Tài liệu lượng giác ôn thi đại học

Tài liệu Ôn thi Đại Học
LỜI NÓI ĐẦU
Các em học sinh thân mến!
Chắc rằng tất cả các em đều có mơ ước thành đạt trên con đường học vấn; Tuy nhiên không
phải dễ dàng bởi trước tiên các em phải bước vào được ngưỡng của Đại học, điều mà không dễ ai
cũng làm được.
Bằng kinh nghiệm của bản thân, tôi viết tài liệu này ngõ hầu trang bị thêm cho các em những
kiến thức, kĩ năng, phương pháp giải các phương trình lượng giác, giúp các em tự tin trước khi bước
vào trường thi;
Mong rằng với kinh nghiệm của tôi cộng với lòng đam mê, khát khao của các em sẽ giúp các
em thành đạt trên đường học vấn.
Tài liệu chia làm 3 phần Trang
- Phần I : Tóm tắt lý thuyết : 2-6
- Phần II : Phương pháp giải
- 1- Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 6-8
2- Phương trình đưa về phương trình đối xứng đối với sinx và cosx 8-11
3-Phương trình đưa về phương trình đẵng cấp bậc n đối với sinx và cosx 10-12
4-Phương trình lượng giác dùng công thức hạ bậc 12-14
5-Phương trình lượng giác đưa về dạng chuẩn dùng công thức nhân ba 14-16
6-Phương trình lượng giác dùng phương pháp đặt ẩn phụ 16-21
7- Phương trình lượng giác dùng phương pháp so sánh 21-25
8- Tìm nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện cho trước 25-27
9- Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước
27-29
10- Giải và biện luận phương trình lượng giác theo tham số 29-31
11- Bài toán hai phương trình tương đương 31-34
12- Một số bài toán dùng nhiều phép biến đổi lượng giác để đưa vế phương trình tích có
nhiều cách giải khác nhau tùy vào cách nhìn 34-37
- Phần III: các bài tập tự luyện. 38-41
Nhâm Thìn 2012
Hoàng Kim Dĩnh

Hong Kim Dĩnh Trang : 1
Tài liệu Ôn thi Đại Học
PHẦN I :TÓM TẮT GIÁO KHOA
I/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1) Dấu của hàm số lượng giác
Phần tư
HSLG
I
0<α<ð/2
II
ð/2<α<ð
III
ð<α<3ð/2
IV
3ð/2<α<2ð
sinα
+ + - -
cosα
+ - - +
tanα
+ - + -
cotα
+ - + -
2) Hệ thức cơ bản
cos
2
α + sin
2
α = 1 ;
tanα =

α
α
cos
sin
, α ≠
2
π
+ kð, k∈Z ; cotα =
α
α
sin
cos
, α ≠ kð, k∈Z
tanα. cotnα = 1, α ≠k
2
π
k∈Z

x
2
sin
1
= 1 + cot
2
α , α ≠ kð, k∈Z


x
2
cos

1
= 1 + tan
2
α , α ≠
2
π
+ kð, k∈Z

3) Cung liên quan đặc bie t
a) Cung đối nhau :
cos(-α) = cosα ; sin(-α) = - sinα ; tan(-α) = -tanα ; cot(-α) = -cotα
b) Cung bù nha u
sin (ð-α) = sinα ; cos(ð-α)=-cosα ; tan(ð-α)= -tanα ; cot(ð-α)= -cotα
c) Cung phụ nha u
sin(
2
π
-α) =cosα ; cos(
2
π
-α) =sinα; tan(
2
π
-α) =cotα ; cot(
2
π
-α) =tanα
d) Cung hơn kém nhau ð
sin (ð+α) = -sinα ; cos (ð+α) = -cosα ; tan(ð+α) = tanα ; cot(ð+α) = cotα ;
e) Cung hơn kém nhau

2
π
sin(
2
π
+α) =cosα ; cos(
2
π
+α) = -sinα; tan(
2
π
+α) =-cotα ; cot(
2
π
+α) =-tanα
4) Công thức cộn g
sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa ; sin(a-b) = sinacosb - sinbcosa ;
cos(a+b) = cosacosb – sinasinb ; cos(a-b) = cosacosb + sinasinb ;
tan(a+b) =
ba
ba
tantan1
tantan
−
+
; tan(a-b) =
ba
ba
tantan1
tantan

+
−
.
cot(a+b) =
ba
ba
cotcot
1cotcot
+
−
; cot(a-b) =
ba
ba
cotcot
1cotcot
−
+
.
5) Công thức nhân
sin2a = 2sinacosa ; cos2a = cos
2
a – sin
2
a = 2cos
2
a – 1 = 1 – 2sin
2
a
sin3a = 3sina – 4sin
3

a ; cos3a = 4cos
3
a – 3 cosa
Hong Kim Dĩnh Trang : 2
Tài liệu Ôn thi Đại Học
tan2a =
aa
a
tantan1
tan2
−
6) Công thức hạ bậc
sin
2
a =
2
2cos1 a−
; cos
2
a =
2
2cos1 a+
sin
3
a =
4
3sinsin3 aa −
; cos
3
a =

4
3coscos3 aa +
7) Công thức chia đô i Đặt t= tan
2
a
(
2
a
≠
2
π
+ kð)
sina = 2t/(1+t
2
) ; cosa = (1-t
2
)/ (1+t
2
) ; tana = 2t/(1-t
2
)
8) Công thức biến đổi
a- Tích thành tổng :
sinacosb=[sin(a-b)+sin(a+b)]/2
cosacosb=[cos(a-b)+cos(a+b)]/2
sinasinb=[cos(a-b) -cos(a+b)]/2
b- Tổng thành tích :
sina + sinb = 2sin
2
ba +

cos
2
ba −
; sina - sinb = 2cos
2
ba +
sin
2
ba −
;
cosa + cosb = 2cos
2
ba +
cos
2
ba −
; cosa - cosb = -2sin
2
ba +
sin
2
ba −
;
tana + tanb =
ba
ba
coscos
)sin( +
; tana - tanb =
ba

ba
coscos
)sin( −

cota + cotb =
ba
ba
sinsin
)sin( +
; cota - cotb =
ba
ba
sinsin
)sin( −
9) Dạng đặc biệt
sinx + cosx =
2
sin(x +
4
π
) =
2
cos(x –
4
π
)
sinx - cosx =
2
sin(x –
4

π
) =
2
cos(x +
4
π
)
II/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1-Phương trình lượng giác cơ bản
Với u, v biểu thức của ẩn x.
sinu = sinv ⇔



+−=
+=
ππ
π
2 vu
k2 vu
l
cosu = cosv ⇔



+−=
+=
π
π
2 vu

k2 vu
l
(k, l ∈ Z)
tanu = tanv ⇔



+=
+≠
π
ππ
lvu
kvu 2/,

cotu = cotv ⇔



+=
+≠
π
π
lvu
kvu,
2-Phương trình trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
a) Dạng : asinx + b = 0 (1) với a≠0, b ∈ R
Hong Kim Dĩnh Trang : 3
Tài liệu Ôn thi Đại Học
acosx + b = 0 (2)
atanx + b = 0 (3)

acotax + b = 0 (4)
b) Cách giải :
(1) ⇔ sinx = -
a
b
 /-
a
b
/ > 1 thì phương trình vô nghiệm ;
* /-
a
b
/≤ 1 thì đặt sinv= -
a
b
; v ∈ [-
2
π
,
2
π
]
Ta được phương trình lượng giác cơ bản : sinx = sinv
(2) tương tự (1) , v ∈ [0.ð]
(3) ⇔ tanx = -
a
b
, x
≠

2
π
+ kð
 tanx = tanv , v ∈ (-
2
π
,
2
π
)
(4) ⇔ cotx = -
a
b
, x
≠
kð
⇔ cotx = cotv , v ∈ (0,ð)
3 -Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
a) Dạng : asin
2
x + bsinx + c = 0 (5) với a, b,c ∈ R
acos
2
x + bcosx + c = 0 (6)
atan
2
x + btanx + c = 0 (7)
acot
2
x + bcotx + c = 0 (8)

b) Cách giải : Đặt t = cosx , sinx , tanx, cotx
(5),(6),(7),(8) ⇔ at
2
+ bt + c = 0 (9)
là phương trình bậc hai đối với t, giải phương trình (9) ta tìm t
biết t ta suy ra x với lưu ý :
t = cosx, sinx thì /t/ ≤ 1
4 -Phương trình bậc nhất đối với sin, cos
a) Dạng : asinx + bcosx = c (10) với a, b,c ∈ R
b) Cách giải :
Cách 1 Chia hai vế cho
ba +
2
Đặt cosv =
22
ba
a
+
; b / sinv =
22
ba
b
+
,v ∈ [0.2ð]
Lúc đó (10) ⇔ sinxcosv + sinvcosx =
22
ba
c
+
⇔ Sin(x + v) =

22
ba
c
+
là phương trình LG cơ bản.
Lưu ý (10) có nghiệm ⇔ c
2
≤ a
2
+ b
2

Cách 2
Chia hai vế cho a sau đó đặt tanv=
a
b
ta được : sinx + tanv cosx =
a
c
⇔ sinx cosv + sinv cosx =
a
c
cosv ⇔ sin(x+v) =
a
c
cosv là PT cơ bản.
Hong Kim Dĩnh Trang : 4
Tài liệu Ôn thi Đại Học
Cách 3 Đặt ẩn phụ t=tan
2

x
Bước 1 : Xem các giá trị của x = ð + 2kð ,( k∈ Z ) có phải là nghiệm của
(10) hay không ?
Bước 2 : Với x
≠
ð + 2kð ,( k∈ Z ), đặt t=tan
2
x
(10) ⇔ (b+c)t
2
– 2at +c – b = 0 phương trình bậc hai theo t .
6 -Phương trình đối xứng đối với sin, cos
a) Dạng : a(sin x + cosx) + bsinx cosx + c = 0 (11) với a, b,c ∈ R
a/sin x + cosx/ + bsinx cosx + c = 0 (12)
b) Cách giải : Đặt t = sin x + cosx =
2
sin(x+
4
π
) , /t/ ≤
2
t = /sin x + cosx/ =
2
/sin(x+
4
π
)/ , 0≤/t/ ≤
2
khi đó : sinx cosx = (t
2

– 1) /2 và phương trình (11),(12)
trở thành phương trình bậc hai theo t, chọn t thoả mãn điều kiện sau đó
giải phương trình lượng giác cơ bản
2
sin(x+
4
π
) = t hay
2
/sin(x+
4
π
)/=t
Chú ý Tương tự với các phương trình gần đối xứng
a(sin x - cosx) + bsinx cosx + c = 0 (13)
a/sin x - cosx/ + bsinx cosx + c = 0 (14)
Đặt t = sin x - cosx =
2
sin(x-
4
π
) , /t/ ≤
2
t = /sin x - cosx/ =
2
/sin(x-
4
π
)/ , 0≤/t/ ≤
2

khi đó : sinx cosx = (1 - t
2
) /2 và phương trình (13),(14)
trở thành phương trình bậc hai theo t, chọn t thoả mãn điều kiện sau đó
giải phương trình lượng giác cơ bản
2
sin(x-
4
π
) = t hay
2
/sin(x-
4
π
)/=t
6 -Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin, cos
a) Dạng : asin
2
x + b sinx cosx + c cos
2
x + d = 0 (15), với a, b,c,d ∈ R
b) Cách giải :
Cách 1 Sử dụng công thức hạ bậc :
sin
2
a =
2
2cos1 a−
; cos
2

a =
2
2cos1 a+
; sin2x = 2 sinx cosx
ta được phương trình bậc nhất đối với sin2x, cos2x đã biết cách giải.
Cách 2 :
Bước 1 : Kiểm tra xem x =
2
π
+ kð ,(k∈ Z) (tức là cosx=0) có
Phải là nghiệm của (15) hay không ?
Bước 2 : x
≠

2
π
+ kð (k∈ Z) chia hai vế của phương trình (15)
cho cos
2
x ta được phương trình : atan
2
x + b tanx + c +d( 1+ tan
2
x) = 0
⇔ (a+d) tan
2
x + b tanx + c +d = 0
là phương trình bậc hai theo tanx đã biết cách giải .
Chú ý - Tất cả các PT đã nêu ở trên gọi là các phương trình chuẩn mực .
Hong Kim Dĩnh Trang : 5

Tài liệu Ôn thi Đại Học
- Không được cộng độ và radian với nhau . Thí dụ không được viết
x = 90
0
+ kð mà phải viết x =
2
π
+ kð hoặc x = 90
0
+ k360
0
.
- Phải chỉ rỏ các giá trị k, l, m, n … trong nghiệm.
- Cần nhớ gía trị đặc biệt của các hàm lượng giác để làm toán cho nhanh.
PHẦN II : PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1) Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Bài 1 Giải các phương trình sau :
a) 2 + cos2x = -5sinx (Đề thi ĐHQG Hà Nội 97 khối D)
b) cos2x + 3cosx + 2 = 0 (Đề thi ĐH Đà Nẵng 97 khối D)
c) cos
2
x + sinx +1 = 0 (Đề thi ĐH Đà Lạt 2001 khối D)
d)
x
x
sin1
cos
−
= 1 + sinx (Đề thi ĐH Huế 97 khối D1)
e)

xx 2coscos5 −
+ 2sinx = 0 (Đề thi ĐHSP Hà Nội 97 )
f) 3sinx + 2/cosx/ - 2 = 0 (Đề thi ĐH Thủy sản 2000)
g) tan
2
x =
x
x
cos
cos1+
(Đề thi ĐH Đà Nẵng 2001 khối B- đợt2)
h) cos(2x +
4
π
) + cos(2x-
4
π
) + 4sinx = 2 +
2
(1-sinx)
(Đề thi ĐH Hàng Hải 2001 )
i ) sin
4
2
x
+ cos
4
2
x
= 1 – 2sinx (Đề thi ĐH Công Đoàn 2001 )

Trước khi giải các phương trình này các em hãy đọc qua tất cả các phương trình để tập nhận
xét, rồi nhận dạng trên cơ sở đó chọn cách biến đổi sử dụng công thức thích hợp cho từng
phương trình để chuyển từng phương trình về dạng bậc hai đối với một hàm lượng giác
Bài giải
a) 2 + cos2x = -5sinx
Nhận xét : Chỉ chứa sinx, cos2x ta nghĩ ngay ra rằng biến đổi cos2x về sinx bằng công thức
nhân đôi cos2x=1-2sin
2
x thì ta được phương trình bậc hai theo sinx.
Giải
2 + cos2x = -5sinx ⇔ 2 + (1 – 2sin
2
x ) = -5 sinx ⇔ 2sin
2
x – 5sinx – 3 = 0 (1) ;
(1) là phương trình bậc hai đối với sinx , ta đã biết cách giải bằng cách đặt t = sin x ,
/t/ ≤ 1 ta được phương trình bậc hai : 2t
2
– 5t – 3 = 0 ⇔



−=
=
2/1
3
t
t
, Với 2 giá trị t tìm được
chúng ta nhớ phải kiểm tra lại điều kiện /t/ ≤ 1,như vậy t=3 loại;

Vậy chỉ có nghiệm t=-1/2 thoả mãn .
Với t = -1/2 ta có sinx = -1/2 = sin (-
6
π
) ⇔



++=
+−=
πππ
ππ
kx
kx
26/
26/
⇔



+=
+−=
ππ
ππ
kx
kx
26/7
26/
(k∈ Z)
Vậy : Nghiệm của phương trình là :




+=
+−=
ππ
ππ
kx
kx
26/7
26/
, (k∈ Z) .
b) cos2x + 3cosx + 2 = 0
Nhận xét : Phương trình chỉ chứa cosx và cos2x nên ta sử dụng công thức nhân đôi
cos2x = 2cos
2
x – 1 thì ta được phuơng trình bậc hai theo cosx :
cos2x + 3cosx + 2 = 0 ⇔ 2cos
2
x –1 + 3cosx +2 = 0
Hong Kim Dĩnh Trang : 6
Tài liệu Ôn thi Đại Học
⇔ 2cos
2
x + 3cosx +1 = 0 (các em tự giải tiếp)
c) cos
2
x + sinx +1 = 0
Nhận xét : Phương trình chỉ chứa cos
2

x và sinx ta biết ngay biến đổi cos
2
x = 1-sin
2
x
ta được phương trình bậc hai theo sinx (các em tự giải)
d)
x
x
sin1
cos
−
= 1 + sinx (*)
Nhận xét Đây là phương trình có chứa ẩn ở mẫu số nên trước tiên ta phải đặt điều kiện, sau
đó ta thấy nếu quy đồng thì vế phải là : 1 – sin
2
x = cos
2
x , phương trình trở thành phương
trình bậc hai theo cosx.
Giải
 Điều kiện : sinx
≠
1 ⇔ x
≠
2
π
+ k2ð, (k∈ Z)
 Với điều kiện trên (*) ⇔ cosx = 1-sin
2

x ⇔ cosx = cos
2
x
⇔ cos
2
x- cosx = 0 ⇔ cosx(1-cosx)= 0




=
=
1cos
0cos
x
x

 Ta thấy cosx = 0 không thỏa mãn điều kiện sinx
≠
1
 Với cosx = 1 ta có : cosx = cos0 ⇔ x = 2kð , (k∈ Z)
Vậy : Nghiệm phuơng trình : x = 2kð , (k∈ Z)
e)
xx 2coscos5 −
+ 2sinx = 0 (*)
Nhận xét Phương trình có ẩn trong căn bậc hai, nên thường ta tìm cách làm mất căn bậc hai,
nếu ta chuyển 2sinx về vế phải rồi bình phương thì ta được phương trình chứa cosx, cos2x, sin
2
x dễ
dàng chuyển về phương trình bậc hai theo cosx, tuy nhiên chúng ta lưu ý rằng :

A
= B ⇔ A = B
2
, B ≥ 0
Giải
xx 2coscos5 −
+ 2sinx = 0 ⇔
xx 2coscos5 −
= - 2sinx
⇔ 5cosx – cos2x = 4sin
2
x (1) , sinx ≤ 0
(1) ⇔ 5cosx –(2cos
2
x – 1) =4(1-cos
2
x)
⇔ 2cos
2
x +5cosx -3 = 0 ⇔



−=
=
3cos
2/1cos
x
x
( cosx= -3 loại)

Với cosx= 1/2 ⇔



+−=
+=
ππ
ππ
23/
23/
kx
kx
, (k∈ Z)
Do sinx ≤ 0
Vậy : Nghiệm của phương trình là x = -
3
π
+ k2ð , (k∈ Z)
f) 3sinx + 2/cosx/ - 2 = 0 (*)
Nhận xét Phương trình có ẩn trong gí trị tuyệt đối , nên thường ta tìm cách phá giá trị tuyệt đối
bằng định nghĩa, nhưng đối với bài toán này ta có thể bình phương thì quá trình giải đơn giản hơn:
Giải
(*) ⇔ 2(/cosx/ - 1) = -3sinx
⇔ 4(/cosx/ - 1)
2
= 9sin
2
x (1) , 0 ≤ sinx
(1) ⇔ 4cos
2

x –8/cosx/ + 4 = 9(1-cos
2
x)
 13/cosx/
2
–8/cosx/ - 5 = 0
 /cosx/=1, hoặc /cosx/=-5/13 (loại)
 x = kð ,(k∈ Z) thỏa mãn 0 ≤ sinx
Vậy Nghiệm của phương trình là x = kð ,(k∈ Z)
Hong Kim Dĩnh Trang : 7
Tài liệu Ôn thi Đại Học
g) tan
2
x =
x
x
cos
cos1+
(*)
Nhận xét Phương trình có chứa ẩn ở mẫu số nên cần đặt điều kiện trước, sau đó ta thấy vế trái
biến đổi về được cos
2
x , lúc đó ta được phương trình bậc hai theo cosx:
Giải
Điều kiện : cosx
≠
0
(*) ⇔ sin
2
x = cosx(1+cosx)

 1-cos
2
x = cosx(1+cosx)
 2cos
2
x + cosx - 1 = 0




=
−=
2/1cos
1cos
x
x
(thoả mãn điều kiện bài toán)
Vậy Nghiệm của phương trình là : x = (2k+1)ð
x = +
3
π
+ 2lð (k,l,m∈ Z)
x = -
3
π
+2mð
h) cos(2x +
4
π
) + cos(2x-

4
π
) + 4sinx = 2 +
2
(1-sinx) (*)
Nhận xét Vế trái của phương trình có chứa (2x +
4
π
) , (2x -
4
π
)
nếu [(2x +
4
π
) + (2x -
4
π
)]/2 = 2x , [(2x +
4
π
) - (2x -
4
π
)]/2 =
4
π
nên áp dụng công thức biến
đổi tổng thành tích thì ta được phương trình chứa cos2x, sinx đã biết cách giải.
i ) sin

4
2
x
+ cos
4
2
x
= 1 – 2sinx
Giải
sin
4
2
x
+ cos
4
2
x
= 1 – 2sinx  1-
2
1
sin
2
x = 1 –2sinx  sin
2
x –4 sinx = 0
 sinx(sinx –4) = 0 



=

=
4sin
0sin
x
x
 sinx = 0  x=kð (k ∈ Z)
Vậy Nghiệm của phương trình là : x= kð (k ∈ Z)
Bài 2 Giải các phương trình sau : (các em tự giải)
a) cos2x + sin
2
x + 2cosx + 1 = 0 (Đề thi ĐH – khốiA 76 )
b) cosx -
2
sin
2
x
+1 = 0 (Đề thi ĐH – khốiA 82 )
c) 6 cos
2
4x + 11cos4x - 2 = 0
d) cos
6
x + sin
6
x =
4
1
(cos
2
x – sin

2
x)tan2x (Đề thi ĐH - khối A-B-D 84 )
2-Phương trình đưa về phương trình đối xứng đối với sinx và cosx
Nều trong phương trình chỉ có sinx+cosx và sin2x thì ta đưa về phương trình đối xứng đối
với sinx và cosx.
Lưu ý Khi đặt t=sinx+cosx , /t/ ≤
2
thì :
sinx cosx = (t
2
-1)/2 và một số biểu thức đối xứng cần nhớ
sin
3
x + cos
3
x = (-t
3
+ 3t) /2 ; sin
4
x + cos
4
x = (-t
4
+2t
2
+1)/2
Hong Kim Dĩnh Trang : 8
Tài liệu Ôn thi Đại Học
Đương nhiên vì sinx và cosx đều có thể biểu diễn theo t=tan
2

x
nên ta có the biểu diễn
phương trình theo t , rồi giải tìm được t, ta sẽ đưa về dạng cơ bản tan
2
x
=m.
Bài 3 Giải các phương trình sau :
a) sinx cosx = 6(sinx+cosx-1)
b) sinx cosx +2sinx +2cosx =2 (Đề thi ĐH Huế 2000 - A)
c)
12sin
sincos
+
+
x
xx
=1 (Đề thi ĐH DL VL 1997)
d) sin2x +4(cosx-sinx) =4 (Đề thi Tây Nguyên 2000 - D)
e) sinx – cosx +7sin2x =1 (Đề thi ĐH DL Đông Đô 1997)
f) sin2x +
2
sin(x-
4
π
) =1 (Đề thi ĐH Nnghiệp 2000 - A)
g) /sinx+cosx/+3sin2x =1 (Đề thi ĐH ĐNẵng 1998 - A)
h) 1+cos
3
x – sin
3

x = sin2x(Đề thi ĐH Nnghiệp I 2000 -)
Bài giải
a) sinx cosx = 6(sinx+cosx-1)
Nhận xét Đây là phương trình đối xứng đối với sinx, cosx rất rõ ràng, ta chỉ cần thực hiện
theo đúng cách giải thì không khó khăn gì.
sinx cosx = 6(sinx+cosx-1)
* Đặt t = sinx+cosx =
2
sin(x+
4
π
) , điều kiện /t/ ≤
2
thì phương trình viết lại :
(t
2
– 1)/2 = 6(t-1) ⇔ t
2
– 12t +11 = 0
⇔ t = 1 hoặc t = 11 (loại ) ⇔
2
sin(x+
4
π
) = 1
⇔ sin(x+
4
π
) = 1/
2

⇔ sin(x+
4
π
) =sin
4
π
⇔



+−=+
+=+
ππππ
πππ
24/4/
24/4/
lx
kx
⇔



+=
=
ππ
π
22/
2
lx
kx

(k,l,m∈ Z)
b) sinx cosx +2sinx +2cosx =2
sinx cosx +2sinx +2cosx =2
⇔ sinx cosx +2(sinx +cosx) =2 ( cách giải như trên )
c)
12sin
sincos
+
+
x
xx
=1
Nhận xét : Phương trình chỉ chứa sinx + cosx và sin2x ta đặt t như trên. Tuy nhiên lưu ý
chứa ẩn ở mẫu số nên trước khi giải cần đặt điều kiện sin2x
≠
1 .
Giải
 Điều kiện : sin2x
≠
1
 Với điều kiện trên phương trình viết lại :
 cosx + sinx = sin2x + 1
 Đặt t = sinx+cosx =
2
sin(x+
4
π
) , điều kiện /t/ ≤
2
thì ta có :

t = t
2
– 1 +1 ta dễ dàng giải (các bạn tự làm – lưu ý kiễm tra điều kiện)
d) sin2x +4(cosx-sinx) = 4
Nhận xét : Phương trình chỉ chứa sinx - cosx và sin2x ta đặt t Đặt :
t = sinx-cosx =
2
sin(x-
4
π
) , điều kiện /t/ ≤
2
thì phương trình viết lại :
1- t
2
- 4 t = 4 ⇔ t
2
+ 4t + 3 = 0
Hong Kim Dĩnh Trang : 9
Tài liệu Ôn thi Đại Học
 t= -1 hoặc t = -3 (loại)

2
sin(x-
4
π
) = -1 (dễ dàng giải- các em tự giải)
e e) sinx – cosx +7sin2x =1 (Các em giải tương tự bài d)
f) sin2x +
2

sin(x-
4
π
) =1
Nhận xét : Trong phương trình chứa
2
sin(x-
4
π
) = sinx - cosx và sin2x , sau khi biến đổi ta
có phương trình giống bài d,e . (Các em tự giải)
g) /sinx+cosx/+3sin2x =1
Nhận xét : Trong phương trình chứa /sinx+cosx/ và sin2x nên theo cách giải ta đặt :
t= /sinx+cosx/ =
2
/sin(x+
4
π
)/ với điều kiện 0≤t ≤
2
Giải
Với cách đặt như trên thì phương trình /sinx+cosx/+3sin2x =1 viết lại như sau :
t + 3(t
2
– 1 ) = 1 ⇔ 3t
2
+ t – 4 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t =
3
4
−

(loại)
Với t = 1 ⇔
2
/sin(x+
4
π
)/ = 1 ⇔
2
/sin(x+
4
π
)/ = 1 hoặc
2
/sin(x+
4
π
)/ = -1
Đến đây các em đã biết cách giải .
h) 1+cos
3
x – sin
3
x = sin2x
Nhận xét : Trong phương trình chứa cos
3
x – sin
3
x và sin2x ta biến đổi
cos
3

x – sin
3
x = (cosx – sinx)( sin
2
x + sinx cosx + cos
2
x) =(cosx – sinx)( 1 + sinx cosx )
như vậy phưong trình chỉ chưá cosx-sinx và sinx cosx ta đã biết cách giải.
Giải
1+cos
3
x – sin
3
x = sin2x ⇔ 1+ (cosx – sinx)( 1 + sinx cosx ) = 2sinx cosx
Đặt t = sinx – cosx =
2
sin(x-
4
π
) , điều kiện /t/ ≤
2
thì phương trình viết lại :
1-t[1+(1-t
2
)/2]=1-t
2
⇔ t=0 hoặc t
2
+ 2t + 3 = 0 (vô nghiệm)
 sin(x-

4
π
) = 0 đây là phương trình cơ bản các em đã biết cách giải.
Bài 4 Giải các phương trình sau (tự giải)
a) sin
2
x +sinx + cos
3
x = 0 (ĐS : x= -
2
π
+ 2mð,x = -
4
π
+ a + 2lð,
x =
4
π
- cosa + 2mð ,trong đó sina = (
2
-2)/2 (k,l,m∈ Z)
b) 1+sin
3
x +cos
3
x =
2
3
sin2x (ĐS : x = -
2

π
+2mð , x = -ð+ 2lð )
c) sin2x -4(sinx – cosx) = 4 (ĐS : x = -
2
π
+2mð , x = 2lð )
d) /xinx-cosx/ + 4sin2x = 1 (ĐS : x =
2
π
+2mð , x = ð+ 2lð )
x = -
2
π
+2nð , x = 2kð )
3-Phương trình đưa về phương trình đẵng cấp bậc n đối với sinx và cosx
Bài 5 Giải các phương trình sau :
a) 2sin
2
x – cosx sinx – cos
2
x = -1 (Đề thi ĐH Nông N1 1997 - A)
Hong Kim Dĩnh Trang : 10
Tài liệu Ôn thi Đại Học
b) 3cos
4
x – 4cos
2
x sin
2
x + sin

4
x = 0 (Đề thi ĐH QGHCM 1998 – A)
c) 4(cos
4
x+ sin
4
x) +
3
sin4x = 0 (Đề thi ĐH DL VLang 1998 - A)
d) cos
3
x+ sin
3
x = sinx-cosx (Đề thi ĐH Đ Nẵng 1999 - A)
Bài giải
a) 2sin
2
x – cosx sinx – cos
2
x = -1
Nhận xét Đây là dạng toán cơ bản ta chỉ cần chuyển –1 về trái (hoặc thay
sin
2
x + cos
2
x = 1 rồi chuyển về vế trái) thì được một phương trình đơn giản.
Giải
2sin
2
x – cosx sinx – cos

2
x = -1 ⇔ 2sin
2
x – cosx sinx +1– cos
2
x = 0
⇔ 2sin
2
x – cosx sinx +sin
2
x = 0 ⇔ 3sin
2
x – cosx sinx = 0
 sinx( 3sinx – cosx ) = 0 ⇔



=−
=
0cossin3
0sin
xx
x
,đây là hai phương trình
đã biết cách giải.
Lưu ý Ta có thể giải cách khác
2sin
2
x – cosx sinx – cos
2

x = -1 ⇔ 3sin
2
x – cosx sinx = 0
 cosx = 0 ⇔ x =
2
π
+ kð (k∈ Z)
 cosx ≠ 0 chia hai vế cho cos
2
x ta được phương trình bậc hai theo tanx
2tan
2
x – tanx –1 = 0 đã biết cách giải.
b) 3cos
4
x – 4cos
2
x sin
2
x + sin
4
x = 0
Nhận xét Đây là phương trình đẵng cấp bậc 4 theo sinx và cosx , nên khi cos x ≠ 0
Chia hai vế cho cos
4
x ta được phương trình bậc 4 theo tanx .
Giải
 cosx = 0 không phải là nghiệm .
 cosx ≠ 0 chia hai vế cho cos
4

x ta được phương trình bậc 4 theo tanx
tan
4
x – 4tan
2
x +3 = 0 đặt t = tan
2
x , 0 ≤ t thì phương trình viết lại :
t
2
- 4 t + 3 = 0 ⇔ t=1 hay t = 3
+ Với t = 1 ta có tan
2
x = 1 ⇔



−=
=
1tan
1tan
x
x
⇔



+−=
+=
ππ

ππ
lx
kx
4/
4/
(k,l
∈
Z)
+ Với t = 3 ta có tan
2
x = 3 ⇔ tanx =
3
hay tanx = -
3
⇔



+−=
+=
ππ
ππ
nx
mx
3/
3/

Vậy : Nghiệm của phương trình là :







+−=
+=
+−=
+=
ππ
ππ
ππ
ππ
nx
mx
lx
kx
3/
3/
4/
4/
( k,l,m.n ∈ Z )
c) 4(cos
4
x+ sin
4
x) +
3
sin4x = 0
Nhận xét : Trong phương trình thoạt nhìn vào ta thấy không phải là phương trình đẵng cấp đối
với sinx và sinx. Tuy nhiên nếu biến đổi :

cos
4
x+ sin
4
x=1-2sin
2
xcos
2
x =1-
2
1
sin
2
2x , sin4x=2sin2x cos2x thì ta dễ thấy đây là phương
trình đẵng cấp bậc hai theo sin2x và cos2x
Giải
4(cos
4
x+ sin
4
x) +
3
sin4x = 0 ⇔ 4(1-2sin
2
xcos
2
x) +
3
2sin2x cos2x = 0
 4-2sin

2
2x + 2
3
sin2x cos2x = 2 ⇔ -2sin
2
2x +2
3
sin2x cos2x+2 = 0
 2cos
2
2x +2
3
sin2x cos2x = 0 đây là phương trình đã biết cách giải.
Hong Kim Dĩnh Trang : 11
Tài liệu Ôn thi Đại Học
Lưu ý Thử giải phương trình trên theo hai cách khác nhau để rèn luyện kỷ năng.
d) cos
3
x+ sin
3
x = sinx-cosx
Nhận xét Vế trái cos
3
x+ sin
3
x vế phải sinx-cosx thoạt nhìn ta thấy chúng không có liên quan
gì với nhau , nhưng để ý :
sinx-cosx = (sinx-cosx)(sin
2
x + cos

2
x) =sin
3
x –cos
3
x – cosx sin
2
x + sinx cos
2
x thì sau
khi biến đổi ta được phương trình đẵng cấp bậc ba .
Giải
cos
3
x+ sin
3
x = sinx-cosx ⇔ cos
3
x+ sin
3
x = sin
3
x –cos
3
x – cosx sin
2
x + sinx cos
2
x
⇔ 2cos

3
x + cosxsin
2
x – sinxcos
2
x = 0 ⇔ cosx= 0 hay 2cos
2
x + sin
2
x –sinxcosx =0
 cosx = 0 ⇔ x =
2
π
+ kð (k∈ Z)
 2cos
2
x + sin
2
x –sinxcosx = 0 ⇔ 2 + tan
2
x – tanx = 0 (vô nghiệm)
Vậy : Nghiệm của phương trình là : x =
2
π
+ kð (k∈ Z)
Bài 6 Giải các phương trình sau : (tự giải)
a) 3sin
2
x – 2sinx cosx – cos
2

x = 0 (ĐS : x =
4
π
+ kð, x=a + lð với tana = 3)
b) sin
3
x – 7sin
2
xcosx + 11sinxcos
2
x – 6cos
3
x = 0
(Đs : x =
4
π
+ kð, x=a + lð với tana = 2, x=b + mð với tana = 2)
c) 2sin
3
x =cosx (Đs : x=
4
π
+ kð) (mặc dầu đây là phương trình mới nhìn vào ta thâý không
thuộc loại đẵng cấp nhưng nếu chúng ta biến đổi vế phải : cosx=cosx(cos
2
x + sin
2
x ) thì ta
được phương trình đẵng cấp bậc ba )
d) 5sin

4
x + 3cos
3
xsinx +6cos
2
xsin
2
x-cosxsin
3
x+cos
4
x = 2 (Đs : x =
2
π
+ kð, x= lð)
e) 4(sin
3
x+cos
3
x) = cosx + 3sinx (Đề thi dự bị 1-ĐH – 2004-A)
4-Phương trình lượng giác dùng công thức hạ bậc
Khi gặp các phương trình có chứa sin
2
x, cos
2
x , sin
4
x, cos
4
x , sin

6
x, cos
6
x ,… hay
sin
2
2x, cos
2
2x, sin
2
4x, cos
2
4x….thì đầu tiên các em thử dùng công thứcnhân đôi hoặc công
thức hạ bậc để giải thử xem , sau đó mới tìm cách giải khác.
Bài 7 Giải các phương trình sau
a) cos
2
x + cos
2
2x+ cos
2
3x +cos
2
4x = 2 (Đề thi học sinh giỏi THPT 1985)
b) sin
2
x + sin
2
2x + sin
2

3x =
2
3
(Đề thi ĐHQG HN -D - 2000)
c) sin
2
x + sin
2
3x -3 cos
2
2x = 0 (Đề thi ĐH Kế toán – TC - 2001)
d) sinxcos4x +2sin
2
2x = 1-4sin
2
(
4
π
-
2
x
) (Đề thi ĐH Cảnh Sát ND – 2001)
e) sin
6
x + cos
6
x =cos4x (Đề thi HV Ngân Hàng – 1998)
Bài giải
a) cos
2

x + cos
2
2x+ cos
2
3x +cos
2
4x = 2
Nhận xét : Đây là phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác cos của góc x,2x,3x,4x
cách tốt nhất để giải là chúng ta hạ bậc .
Giải
cos
2
x + cos
2
2x+ cos
2
3x +cos
2
4x = 2 ⇔
2
2cos1 x+
+
2
4cos1 x+
+
2
6cos1 x+
+
2
8cos1 x+

=2
⇔ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 ⇔ (cos2x+ cos8x) +(cos4x+cos6x) = 0
⇔ 2(cos5xcos3x+cos5xcosx) = 0 ⇔ 2cos5x(cos3x+cosx) = 0⇔ 4cos5xcos2xcosx= 0
Hong Kim Dĩnh Trang : 12
Tài liệu Ôn thi Đại Học
⇔





=
=
=
05cos
02cos
0cos
x
x
x
⇔





+=
+=
+=
ππ

ππ
ππ
mx
lx
kx
2/5
2/2
2/
⇔





+=
+=
+=
5/10/
2/4/
2/
ππ
ππ
ππ
mx
lx
kx
(k,l,m ∈ Z)
Vậy Nghiệm phương trình là :






+=
+=
+=
5/10/
2/4/
2/
ππ
ππ
ππ
mx
lx
kx
(k,l,m ∈ Z)
b) sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x =
2
3

Nhận xét : Đây là phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác sin của góc x,2x,3x cách tốt
nhất để giải là chúng ta hạ bậc .
Giải
sin

2
x + sin
2
2x + sin
2
3x =
2
3
⇔
2
2cos1 x−
+
2
4cos1 x−
+
2
6cos1 x−
=
2
3

 cos2x + cos4x + cos6x = 0 ⇔ (cos2x + cos6x) + cos4x = 0
 2cos4x cos2x + cos4x = 0 ⇔ cos4x(2cos2x+1) = 0




=+
=
012cos2

04cos
x
x
⇔



−=
=
2/12cos
04cos
x
x
⇔





+−=
+=
+=
ππ
ππ
ππ
mx
lx
kx
23/22
23/22

2/4






+−=
+=
+=
ππ
ππ
ππ
mx
lx
kx
3/
3/
4/8/
(k,l,m ∈ Z)
Vậy Nghiệm của phương trình là :





+−=
+=
+=
ππ

ππ
ππ
mx
lx
kx
3/
3/
4/8/
(k,l,m ∈ Z)
c) sin
2
x + sin
2
3x -3 cos
2
2x = 0 (Đề thi ĐH Kế toán – TC - 2001)
Nhận xét : Đây là phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác sin , cos của góc x,2x,3x
chúng ta cũng làm như trên .
sin
2
x + sin
2
3x -3 cos
2
2x = 0⇔
2
2cos1 x−
+
2
6cos1 x−

-3
2
4cos1 x+
= 0
⇔ cos6x +cos4x+cos2x +1 = 0 ⇔ ( cos6x +cos2x )+(cos4x +1) = 0
⇔ 2 cos4xcos2x+2cos
2
2x = 0 ⇔ 2 cos2x(cos4x +cos2x) = 0
⇔ 4 cos2xcos3x cosx) = 0 ⇔





=
=
=
03cos
02cos
0cos
x
x
x
⇔





+=

+=
+=
ππ
ππ
ππ
kx
kx
kx
2/3
2/2
2/
⇔





+=
+=
+=
3/6/
2/4/
2/
ππ
ππ
ππ
kx
kx
kx
(k,l,m ∈ Z)

Vậy Nghiệm của phương trình :





+=
+=
+=
3/6/
2/4/
2/
ππ
ππ
ππ
kx
kx
kx
(k,l,m ∈ Z)
Hong Kim Dĩnh Trang : 13
Tài liệu Ôn thi Đại Học
d) sinxcos4x +2sin
2
2x = 1-4sin
2
(
4
π
-
2

x
)
Nhận xét Nếu để ý kĩ thì chúng ta thấy 2sin
2
x biến đổi được về cos4x như vậy vế trái chưá
tích cos4x(sinx –1), còn vế phải con đường tốt nhất là hạ bậc
2sin
2
(
4
π
-
2
x
)= 1-cos2 (
4
π
-
2
x
) = 1-cos (
2
π
-x) = 1-sinx đến dây ta có thể giải được .
Giải
sinxcos4x +2sin
2
2x = 1-4sin
2
(

4
π
-
2
x
) ⇔ sinxcos4x –(1-2sin
2
2x) = -2[1-cos2 (
4
π
-
2
x
)]
⇔ sinxcos4x –cos4x = -2[1-cos (
2
π
-x)] ⇔ sinxcos4x –cos4x = -2(1-sinx)
⇔ cos4x(sinx –1) -2(sinx-1) = 0 ⇔ (sinx-1)( cos4x –2) = 0 ⇔ sinx-1 = 0
⇔ sinx = 1 (vì cos4x –2 = 0 vô nghiệm) ⇔ x=
2
π
+ k2ð (k∈ Z)
Vậy Nghiệm của phương trình : x=
2
π
+ k2ð (k∈ Z)
e) sin
6
x + cos

6
x =cos4x
Giải
sin
6
x + cos
6
x =cos4x  sin
4
x + cos
4
x – sin
2
xcos
2
x =cos4x
 1-3 sin
2
xcos
2
x =cos4x  1-
4
3
sin
2
2x =1-2sin
2
2x  sin2x=0
2x = kð (k∈ Z)  x = kð/2 (k∈ Z)
Bài 8 Giải các phương trình sau : (tự giải)

a) sin
2
x = cos
2
2x+ cos
2
3x (Đề thi ĐHQG HN -B - 1998)
b) cos
2
x + cos
2
2x+ cos
2
3x +cos
2
4x =
2
3
(Quan hệ Quốc Tế 1997)
c) 2cos
2
x + 2cos
2
2x+ 2cos
2
3x –3=cos4x(2sin2x+1) (Đề thi ĐHSP2 -DE – 2000)
d) sin
2
x + sin
2

3x = cos
2
2x+ cos
2
4x (Đề thi ĐHKT HN - 2000)
e) 2cos
2
(
2
π
cos
2
x) = 1 cos(ðsin2x) (Đề thi ĐH Tây Ng -A – 1998)
f) sin
4
x + sin
4
(x+
4
π
)+cos
4
(x+
4
π
)=
8
9
(Đề thi ĐHGTVT - 2001)
g) sin

6
x + cos
6
x =
4
1
(Đề thi học sinh giỏi THPT 1979)
h) sin
6
x + cos
6
x = 1+sin4x (Đề thi ĐHDL Hải Phòng – 2000)
i) sin
2
3x – cos
2
4x = sin
2
5x – cos
2
6x (Đề thi ĐH năm 2002-B)
k) cos
2
3x.cos2x – cos
2
x = 0 (Đề thi ĐH 2005-A)
l) cos2x +cos
4
x – 2= 0 (Đề thi CĐ TC-KT năm 2005)
m) cos4x – 2sin

2
x + 2 = 0 (Đề thi CĐ xây dựng số 2-2005)
n) 3cos4x – 8 cos6x + 2cos
2
x + 3 =0 (Đề thi dự bị ĐH -2003-B)
o)
2 2
3
4sin 3 cos2 1 2cos ( )
2 2
x
x x
π
− = + −
(Đề thi dự bị 1-ĐH – 2005-A)
5-Phương trình lượng giác đưa về dạng chuẩn dùng công thức nhân ba
Khi gặp các phương trình có chứa sin3x, cos3x , sin6x, cos6x , … hay
sinx , sin
3
x hoặc cosx, cos
3
x….thì đầu tiên các em thử dùng công thứcnhân ba để
giải thử xem , sau đó mới tìm cách giải khác.
Hong Kim Dĩnh Trang : 14
Tài liệu Ôn thi Đại Học
Bài 9 Giải các phương trình sau
a) 4sin3x –3cos2x = 3(4sinx – 1) (Đề thi QGHN – A - 1995)
b) sin3x + 2cos2x –2 = 0 (Đề thi Đà Nẵng– A - 1998)
c) 4cos
2

x – cos3x = 6cosx –2(1+cos2x) (Đề thi Thái Nguyên– D -1997)
d) sin3x + cos2x = 1+2sinxcos2x (Đề thi NN Hà Nội– 1998)
BÀI GIẢI
a) 4sin3x –3cos2x = 3(4sinx – 1)
Nhận xét : Phương trình chứa sin3x , cos2x và sinx gợi ý cho ta biến đổi sin3x và cos2x về
sinx .
Giải
4sin3x –3cos2x = 3(4sinx – 1)  4(3sinx- 4sin
3
x) –3(1-2sin
2
x) =12sinx –3
 -16sin
3
x + 6sin
2
x = 0  sinx = 0 hay sinx =
8
3




=
=
8/3sin
0sin
x
x








∈
+−=
+=
=
Zmlk
max
lax
kx
,,
2
2
ππ
π
π
.
Vậy Nghiệm của phương trình là :





+−=
+=
=

ππ
π
π
max
lax
kx
2
2
(k,l,m∈ Z)
b) sin3x + 2cos2x –2 = 0
Nhận xét : Bài này hoàn toàn giống bài trên với lưu ý 2cos2x-2= -2(1-cos2x)=-4sin
2
x
Giải
sin3x + 2cos2x –2 = 0  3sinx – 4sin
3
x –2(1-cos2x) =0  3sinx – 4sin
3
x –4sin
2
x =0
 sinx(3 – 4sinx –4sin
2
x) =0  sinx = 0 hay 4sin
2
x + 4sinx – 3 = 0 .
* Với sinx = 0  x = kð (k∈ Z)
* Với 4sin
2
x + 4sinx – 3 = 0 




−=
=
2/3sin
2/1sin
x
x




+=
+=
ππ
ππ
26/5
26/
lx
kx
(k,l∈ Z)
(phương trình sinx= -
2
3
vô nghiệm)
Vậy Nghiệm của phương trình là :






=
+=
+=
π
ππ
ππ
mx
lx
kx
26/5
26/
(k,l,m∈ Z)
c) 4cos
2
x – cos3x = 6cosx –2(1+cos2x)
Nhận xét Phương trình cos3x, cos2x, cos
2
x, cosx gợi ý cho ta biến đổi cos3x, cos2x về cosx .
Giải
4cos
2
x – cos3x = 6cosx –2(1+cos2x)  4cos
2
x –(4cos
3
x – 3cosx) = 6cosx –4cos
2
x

 -4cos
3
x + 8cos
2
x – 3cosx = 0  cosx(-4cos
2
x +8cosx –3)= 0
 cosx=0 hay 4cos
2
x –8cosx +3 = 0
* Với cosx = 0  x =
2
π
+ kð (k∈ Z)
* Với 4cos
2
x –8cosx +3 = 0 



=
=
2/3cos
2/1cos
x
x
 cosx =
2
1
(vì cosx =

2
3
vô nghiệm)
Hong Kim Dĩnh Trang : 15
Tài liệu Ôn thi Đại Học




+−=
+=
ππ
ππ
23/
23/
lx
kx
(k,l∈ Z)
Vậy Nghiệm của phương trình là :





+=
+−=
+=
ππ
ππ
ππ

mx
lx
kx
2/
23/
23/
(k,l,m∈ Z)
d) sin3x + cos2x = 1+2sinxcos2x
Nhận xét Đây cũng là phương trình có sin3x cho nên gợi ý cho ta biểu diễn toàn bộ các biểu
thức còn lại theo sinx.
Giải
sin3x + cos2x = 1+2sinxcos2x  3sinx – 4sin
3
x + 1- 2sin
2
x = 1+ 2sinx cos2x
 3sinx – 4sin
3
x - 2sin
2
x = 2sinx cos2x  sinx (3-4sin
2
x – 2sinx – 2cos2x) = 0
 sinx [3-4sin
2
x – 2sinx – 2(1-2sin
2
x)] = 0  sinx(1-2sinx) = 0





=
=
2/1sin
0sin
x
x






+=
+=
=
ππ
ππ
π
26/5
26/
mx
lx
kx
(k,l,m∈ Z)
Vậy Nghiệm của phương trình là :






+=
+=
=
ππ
ππ
π
26/5
26/
mx
lx
kx
(k,l,m∈ Z)
Bài 10 Giải các phương trình sau (tự giải)
a) 4(sin3x - cos2x) = 5(sinx-1) (Đề thi ĐH Luật - 1999)
b) 4sin
3
x –1 = 3sinx -
3
cos3x (Đề thi Hải Quan - 1998)
c) cos3x – 2cos2x = 2 (Đề thi ĐH CSND - 2000)
d) sin3x + sin2x = 5sinx (Đề thi ĐH Y Hải Phòng– 2000)
e) cos10x+2cos
2
4x + cos3xcosx=cosx+8cosxcos
3
3x
(Đề thi ĐH KT-KT –1998)
f) cos3x + cos2x – cosx -1 = 0 (Đề thi ĐH – 2006-D)

6-Phương trình lượng giác dùng phương pháp đặt ẩn phụ
a) Đây là là một dạng toán hay, đòi hỏi chúng ta phải biết quan sát, phân tích sau đó chọn ẩn
phụ thích hợp.
Bài 9 Giải các phương trình sau
a) 8cos
3
( x+
3
π
) = cos3x (Đề thi ĐH QGHN A – 1999)
b) sin
3
(x-
4
π
) =
2
sinx (Đề thi ĐH QGHCM A – 1998)
c) sin(3x –
4
π
) = sin2x sin(x+
4
π
) (Đề thi HVBC VT – 1999)
d) sin
3
(x+
4
π

) =
2
sinx (Đề thi ĐH SP Hải Phòng B – 2001)
e) sin(
10
3
π
-
2
x
) =
2
1
sin(
10
π
+
2
3x
) (Đề thi ĐH Thủy Lợi – 2001)
BÀI GIẢI
a) 8cos
3
( x+
3
π
) = cos3x
Hong Kim Dĩnh Trang : 16
Tài liệu Ôn thi Đại Học
Nhận xét Giữa hai đại lượng ( x+

3
π
) và cos3x có mối liên hệ 3(x +
3
π
) = 3x + ð như vậy
nếu ta đặt t = x+
3
π
thì 3x = 3t -ð lúc đó cos3x = cos(3t –ð) = - cos3t ta dễ dàng giải.
Giải
Đặt đặt t = x+
3
π
thì 3x = 3t –ð lúc đó ta có :
8cos
3
( x+
3
π
) = cos3x  8cos
3
t = - cos3t  8cos
3
t = -(4cos
3
t – 3cost)
 12cos
3
t– 3cost = 0  cost = 0 hay cos

2
t =
4
1
.
 Với cost = 0  t =
2
π
+kð x+
3
π
=
2
π
+ kð  x =
6
π
+ kð
 cos
2
t =
4
1




−=
=
2/1cos

2/1cos
t
t







+−=+
+=+
+−=+
+=+
πππ
πππ
πππ
πππ
nx
mx
lx
kx
23/23/
23/23/
23/3/
23/3/

Vậy Nghiệm của phương trình là :







+=
+=
+−=
=
ππ
ππ
ππ
π
2n/6
23/
23/2
x
mx
lx
kx
(k,l,m,n∈ Z)
b) sin
3
(x-
4
π
) =
2
sinx
Giải
Đối với bài toán này ta thấy nếu đặt t = x-

4
π
thì x = t +
4
π
lúc đó phuơng trình viết lại:
sin
3
t =
2
sin(t+
4
π
)  sin
3
t =
2
(sint cos
4
π
+sin
4
π
cost)  sin
3
t –sint = cost
 sint(sin
2
t – 1) = cost  -cos
2

t sint = cost 



=−
=
1cossin
0cos
tt
t

 Với cost = 0  t =
2
π
+ kð  x-
4
π
=
2
π
+ kð  x =
4
3
+ kð (k∈ Z)
 -costsint = 1  sin2t = -2 Vô nghiệm .
Vậy Nghiệm của phương trình là : x =
4
3
+ kð (k∈ Z)
c) sin(3x –

4
π
) = sin2x sin(x+
4
π
)
Giải
Đặt t = x+
4
π
suy ra 2x = 2t –
2
π
, 3x –
4
π
= 3t – ð nên phương trình viết lại :
sin(3t – ð) = sin(2t-
2
π
) sint  -sin3t = -cos2t sint  4sin
3
t – 3sint + cos2t sint=0
 sint(4sin
2
t – 3 + cos2t) = 0  sint= 0 hay sin
2
t = 1  t = k
2
π

(k∈ Z)
Hong Kim Dĩnh Trang : 17
Tài liệu Ôn thi Đại Học
 x+
4
π
= k
2
π
 x = -
4
π
+ k
2
π
(k∈ Z)
Vậy Nghiệm của phương trình là : x = -
4
π
+ k
2
π
(k∈ Z)
Bài 10 Giải các phương trình sau : (tự giải)
a) sin
3
(x+
4
π
) =

2
sinx (Đề thi ĐH SP Hải Phòng B – 2001)
b) sin(
10
3
π
-
2
x
) =
2
1
sin(
10
π
+
2
3x
) (Đề thi ĐH Thủy Lợi – 2001)
b- Khi gặp những phương trình chỉ có chứa sinx, cosx, tanx, cotx, tan2x, cot2x thường chúng
ta đặt ẩn phụ t = tanx với điều kiện x
≠

2
π
+ kð (k
∈
Z)
Bài 11 Giải các phương trình sau :
a) 1 + 3tanx = 2sin2x (Đề thi ĐH QGHN D – 2000)

b) 3
1tan +x
(sinx+ 2cosx) = 5(sinx + 3cosx) (Đề thi ĐH QGHCM – A2 –98)
c) cot2
x
= tan2
x
+ 2tan2
x+1
(Đề thi ĐH An Ninh – 1999)
d) tan2x + sin2x =
2
3
cotx (Đề thi ĐH Thủy Lợi – 1997)
e) sin2x + 2tanx = 3 (Đề thi ĐH Bách Khoa –A –2001)
f) tanx + 2cot2x = sin2x (Đề thi Học Viện HCQG – 2001)
g) 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx (Đề thi Học Viện Quân Y –2001)
h) tanx +2cot2x = sin2x (Đề thi ĐHSP Hà Nội –2001)
BÀI GIẢI
a) 1 + 3tanx = 2sin2x
Giải
* Điều kiện x
≠

2
π
+ kð đặt t = tanx thì :
1 + 3tanx = 2sin2x  1+ 3t = 4t/(1 + t
2
)


(t+1)(3t
2
– 2t

+1) = 0
 t+1= 0 hay 3t
2
–2t + 1= 0 (vô nghiệm)  t = -1  tanx = -1  x= -
4
π
+k
π
,k
∈
Z
* Vậy Phương trình có nghiệm : x= -
4
π
+k
π
, (k
∈
Z)
b) 3
1tan +x
(sinx+ 2cosx) = 5(sinx + 3cosx)
Nhận xét : Điều kiện x
≠

2
π
+k
π
chia hai vế cho cosx ta được phương trình theo tanx do đó
nếu đặt t = tanx ta có thể tìm t suy ra x.
Giải
Với cách đặt như trên phương trình viết lại : 3
1+t
(t+2) = 5(t+3)
 (
1+t
-2)[3(t+1) +
1+t
+ 5] = 0 
1+t
=2  t = 3  tanx = tana (tana =3)
 x = a +k
π
, k
∈
Z (vì 3(t+1) +
1+t
+5 >0 )
Vậy Nghiệm của phương trình : x = a +k
π
, k
∈
Z với tana = 3.
c) cot2

x
= tan2
x
+ 2tan2
x+1

Giải
 Điều kiện : 2
x

≠
k
2
π
, 2
x+1

≠

2
π
+ k
π
(k
∈
Z)
 Với điều kiện trên đặt t = tan2
x
phương trình viết lại :
(t – 1)

3
(t+1) = 0  t = -1 hay t = 1
Hong Kim Dĩnh Trang : 18
Tài liệu Ôn thi Đại Học
+ Với t = 1 ta có : tan2
x
= 1  2
x
=
4
π
+ k
π
(k
∈
Z
+
)  x = log
2
(
4
π
+ k
π
)
+ Với t = -1 ta có : tan2
x
= -1  2
x
= -

4
π
+ k
π
(l
∈
Z
+
)  x = log
2
(-
4
π
+l
π
)
Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện của bài toán .
Vậy Nghiệm của phương trình là : x = log
2
(
4
π
+ k
π
), x = log
2
(-
4
π
+l

π
),(k,l
∈
Z
+
)
d) tan2x + sin2x =
2
3
cotx
Giải
 Điều kiện : 2x
≠
k
2
π
, k
∈
Z  x
≠
k
4
π
, k
∈
Z
 Với điều kiện trên đặt t = tanx thì phương trình viết lại :
3t
4
+ 8t

2
– 3 = 0  t
2
= 1/3 hay t
2
= -3 (loại)  t = 1/
3
hay t = - 1/
3

+ Với t = 1/
3
 tanx = 1/
3
 x =
6
π
+ k
π
, ( k
∈
Z)
+ Với t = - 1/
3
 tanx = - 1/
3
 x = -
6
π
+ l

π
, (l
∈
Z)
Vậy Nghiệm của phương trình : x =
6
π
+ k
π
, x = -
6
π
+ l
π
, (l,k
∈
Z)
Bài 12 Giải các phương trình sau (tự giải)
a) sin2x + 2tanx = 3 (Đề thi ĐH Bách Khoa –A –2001)
b) tanx + 2cot2x = sin2x (Đề thi Học Viện HCQG – 2001)
c) 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx (Đề thi Học Viện Quân Y –2001)
d) tanx +2cot2x = sin2x (Đề thi ĐHSP Hà Nội –2001)
e) sinx +
3
cosx +
xx cos3sin +
=2 (Đề thi ĐHSP2 Hà Nội –200-DE)
c- Khi gặp những phương trình chỉ có chứa tanx+cotx ,
xtan
1

+
xcot
1
, tan
2
x+cot
2
x ,

xtg
2
1
+
xg
2
cot
1
đặt ẩn số phụ t = tanx + cotx =
x2sin
2
với điều kiện x
≠
k
2
π
(k
∈
Z), /t/
≥
2 .

Bài 13
a) 2cot
2
x + 2/cos
2
x + 5tanx + 5 cotx + 4 = 0 (Cao Đẵng SP Hà Nội a 2001)
b) 3/sin
2
x + 3tan
2
x + 4(tanx + cotx ) – 1 = 0 (Đề số 13 trong bộ đề thi đại học)
BÀI GIẢI
a) 2/cos
2
x +2cot
2
x + tanx + 5 cotx + 4 = 0
 Điều kiện : x
≠
k
2
π
 Đặt t = tanx + cotx , /t/
≥
2 phương trình viết lại :
2t
2
+ 5t + 2 = 0  t = -
2
1

(loại) hay t = -2
Với t = -2  tanx + cotx = -2  sin2x = -1  x = -
4
π
+ k
π

Vậy Nghiệm của phương trình : x = -
4
π
+ k
π
, k
∈
Z.
b) 3/sin
2
x + 3tan
2
x + 4(tanx + cotx ) – 1 = 0
Hong Kim Dĩnh Trang : 19
Tài liệu Ôn thi Đại Học
Giải
 Điều kiện : Điều kiện : x
≠
k
2
π
, k
∈

Z
 Với điều kiện trên phương trình viết lại :
3(tan
2
x + cot
2
x) + 4(tanx + cotx) – 1 = 0 .
 Đặt Đặt t = tanx + cotx , /t/
≥
2 ta có :
3(t
2
– 1) +4t – 1 = 0  3t
2
+ 4t – 4 = 0  t = -2 hay t =
3
2
(loại)
 t = -2  x = x = -
4
π
+ k
π
, k
∈
Z.
Vậy Nghiệm của phương trình là : x = -
4
π
+ k

π
, k
∈
Z.
d- Khi gặp những phương trình chứa sin
3
x ,sinx ,cos
3
x, cos x hoặc những phương trình sau khi biến đổi
đưa về dạng như trên , thường ta xét cosx = 0,rồi khi cosx
≠
0 ta chia hai vế cho cos
3
x
Bài tập 14
a) 9sin
3
x – 5 sinx + cos
3
x = 0 (Đề thi ĐHSP Quy Nhơn – 2001)
b) sinx sin2x + sin3x = 6cos
3
x (Đề thi ĐH Y Khoa HCM – 1997)
c) sin3x = cosx cos2x(tan
2
x + tan2x) (Đề thi HV Ngân Hàng – 1999)
d) sinx – 4 sin
3
x + cosx = 0 (Đề thi ĐH Y Khoa HN – 1999)
BÀI GIẢI

a) 9sin
3
x – 5 sinx + cos
3
x = 0
Ta thấy cosx
≠
0 , nên chia hai vế cho cos
3
x với lưu ý 1+ tan
2
x = 1/cos
2
x thì phương trình viết lại
như sau :
9 tan
3
x –5tanx(1+tan
2
x) +1 = 0  4tan
3
x –5tanx +1 = 0  (tanx-1)(4tan
2
x + 4tanx – 1) = 0
Tới đây ta đã biết cách giải.
Lưu ý Phương trình trên có thể biến đổi để đưa về phương trình đẵng cấp bậc ba đối với sin và cos
như sau : 9sin
3
x – 5sinx(sin
2

x + cos
2
x) + cos
3
x = 0
 4sin
3
x –5sinxcos
2
x + cos
3
x = 0 ta dễ dàng làm như trên.
b) sinx sin2x + sin3x = 6cos
3
x  2sin
2
xcosx + 3sinx – 4sin
3
x = 6cos
3
x (*)
Nhận xét cosx
≠
0 , nên chia hai vế cho cos
3
x ta được phương trình :
2tan
2
x +3tanx(1+tan
2

x) –4tan
3
x = 6  tan
3
x – 2tan
2
x – 3tanx +6= 0  (tan
2
x-3)(tanx – 2) = 0






−=
=
=
3
3
2
tgx
tgx
tgx







+−=
+=
+=
ππ
ππ
π
mx
lx
kax
3/
3/
trong đó k,l,m
∈
Z và tana = 2.
Vậy Nghiệm của phương trình là :





+−=
+=
+=
ππ
ππ
π
mx
lx
kax
3/

3/
trong đó k,l,m
∈
Z và tana = 2.
d) sinx – 4 sin
3
x + cosx = 0 (tự rèn luyên bằng cách giải theo cách ở trên).
Riêng đối với bài này chúng ta có thể làm cách sau :
 Ta thấy cosx = 0 không phải là nghiệm
 Với cosx
≠
0 ta nhân hai vế của phương trình với cosx ta được :
cosx sinx –4cosx sin
3
x + cos
2
x = 0  sin2x –2sin2x(1-cos2x) + 1+cos2x = 0
 sin2x + cos2x –2sin2xcos2x +1 = 0 đây là phương trình bậc nhất đối xứng đối với sin2x,
cos2x nên ta đặt t = sin2x+cos2x , /t/
≤
2
được :
t –(t
2
–1) +1 = 0  t
2
–t –2 = 0  t = -1 hay t = 2 loại
Với t = -1 ta có sin(x+
4
π

) = -1/
2
ta đã biết cách giải.
Hong Kim Dĩnh Trang : 20
Tài liệu Ôn thi Đại Học
7- Phương trình lượng giác dùng phương pháp so sánh
Đây là loại bài toán ít phổ biến, muốn giải các phương trình này chúng ta cần lưu ý :
/sinx/
≤
1 ; /cosx/
≤
1
A
1
2
+ A
2
2
+ A
3
2
+ … A
n
2
= 0

A
1
2
= A

2
2
=A
3
2
= … =A
n
2
= 0
Ngoài ra cần nhớ lại các bất đẵng thức đã học :
 Bất đẵng thức CÔSI :

a
1,
a
2,
a
3
… ,a
n
không âm ta có : (a
1+
a
2 +
a
3+
… +a
n
) /n
≥

(a
1
a
2
a
3
…a
n
)
1/ n
Dấu bằng xảy ra

a
1
=

a
2
=

a
3
= … = a
n

Trường hợp đặc biệt Với hai số không âm a, b :
2
ba +

≥

ab

Dấu bằng xảy ra

a = b .
 Bất đẵng thức BUNHIACOPSKY (Svacxơ):

a
1,
a
2,
a
3
… ,a
n ,
b
1,
b
2,
b
3
… ,b
n
ta có
(

a
1
b

1
+

a
2
b
2
+

a
3
b
3
+

…+a
n
b
n
)
2

≤
(a
1
2

+a
2
2

+a
3
2
+…+a
n
2
) (b
1
2

+b
2
2
+ b
3
2
+….+ b
n
2
)
Dấu bằng xảy ra

a
1
/b
1
=

a
2

/b
2
=

… = a
n
/ b
n

Trường hợp đặc biệt Với bốn số a,b, c, d : (ac+bd)
2

≤
(a
2
+ b
2
)(c
2
+d
2
)
Dấu bằng xảy ra

a /c = b/d .
Bài 15 Giải các phương trình sau :
a) 4cos
2
x + 3tan
2

x – 4
3
cosx + 2
3
tanx + 4 = 0 (Đề 32.III.2 Bộ đề thi ĐH)
b) sin
2000
x + cos
2000
x = 1 (Đề thi ĐH Đà Nẵng 2000)
c) (cos2x – cos4x)
2
= 6 + 2sin3x (Đề thi ĐH An Ninh 1997)
d) cos
4
x + sin
4
x + 1/sin
4
x + 1/cos
4
x = 8 +
2
sin y
(Đề thi ĐH Y Hà Nội 1996)
e) tanx + cotx =
2
(sinx+cosx) (Đề thi ĐH DL ĐĐ 1997)
f) 2cosx +
2

sin10x = 3
2
+ 2 cos28x sinx (Đề thi ĐH An Ninh A 2001)
g) cos2x – cos6x +4(3sinx-4sin
3
x + 1)=0 (Đề 83.III.1 Bộ đề thi đại học)
BÀI GIẢI
a) 4cos
2
x + 3tan
2
x – 4
3
cosx + 2
3
tanx + 4 = 0 (Đề 32.III.2 Bộ đề thi ĐH)
Giải
Nhận xét Đây là phương trình tương đối phức tạp ta thử nhóm các số hạng cùng chứa hàm
lượng giàc như nhau thử xem. Qủa thật lúc đó gợi ý cho ta đưa vế trái về tổng các bình
phương .
4cos
2
x + 3tan
2
x – 4
3
cosx + 2
3
tanx + 4 = 0
 4cos

2
x -4
3
cosx + 3tan
2
x + 2
3
tanx + 4= 0
 4cos
2
x -4
3
cosx + (
3
)
2
+ 3tan
2
x + 2
3
tanx + 1= 0
 (2cosx –
3
)
2
+ (
3
tanx + 1)
2
= 0







−=
=
3/1
2/3cos
tgx
x






+−=
+−=
+=
ππ
ππ
ππ
mx
lx
kx
6/
26/
26/

 x =
6
π
+ k2
π
(k
∈
Z)
Vậy Nghiệm của phương trình là : x =
6
π
+ k2
π
(k
∈
Z) .
b) sin
2000
x + cos
2000
x = 1
Nhận xét Đây là bài toán có dạnh sin
n
x + cos
n
x = 1 thường ta thay 1=sin
2
x + cos
2
x sau đó biến

đổi thành sin
2
x (1-sin
n-1
x) + cos
2
x(1-cos
n
x) = 0 với nhận xét
sin
2
x (1-sin
n-1
x)
≥
0 và cos
2
x(1-cos
n
x)
≥
0 nên sin
2
x (1-sin
n-1
x) + cos
2
x(1-cos
n
x) = 0

 sin
2
x (1-sin
n-1
x) = 0 và cos
2
x(1-cos
n
x) = 0 từ đây ta tìm được nghiệm.
Hong Kim Dĩnh Trang : 21
Tài liệu Ôn thi Đại Học
Giải
sin
2000
x + cos
2000
x = 1  sin
2
x(1-sin
1998
) + cos
2
x(1-cos
1998
x) = 0
 sin
2
x (1-sin
1998
x) = 0 và cos

2
x(1-cos
1998
x) = 0

















−=
=



−=
=




=
=



=
=
1cos
0sin
1sin
0cos
1sin
0cos
1cos
0sin
x
x
x
x
x
x
x
x
 x = k
2
π
(k
∈
Z)

Vậy Nghiệm của phương trình là : x = k
2
π
(k
∈
Z)
c) (cos2x – cos4x)
2
= 6 + 2sin3x
Nhận xét Để ý vế phải ta thấy 6 + 2sin3x
≥
4 , còn vế trái (cos2x – cos4x)
2

≤
4
Nên ta có thể giải như sau :
Giải
(cos2x – cos4x)
2
= 6 + 2sin3x 



=+
=−
43sin26
4)4cos2(cos
2
x

xx





−=
=
13sin
1sin
2
x
x






−=−
=
1sin4sin3
1sin
3
2
xx
x
 sinx = 1  x =
2
π

+ k2
π
(k
∈
Z)
Vậy Nghiệm của phương trình là : x =
2
π
+ k2
π
(k
∈
Z)
d) cos
4
x + sin
4
x + 1/sin
4
x + 1/cos
4
x = 8 +
2
sin y
(Đề thi ĐH Y Hà Nội 1996)
Giải
 Biến đổi vế trái với lưu ý : a
4
+ b
4

+
4
1
a
+
4
1
b
=( a
4
+ b
4
)(1+
44
1
ba
)
ta được (cos
4
x + sin
4
x)(1 +
xx
44
cossin
1
)=(1-2sin
2
xcos
2

x)(1+
xx
44
cossin
1
)
≥

(1-
2
1
)(1+16) = 17/2 .
 Vế phải 8 +
2
sin y
≤
8 +
2
1
= 17/2
 Từ đó ta có : cos
4
x + sin
4
x + 1/sin
4
x + 1/cos
4
x = 8 +
2

sin y





=
=
12sin
1sin
2
x
y








+=
+=
24
2
2
ππ
π
π
lx

ky
( k,l
∈
Z)
Vậy Nghiệm của phương trình là :







+=
+=
24
2
2
ππ
π
π
lx
ky
( k,l
∈
Z)
Hong Kim Dĩnh Trang : 22
Tài liệu Ôn thi Đại Học
e) tanx + cotx =
2
(sinx+cosx)

Nhận xét Vế trái tanx + cotx =
xxcossin
1
=
x2sin
2
còn vế trái
2
(sinx+cosx) = 2sin(x+
4
π
) do ta được :
tanx + cotx =
2
(sinx+cosx)  sin2x sin(x+
4
π
) =1 















−=+
−=





=+
=
1)
4
sin(
12sin
1)
4
sin(
12sin
π
π
x
x
x
x

 x =
4
π
+ 2k

π
( k
∈
Z)
Vậy Nghiệm của phương trình là : x =
4
π
+ 2k
π
( k
∈
Z)
f) 2cosx +
2
sin10x = 3
2
+ 2 cos28x sinx
Nhận xét Nhìn vào phương trình này chúng ta thấy khó có thể tìm một mối quan hệ nào giữa
các hàm lượng giác các góc x, 10x, 28x. Tuy nhiên ta có thể chuyển vế để rồi so sánh :
Giải
2cosx +
2
sin10x = 3
2
+ 2 cos28x sinx  2(cosx- cos28x sinx)= 3
2
-
2
sin10x
Lúc đó : Vế trái áp dụng bất đẵng thức Bunhiacopski cho 4 số cosx, -sinx, 1, cos28x 2(cosx-

cos28x sinx)
≤
2
xx
22
cossin +
x28cos1
2
+
≤
2
2
Vế phải 3
2
-
2
sin10x
≥
3
2
-
2
=2
2

Suy ra : 2(cosx- cos28x sinx)= 3
2
-
2
sin10x 






−=
=
=
xxx
x
x
sin28coscos
128cos
110sin
2

Giải hệ phương trình này ta được x =
4
π
+ 2k
π
(k
∈
Z)
Vậy Nghiệm của phương trình là : x =
4
π
+ 2k
π
(k

∈
Z)
g) cos2x – cos6x +4(3sinx-4sin
3
x + 1)=0
Bài 16 Giải các phương trình sau (tự giải)
a) sinx+ cosx =
2
(2-sin3x) (Đề 35.II.1 Bộ đề thi đại học)
b) cos2x + cos4x + cos6x = cosx cos2x cos3x + 2 (Đề thi ĐH Y Hà Nội 2000)
c) cos3x +
x3cos2
2
−
= 2(1 + sin
2
2x) (Học Viện Ngân Hàng - A – HCM)
f d) Cho phương trình 2sin15x +
3
cos5x + sin5x=k (Đề ĐH SP Hải Phòng 2001)
Giải phương trình khi k = 0 và k = 2
e) sinx + 2sin2x = 3 + sin3x (Bộ đề thi Đai Học)
f) sin
3
x + cos
3
x = 2 – sin
4
x (Đề 120.II.I Bộ đề thi Đai Học)
g) sinx +

x
2
sin2 −
+sinx
x
2
sin2 −
=3 (Đề 146 III.I)
Hướng dẫn
a) sinx+ cosx =
2
(2-sin3x)
Hong Kim Dĩnh Trang : 23
Tài liệu Ôn thi Đại Học
Biến đổi vế trái sinx+cosx =
2
sin(x +
4
π
)
≤

2

Vế phài
2
(2-sin3x)
≥

2

b) cos2x + cos4x + cos6x = cosx cos2x cos3x + 2
Biến đổi vế phaỉ : cosx cos2x cos3x + 2 =
2
1
cos2x(cos4x+cos2x)+2 =
2
1
cos2x
cos4x +
2
1
cos
2
2x +2 =
4
1
(cos6x+cos2x) +
4
1
(1+ cos4x) +2 =
4
1
(cos2x+cos4x+cos6x +1) +2
Lúc đó phương trình viết lại : 4(cos2x + cos4x + cos6x) = cos2x + cos4x + cos6x + 9
 cos2x + cos4x + cos6x = 3 sau đó sử dụng tính chất /cosx/
≤
1, ta sẽ được hệ.
c) cos3x +
x3cos2

2
−
= 2(1 + sin
2
2x)
Ap dụng bất đẵng thức Bunhiacopski cho 4 số 1,1,cos3x,
x3cos2
2
−
ta có :
cos3x +
x3cos2
2
−

≤

22
11 +

222
)3cos2(3cos xx −+
= 2
còn vế trái 2(1+sin
2
2x)
≥
2 suy ra phương trình đã cho tương đương với hệ :






=+
=−+
2)sin1(2
23cos23cos
2
2
x
xx
Giải hệ này ta có nghiệm x = 2k
π
(k
∈
Z)
g d) Cho phương trình 2sin15x +
3
cos5x + sin5x=k (Đề thi ĐH SP Hải Phòng 2001)
Giải phương trình khi k = 0 và k = 2.
1) khi k = 0 phương trình viết lại : 2sin15x +
3
cos5x + sin5x=0
 sin15x +
2
3
cos5x +
2
1
sin5x = 0  sin15x + sin(

3
π
+5x) = 0
sin15x = - sin(
3
π
+5x)  sin15x = sin(-
3
π
-5x) đây là phương trình cơ bản.
2) Khi k=2 phương trình viết lại : sin15x + sin(
3
π
+5x) = 2 , dưạ vào tính chất của
/sinx/
≤
1 , ta sẽ được hệ, giải hệ này ta tìm được nghiệm.
e) sinx + 2sin2x = 3 + sin3x
Biến đổi ta được phương trình : sin2x – cos2x sinx =
2
3
Ap dụng bất đẵng thức Bunhiacopski ta được phương trình vô nghiệm.
f) sin
3
x + cos
3
x = 2 – sin
4
x
Ta có vế trái sin

3
x + cos
3
x
≤
1 còn vế phải 2 – sin
4
x
≥
1 , suy ra cách giải.
g) sinx +
x
2
sin2 −
+sinx
x
2
sin2 −
=3
Ap dụng bất đẵng thức B.N.C cho bốn số 1,1, sinx,
x
2
sin2 −
:
sinx +
x
2
sin2 −

≤

2 , và sinx
x
2
sin2 −

≤
/sinx/
x
2
sin2 −
áp dụng bất đẵng thức
cô si cho hai số không âm /sinx/
x
2
sin2 −

≤

2
)sin2(sin
22
xx −+
=1
Do đó phương trình tương đương với hệ :





=−

=−+
1sin2sin
2sin2sin
2
2
xx
xx
giải hệ phương trình naỳ
ta có nghiệm phương trình là : x =
2
π
+ k2
π
(k
∈
Z)
Hong Kim Dĩnh Trang : 24
Tài liệu Ôn thi Đại Học
8- Tìm nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện cho trước
Ta thường gặp nhữnng bài toán tìm nghiệm của phương trình thoả mãn một vài điều kiện cho
trước . Để giải quyết những bài toán dạng này ta thường tìm nghiệm của phương trình trong trường
hợp tổng quát sau đó dựa vào điều kiện của bài toán ta tìm nghiệm thỏa mản.
Bài 17
a) Tìm nghiệm của phương trình : sin(2x+
2
5
π
) –3cos(x -
2
7

π
) =1 + 2sinx.
Thuộc đoạn [
2
π
,3
π
]. (Đề 16.III.2 Bộ đề thi ĐH)
b) Tìm các nghiệm của phương trình : sinx cos4x – sin
2
2x = 4 sin
2
(
4
π
-
4
x
) –
2
7

Thoả mãn điều kiện : /x-1/
3
.
(Đề thi ĐH SP Hà Nội – 2000 – A)
c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : cos[
)]80016093(
8
2

++− xxx
π
= 1
(Đề thi ĐH SP2 Hà Nội – 2000 )
d) Cho phương trình cos2x – tan
2
x =
x
xx
2
32
cos
1coscos −−
.Tính tổng các nghiệm của phương
trình thoả 1
≤
x
≤
70 .
(Bộ đề thi Đ H)
BÀI GIẢI
a) Tìm nghiệm của phương trình : sin(2x+
2
5
π
) –3cos(x -
2
7
π
) =1 + 2sinx.

thuộc đoạn [
2
π
,3
π
]. (Đề 16.III.2 Bộ đề thi ĐH)
Giải
sin(2x+
2
5
π
) –3cos(x -
2
7
π
) =1 + 2sinx  cos2x +3sinx –1- 2sinx = 0
 sinx(2sinx-1) = 0 



=
=
2/1sin
0sin
x
x







+=
+=
=
ππ
ππ
π
nx
mx
kx
26/5
26/
(k,m,n
∈
Z)
vì nghiệm của phương trình thuộc đoạn [
2
π
,3
π
] nên chỉ nhận được các giá trị :
x =
π
, 2
π
, 3
π
,
6

13
π
,
6
15
π
,
6
17
π
.
Vậy Nghiệm của phương trình là : x =
π
, 2
π
, 3
π
,
6
13
π
,
6
15
π
,
6
17
π
.

b) Tìm các nghiệm của phương trình : sinx cos4x – sin
2
2x = 4 sin
2
(
4
π
-
4
x
) –
2
7

Thoả mãn điều kiện : /x-1/
3
.
Giải
sinx cos4x – sin
2
2x = 4 sin
2
(
4
π
-
4
x
) –
2

7
 sinx cos4x-sin
2
2x =2-2cos(
2
π
-
2
x
) –
2
7
 sinx cos4x-
2
4cos1 x−
= 2-2sinx –
2
7
 cos4x(sinx+
2
1
) = -2(sinx+
2
1
)
Hong Kim Dĩnh Trang : 25