ĐỀ CƯƠNG ÔN THI VÀO LỚP 10 NH 2009-2010

CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
Bài 1:
3 2 2 3
3 2 2 3
x x y xy y
A
x x y xy y
− − +
=
+ − −
Giải:
a. Rút gọn A:
3 2 2 3 2 2 2 2
3 2 2 3 2 2 2 2
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
x x y xy y x x y y x y x y x y
A
x x y xy y x x y y x y x y x y
− − + − − − − −
= = =
+ − − + − + + −
Vậy
x y
A
x y
−
=
+
(đk
x y≠ ±

)
b. Tính A khi
3; 2x y
= =
Thay
3; 2x y
= =
ta được:
( )
( ) ( )
2
2 2
3 2
3 2
5 2 6
3 2
3 2
A
−
−
= = = −
+
−
c. Khi A = 1 tức
1 ( )
x y
A x y x y do x y
x y
−
= = ⇒ − = + ≠ ±

+
2 0 0y y x x⇔ = ⇒ = ⇒ =
( luôn đúng)
Vậy để A = 1 thì x
∈
R; y = 0
Bài 2:
2
2 5 1
3 6 2
x
B
x x x x
+
= − +
+ + − −
a. Rút gọn B (ĐK:
3; 2x x≠ − ≠
)
2 5 1 ( 2)( 2) 5 ( 3)
3 ( 3)( 2) 2 ( 3)( 2)
x x x x
B
x x x x x x
+ + − − − −
= − − =
+ + − − + −
2 2
4 5 3 12 ( 4)( 3)
( 3)( 2) ( 3)( 2) ( 3)( 2)

4
2
x x x x x x
B
x x x x x x
x
B
x
− − − − − − − −
= = =
+ − + − + −
−
=
−
b.
( )
( )
2
2
2
2 2(2 3) 4 2 3
3 1 3 1 3 1
4 3
2 3
2 3
x
+ −
= = = = − = − = −
−
+

−
Thay
3 1x = −
vào B ta có:
3 1 4 3 5
3 1 2 3 3
B
− − −
= =
− − −
c. Tìm
x Z∈
để
B Z∈
Ta có:
4 2 2
1
2 2 2
x x
B
x x x
− −
= = − = −
− − −
1
Để
B Z∈
thì
2
hay 2 x - 1 x - 2

2
Z
x
∈ ⇒
−
M
là ước của 2.
2 2x⇒ − = ±
hoặc x – 2 = + 1
 x – 2 = 2 => x = 4  x – 2 = -2 => x = 0
 x – 2 = 1 => x = 3  x – 2 = -1 => x = 1
Vậy để B nguyên thì các giá trò của x nguyên là: 4, 0, 3, 1
Bài 3:
( )
2
2
3 3
2
1
1 1
:
1 1 1
x x
x x
C x x
x x x
−
 
  
− +

= + −
 
 ÷ ÷
+ − +
  
 
a. Rút gọn C (ĐK:
1x ≠ ±
)
( ) ( )
2 2
2 2
2
(1 )
: 2 1 2 1
1
x x
C x x x x
x
−
 
= + + − +
 
+
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2
(1 ) 1
.

1 (1 ) (1 )
(1 ) .(1 )

(1 )(1 ) (1 ) 1
x x
C
x x x
x x x x
x x x x
−
=
+ + −
+ −
= =
+ + − +
b.
( )
2
3 2 2 2 1 2 1 2 1x = + = + = + = +
Thay
2 1x = +
ta có:
( )
2
2 1 2 1 2 1
1 3 2 2 2( 2 2)
1 2 1
C
+ + +
= = =

+ + +
+ +

2
4
C =

2
2
2
3
3 1 1 3 1
1
3 1 0
3 5

2
x
C x x
x
x x
x
= ⇔ = ⇔ = +
+
⇔ − + =
− ±
⇔ =
Bài 4:
2 3
2 2 3

2 4 2 3
:
2 4 2 2
x x x x x
D
x x x x x
   
+ − −
= − −
 ÷  ÷
− − + −
   
a. Rút gọn D (ĐK:
2; 2; 0x x x
≠ ≠ − ≠
)
2 2
2 2
2 4 2 ( 3)
:
2 4 2 (2 )
x x x x x
D
x x x x x
   
+ − −
= − −
 ÷  ÷
− − + −
   

2 2 2 2
2 2
(2 ) (2 ) 4 ( 3)
:
4 (2 )
x x x x x
x x x
+ − − + −
=
− −
2
( )
2
2
2 2
2
1
(1 )(1 )
:
1 1
x x
x x x
C x
x x
−

 
− + +
= +


 ÷
+ −
 

(Tương tự)
c.
( )
2 2
2 2
(2 2 )(2 2 ) 4 (2 )
: 3
4 ( 3)
x x x x x x x
x
x x x
+ + − + − + + −
= ≠ ±
− −
2
2 2 2
8 4 (2 ) 4 (2 ) (2 )
. .
4 3 (2 )(2 ) 3
x x x x x x x x
x x x x x
+ − + −
= =
− − + − −
Vậy
2

2
4
3
x
D
x
=
−
b. Ta có:
5 2 7
5 2
5 2 3
x x
x
x x
− = =
 
− = ⇔ ⇔
 
− = − =
 

2
2
4.7 196 98
7
7 3 46 23
x D= ⇒ = = =
−


2
2
4.3
3 6
3 3
x D= ⇒ = =
−
Bài 5:
2
2
4 1 (2 1)( 1)
2 4
x x x
E
x
− + + −
=
−
a. Rút gọn E (ĐK:
2
3
x ≠ ±
)
(2 1)(2 1) (2 1)( 1)
(3 2)(3 2)
(2 1)(3 2) 2 1

(3 2)(3 2) 3 2
x x x x
E

x x
x x x
x x x
+ − + + −
= =
+ −
+ − +
= =
+ − +
b. Tìm x để
0E
>
1
2 1 0
2
3 2 0
2
3
2 1
0 0
3 2
1
2
2 1 0
2
3 2 0
3
x
x
x

x
x
E
x
x
x
x
x



+ >

>−





+ >




−



>







+
> ⇔ > ⇔ ⇔


+


−


<






+ <



−


<



+ <





1
2
2
3
x
x
−

>

⇔

−

<


3
Bài 6:
1 2
F 1 :
1

1 1
x x
x
x x x x x
   
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
− + − −
   
a. Rút gọn F (ĐK:
1; 1; 0x x x
≠ − ≠ ≥
)
1 1 2
:
1
1 ( 1)( 1)
x x x
F
x
x x x
   
+ +
= −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
− + −

   

2
1 ( 1)( 1)
.
1
( 1)
x x x x
x
x
+ + + −
=
+
−

1
1
x x
x
+ +
=
−
b.
2
4 2 3 ( 3 1)x = + = +
Thay
2
( 3 1)x = +
vào F
Ta có:

( ) ( )
( )
2 2
2
3 1 3 1 1
6 3 3
2 3 3
3
3 1 1
F
+ + + +
+
= = = +
+ −
c. K > 1 tức
1 1 1
1 0
1 1
x x x x x
x x
+ + + + − +
> ⇔ >
− −

2
0
1
x
x
+

⇔ >
−
2 0
2
1 0 1
1
2
2 0 2
1
1 0
x
x
x x
x
x
x x
x
x
 + >

 >−






− > >
>




 




⇔ ⇔ ⇔





<−
+ < <−
 







<
− <







Vậy để K > 1 thì x > 1
Bài 7: a/
2 2
2 2
G : .
a b a b a a b b
a b a b b a b a
+  +  +
   
= + −
 ÷  ÷
 
− − −
   
 

2 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
:
( ) ( )
a b a b b a b a a b a a b b
a b a b b a b a
 
  
+ + + − + − −
=
 
 ÷ ÷

− − −
  
 
ĐK:
; 0; 0a b a b
≠ ± ≠ ≠
2 2 2 2 2 2
2 2
: .
( ) ( )
a b a b a b
G
a b a b b a b a
 
+ + +
=
 
− − −
 

2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )
.
( ) ( )( )
a b ab a b ab a b
a b a b a b a b
+ − −
= =
− + + +

b/
2 2
a
a b
b
= ⇒ =
thay
2a b
=
vào G ta được:
4
( Loại )
3
3
2 2
2. ( 2 ) 2( 2 1) 2( 2 1)
3 ( 2 1) 3( 2 1)
(b 2 ) ( 2)
b b b b b
G
b
b b b
− − −
= = =
 
+ +
+ +
 
3 2 4
3

G
−
=
Bài 8:
3
1 1
1 1 1
x x
H
x x x x x
−
= + +
− − − + −
a. Rút gọn H (ĐK x > 1)
1 1 ( 1)
( 1 ) ( 1 ) 1
x x x x x x
H
x x x x x
− + + − − −
= +
− − − + −

2 2
2 1
( 1) ( ))
x
x
x x
−

= +
− −

2 1x x
= − − +
b. Ta có:
2 2
53 53(9 2 7) 53(9 2 7)
9 2 7
81 28
9 2 7 9 (2 7)
x
+ +
= = = = +
−
− −
Thay
9 2 7x
= +
vào H ta được:
9 2 7 2 9 2 7 1
9 2 7 2 8 2 7
9 2 7 2( 7 1) 9 2 7 2 7 2 7
H
= + − + −
= + − +
= + − + = + − − =
c.
2 2
16 2 1 16

1 2 1 1 16
( 1 1) 4 0
( 1 1 4)( 1 1 4) 0
H x x
x x
x
x x
= ⇔ − − =
⇔ − − − + =
⇔ − − − =
⇔ − − + − − − =

( 1 3)( 1 5) 0
1 3 0
1 5 0
x x
x
x
⇔ − + − − =

− + =
⇔

− − =



1 3 0 1 3x x
− + = ⇔ − = −
(Vô lí)


1 5 0 1 5 1 25 26x x x x
− − = ⇔ − = ⇒ − = ⇒ =
5
Baứi 9:
2 2 3
2 2 2 2
:
2
a a a a
I
a b b a a b a b ab

= +
ữ ữ
+ + + +

a. Ruựt goùn I (ẹK:
b a

)
2 2 3
2 2 2
( ) ( )
:
( )
a b a a a a b a
I
b a b a

+ +
=
ữ
+

2 2 2
2 2 3 2 3 2
( ) ( )( )
. .
( )( )
ab a a b a ab b a b a
I
b a a a b a b a b a a b
+ + + +
= =
+ +
( )
b a
I
a b a
+
=

b. Thay
1 2a
= +
vaứ
1 2b
=
vaứo I ta coự:

(1 2 1 2) 2 2 2
2
(1 2)(1 2 1 2) 2 2(1 2)
I
+ +
= = =
+ +
c. Ta coự:
1
2
2
a
b a
b
= =
1 Thay 2
( )
b a
I b a
a b a
+
= = =

ta coự:
2
2 3
1 1
(2 )
a a a
a a a a

+
= =

2 2
3 3 0
( 3) 0
0; 3
a a a a
a a
a a
= =
=
= =
a = 0 => b = 0 (loaùi)
a = 3 => b = 6
Baứi 10:
a b a b
J
ab b ab a ab
+
= +
+
a. Ruựt goùn J (ẹK: a > 0; b > 0; b

0 )
( ) ( )
a b a b
J
b b a a b a ab
+

= +
+
. ( ) ( ) )( )( )
( )
a a b a b b b a a b b a
ab b a
+ + +
=

2 2 2 2
( )
( ) ( )
a ab a b b ab b a ab b a
ab b a ab b a
+ + + +
= =

b. Ta coự:
6
2
2
4 2 3 ( 3 1) 3 1 3 1
4 2 3 ( 3 1) 3 1 3 1
a
b
= + = + = + = +
= + = + = + = −
Thay a, b vào J ta có:
3 1 3 1 2 3
3

2
3 1 3 1
J
+ + −
= = = −
−
− − −
c.
1
( 5) ( 1)
5
a a
a b b a
b b
+
= ⇒ + = +
+

5b a⇔ =
5 6 3
5 4 2
b a a a a
J
b a a a a
+ +
= = = =
− −
Không đổi
Bài 11:
2

2
(2 3)( 1) 4(2 3)
( 1) ( 3)
a x x
K
x x
− − − −
=
+ −
a. Rút gọn K ( ĐK:
1; 3x x
≠− ≠
)
2
2 2
( 1) 4
(2 3) (2 3)( 1 2)( 1 2)
.
( 1) ( 3) ( 1) ( 3)
x
x x x x
K
x x x x
 
− −
− − − + − −
 
= =
+ − + −

2
(2 3)( 1)( 3)
( 1) ( 3)
2 3
1
x x x
x x
x
x
− + −
=
+ −
−
=
+
b. Ta có:
3 2 3 2 1x
= + = +
Thay vào K ta có:
2 3 2( 2 1) 3 2 2 2 3 2 2 1
1
2 1 1 2 2 2 2
x
K
x
− + − + − −
= = = =
+
+ + + +
Vậy

5 2 6
2
K
−
=
c. K > 1
2 3
1
1
x
x
−
⇔ >
+

2 3
1 0
1
x
x
−
⇔ − >
+

4 0 4
1 0 1
4
0
1
4 0 4

1 0 1
x x
x x
x
x
x x
x x

− >  >
 

 

+ > >−
 


−


⇔ > ⇔ ⇔


+
− < <

 

 



+ < <−
 



4x
⇔ >
hoặc x < -1
7
Bài 12:
3 2 2
1 :
1 2 3 5 6
x x x x
L
x x x x x
   
+ + +
= − + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ − − − +
   
a. Rút gọn L (ĐK:
9; 4; 0x x x≠ ≠ ≥
)
1 3 2 2
:
1 2 3 ( 3)( 2)

x x x x x
L
x x x x x
   
+ − + + +
= − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ − − − −
   

2 2 2 2
( ) 3 ( ) 2 2
1
:
1 ( 3)( 2)
x x x
x x x
   
− − − + +
 
   
=
 ÷
+ − −
 

1 ( 3)( 2)
.
1 3

x x
x x
− −
=
+ −

2
1
x
L
x
−
=
+
b. Tìm x để L < 0
Ta có:
2
0 0
1
x
L
x
−
< ⇔ <
+
Vì
0x ≥
nên
1 1x + ≥ ⇒
để

0 2 0L x< ⇔ − <

4
16
x
x
⇔ <
⇔ <
Vậy để L < 0 thì
0 16x
≤ <
và
4, 9x x
≠ ≠
Bài 13:
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
P
x
x x x
   
− −
= − + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
− + +

   
a. Rút gọn P (ĐK:
1
9
x ≠
và x > 0)
( ) ( ) ( )
1 3 1 3 1 8
3 1 3 2
:
9 1
3 1
x x x x
x x
P
x
x
− + − − +
+ − +
=
−
+

3 3 3 1 3 1 3 ( 1)
.
9 1 3 3
3(3 1)
x x x x x x
x
x

+ + + +
= = =
−
−

( 1)
3 1
x x
x
+
=
−
b. Ta có:
2
6 2 5 ( 5 1)x
= + = +
Thay x vào P ta có:
(
)
( )
2 2
2
( 5 1) ( 5 1) 1
3 5 1 1
P
+ + +
=
+ −
8
( 5 1)( 5 2) 3 5 7

3( 5 1) 1 3 5 2
P
+ + +
= =
+ − +
c.
6 ( 1) 6
5 5
3 1
x x
P
x
+
= ⇔ =
−
5 5 18 6x x x
⇔ + = −
5 13 6 0x x
⇔ − + =
( 2)(5 3) 0x x
⇔ − − =
4 4
2
3 9 9
;
5 3 0
5 25 25
x x
x
x

x x
x

 = =

=






⇔ ⇔ ⇔



−
= = =

− =





Vậy để
6
5
P
=

thì x = 4;
9
25
x
=
Bài 14:
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
Q
x x x x
− − +
= − −
+ − − +
a. Rút gọn Q (ĐK:
0; 1x x
≥ ≠
)

15 11 3 2 2 3
( 1)( 3) 1 3
x x x
Q
x x x x
− − +
= − −
− + − +

15 11 (3 2)( 3) (2 3)( 1)
( 1)( 3)

x x x x x
x x
− − − + − + −
=
− +

5 7 2 ( 1)(2 5 )
( 1)( 3) ( 1)( 3)
x x x x
x x x x
− + − − −
= =
− + − +

2 5
3
x
x
−
=
+
b. Khi
1 2 5 1
2 2
3
x
Q
x
−
= ⇔ =

+

4 10 3x x
⇔ − = +

11 1x
⇔ =

1 1
11 121
x x
⇔ = ⇒ =
hoặc
1
121
x
−
=
(loại)
9
(loại)
c.
5 2 5 15 17
3 3
x x
Q
x x
− + −
= − = −
+ +

5 15 17
3 3
x
x x
+
= − +
+ +

17
5
3x
= − +
+
17
5
3x
= −
+
max
17
3
Q
x
⇔
+
lớn nhất
3x
⇔ +
nhỏ nhất.

Lúc đó:
17 17 15 2
5
5 3 3
Q
−
= − = =
Vậy
max
2
3
Q
=
khi x = 0
Bài 15:
a.
( )
2 1 1
1: 0; 1
1
1 1
x x x
R x x
x
x x x x
 
+ + +
= + − ≥ ≠
 ÷
 ÷

−
− + +
 


2 1 1
1:
1
x x x x
x x
 
+ + − − − −
=
 ÷
 ÷
−
 

1:
( 1)( 1)
x x
x x x
 
−
=
 ÷
 ÷
− + +
 

1
1:
1
x x x
x x x
+ +
= =
+ +
b. CM R > 3 với mọi giá trò x > 0 và
1x
≠
Xét hiệu R – 3
1
3
x x
x
+ +
⇔ −

1 3 2 1x x x x x
x x
+ + − − +
= =
Do
0x
>
và
2
( 1) 0x
− >

Nên R – 3 > 0 => R > 3
10
CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1: BH = 12 (cm); BD = 15 (cm)
Tính S
ABCD
Giải
Qua B kẻ đường thẳng song song AC cắt DC ở E. BH là đường cao của hình
thang.
Ta có: BE // AC
Mà: AC ⊥ BD
Trong ∆
V
BDH ta có: HD
2
= BD
2
– BH
2
= 15
2
– 12
2
= 81
=> DH = ? (cm)
Trong ∆
V
BDE ta có: BD
2
= DE.DH =>

2
BD 225
DE = = = 25 (cm)
DH 9
Ta có AB = CE (t/c đoạn chắn)
Nên: AB + CD = CE + CD = DE = 25 (cm)
Do đó: S
ABCD
= 25.12:2 = 150 (cm
2
)
Bài 2: CD = 10 (cm); AB = AH = BK
Tính đường cao.
Giải
Đặt AH = BK = AB = x
DH + CK = 10 – HK = 10 – x
=> DK = CK =
10 10 10
HC 10
2 2 2
x x x
− − +
⇒ = − =
Xét ∆
V
ADC:
AH
2
= HD.HC hay
2

2
10 10 100
.
2 2 4
x x x
x
− + −
= =
2 2 2 2
100
4 100 5 100 20
5
x x x x⇔ = − ⇔ = ⇒ = =
Nên
2 5x
=
(cm)
Vậy: Đường cao hình thang bằng
2 5
(cm)
11
A B
CD H E
=> BE ⊥ BD
A B
CK
HD
Bài 3: C
ABC
= 72 (cm); AM – AH = 7 (cm)

Tính S
ABC
.
Giải
Đặt AM = x
Ta có: BC = 2x; AH = x – 7
AB
2
+ AC
2
= BC
2
= 4x
2
(1)
AB.AC = BC.AH = 2x (x – 7) => 2AB.AC = 4x (x – 7) (2)
Cộng (1) và (2) ta được: AB
2
+ AC
2
+ 2AB.AC = 4x
2
+ 4x (x – 7)
⇔
(AB + AC)
2
= 8x
2
– 28x
Mà AB + AC = C

ABC
– BC
⇒
(72 – 2x)
2
= 8x
2
– 28x
⇔
x
2
+ 65x – 1296 = 0
⇔
(x – 16) (x + 81) = 0
⇔
x = 16; x = -81 (loại)
⇒
BC = 32 (cm); AH = 16 – 7 = 9 (cm)
Do đó:
2
ABC
1
S 32.9 144 (cm )
2
= =
Bài 4: ∆ ABC có:
µ
A
= 120
0

; BC = a
AC = b; AB = c
Chứng minh: a
2
= b
2
+ c
2
– bc
Giải
Kẻ BH ⊥ AC
∆ABH vuông tại H có
·
0
BAH 60 ABH
= ⇒
là nữa ∆ đều.
Nên
1 1
AH = AB = C
2 2
. Dùng Pitago trong ∆
V
BCH.
Ta có: BC
2
= BH
2
+ HC
2

= BH
2
+ (AH + AC)
2
= BH
2
+ AH
2
+ 2AH.AC + AC
2

⇒
a
2

= BC
2
= AB
2
+ 2AH.AC + AC
2
= b
2
+ c
2
+
1
2. c.b
2
⇒

a
2
= b
2
+ c
2
+ bc
Bài 5: Biết BD = 7,5; DC = 10
Tính AH, BH, DH .
Giải
12
A
B H M
C
B
C
H A b
a
c
120
0
A
B H D C
Theo tính chất phương phân giác:
AB DB 7,5 3
=
AC DC 10 4
= =
2 2
3 9

AB= AC AB = AC
4 16
⇒ ⇒
Mà AB
2
= BC
2
– AC
2
= 17,5
2
– AC
2
(Pitago)
Nên
2 2 2 2
9
AC 17,5 -AC 25AC 4900
16
= ⇔ =

⇔
AC
2
= 196 nên AC = 14 (cm)
3 3
AB AC 14 10.5 (cm)
4 4
⇒ = = =
Dùng AB. AC = BC.AH

14.10,5
AH 8, 4(cm)
17.5
⇒ = =
Dùng
2 2
2
AB 10,5
AB = BC.BH BH = = = 6,3 (cm)
BC 17.5
⇒
⇒
DH = DB – BH = 7,6 – 6.3 = 1,2 (cm)
Bài 6: BC = 25, DK = 6
Tính AB .
Giải
Ta có: ∆
v
ADK = ∆
v
ADH ( ch – gn)
·
¶
¶
¶
0
1 2 1 1
DH = DK = 6; D = D D +A 90
⇒ =
Mà:

¶
·
0
1
D + BAD = 90 (ΔABC
vuông ở A)
¶
·
1
D = BAD
⇒
nên ∆ ABD cân ở B => AB = DB
Đặt AB = DB = x. Ta có: AB
2
= BC.BH => x
2
= 25 (x – 6)
Được pt: x
2
– 25x + 150 = 0
⇔
(x – 10) (x – 15) = 0
Nên AB = x = 10 hoặc AB = x = 15.
Bài 7: AB = AC; MA = MC
CM: AH = 3HD
Giải:
Xét ∆
v
AMB và ∆
v

DMC
Vì
·
·
µ µ
1 1
AMB=DMC B =C
⇒

Nên ∆
v
HCD ∆
v
ABM
13
A
x
B
H D C
K
2
1
1
2
A
B
C
D
M
H

Mà AB = 2AM nên HC = 2HD
Đặt HD = x => HC = 2x (ta sẽ tính sao cho AH = 3x)
Ta có: DH
2
= HM.HC hay x
2
= HM.2x =>
2
HM 0,5
2
x
x
x
= =
MC = 2,5x; AM = 2,5x => AH = 3x
Vậy AH = 3x = 3HD
Bài 8: Cho AB = BC = CD = DA =10 cm
AE = EF = FA
Tính EF, FA, AE
Giải
Ta có: ∆
v
BAF =∆
v
DAE (Ch – Cgv)
=> BF = DE nên CE = CF
Đặt DE = x => CE = 10 – x; CE = CF = 10 – x (ĐK: x < 10)
Nên AE
2
= x

2
+ 100 (1)
Từ EF
2
(=AE
2
) = CE
2
+ CF
2
= (10 – x)
2
+ (10 – x)
2
= 2 (10 – x)
2

=> x
2
+ 100 = 2 (100 – 20x + x
2
)
⇔
x
2
– 40x + 100 = 0
⇔
x
2
– 2.20x + 400 – 300 = 0

2 2
( 20) ( 300) 0
( 20 300)( 20 300) 0
x
x x
⇔ − − =
⇔ − + − − =

20 10 3 0 20 10 3
20 10 3 0 20 10 3
x x
x x
 
− + = = −
⇔ ⇔
 
− − = = +
 
 
Thay
20 10 3x
= −
vào (1)
( )
2
AE 20 10 3 100
= 800 400 3
20 2 3 ( )cm
⇒ = + +
+

= −
14
(loại)
A B
F
C
ED
Bài 9:
CM:
2 2 2
1 1 1
+ =
AM AI a
Giải
Vẽ đường thẳng vuông góc với AM tại A, cắt CD ở N.
Trong ∆
v
ANI ta có:
Ta có:
( )
2 2 2
1 1 1
+ = *
AD AN AI
∆
v
DAN và BAM có: AB = AD = a
¶
¶
1 2

A = A
(cùng phụ
¶
3
A
)
=> DAN = ∆
v
BAM (Cgv – góc nhọn kề)
=> AN = AM (**)
Thay (**) vào (*) ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1
+ = =
AM AI AD a
Bài 10:
BC = 3 5; AD = DE = EF = FA = 2
Tính AC, AB.
Giải:
Đặt BD = x; CF = y
∆BDE ∆EFC nên:
2
2
x
y
=
=> xy = 4 (1)
Theo pitago: AB
2
+ AC

2
= BC
2

Nên: (x + 2)
2
+ (y + 2)
2
=
( )
2
3 5 45
=
⇔
x
2

+ y
2
+ 4(x + y) = 37
⇔
(x + y)
2
– 2xy + 4 (x + y) = 37 (2)
Đặt t = x + y > 0 và thay (1) vào (2) ta được:
t
2
+ 4t – 45 = 0
⇔
(t – 5) (t + 9) = 0

⇔
t = 5; t = -9 (loại)
15
A B
D C IN
M
1
3
2
A F y C
B
E
D
x
2
2
Vậy x + y = 5
⇔
x = 5 – y (3)
Thay (3) vào (1) ta được: y
2
– 5y + 4 = 0
⇔
(y – 1) (y – 4) = 0
⇔
y = 1; y = 4
 y = 1 => x = 4 Khi đó: AB = 2 + x = 2 + 4 = 6; AC = 3
 y = 4 => x = 1 Khi đó AB = 3; AC = 6
Bài 11: Cho
¶

¶
1 2
B = B ; IA = 2 5 ; IB = 3
Tính AB.
Giải:
Đường vuông góc với AB tại A cắt BI ở K.
Ta có:
¶
·
K = AIK
(Vì cùng phụ với
¶
¶
1 2
B = B
) => AIK là ∆ cân.
Kẻ AH ⊥ BK, đặt IH = KH = x
Trong ∆
v
ABK có:
( )
2
2
AK = KH.KB 2 5 (2 3)x x⇒ = +

⇔
2x
2
+ 3x – 20 = 0

⇔
(2x – 5) (x + 4) = 0

5
; 4
2
x x
⇔ = = −

5 11
KB 2 3 2. 3 8 BH 5,5
2 2
x
⇒ = + = + = ⇒ = =
2
11
KB.BH 8. 4.11 AB 2 11
2
AB⇒ = = = ⇒ =
Bài 16: Cho AB = DB; HE = 2HA
CM:
·
0
DEC 90
=
Giải
Gọi I là trung điểm HE
Đặt AH = a; HB = b
Thì: EH = 2a; DI = 2b
Và

2 2
AH a
HC = =
HB b
16
(loại)
A
K
H
C
B
I
x
1
3
2
2 5
A
B C
E
D
I
H
a
b
a
a
2b
·
·

2
DI 2b HE a 2b
tg IED = = tgHCE = = 2a: =
IE a HC b a
 
 ÷
 
·
·
IED = HCE
⇒
·
2
EH a 2b
cotg CEH = = 2a: =
HC b a
·
·
0
IED + CEH = 90⇒
nên
·
0
DEC = 90
Bài 17: AB = 10; EFGHIKMN
là bát giác đều; DKM, ANE, BFG, CHI
là các ∆ vuông cân. Tính tổng các ∆ vuông cân.
Giải
Đặt DK = CI = x
2 2

MK = x +x = x 2 = KI
⇒
Ta có: DK + KI + IC = 10
Nên
2 10 (2 2) 10x x x x
+ + = ⇔ + =
Do đó:
10
2 2
x =
+
Tổng diện tích của 4 ∆ vuông cân bò cắt:
2
2 2
1 10 100 100
4. 2 2. 2. 100(3 2 2)
2
2 2 6 4 2 3 2 2
x x
 
= = = = = −
 ÷
+ + +
 
(đvdt)
ĐƯỜNG TRÒN
Bài 1: CM HK là tiếp tuyến của (O)
Giải
Gọi O là trung điểm của EC
⇒

OE = OC = OK nên
·
0
EKC 90
=
Gọi M là trung điểm AK => HM là đtb của hình thang ABEK
Nên HM ⊥AK => ∆ HAK cân tại H (đc cũng là tr tuyến)
¶
¶
1 1
K = A⇒
¶
¶
¶
¶
¶
¶
·
0
2 1 2 1
K = C K + K = A + C OKH 90⇒ ⇒ =
Vậy HK là t
2
của (O)
17
A E F B
D K I C
N
M
G

H
M
B H EE O C
A
K
Bài 18:
Gọi p là bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC
2 2
BC = 15 +20 = 25 (cm)
15 + 20 - 25
p = = 5 (cm)
2
2 2
AI 5 5 5 2 (cm)
= + =
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 AB .AC
= + AH = = 12 (cm)
AH AB AC AB +AC
⇒
Kẻ IK ⊥AH tính được AK = 7 cm.
( )
2
2 2 2
IK = AI - AK = 5 2 - 7 = 1 (cm)⇒
Bài 19:
Xét ∆ABC vuông ở A.
Giả sử AB = 12 (cm)
Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp.

=> BC = 5r.
AC
2
= BC
2
– AB
2
= 25r
2
– 144 (1)
Ta có: AB + AC – BC = 2r nên AC = BC + 2r – AB = 7r – 12 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (7r – 12)
2
= 25r
2
– 144

2
7 12 0
( 3)( 4) 0
r x
r r
⇔ − + =
⇔ − − =
Vậy r = 3 hoặc r = 4.

2
1
r = 3 AC = 7.3 - 12 = 9 S = 9.12 = 54 cm
2

⇒ ⇒

Bài 17:
a. Chu vi ∆ DMN = DM + MN + ND
= DM + ME + EN + ND
= DM + MA + DN + NC = 2a
b. CM:
·
0
MBN 45
=
∆
v
ABM = ∆
v
EBM (ch – Cgv)
¶
¶
1 2
B = B
⇒
∆
v
CBN = ∆
v
EBN (ch – Cgv)
¶
¶
3 4
B = B

⇒
18
CHB
A
NM
K
I
p
B D C
EF
A
I
A
A
Ba
M
D N C
1
2
3
4
E
ả
ả
ả
ả
ã
ả
ả
0 0 0

1 2 3 4 2 3
1
B + B + B + B =180 MBN+ B + B = 180 = 90
2

c. MN < DM + DN
=> MN + N < MN + DM + DN = 2a
=> 2MN < 2a => MN < a (1)
Ta coự: MN > DM; MN > DN
Neõn 2MN > DM + DN => 2MN + MN > DM + DN + MN = 2a
=> 3MN > 2a
2a
MN > (2)
3

Tửứ (1) vaứ (2)
2a
< MN < a
3

19