tập về biểu thức
Bài 1: Cho biểu thức :
+
+

+
+
=
6
5
3
2
aaa
a
P
a

2
1
a) Rút gọn P b)Tìm giá trị của a để P<1

Bài 2: Cho biểu thức: P=








+
+
+

+
+

+








+

65
2
3

2
2
3
:
1
1
xx
x
x
x
x
x
x
x
a) Rút gọn P b)Tìm giá trị của a để P<0
Bài 3: Cho biểu thức: P=








+

+
+



13
23
1:
19
8
13
1
13
1
x
x
x
x
xx
x
a) Rút gọn P b)Tìm các giá trị của x để P= 6/5
Bài 4: Cho biểu thức : P=

+










+
+
1
2
1
1
:
1
1
aaaa
a
a
a

a
a)Rút gọn P b)Tìm giá trị của a để P<1 c)Tính P nếu
3819
=
a
Bài 5: Cho biểu thức; P=

















+
+

+


+

a
a
a
a
a
a
a
aa
1
1
.
1
1
:
1
)1(
332
a)Rút gọn P b)Xét dấu của biểu thức M=a.(P-
2
1
)
Bài 6: Cho biểu thức: P=

+

+
+
+










+
+
+
+
12
2

12
1
1:1
12
2
12
1
x
xx
x
x
x
xx
x
x
a)Rút gọn P b)Tính giá trị của P khi x
( )
223.
2
1
+=
Bài 7: Cho biểu thức: P=

+
+










+
1
1:
1
1
1
2
x
x
xxxxx
x
a)Rút gọn P b)Tìm x để P

0
Bài 8: Cho biểu thức: P=

+
+








++

+
a
a
a
aa
a
a
a
1
1
.
1

12
3
3
a)Rút gọn P b)Xét dấu của biểu thức P.
a1
Bài 9: Cho biểu thức: P=
.
1
1
1
1
1
2
:1









+

++
+
+

+

x
x
xx
x
xx
x
a)Rút gọn P b)So sánh P với 3
Bài 10: Cho biểu thức : P=









+
+








+

a
a
aa
a
a
aa
1
1
.
1
1
a)Rút gọn P b)Tìm a để P<
347
Bài 11: Cho biểu thức: P=

+


+
+
1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
a)Rút gọn P b) Tìm x để P<1/2 c)Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 12: Cho biểu thức : P=

+





+












3
2
2
3
6
9

:1
9
3
x
x
x
x
xx
x
x
xx
a)Rút gọn P b)Tìm giá trị của x để P<1
Bài 13: Cho biểu thức : P=
3
32
1
23
32
1115
+
+



+
+

x
x
x

x
xx
x
a)Rút gọn P b)Tìm các giá trị của x để P=1/2 c)CM: P
3
2

Bài 14: Cho biểu thức:P=
2
2
44
2
mx
m
mx
x
mx
x



+
+
với m>0 a) Rút gọn P b)Tính x theo m để P=0.
c)Tìm m để x tìm đợc ở câu b thoả mãn điều kiện x>1
3
Bài 15: Cho P=
1
2
1

2
+
+

+
+
a
aa
aa
aa
a)Rút gọn P b) Biết a>1 Hãy so sánh P với P c) Tìm a để P=2 d)Tìm GTNN của P
Bài 16: Cho biểu thức P=








+

+

+
+

+
+
+
+
1
11
1
:1
11
1
ab
aab
ab
a
ab
aab
ab
a
a)Rút gọn P b)Tính P nếu a=
32
và b=
31
13
+

c)Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu
4=+ ba
Bài 17: Cho biểu thức : P=








+

+

+






+
+
+



1

1
1
1111
a
a
a
a
a
a
aa
aa
aa
aa
a)Rút gọn P b) Với giá trị nào của a thì P=7 c)Với giá trị nào của a thì P>6
Bài 18: Cho biểu thức: P=









+

+

1
1
1
1
2
1
2
2
a
a
a
a
a
a
a)Rút gọn P b)Tìm các giá trị của a để P<0 c)Tìm các giá trị của a để P=-2
Bài 19: Cho: P=
( )
ab
abba
ba
abba

+

+
.
4
2
a)Tìm điều kiện để P có nghĩa. b)Rút gọn P c)Tính P khi a=
32
và b=
3
Bài 20: Cho biểu thức : P=
2
1
:
1
1
11
2










+
++
+

+
x
xxx
x
xx
x
a)Rút gọn P b)Chứng minh rằng P>0

x
1
Bài 21: Cho biểu thức : P=








++
+

+
1
2
1:
1
1
1
2
xx
x
xxx
xx
a)Rút gọn P b) Tính
P
khi x=
325 +
Bài 22: Cho biểu thức: P=
xx
x
x
x 24
1
:
24
2
4
2

3
2
1
:1
















+
+
a)Rút gọn P b)Tìm giá trị của x để P=20
Bài 23: Cho biểu thức : P=
( )
yx
xyyx
xy
yx
yx

yx
+
+










+


2
33
:
a)Rút gọn P b)Chứng minh P
0

Bài 24: Cho biểu thức : P=

++




















+
+
+ baba
ba
bbaa
ab
babbaa
ab

ba
:
31
.
31
a)Rút gọn P b)Tính P khi a=16 và b=4
Bài 25: Cho : P=
12
.
1
2
1
12
1











+


+
+

a
aa
aa
aaaa
a
aa
a)Rút gọn P b)Cho P=
61
6
+
tìm giá trị của a c) Chứng minh rằng P>2/3
Bài 26: Cho biểu thức: P=










+
+
+

+

3
5
5
3
152
25
:1
25
5
x
x
x
x
xx
x
x
xx
a)Rút gọn P b)Với giá trị nào của x thì P<1
Bài 27: Cho P=
( )
( )

baba
baa
babbaa
a
baba
a
222
.1
:
133
++










+


++
a)Rút gọn P b)Tìm a nguyên để P có giá trị nguyên
Bài 28: Cho biểu thức: P=

+


+








1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a

aa
a)Rút gọn P b)Tìm giá trị của a để P>1/6
Bài 29: Cho biểu thức: P=
33
33
:
112
.
11
xyyx
yyxxyx
yx
yxyx
+
+++








++
+

+
a)Rút gọn P b)Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
Bài 30: Cho biểu thức :
P=
x
x
yxyxx
x
yxy
x


+

1
1
.
22
2
2
3
a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên dơng x để y=625 và P<0,2
4
Phần 2: Các bài tập về hệ ph ơng trình bậc 2:
Bài 31: Cho phơng trình :
( )

2
2
2122 mxxm
+=
a)Giải PT khi
12 +=m
b)Tìm m để PT có nghiệm
23 =x
c)Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng duy nhất
Bài 32: Cho phơng trình :
( )
0224
2
=+ mmxxm
(x là ẩn )
a)Tìm m để PT có nghiệm
2=x
.Tìm nghiệm còn lại b)Tìm m để PT 2 có nghiệm phân biệt c)Tính
2
2
2
1
xx +
theo m
Bài 33: Cho phơng trình :
( )
0412
2
=++ mxmx
(x là ẩn )

a) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Chứng minh biểu thức M=
( ) ( )
1221
11 xxxx +
không phụ thuộc vào m.
Bài 34: Tìm m để phơng trình :
a)
( )
012
2
=+ mxx
có hai nghiệm dơng phân biệt
b)
0124
2
=++ mxx
có hai nghiệm âm phân biệt
c)
( )
( )
012121
22
=+++ mxmxm
có hai nghiệm trái dấu
Bài 35: Cho phơng trình :
( )
021
22

=+ aaxax
a) Chứng minh rằng phơng trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a
b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
.Tìm giá trị của a để
2
2
2
1
xx +
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 36: Cho b và c:
2
111
=+
cb
CMR ít nhất một trong hai phơng trình sau phải có nghiệm
0
0
2
2
=++
=++
bcxx
cbxx
Bài 37:Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm số chung:

( )

( )
)2(036294
)1(012232
2
2
=+
=++
xmx
xmx

Bài 38: Cho phơng trình :
0222
22
=+
mmxx
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt
b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn nhất của phơng trình
Bài 39: Cho phơng trình bậc hai tham số m :
014
2
=+++ mxx
a) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm
b) Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thoả mãn điều kiện
10
2
2

2
1
=+ xx
Bài 40: Cho phơng trình
( )
05212
2
=+ mxmx
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?
Bài 41: Cho phơng trình
( )
010212
2
=+++ mxmx
(với m là tham số )
a)Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình
b) Trong trờng hợp PT có hai nghiệm phân biệt là
21
; xx
; hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa
21
; xx
mà không phụ thuộc vào m
5
c)Tìm giá trị của m để
2
2
2
121

10 xxxx ++
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 42: Cho phơng trình
( )
0121
2
=++ mmxxm
với m là tham số
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
1m
b) Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm của phơng trình
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
d) Tìm m để phơng trình có nghiệm
21
; xx
thoả mãn hệ thức:
0
2
5
1
2
2
1
=++
x
x
x
x

Bài 43: A) Cho phơng trình :

01
2
=+ mmxx
(m là tham số)
a) Cmr PT có nghiệm
21
; xx
với mọi m ; tính nghiệm kép ( nếu có) của phơng trình và giá trị của m tơng ứng
b) Đặt
21
2
2
2
1
6 xxxxA +=
.Chứng minh
88
2
+= mmA
Tìm m để A=8
Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng
c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
B) Cho phơng trình

0122
2
=+ mmxx
a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiệm
21
; xx

với mọi m.
b) Đặt A=
21
2
2
2
1
5)(2 xxxx +
CMR A=
9188
2
+ mm
.Tìm m sao cho A=27
c)Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia.
Bài 44: Giả sử phơng trình
0.
2
=++ cbxxa
có 2 nghiệm phân biệt
21
; xx
.Đặt
nn
n
xxS
21
+=
(n nguyên dơng)
a) CMR
0.

12
=++
++ nnn
cSbSSa
b) áp dụng Tính giá trị của : A=
55
2
51
2
51









+








+
Bài 45: Cho

f
(x)
= x
2
- 2 (m+2).x + 6m+1
a) CMR phơng trình f
(x)
= 0

có nghiệm với mọi m
b) Đặt x=t+2 .Tính f
(x)
theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f
(x)
= 0

có 2 nghiệm lớn hơn 2

Bài 46: Cho phơng trình :
( )
05412
22
=+++ mmxmx

a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm
b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng
c) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau
d) Gọi
21
; xx

là hai nghiệm nếu có của phơng trình . Tính
2
2
2
1
xx +
theo m
Bài 47: Cho phơng trình
0834
2
=+ xx
có hai nghiệm là
21
; xx
. Không giải phơng trình , hãy tính giá trị của biểu thức :
2
3
1
3
21
2
221
2
1
55
6106
xxxx
xxxx
M
+

++
=
Bài 48: Cho phơng trình
( )
0122 =+++ mxmx
x

a) Giải phơng trình khi m=1/2
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi
21
; xx
là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của m để :
2
1221
)21()21( mxxxx =+
Bài 49: Cho phơng trình
03
2
=++ nmxx
(1) (n , m là tham số)
Cho n=0 . CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
Tìm m và n để hai nghiệm
21
; xx
của phơng trình (1) thoả mãn hệ :



=

=
7
1
2
2
2
1
21
xx
xx
Bài 50: Cho phơng trình:
( )
05222
2
= kxkx
( k là tham số)
a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
b) Gọi
21
; xx
là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của k sao cho
18
2
2
2
1
=+ xx
Bài 51: Cho phơng trình
( )
04412

2
=+ mxxm
(1)
6
a)Giải PT (1) khi m=1 b)Giải phơng trình (1) khi m bất kì c)Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng m
Bài 52:Cho phơng trình :

( )
0332
22
=+ mmxmx
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm
21
, xx
thoả mãn
61
21
<<< xx
Phần 3: Hệ ph ơng trình:
Bài53: Tìm giá trị của m để hệ phơng trình ;

( )
( )



=+
+=+
21

11
ymx
myxm

Có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y nhỏ nhất
Bài 54: Giải hệ phơnh trình và minh hoạ bằmg đồ thị
a)



=
=+
xy
yx
52
1
b)





=+
=
1
44
2
yx
yx
c)

=
=+
123
11
xy
xy
Bài 55: Cho hệ phơng trình :



=
=+
5
42
aybx
byx
a)Giải hệ phơng trình khi
ba =
b)Xác định a và b để hệ phơng trình trên có nghiệm :
* (1;-2)
* (
2;12
)
*Để hệ có vô số nghiệm
Bài 56:Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m:

+=
=
mmyx
mymx
64
2

Bài 57: Với giá trị nào của a thì hệ phơng trình :




=+
=+
2ã
1
yax
ayx
a) Có một nghiệm duy nhất
b) Vô nghiệm
Bài 58 :Giải hệ phơng trình sau:




=+
=++
1

19
22
yxyx
yxyx
Bài 59*: Tìm m sao cho hệ phơng trình sau có nghiệm:

( ) ( )



=++
=+
01
121
2
yxyxmyx
yx
Bài 60 :GiảI hệ phơng trình:




=
=+
624
1332
22
22
yxyx
yxyx

Bài 61*: Cho a và b thoả mãn hệ phơng trình :
7




=+
=++
02
0342
222
23
bbaa
bba
.Tính
22
ba +

Bài 61:Cho hệ phơng trình :




=+
=+
ayxa
yxa
.
3)1(
a) Giải hệ phơng rình khi a=-

2
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0
Phần 4: Hàm số và đồ thị
Bài 62: Cho hàm số :
y= (m-2)x+n (d)
Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số :
a) Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4)
b) Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1-
2
và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2+
2
.
c) Cắt đờng thẳng -2y+x-3=0
d) Song song vối đờng thẳng 3x+2y=1
Bài 63: Cho hàm số :
2
2xy =
(P)
a) Vẽ đồ thị (P)
b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ
c) Xét số giao điểm của (P) với đờng thẳng (d)
1= mxy
theo m
d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') đi qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với (P)
Bài 64 : Cho (P)
2
xy =
và đờng thẳng (d)
mxy += 2
1.Xác định m để hai đờng đó :

a) Tiếp xúc nhau . Tìm toạ độ tiếp điểm
b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B , một điểm có hoành độ x=-1. Tìm hoành độ điểm còn lại . Tìm toạ độ
A và B
2.Trong trờng hợp tổng quát , giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N.
Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I khi m thay đổi.
Bài 65: Cho đờng thẳng (d)
2)2()1(2 =+ ymxm

a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P)
2
xy =
tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m
c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng Max
d) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi
Bài 66: Cho (P)
2
xy =

a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vuông góc với nhau và tiếp xúc với (P)
b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng
2

Bài 67: Cho đờng thẳng (d)
3
4
3
= xy

a) Vẽ (d)

b) Tính diện tích tam giác đợc tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ
c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d)
Bài 68: Cho hàm số
1= xy
(d)
a) Nhận xét dạng của đồ thị. Vẽ đồ thị (d)
b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm của phơng trình
mx =1
Bài 69: Với giá trị nào của m thì hai đờng thẳng :
8
(d)
2)1( += xmy
(d')
13 = xy
a) Song song với nhau
b) Cắt nhau
c) Vuông góc với nhau
Bài 70: Tìm giá trị của a để ba đờng thẳng :

12.)(
2)(
52)(
3
2
1
=
+=
=
xayd
xyd

xyd
đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ
Bài 71: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x+(m-1)y=1 luôn đi qua một điểm cố định
Bài 72: Cho (P)
2
2
1
xy =
và đờng thẳng (d) y=a.x+b .Xác định a và b để đờng thẳng (d) đI qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P).
Bài 73: Cho hàm số
21 ++= xxy
a) Vẽ đồ thị hàn số trên
b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
mxx =++ 21
Bài 74: Cho (P)
2
xy =
và đờng thẳng (d) y=2x+m
a) Vẽ (P)
b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
Bài 75: Cho (P)
4
2
x
y =
và (d) y=x+m
a) Vẽ (P)
b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung độ bằng -4
d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của (d') và (P)

Bài 76: Cho hàm số
2
xy =
(P) và hàm số y=x+m (d)
a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)
c) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì. áp dụng: Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A và B
bằng
23
Bài 77: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng (
1
d
) y=-2(x+1)
a) Điểm A có thuộc (
1
d
) ? Vì sao ?
b) Tìm a để hàm số
2
.xay =
(P) đi qua A
c) Xác định phơng trình đờng thẳng (
2
d
) đi qua A và vuông góc với (
1
d
)
d) Gọi A và B là giao điểm của (P) và (
2

d
) ; C là giao điểm của (
1
d
) với trục tung . Tìm toạ độ của B và C . Tính diện tích
tam giác ABC
Bài 78: Cho (P)
2
4
1
xy =
và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm lợt là -2 và 4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d)
c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng hoành độ
[ ]
4;2x
sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
(Gợi ý: cung AB của (P) tơng ứng hoành độ
[ ]
4;2x
có nghĩa là A(-2;
A
y
) và B(4;
B
y
)

tính

BA
yy ;
;
)
9
Bài 79: Cho (P)
4
2
x
y =
và điểm M (1;-2)
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
b) CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi
c) Gọi
BA
xx ;
lần lợt là hoành độ của A và B .Xác định m để
22
BABA
xxxx +
đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó
d) Gọi A' và B' lần lợt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA'B'B.
*Tính S theo m
*Xác định m để S=
)28(4
22
+++ mmm
Bài 80: Cho hàm số
2
xy =

(P)
a) Vẽ (P)
b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2. Viết phơng trình đờng thẳng AB
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài 81: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P)
2
4
1
xy =

và đờng thẳng (d)
12 = mmxy

a) Vẽ (P)
b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm
c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định
Bài 82: Cho (P)
2
4
1
xy =
và điểm I(0;-2) .Gọi (d) là đờng thẳng qua I và có hệ số góc m.
a) Vẽ (P) . CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
Rm
b) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất
Bài 83: Cho (P)
4
2
x
y =

và đờng thẳng (d) đi qua điểm I(
1;
2
3
) có hệ số góc là m
a) Vẽ (P) và viết phơng trình (d)
b) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P)
c) Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
Bài 84: Cho (P)
4
2
x
y =
và đờng thẳng (d)
2
2
+=
x
y
a) Vẽ (P) và (d)
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)
c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song song với (d)
Bài 85: Cho (P)
2
xy =

a) Vẽ (P)
b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2 . Viết phơng trình đờng thẳng AB
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài 86: Cho (P)

2
2xy =
a) Vẽ (P)
b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2 . Xác định các giá trị của m và n để đờng thẳng (d)
y=mx+n tiếp xúc với (P) và song song với AB
Bài 87: Xác định giá trị của m để hai đờng thẳng có phơng trình
1)(
)(
2
1
=+
=+
ymxd
myxd
cắt nhau tại một điểm trên (P)
2
2xy =
Phần 5: Giải toán bằng cách lập ph ơng trình
1. chuyển động
10
Bài 88: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km . Cùng một lúc , một ôtô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về A . Hai xe gặp
nhau tại thị trấn C . Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ , còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút . Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng
trên đờng AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi
Bài 89: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngợc dòng từ bến B về bến A mất tất cả 4 giờ . Tính vận tốc của ca nô
khi nớc yên lặng ,biết rằng quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nớc là 4 km/h.
Bài 90: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau đó lại ngựơc từ B trở về A .Thời gian xuôi ít hơn thời
gian đi ngợc 1 giờ 20 phút . Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h
Bài 91: Một ngời chuyển động đều trên một quãng đờng gồm một đoạn đờng bằng và một đoạn đờng dốc . Vận tốc trên đoạn
đờng bằng và trên đoạn đờng dốc tơng ứng là 40 km/h và 20 km/h . Biết rằng đoạn đờng dốc ngắn hơn đoạn đờng bằng là 110km
và thời gian để ngời đó đi cả quãng đờng là 3 giờ 30 phút . Tính chiều dài quãng đờng ngời đó đã đi.

Bài 92: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B . Xe tảI đi với vận tốc 30 Km/h , xe con đi với vận tốc 45 Km/h.
Sau khi đi đợc
4
3
quãng đờng AB , xe con tăng vận tốc thêm 5 Km/h trên quãng đờng còn lại . Tính quãng đờng AB biết rằng xe
con đến B sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.

Bài 93: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 Km với một vận tốc xác định . Khi từ B về A ng ời đó đi bằng con đờng
khác dài hơn trớc 29 Km nhng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 3 Km/h . Tính vận tốc lúc đi , biết rằng thời gian về nhiều hơn
thời gian đi là 1 giờ 30 phút.
Bài 94:Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 Km đi ngợc chiều nhau . Sau 1h40 thì gặp nhau . Tính vận tốc
riêng của mỗi ca nô , biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngợc 9Km/h và vận tốc dòng nớc là 3 Km/h.
Bài 95: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 Km . Lúc 6h45phút một ngời đi xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h . Sau đó 2 giờ một
ngời đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h . Hỏi đến mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu Km ?
Bài 96: Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h . Sau đó một thời gian, một ngời đi xe máy cũng xuất phát từ A
với vận tốc 30 Km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp ngời đi xe máy tại B . Nhng sau khi đi đợc nửa quãng đờng AB ,
ngời đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3 Km/h nên hai ngòi gặp nhau tại C cách B 10 Km . Tính quãng đờng AB
Bài 97: Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 Km/h . Khi đến B ngời đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A
với vận tốc trung bình là 24 Km/h . Tính quãng đờng AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.

Bài 98: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h , sau đó ngợc từ B về A . Thời gian đi xuôi ít hơn
thời gian đi ngợc là 40 phút . Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 3 Km/h và vận tốc riêng của ca
nô là không đổi .
Bài 99: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40 Km/h . Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó , khi còn
60 Km nữa thì đợc một nửa quãng đờng AB , ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h trên quãng đờng còn lại . Do đó ô tô đến tỉnh
B sớm hơn 1 giờ so với dự định . Tính quãng đờng AB.
Bài 100: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B . Ca nô I chạy với vận tốc 20 Km/h , ca nô II chạy với
vận tốc 24 Km/h . Trên đờng đi ca nô II dừng lại 40 phút , sau đó tiếp tục chạy . Tính chiều dài quãng đờng sông AB biết rằng hai
ca nô đến B cùng một lúc .
Bài 101: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 Km . Sau đó 1 giờ 30 phút , một ngời đi xe máy cũng đi từ A và đến B

sớm hơn 1 giờ . Tính vận tốc của mỗi xe , biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.
Bài 102: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ , xuôi dòng 108 Km và ngợc dòng 63 Km. Một lần khác , ca nô đó cũng chạy
trong 7 giờ, xuôi dòng 81 Km và ngợc dòng 84 Km . Tính vận tốc dòng nớc chảy và vận tốc riêng ( thực ) của ca nô.
Bài103: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 Km , cả đi và về mất 8 giờ 20 phút . Tính vận tốc của tầu khi nớc yên
lặng , biết rằng vận tốc dòng nớc là 4 Km/h.
Bài 104: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A . Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và
gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20 Km. Hỏi vận tốc của thuyền , biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 Km/h.
Bài 105: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đờng dài 120 Km trong một thời gian đã định . Đi đợc
một nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ , xe phải tăng vận tốc thêm 2 Km/h trên nửa quãng đờng còn lại .
Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng .
11
Bài 106: Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 Km trong một thời gian quy định . Sau khi đi đ ợc 1 giờ ôtô bị chắn đ-
ờng bởi xe hoả 10 phút . Do đó , để đến B đúng hạn , xe phải tăng vận tốc thêm 6 Km/h . Tính vận tốc lúc đầu của ôtô.
Bài107: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định . Khi còn cách B 30 Km , ngời đó nhận thấy rằng sẽ đến B
chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi , nhng nếu tăng vận tốc thêm 5 Km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ .Tính vận tốc
của xe đạp tren quãng đờng đã đi lúc đầu.
2. Năng xuất
Bài 108: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ . Nếu mỗi đội làm một mình để làm xong công
việc ấy , thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong bao
lâu?

Bài 109: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày . Nhng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã v-
ợt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vợt mức 104 000 đôi giầy . Tính
số đôi giầy phải làm theo kế hoạch.
Bài 110: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt đợc 20 tấn cá , nhng đã vợt mức đợc 6 tấn mỗi tuần nên
chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vợt mức kế hoạch 10 tấn . Tính mức kế hoạch đã định
Bài 111: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng . Trứoc khi làm việc đội xe đó đợc bổ xung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít
hơn 1 tấn so với dự định . Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lợng bằng nhau.
Bài 112: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán . Nếu làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành đ ợc
3

2
mức khoán .
Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm xong mức khoán thì mỗi tổ phải làm trong bao lâu ?
Bài 113: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định . Họ làm chung với nhau trong 4 giờ
thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm việc khác , tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ . Hỏi tổ thứ hai làm một mình thì sau
bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
Bài 114: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ và ngời thứ hai làm 6 giờ
thì họ làm đợc 25% côngviệc . Hỏi mỗi ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì xong .
3. Thể tích
Bài 115: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không chứa nớc đã làm đầy bể trong 5 giờ 50 phút . Nếu chảy riêng thì vòi thứ
hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 4 giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể ?
Bài 116: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không có nớc và chảy đầy bể mất 1 giờ 48 phút . Nếu chảy riêng , vòi thứ nhất
chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1 giờ 30 phút . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu ?
Bài 117: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong một thời gian quy định thì mỗi giờ phải bơm đợc 10 m
3
.
Sau khi bơm đợc
3
1
thể tích bể chứa , máy bơm hoạt động với công suất lớn hơn , mỗi giờ bơm đợc 15 m
3

. Do vậy so với quy
định , bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút. Tính thể tích bể chứa.
Bài 118: Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa không có nớc thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể . Nếu mở vòi thứ nhất
trong 15 phút rồi khoá lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ đ ợc
5
1
bể . Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ
đầy bể ?

Bài 119: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa không có nớc thì sau 2 giờ 55 phút sẽ đầy bể . Nếu chảy riêng thì vòi thứ
nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu ?
Phần 6 : Hình học

Bài120: Cho hai đờng tròn tâm O và O

có R > R

tiếp xúc ngoài tại C . Kẻ các đờng kính COA và CO

B. Qua trung điểm M của
AB , dựng DE AB.
a) Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ?
b) Nối D với C cắt đờng tròn tâm O

tại F . CMR ba điểm B , F , E thẳng hàng
c) Nối D với B cắt đờng tròn tâm O

tại G . CMR EC đi qua G
d) *Xét vị trí của MF đối với đờng tròn tâm O

, vị trí của AE với đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCFE

12

Bài 121: Cho nửa đờng tròn đờng kính COD = 2R . Dựng Cx , Dy vuông góc với CD . Từ điểm E bất kì trên nửa đờng tròn ,
dựng tiếp tuyến với đờng tròn , cắt Cx tại P , cắt Dy tại Q.
a) Chứng minh POQ vuông ; POQ đồng dạng với CED

b) Tính tích CP.DQ theo R
c) Khi PC=
2
R

. CMR
16
25
=


CED
POQ
d) Tính thể tích của hình giới hạn bởi nửa đờng tròn tâm O và hình thang vuông CPQD khi chúng cùng quay theo một chiều
và trọn một vòng quanh CD
Bài 122: Cho đờng tròn tâm O bán kính R có hai đờng kính AOB , COD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất kì trên OA , nối
CE cắt đờng tròn tại F . Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đờng tròn , qua E dựng Ey vuông góc với OA . Gọi I là giao điểm của Fx
và Ey .
a) Chứng minh I,F,E,O cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Tứ giác CEIO là hình gì ?
c) Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào ?
Bài 123: Cho đờng tròn tâm O và một điểm A trên đờng tròn . Qua A dựng tiếp tuyến Ax . Trên Ax lấy một điểm Q bất kì ,
dựng tiếp tuyến QB .
a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc
b) Gọi E là trung điểm của QO , tìm quỹ tích của E khi Q chuyển động trên Ax.
c) Hạ BK Ax , BK cắt QO tại H . CMR tứ giác OBHA là hình thoi và suy ra quỹ tích của điểm H
Bài 124: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O . Các đờng cao AD , BK cắt nhau tại H , BK kéo dài cắt đờng
trong tại F . Vẽ đờng kính BOE .
a) Tứ giác AFEC là hình gì ? Tại sao ?

b) Gọi I là trung điểm của AC , chứng minh H , I , E thẳng hàng
c) CMR OI =
2
BH
và H ; F đối xứng nhau qua AC
Bài 125: Cho (O,R) và (O

,R

) (với R>R

) tiếp xúc trong tại A . Đờng nối tâm cắt đờng tròn O

và đờng tròn O tại B và C .
Qua trung điểm P của BC dựng dây MN vuông góc với BC . Nối A với M cắt đờng tròn O

tại E .
a) So sánh AMO với NMC ( - đọc là góc)
b) Chứng minh N , B , E thẳng hàng và O

P = R ; OP = R


c) Xét vị trí của PE với đờng tròn tâm O

Bài 126: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB . Lấy B làm tâm vẽ đờng tròn bán kính OB . Đờng tròn này cắt đờng tròn O tại
C và D
a) Tứ giác ODBC là hình gì ? Tại sao ?
b) CMR OC AD ; OD AC
c) CMR trực tâm của tam giác CDB nằm trên đờng tròn tâm B

Bài 127: Cho đờng tròn tâm O và một đờng thẳng d cắt đờng tròn đó tại hai điểm cố định A và B . Từ một điểm M bất kì trên
đờng thẳng d nằm ngoài đoạn AB ngời ta kẻ hai tiếp tuyến với đờng tròn là MP và MQ ( P, Q là các tiếp điểm ) .
a) Tính các góc của
MPQ
biết rằng góc giữa hai tiếp tuyến MP và MQ là 45
0
.
b) Gọi I là trung điểm AB . CMR 5 điểm M , P , Q , O , I cùng nằm trên một đờng tròn .
c) Tìm quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp MPQ khi M chạy trên d
Bài 128: Cho ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , tia phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại E và cắt đờng tròn tại M .
a) CMR OM BC
b) Dựng tia phân giác ngoài Ax của góc A . CMR Ax đi qua một điểm cố định
c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài tại F . CMR FB . EC = FC . EB
( Hớng dẫn : áp dụng tính chất đờng phân giác của tam giác )
Bài 129: Cho ABC ( AB = AC , A < 90
0
), một cung tròn BC nằm trong ABC và tiếp xúc với AB , AC tại B và C . Trên
cung BC lấy điểm M rồi hạ các đờng vuông góc MI , MH , MK xuống các cạnh tơng ứng BC , CA , AB . Gọi P là giao điểm của
MB , IK và Q là giao điểm của MC , IH.
a) CMR các tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đợc
b) CMR tia đối của tia MI là phân giác HMK
c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp đợc . Suy ra PQ // BC
13
Bài 130: Cho ABC ( AC > AB ;
CAB

> 90
0
) . I , K theo thứ tự là các trung điểm của AB , AC . Các đờng tròn đờng kính
AB , AC cắt nhau tại điểm thứ hai D ; tia BA cắt đờng tròn (K) tại điểm thứ hai E ; tia CA cắt đờng tròn (I) tại điểm thứ hai F.

a) CMR ba điểm B , C , D thẳng hàng
b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp đợc
c) Chứng minh ba đờng thẳng AD , BF , CE đồng quy
d) Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đờng tròn ngoại tiếp AEF . Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng DH , DE .
Bài 131: Cho đờng tròn (O;R) và điểm A với OA =
2R
, một đờng thẳng (d) quay quanh A cắt (O) tại M , N ; gọi I là trung
điểm của đoạn MN .
a) CMR OI MN. Suy ra I di chuyển trên một cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B , C thuộc (O)
b) Tính theo R độ dài AB , AC . Suy ra A , O , B , C là bốn đỉnh của hình vuông
c) Tính diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đoạn AB , AC và cung nhỏ BC của (O)

Bài132: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R , C là trung điểm của cung AB . Trên cung AC lấy điểm F bất kì . Trên dây BF
lấy điểm E sao cho BE = AF.
a) AFC và BEC có quan hệ với nhau nh thế nào ? Tại sao ?
b) CMR FEC vuông cân
c) Gọi D là giao điểm của đờng thẳng AC với tiếp tuyến tại B của nửa đờng tròn . CMR tứ giác BECD nội tiếp đợc
Bài133: Cho đờng tròn (O;R) và hai đờng kính AB , CD vuông góc với nhau . E là một điểm bất kì trên cung nhỏ BD (
DEBE ;
) . EC cắt AB ở M , EA cắt CD ở N.
a) CMR AMC đồng dạng ANC .
b) CMR : AM.CN = 2R
2

c) Giả sử AM=3MB . Tính tỉ số
ND
CN
Bài 134: Một điểm M nằm trên đờng tròn tâm (O) đờng kính AB . Gọi H , I lần lợt là hai điểm chính giữa các cungAM , MB ;
gọi Q là trung điểm của dây MB , K là giao điểm của AM , HI.
a) Tính độ lớn góc HKM

b) Vẽ IP AM tại P , CMR IP tiếp xúc với đờng tròn (O)
c) Dựng hình bình hành APQR . Tìm tập hợp các điểm R khi M di động trên nửa đờng tròn (O) đờng kính AB
Bài 135: Gọi O là trung điểm cạnh BC của ABC đều . Vẽ góc xOy =60
0
sao cho tia Ox, Oy cắt cạnh AB , AC lần lợt tại M,
N .
a) CMR OBM đồng dạng NCO , từ đó suy ra BC
2
= 4 BM.CN .
b) CMR : MO, NO theo thứ tự là tia phân giác các góc BMN, MNC .
c) CMR đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định , khi góc xOy quay xung quanh O sao cho các tia Ox,Oy vẫn
cắt các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC
Bài136: Cho M là điểm bất kì trên nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB=2R (
BAM ,
). Vẽ các tiếp tuyến Ax , By , Mz
của nửa đờng tròn đó . Đờng Mz cắt Ax , By lần lợt tại N và P . Đờng thẳng AM cắt By tại C và đờng thẳng BM cắt Ax tại D .
Chứng minh :
a) Tứ giác AOMN nội tiếp đờng tròn và NP = AN + BP
b) N và P lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng AD và BC
c) AD.BC = 4R
2
d) Xác định vị trí M để t giác ABCD có diện tích nhỏ nhất
Bài 137: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tâm (O) và I là điểm chính giữa cung AB (cung AB không chứa C và D ). Dây
ID , IC cắt AB lần lợt tại M và N .
a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp trong đờng tròn
b) IC và AD cắt nhau tại E ; ID và BC cắt nhau tại F . CMR EF // AB
Bài 138: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AC . Trên đoạn OC lấy điểm B (
CB
) và vẽ đờng tròn tâm (O

) đờng kính BC .
Gọi M là trung điểm của đoạn AB . Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB , DC cắt đờng tròn (O

) tại I .
a) Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ?
b) Chứng minh ba điểm I , B , E thẳng hàng
c) CMR: MI là tiếp tuyến của đờng tròn (O

) và MI
2
= MB.MC
(Lớp10- bộ đề toán)
Bài 139: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AB = 2R và một điểm M di động trên một nửa đờng tròn . Ngời ta vẽ một đờng
tròn tâm (E) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại M và tiếp xúc với đờng kính AB tại N . Đờng tròn này cắt MA , MB lần lợt tại các
điểm thứ hai C , D
14
a) Chứng minh : CD // AB .
b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm K cố định.
c) CMR : KM.KN không đổi
Bài 140: Cho một đờng tròn đờng kính AB , các điểm C , D ở trên đờng tròn sao cho C , D không nằm trên cùng một nửa mặt
phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi các điểm chính giữa các cung AC , AD lần lợt là M , N ; giao điểm của MN với AC , AD
lần lợt là H , I ; giao điểm của MD với CN là K
a) CMR:
MAKNKD ;
cân
b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp đợc . Suy ra KH // AD
c) So sánh góc CAK với góc DAK
Bài 141: Cho ba điểm A , B , C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và đờng thẳng (d) vuông góc với AC tại A . Vẽ đờng tròn
đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì . Tia CM cắt đờng thẳng d tại D ; tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N ; tia DB cắt
đờng tròn tại điểm thứ hai P.

a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp đợc
b) CMR : CM.CD không phụ thuộc vị trí của M
c) Tứ giác APND là hình gì ? Tại sao ?
d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đờng tròn cố định khi M di động.
Bài 142: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB . Một điểm M nằm trên cung AB ; gọi H là điểm chính giữa của cung AM .
Tia BH cắt AM tại một điểm I và cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn (O) tại điểm K . Các tia AH ; BM cắt nhau tại S .
a) Tam giác BAS là tam giác gì ? Tại sao ? Suy ra điểm S nằm trên một đờng tròn cố định .
b) Xác định vị trí tong đối của đờng thẳng KS với đờng tròn (B;BA)
c) Đờng tròn đi qua B , I , S cắt đờng tròn (B;BA) tại một điểm N . CMR đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi
M di động trên cung AB.
d) Xác định vị trí của M sao cho
0
90

=AKM
.
Bài 143: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đờng tròn và P là điểm chính giữa của cung AB không chứa C và D . Hai dây
PC và PD lần lợt cắt dây AB tại E và F . Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I ; các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K .
CMR:
a) Góc CID bằng góc CKD
b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc
c) IK // AB
d) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A
Bài 144: Cho hai đờng tròn (O
1
) và (O
2
) tiếp xúc ngoài với nhau tại A , kẻ tiếp tuyến chung Ax. Một đờng thẳng d tiếp xúc
với (O
1

) , (O
2
) lần lợt tại các điểm B , C và cắt Ax tại điểm M . Kẻ các đờng kính BO
1
D và CO
2
E.
a) CMR: M là trung điểm của BC
b) CMR:

O
1
MO
2
vuông
c) Chứng minh B , A , E thẳng hàng ; C , A , D thẳng hàng
d) Gọi I là trung điểm của DE . CMR đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO
1
O
2
tiếp xúc với đờng thẳng d
Bài 145: Cho (O;R) trên đó có một dây AB = R
2
cố định và một điểm M di động trên cung lớn AB sao cho tam giác MAB
có ba góc nhọn . Gọi H là trực tâm của tam giác MAB ; P , Q lần lợt là các giao điểm thứ hai của các đờng thẳng AH , BH với đ-
ờng tròn (O) ; S là giao điểm của các đờng thẳng PB , QA.
a) CMR : PQ là đờng kính của đờng tròn (O)
b) Tứ giác AMBS là hình gì ? Tại sao ?
c) Chứng minh độ dài SH không đổi
d) Gọi I là giao điểm của các đờng thẳng SH , PQ . Chứng minh I chạy trên một đờng tròn cố định.

Bài 146: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao cho AP > R . Kẻ tiếp tuyến PM (M
là tiếp điểm ) .
a) CMR : BM // OP
b) Đờngthẳng vuông gócvới AB tại O cắt tia BM tại N . Tứ giác OBNP là hình gì ? Tại sao ?
c) Gọi K là giao điểm của AN với OP ; I là giao điểm của ON với PM ; J là giao điểm của PN với OM . CMR : K , I , J
thẳng hàng
d) Xác định vị trí của P sao cho K nằm trên đờng tròn (O)
Bài 147: Cho đờng tròn (O;R) , hai đờng kính AB và CD vuông góc nhau . Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O ) ,
đờng thẳng CM cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai N . Đờng thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đờng tròn (O)
ở điểm P .
a) CMR tứ giác OMNP nội tiếp đợc
b) Tứ giác CMPO là hình gì ? Tại sao ?
c) CMR : CM.CN không đổi
15
d) CMR : khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên mộtđờng thẳng cố định
Bài 148: Cho hai đờng tròn (O) , (O) cắt nhau tại hai điểm A và B . Các đờng thẳng AO , AO cắt đờng tròn (O) lần lợt tại các
điểm thứ hai C , D và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại các điểm thứ hai E , F .
a) CMR: B , F , C thẳng hàng
b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc
c) Chứng minh A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE
d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đờng tròn (O) , (O)
Bài 149: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đờng tròn ( M khác A và B ) . Đờng thẳng d
tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt đờng trung trực của đoạn AB tại I . Đờng tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng d tại C
và D ( D nằm trong góc BOM ).
a) CMR các tia OC , OD là các tia phân giác của các góc AOM , BOM.
b) CMR : CA và DB vuông góc với AB
c) CMR :
AMB
đồng dạng
COD

d) CMR : AC.BD = R
2
Bài 150: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB và một điểm M bất kỳ trên đờng tròn . Gọi các điểm chính giữa của các cung
AM , MB lần lợt là H , I . Cãc dây AM và HI cắt nhau tại K .
a) Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi
b) Hạ

. Chứng minh IP là tiếp tuyến của (O;R)
c) Gọi Q là trung điểm của dây MB . Vẽ hình bình hành APQS . Chứng minh S thuộc đờng tròn (O;R)
d) CMR kkhi M di động thì thì đờng thẳng HI luôn luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định.
Bài 151: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và hai điểm C , D thuộc nửa đờng tròn sao cho cung AC < 90
0
và
0
90

=DOC
. Gọi M là một điểm trên nửa đờng tròn sao cho C là điểm chính chính giữa cung AM . Các dây AM , BM cắt OC ,
OD lần lợt tại E và F .
a) Tứ giác OEMF là hình gì ? Tại sao ?
b) CMR : D là điểm chính giữa của cung MB.
c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt các tia OC , OD lần lợt tại I , K . CMR các tứ giác OBKM ;
OAIM nội tiếp đợc.
d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S . Xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M , O , B , K , S cùng thuộc một đờng tròn
Bài 152: Cho
ABC

(AB = AC ) , một cung tròn BC nằm bên trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB , AC tại B , C sao cho
A và tâm của cung BC nằm khác phía đối với BC . Trên cung BC lấy một điểm M rồi kẻ các đờng vuông góc MI , MH , MK
xuống các cạnh tơng ứng BC , CA , AB . Gọi giao điểm của BM , IK là P ; giao điểm của CM , IH là Q.

a) CMR các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc .
b) CMR : MI
2
= MH . MK
c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp đợc . Suy ra PQ

MI
d) CMR nếu KI = KB thì IH = IC

16
17