Ôn thi ĐH có Phân dang + Đê thi có lời giải

Chuyên đề
TÍCH PHÂN
CÔNG THỨC
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của
những hàm số sơ cấp
thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp
Nguyên hàm của những
hàm số hợp
Cxdx +=
∫
( )
1
1
1
≠+
+
=
+
∫
α
α
α
α
C
x
dxx
( )
0ln ≠+=

∫
xCx
x
dx
Cedxe
xx
+=
∫
( )
10
ln
≠<+=
∫
aC
a
a
dxa
x
x
Cxxdx +=
∫
sincos
Cxxdx +−=
∫
cossin
Cxdx
x
+=
∫
tan

cos
1
2
Cxdx
x
+−=
∫
cot
sin
1
2
( ) ( )
Cbax
a
baxd ++=+
∫
1
( )
( )
( )
1
1
1
1
≠+
+
+
=+
+
∫

α
α
α
α
C
bax
a
dxbax
( )
0ln
1
≠++=
+
∫
xCbax
abax
dx
Ce
a
dxe
baxbax
+=
++
∫
1
( ) ( )
Cbax
a
dxbax ++=+
∫

sin
1
cos
( ) ( )
Cbax
a
dxbax ++−=+
∫
cos
1
sin
( )
( )
Cbax
a
dx
bax
++=
+
∫
tan
1
cos
1
2
( )
( )
Cbax
a
dx

bax
++−=
+
∫
cot
1
sin
1
2
Cudu +=
∫
( )
1
1
1
≠+
+
=
+
∫
α
α
α
α
C
u
duu
( )
0ln ≠+=
∫

uCu
u
du
Cedue
uu
+=
∫
( )
10
ln
≠<+=
∫
aC
a
a
dxa
u
u
Cuudu +=
∫
sincos
Cuudu +−=
∫
cossin
Cudu
u
+=
∫
tan
cos

1
2
Cudu
u
+−=
∫
cot
sin
1
2
I. ĐỔI BIẾN SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Đổi biến số dạng 2
Để tính tích phân
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx
ò
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt t = u(x) và tính
/
dt u (x)dx=
.
Bước 2. Đổi cận:
x a t u(a) , x b t u(b)= = = = = =Þ a Þ b
.
Bước 3.
b
/

a
f[u(x)]u (x)dx f(t)dt
b
a
=
ò ò
.
Ví dụ 7. Tính tích phân
2
e
e
dx
I
x ln x
=
ò
.
Giải
Đặt
dx
t ln x dt
x
= =Þ
2
x e t 1, x e t 2= = = =Þ Þ
2
2
1
1
dt

I ln t ln 2
t
= = =Þ
ò
.
Vậy
I ln 2=
.

1
Ví dụ 8. Tính tích phân
4
3
0
cos x
I dx
(sin x cos x)
p
=
+
ò
.
Hướng dẫn:
4 4
3 3 2
0 0
cos x 1 dx
I dx .
(sin x cos x) (tan x 1) cos x
p p

= =
+ +
ò ò
. Đặt
t tan x 1= +
ĐS:
3
I
8
=
.
Ví dụ 9. Tính tích phân
3
1
2
dx
I
(1 x) 2x 3
=
+ +
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t 2x 3= +
ĐS:
3
I ln
2
=

.
Ví dụ 10. Tính tích phân
1
0
3 x
I dx
1 x
-
=
+
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
3
2
2 2
1
3 x t dt
t 8
1 x
(t 1)
-
= Þ
+
+
ò
L
; đặt
t tan u= L

ĐS:
I 3 2
3
p
= - +
.
Chú ý:
Phân tích
1
0
3 x
I dx
1 x
-
=
+
ò
, rồi đặt
t 1 x= +
sẽ tính nhanh hơn.
2. Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính
( )
b
a
f x dx
∫
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt x = u(t) và tính
/

( )dx u t dt=
.
Bước 2. Đổi cận:
, x a t x b t
α β
= ⇒ = = ⇒ =
.
Bước 3.
/
( ) [ ( )] ( ) ( )
b
a
f x dx f u t u t dt g t dt
β β
α α
= =
∫ ∫ ∫
.
Ví dụ 1. Tính tích phân
1
2
2
0
1
I dx
1 x
=
-
ò
.

Giải
Đặt
x sin t, t ; dx cos t dt
2 2
p p
é ù
= - =Î Þ
ê ú
ë û
1
x 0 t 0, x t
2 6
p
= = = =Þ Þ
6 6
2
0 0
cos t cos t
I dt dt
cos t
1 sin t
p p
= =Þ
-
ò ò
6
6
0
0
dt t 0

6 6
p
p
p p
= = = - =
ò
.

2
Vậy
I
6
p
=
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
2
2
0
I 4 x dx= -
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
x 2 sin t=
ĐS:
I = p
.
Ví dụ 3. Tính tích phân
1

2
0
dx
I
1 x
=
+
ò
.
Giải
Đặt
2
x t an t, t ; dx (tan x 1)dt
2 2
æ ö
p p
÷
ç
= - = +Î Þ
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
x 0 t 0, x 1 t
4
p
= = = =Þ Þ
4 4

2
2
0 0
tan t 1
I dt dt
4
1 t an t
p p
+ p
= = =Þ
+
ò ò
.
Vậy
I
4
p
=
.
Ví dụ 4. Tính tích phân
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
-
=
+ +
ò

.
Hướng dẫn:
3 1 3 1
2 2
0 0
dx dx
I
x 2x 2 1 (x 1)
- -
= =
+ + + +
ò ò
.
Đặt
x 1 tan t+ =
ĐS:
I
12
p
=
.
Ví dụ 5. Tính tích phân
2
2
0
dx
I
4 x
=
-

ò
.
ĐS:
I
2
p
=
.
Ví dụ 6. Tính tích phân
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
-
=
+ +
ò
.
ĐS:
I
12
p
=
.
3. Các dạng đặc biệt
3.1. Dạng lượng giác
Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân
2

2 3
0
I cos x sin xdx
p
=
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t cos x=
ĐS:
2
I
15
=
.

3
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân
2
5
0
I cos xdx
p
=
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t sin x=

ĐS:
8
I
15
=
.
Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân
2
4 2
0
I cos x sin xdx
p
=
ò
.
Giải
2 2
4 2 2 2
0 0
1
I cos x sin xdx cos x sin 2xdx
4
p p
= =
ò ò
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx

16 4
p p
= - +
ò ò
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x)
16 8
p p
= - +
ò ò
3
2
0
x 1 sin 2x
sin 4x
16 64 24 32
p
æ ö
p
÷
ç
= - + =
÷
ç
÷
ç
è ø

.
Vậy
I
32
p
=
.
Ví dụ 14. Tính tích phân
2
0
dx
I
cos x sin x 1
p
=
+ +
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
x
t tan
2
=
.
ĐS:
I ln 2=
.
Biểu diễn các hàm số LG theo
tan

2
a
t =
:
2
2 2 2
2 1 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t
−
= = =
+ + −
3.2. Dạng liên kết
Ví dụ 15. Tính tích phân
0
xdx
I
sin x 1
p
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt= - = -p Þ
x 0 t , x t 0= = = =Þ p pÞ

( )
0
0
( t)dt
t
I dt
sin( t) 1 sin t 1 sin t 1
p
p
-p
p
= - = -Þ
- + + +p
ò ò
0 0
dt dt
I I
sin t 1 2 sin t 1
p p
p
= - =p Þ
+ +
ò ò
( )
( )
2
2
0 0
dt dt
t

t t
2 4
cos
sin cos
2 4
2 2
p p
p p
= =
p
-
+
ò ò
2
0
0
t
d
2 4 t
tan
2 t 2 2 4
cos
2 4
p
p
æ ö
p
÷
ç
-

÷
ç
÷
÷
ç
æ ö
è ø
p p p
÷
ç
= = - = p
÷
ç
÷
÷
ç
æ ö
è ø
p
÷
ç
-
÷
ç
÷
֍
è ø
ò
.
Vậy

I = p
.
Tổng quát:

4
0 0
xf(sin x)dx f(sin x)dx
2
p p
p
=
ò ò
.
Ví dụ 16. Tính tích phân
2
2007
2007 2007
0
sin x
I dx
sin x cos x
p
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt
2

p
= - = -Þ
x 0 t , x t 0
2 2
p p
= = = =Þ Þ
( )
( ) ( )
2007
0
2007 2007
2
sin t
2
I dx
sin t cos t
2 2
p
p
-
= -Þ
p p
- + -
ò
2
2007
2007 2007
0
cos t
dx J

sin t cos t
p
= =
+
ò
(1).
Mặt khác
2
0
I J dx
2
p
p
+ = =
ò
(2). Từ (1) và (2) suy ra
I
4
p
=
.
Tổng quát:
2 2
n n
n n n n
0 0
sin x cos x
dx dx , n
sin x cos x sin x cos x 4
p p

+
p
= = Î
+ +
ò ò
Z
.
Ví dụ 17. Tính tích phân
6
2
0
sin x
I dx
sin x 3 cos x
p
=
+
ò
và
6
2
0
cos x
J dx
sin x 3 cos x
p
=
+
ò
.

Giải
I 3J 1 3- = -
(1).
( )
6 6
0 0
dx 1 dx
I J dx
2
sin x 3 cos x
sin x
3
p p
+ = =
p
+
+
ò ò
Đặt
t x dt dx
3
p
= + =Þ
⇒
1
I J ln 3
4
+ =
(2).
Từ (1) và (2)⇒

3 1 3 1 1 3
I ln 3 , J ln 3
16 4 16 4
- -
= + = -
.
Ví dụ 18. Tính tích phân
1
2
0
ln(1 x)
I dx
1 x
+
=
+
ò
.
Giải
Đặt
2
x t an t dx (1 tan t)dt= = +Þ
x 0 t 0, x 1 t
4
p
= = = =Þ Þ
( )
4 4
2
2

0 0
ln(1 tan t)
I 1 t an t dt ln(1 tan t)dt
1 t an t
p p
+
= + = +Þ
+
ò ò
.
Đặt
t u dt du
4
p
= - = -Þ
t 0 u , t u 0
4 4
p p
= = = =Þ Þ

5
0
4
0
4
I ln(1 t an t)dt ln 1 tan u du
4
p
p
ộ ổ ửự

p
ữ
ỗ
ờ ỳ
= + = - + -ị
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ờ ỳ
ố ứ
ở ỷ
ũ ũ
4 4
0 0
1 tan u 2
ln 1 du ln du
1 t an u 1 tan u
p p
ổ ử ổ ử
-
ữ ữ
ỗ ỗ
= + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ

ố ứ ố ứ
+ +
ũ ũ
( )
4 4
0 0
ln 2du ln 1 tan u du ln 2 I
4
p p
p
= - + = -
ũ ũ
.
Vy
I ln 2
8
p
=
.
Vớ d 19. Tớnh tớch phõn
4
x
4
cos x
I dx
2007 1
p
p
-
=

+
ũ
.
Hng dn:
t
x t= -
S:
2
I
2
=
.
Tng quỏt:
Vi
a > 0
,
0>a
, hm s
f(x)
chn v liờn tc trờn on
[ ]
; - aa
thỡ
x
0
f(x)
dx f(x)dx
a 1
a a
- a

=
+
ũ ũ
.
Vớ d 20. Cho hm s f(x) liờn tc trờn
Ă
v tha
f( x) 2f(x) cos x- + =
.
Tớnh tớch phõn
2
2
I f(x)dx
p
p
-
=
ũ
.
Gii
t
2
2
J f( x)dx
p
p
-
= -
ũ
,

x t dx dt= - = -ị
x t , x t
2 2 2 2
p p p p
= - = = = -ị ị
[ ]
2 2
2 2
I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx
p p
p p
- -
= - = = + = - +ị ị
ũ ũ
2 2
0
2
cos xdx 2 cos xdx 2
p p
p
-
= = =
ũ ũ
.
Vy
2
I
3
=
.

3.3. Cỏc kt qu cn nh

6
i/ Vi
a > 0
, hm s
f(x)
l v liờn tc trờn on [a; a] thỡ
a
a
f(x)dx 0
-
=
ũ
.
ii/ Vi
a > 0
, hm s
f(x)
chn v liờn tc trờn on [a; a] thỡ
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
-
=
ũ ũ
.
iii/ Cụng thc Walliss (dựng cho trc nghim)
2 2
n n

0 0
(n 1)!!
,
n !!
cos xdx sin xdx
(n 1)!!
. ,
n !! 2
p p
ỡ
-
ù
ù
ù
ù
ù
= =
ớ
ù
-
p
ù
ù
ù
ù
ợ
ũ ũ
neỏu n leỷ
neỏu n chaỹn
.

Trong ú
n!! c l n walliss v c nh ngha da vo n l hay chn. Chng hn:
0 !! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3 !! 1.3; 4 !! 2.4; 5 !! 1.3.5;= = = = = =
6 !! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8 !! 2.4.6.8; 9 !! 1.3.5.7.9; 10 !! 2.4.6.8.10= = = = =
.
Vớ d 21.
2
11
0
10 !! 2.4.6.8.10 256
cos xdx
11!! 1.3.5.7.9.11 693
p
= = =
ũ
.
Vớ d 22.
2
10
0
9 !! 1.3.5.7.9 63
sin xdx . .
10 !! 2 2.4.6.8.10 2 512
p
p p p
= = =
ũ
.
II. TCH PHN TNG PHN
1. Cụng thc

Cho hai hm s
u(x), v(x)
liờn tc v cú o hm trờn on [a; b]. Ta cú
( ) ( )
/ / / /
/ /
uv u v uv uv dx u vdx uv dx= + = +ị
( )
b b b
a a a
d uv vdu udv d(uv) vdu udv= + = +ị ị
ũ ũ ũ
b b b b
b b
a a
a a a a
uv vdu udv udv uv vdu= + = -ị ị
ũ ũ ũ ũ
.
Cụng thc:
b b
b
a
a a
udv uv vdu= -
ũ ũ
(1).
Cụng thc (1) cũn c vit di dng:
b b
b

/ /
a
a a
f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx= -
ũ ũ
(2).
2. Phng phỏp gii toỏn
Gi s cn tớnh tớch phõn
b
a
f(x)g(x)dx
ũ
ta thc hin
Cỏch 1.
Bc 1. t
u f(x), dv g(x)dx= =
(hoc ngc li) sao cho d tỡm nguyờn hm
v(x)
v
vi phõn
/
du u (x)dx=
khụng quỏ phc tp. Hn na, tớch phõn
b
a
vdu
ũ
phi tớnh c.
Bc 2. Thay vo cụng thc (1) tớnh kt qu.
c bit:

7
i/ Nếu gặp
b b b
ax
a a a
P(x) sin axdx, P(x) cos axdx, e .P(x)dx
ò ò ò
với P(x) là đa thức thì đặt
u P(x)=
.
ii/ Nếu gặp
b
a
P(x) ln xdx
ò
thì đặt
u ln x=
.
Cách 2.
Viết lại tích phân
b b
/
a a
f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx=
ò ò
và sử dụng trực tiếp công thức (2).
Ví dụ 1. Tính tích phân
1
x

0
I xe dx=
ò
.
Giải
Đặt
x
x
u x
du dx
dv e dx
v e
=
=
ì
ì
ï
ï
ï ï
Þ
í í
=
ï ï
=
ï
ïî
î
(chọn
C 0=
)

1 1
1
1
x x x x
0
0
0 0
xe dx xe e dx (x 1)e 1= - = - =Þ
ò ò
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
e
1
I x ln xdx=
ò
.
Giải
Đặt
2
dx
du
u ln x
x
dv xdx
x
v
2
ì
ï
=

ï
=
ì
ï
ï
ï ï
Þ
í í
ï ï
=
ï ï
î
=
ï
ï
î
e e
e
2 2
1
1 1
x 1 e 1
x ln xdx ln x xdx
2 2 4
+
= - =Þ
ò ò
.
Ví dụ 3. Tính tích phân
2

x
0
I e sin xdx
p
=
ò
.
Giải
Đặt
x x
u sin x
du cos xdx
dv e dx v e
=
=
ì
ì
ïï
ï ï
Þ
í í
ï ï
= =
ï ï
î
î
2 2
x x x
2
2

0
0 0
I e sin xdx e sin x e cos xdx e J
p p
p
p
= = - = -Þ
ò ò
.
Đặt
x
x
u cos x
du sin xdx
dv e dx
v e
=
= -
ì
ì
ï
ï
ï ï
Þ
í í
=
ï ï
=
ï
ïî

î
2 2
x x x
2
0
0 0
J e cos xdx e cos x e sin xdx 1 I
p p
p
= = + = - +Þ
ò ò
2
2
e 1
I e ( 1 I) I
2
p
p
+
= - - + =Þ Þ
.
Chú ý:
Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.

8
Ví dụ 7. Tính tích phân
2
4
0
I cos xdx

p
=
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t x=
2
0
I 2 t cos tdt 2
p
= = = -Þ p
ò
L L
.
Ví dụ 8. Tính tích phân
e
1
I sin(ln x)dx=
ò
.
ĐS:
(sin 1 cos1)e 1
I
2
- +
=
.
III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán

1. Dạng 1
Giả sử cần tính tích phân
b
a
I f(x) dx=
ò
, ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
x
a

1
x

2
x

b
f(x)

+

0

-

0

+
Bước 2. Tính

1 2
1 2
b x x b
a a x x
I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx= = - +
ò ò ò ò
.
Ví dụ 9. Tính tích phân
2
2
3
I x 3x 2 dx
-
= - +
ò
.
Giải
Bảng xét dấu
x
3-

1

2

2
x 3x 2- +

+

0

-

0
( ) ( )
1 2
2 2
3 1
59
I x 3x 2 dx x 3x 2 dx
2
-
= - + - - + =
ò ò
.
Vậy
59
I
2
=
.
Ví dụ 10. Tính tích phân
2
2
0
I 5 4 cos x 4 sin xdx
p
= - -
ò

.
ĐS:
I 2 3 2
6
p
= - -
.
2. Dạng 2
Giả sử cần tính tích phân
[ ]
b
a
I f(x) g(x) dx= ±
ò
, ta thực hiện
Cách 1.

9
Tách
[ ]
b b b
a a a
I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx= ± = ±
ò ò ò
rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
Ví dụ 11. Tính tích phân
( )

2
1
I x x 1 dx
-
= - -
ò
.
Giải
Cách 1.
( )
2 2 2
1 1 1
I x x 1 dx x dx x 1 dx
- - -
= - - = - -
ò ò ò
0 2 1 2
1 0 1 1
xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx
- -
= - + + - - -
ò ò ò ò
0 2 1 2
2 2 2 2
1 0 1 1
x x x x
x x 0
2 2 2 2
- -
æ ö æ ö

÷ ÷
ç ç
= - + + - - - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Cách 2.
Bảng xét dấu
x –1 0 1 2
x
– 0 +  +
x – 1 – – 0 +
( ) ( ) ( )
0 1 2
1 0 1
I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx
-
= - + - + + - + - +
ò ò ò
( )
1
2
0 2
1 1
0
x x x x 0
-

= - + - + =
.
Vậy
I 0=
.
3. Dạng 3
Để tính các tích phân
{ }
b
a
I max f(x), g(x) dx=
ò
và
{ }
b
a
J min f(x), g(x) dx=
ò
, ta thực hiện
các bước sau:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số
h(x) f(x) g(x)= -
trên đoạn [a; b].
Bước 2.
+ Nếu
h(x) 0>
thì
{ }
max f(x), g(x) f(x)=
và

{ }
min f(x), g(x) g(x)=
.
+ Nếu
h(x) 0<
thì
{ }
max f(x), g(x) g(x)=
và
{ }
min f(x), g(x) f(x)=
.
Ví dụ 12. Tính tích phân
{ }
4
2
0
I max x 1, 4x 2 dx= + -
ò
.
Giải
Đặt
( )
( )
2 2
h(x) x 1 4x 2 x 4x 3= + - - = - +
.
Bảng xét dấu
x 0 1 3 4
h(x) + 0 – 0 +

( )
( )
( )
1 3 4
2 2
0 1 3
80
I x 1 dx 4x 2 dx x 1 dx
3
= + + - + + =
ò ò ò
.

10
Vy
80
I
3
=
.
Vớ d 13. Tớnh tớch phõn
{ }
2
x
0
I min 3 , 4 x dx= -
ũ
.
Gii
t

( )
x x
h(x) 3 4 x 3 x 4= - - = + -
.
Bng xột du
x 0 1 2
h(x) 0 +
( )
1 2
2
1
x 2
x
0
1
0 1
3 x 2 5
I 3 dx 4 x dx 4x
ln 3 2 ln 3 2
ổ ử
ữ
ỗ
= + - = + - = +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ũ ũ
.

Vy
2 5
I
ln 3 2
= +
.
IV. BT NG THC TCH PHN
Phng phỏp gii toỏn
1. Dng 1
chng minh
b
a
f(x)dx 0
ũ
(hoc
b
a
f(x)dx 0Ê
ũ
) ta chng minh
f(x) 0
(hoc
f(x) 0Ê
) vi
[ ]
x a; b" ẻ
.
Vớ d 14. Chng minh
1
3

6
0
1 x dx 0-
ũ
.
Gii
Vi
[ ]
1
3 3
6 6 6
0
x 0; 1 : x 1 1 x 0 1 x dx 0" - -ẻÊị ị
ũ
.
2. Dng 2
chng minh
b b
a a
f(x)dx g(x)dx
ũ ũ
ta chng minh
f(x) g(x)
vi
[ ]
x a; b" ẻ
.
Vớ d 15. Chng minh
2 2
10 11

0 0
dx dx
1 sin x 1 sin x
p p
Ê
+ +
ũ ũ
.
Gii
Vi
11 10
x 0; : 0 sin x 1 0 sin x sin x
2
p
ộ ự
" ẻÊÊịÊÊ
ờ ỳ
ở ỷ
10 11
10 11
1 1
1 sin x 1 sin x 0
1 sin x 1 sin x
+ + >ị ị Ê
+ +
.
Vy
2 2
10 11
0 0

dx dx
1 sin x 1 sin x
p p
Ê
+ +
ũ ũ
.
3. Dng 3
chng minh
b
a
A f(x)dx BÊ Ê
ũ
ta thc hin cỏc bc sau
Bc 1. Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca f(x) trờn on [a; b] ta c
m f(x) MÊ Ê
.

11
Bước 2. Lấy tích phân
b
a
A m(b a) f(x)dx M(b a) B= - - =££
ò
.
Ví dụ 16. Chứng minh
1
2
0
2 4 x dx 5+£ £

ò
.
Giải
Với
[ ]
2 2
x 0; 1 : 4 4 x 5 2 4 x 5" + +Σ £Þ£ £
.
Vậy
1
2
0
2 4 x dx 5+£ £
ò
.
Ví dụ 17. Chứng minh
3
4
2
4
dx
4 2
3 2 sin x
p
p
p p
£ £
-
ò
.

Giải
Với
2
3 2 1
x ; : sin x 1 sin x 1
4 4 2 2
p p
é ù
" Σ£Þ££
ê ú
ë û
2
2
1 1
1 3 2 sin x 2 1
2
3 2 sin x
-Þ £ £ Þ £ £
-
( ) ( )
3
4
2
4
1 3 dx 3
1
2 4 4 4 4
3 2 sin x
p
p

p p p p
- -Þ £ £
-
ò
.
Vậy
3
4
2
4
dx
4 2
3 2 sin x
p
p
p p
£ £
-
ò
.
Ví dụ 18. Chứng minh
3
4
3 cotgx 1
dx
12 x 3
p
p
£ £
ò

.
Giải
Xét hàm số
cotgx
f(x) , x ;
x 4 3
p p
é ù
= Î
ê ú
ë û
ta có
2
/
2
x
cotgx
sin x
f (x) 0 x ;
4 3
x
-
-
p p
é ù
= < " Î
ê ú
ë û
( ) ( )
f f(x) f x ;

3 4 4 3
p p p p
é ù
"Þ £ £ Î
ê ú
ë û
3 cot gx 4
x ;
x 4 3
p p
é ù
"Þ £ £ Î
ê ú
p p ë û
( ) ( )
3
4
3 cot gx 4
dx
3 4 x 3 4
p
p
p p p p
- -Þ £ £
p p
ò
.
Vậy
3
4

3 cotgx 1
dx
12 x 3
p
p
£ £
ò
.
4. Dạng 4 (tham khảo)
Để chứng minh
b
a
A f(x)dx B£ £
ò
(mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện

12
Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho
[ ]
b
b
a
a
f(x) g(x) x a; b
f(x)dx B
g(x)dx B
ì
"£ Î
ï
ï

ï
ï
Þ £
í
ï
=
ï
ï
ï
î
ò
ò
.
Bước 2. Tìm hàm số h(x) sao cho
[ ]
b
b
a
a
h(x) f(x) x a; b
A f(x)dx
h(x)dx A
ì
"£ Î
ï
ï
ï
ï
Þ £
í

ï
=
ï
ï
ï
î
ò
ò
.
Ví dụ 19. Chứng minh
2
2
2007
0
2 dx
2 4
1 x
p
£ £
-
ò
.
Giải
Với
2007 2
2 1
x 0; : 0 x x
2 2
é ù
" Σ££

ê ú
ê ú
ë û
2 2007
2007 2
1 1 1
1 x 1 x 1 1
2
1 x 1 x
- -Þ £ £ £ Þ £ £
- -
2 2 2
2 2 2
2007 2
0 0 0
dx dx
dx
1 x 1 x
Þ £ £
- -
ò ò ò
.
Đặt
x sin t dx cos tdt= =Þ
2
x 0 t 0, x t
2 4
p
= = = =Þ Þ
2

2 4
2
0 0
dx cos tdt
cos t 4
1 x
p
p
= =Þ
-
ò ò
.
Vậy
2
2
2007
0
2 dx
2 4
1 x
p
£ £
-
ò
.
Ví dụ 20. Chứng minh
1
2
0
3 1 xdx 2 1

4 2
x 2 1
+ +
£ £
+ -
ò
.
Giải
Với
[ ]
2
x 0; 1 : 2 1 x 2 1 3 1" - + - -Î £ £
2
x x x
3 1 2 1
x 2 1
Þ £ £
- -
+ -
1 1 1
2
0 0 0
xdx xdx xdx
3 1 2 1
x 2 1
Þ £ £
- -
+ -
ò ò ò
.

Vậy
1
2
0
3 1 xdx 2 1
4 2
x 2 1
+ +
£ £
+ -
ò
.
V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Diện tích hình thang cong

13
Cho hàm số
f(x)
liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các
đường
y f(x), x a, x b= = =
và trục hoành là
b
a
S f(x) dx=
ò
.
Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
b
a
f(x) dx
ò
.
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
y ln x, x 1, x e= = =
và Ox.
Giải
Do
[ ]
ln x 0 x 1; e"³ Î
nên
( )
e e
e
1
1 1
S ln x dx ln xdx x ln x 1 1= = = - =
ò ò
.
Vậy
S 1=
(đvdt).
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
y x 4x 3, x 0, x 3= - + - = =
và Ox.
Giải

Bảng xét dấu
x 0 1 3
y – 0 + 0
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= - - + - + - + -
ò ò
1 3
3 3
2 2
0 1
x x 8
2x 3x 2x 3x
3 3 3
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - - + + + - + + =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Vậy
8
S
3

=
(đvdt).
2. Diện tích hình phẳng
2.1. Trường hợp 1.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường
y f(x), y g(x), x a, x b= = = =
là
b
a
S f(x) g(x) dx= -
ò
.
Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số
f(x) g(x)-
trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
b
a
f(x) g(x) dx-
ò
.
2.2. Trường hợp 2.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường
y f(x), y g(x)= =
là
S f(x) g(x) dx
b

a
= -
ò
. Trong đó
, a b
là nghiệm nhỏ nhất
và lớn nhất của phương trình
f(x) g(x)=

( )
a b<£ a b £
.
Phương pháp giải toán
Bước 1. Giải phương trình
f(x) g(x)=
.
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số
f(x) g(x)-
trên đoạn
[ ]
; a b
.

14
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
f(x) g(x) dx
b
a
-
ò

.
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
3 2
y x 11x 6, y 6x= + - =
,
x 0, x 2= =
.
Giải
Đặt
3 2 3 2
h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6= + - - = - + -
h(x) 0 x 1 x 2 x 3= = = =Û Ú Ú
(loại).
Bảng xét dấu
x 0 1 2
h(x) – 0 + 0
( ) ( )
1 2
3 2 3 2
0 1
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx= - - + - + - + -
ò ò
1 2
4 2 4 2
3 3
0 1
x 11x x 11x 5
2x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2
æ ö æ ö

÷ ÷
ç ç
= - - + - + - + - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Vậy
5
S
2
=
(đvdt).
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
3 2
y x 11x 6, y 6x= + - =
.
Giải
Đặt
3 2 3 2
h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6= + - - = - + -
h(x) 0 x 1 x 2 x 3= = = =Û Ú Ú
.
Bảng xét dấu
x 1 2 3
h(x) 0 + 0 – 0
( ) ( )
2 3

3 2 3 2
1 2
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx= - + - - - + -
ò ò
2 3
4 2 4 2
3 3
1 2
x 11x x 11x 1
2x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - + - - - + - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Vậy
1
S
2
=
(đvdt).
Chú ý:
Nếu trong đoạn
[ ]

; a b
phương trình
f(x) g(x)=
không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể
dùng công thức
[ ]
f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx
b b
a a
- = -
ò ò
.
Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
3
y x , y 4x= =
.
Giải
Ta có
3
x 4x x 2 x 0 x 2= = - = =Û Ú Ú
( ) ( )
0 2
3 3
2 0
S x 4x dx x 4x dx
-
= - + -Þ
ò ò
0 2
4 4

2 2
2 0
x x
2x 2x 8
4 4
-
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - + - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Vậy
S 8=
(đvdt).

15
Vớ d 6. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2
y x 4 x 3= - +
v trc honh.
Gii
Ta cú
2 2
x 4 x 3 0 t 4t 3 0, t x 0- + = - + = =
t 1 x 1 x 1

t 3 x 3 x 3
= = =
ộ ộ ộ
ờ ờ ờ

ờ ờ ờ
= = =
ở ở ở
3 3
2 2
3 0
S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx
-
= - + = - +ị
ũ ũ
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
2 x 4x 3 dx x 4x 3 dx
ộ ự
ờ ỳ
= - + + - +
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
ũ ũ
1 3
3 3
2 2

0 1
x x 16
2 2x 3x 2x 3x
3 3 3
ộ ự
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
= - + + - + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
ố ứ ố ứ
ở ỷ
.
Vy
16
S
3
=
(vdt).
Vớ d 7. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2
y x 4x 3= - +
v
y x 3= +
.

Gii
Phng trỡnh honh giao im
2
x 4x 3 x 3- + = +
2
2
x 3 0
x 0
x 4x 3 x 3
x 5
x 4x 3 x 3
+
ỡ
ù
ù
=
ộ
ù
ù
ộ ờ
- + = +

ớ
ờ ờ
=
ù
ù
ở
ờ
ù

- + = - -
ờ
ù
ợ ở
.
Bng xột du
x 0 1 3 5
2
x 4x 3- +
+ 0 0 +
( ) ( ) ( )
1 3 5
2 2 2
0 1 3
S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dx= - + - + - + -ị
ũ ũ ũ
1 3 5
3 2 3 2 3 2
0 1 3
x 5x x 3x x 5x 109
6x
3 2 3 2 3 2 6
ổ ử ổ ử ổ ử
-
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= - + + - + - =
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ

ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
.
Vy
109
S
6
=
(vdt).
Vớ d 8. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2
y x 1 , y x 5= - = +
.
Gii
Phng trỡnh honh giao im
2 2
x 1 x 5 t 1 t 5, t x 0- = + - = + =
2
2
t x 0
t x 0
t 1 t 5
x 3
t 3
t 1 t 5
=
ỡ
ù
ù
=

ỡ
ù
ù
ù
ù
ộ
- = +
=
ớ ớ
ờ
=ù ù
ù ù
ợ
ờ
ù
- = - -
ờ
ù
ợ ở
( ) ( )
3 3
2 2
3 0
S x 1 x 5 dx 2 x 1 x 5 dx
-
= - - + = - - +ị
ũ ũ
Bng xột du
x 0 1 3
2

x 1-
0 +

16
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
S 2 x x 4 dx x x 6 dx= - - - + - -Þ
ò ò
1 3
3 2 3 2
0 1
x x x x 73
2 4x 6x
3 2 3 2 3
æ ö æ ö
-
÷ ÷
ç ç
= - - + - - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Vậy
73
S

3
=
(đvdt).
Chú ý:
Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không
có).
B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
1. Trường hợp 1.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
[ ]
y f(x) 0 x a;b= "³ Î
,
y 0=
,
x a=
và
x b (a b)= <
quay quanh trục Ox là
b
2
a
V f (x)dx= p
ò
.
Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu do hình tròn
2 2 2
(C) : x y R+ =
quay quanh Ox.
Giải
Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là

2 2
x R x R= = ±Û
.
Phương trình
2 2 2 2 2 2
(C) : x y R y R x+ = = -Û
( ) ( )
R R
2 2 2 2
R 0
V R x dx 2 R x dx
-
= - = -Þ p p
ò ò
R
3 3
2
0
x 4 R
2 R x
3 3
æ ö
p
÷
ç
= - =p
÷
ç
÷
ç

è ø
.
Vậy
3
4 R
V
3
p
=
(đvtt).
2. Trường hợp 2.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
[ ]
x g(y) 0 y c;d= "³ Î
,
x 0=
,
y c=
và
y d (c d)= <
quay quanh trục Oy là
d
2
c
V g (y)dy= p
ò
.
Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối do ellipse
2 2
2 2

x y
(E) : 1
a b
+ =
quay quanh Oy.
Giải
Tung độ giao điểm của (E) và Oy là
2
2
y
1 y b
b
= = ±Û
.
Phương trình
2 2 2 2
2 2
2 2 2
x y a y
(E) : 1 x a
a b b
+ = = -Û
b b
2 2 2 2
2 2
2 2
b 0
a y a y
V a dy 2 a dy
b b

-
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - = -Þ p p
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
ò ò
R
2 3 2
2
2
0
a y 4 a b
2 a y
3
3b
æ ö
p
÷
ç
= - =p
÷
ç
÷
ç
è ø

.
Vậy
2
4 a b
V
3
p
=
(đvtt).
3. Trường hợp 3.

17
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
y f(x), y g(x)= =
,
x a=

v
[ ]
x b (a b, f(x) 0, g(x) 0 x a; b )= < " ẻ
quay quanh trc Ox l
b
2 2
a
V f (x) g (x) dx= -p
ũ
.
Vớ d 11. Tớnh th tớch hỡnh khi do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
2
y x=

,
2
y x=

quay quanh Ox.
Gii
Honh giao im
4
x 0
x 0
x 1
x x

=
ỡ
ộ
ù
ù
ờ

ớ
ờ
=ù
=
ù
ở
ợ
.
( )
1 1

4 4
0 0
V x x dx x x dx= - = -ị p p
ũ ũ
( )
1
5 2
0
1 1 3
x x
5 2 10
p
= - =p
.
Vy
3
V
10
p
=
(vtt).
4. Trng hp 4.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
x f(y), x g(y)= =
,
y c=

v
[ ]
y d (c d, f(y) 0, g(y) 0 y c; d )= < " ẻ

quay quanh trc Oy l
d
2 2
c
V f (y) g (y) dy= -p
ũ
.
Vớ d 12. Tớnh th tớch hỡnh khi do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
2
x y 5= - +
,
x 3 y= -
quay quanh Oy.
Gii
Tung giao im
2
y 1
y 5 3 y
y 2
= -
ộ
ờ
- + = -
ờ
=
ở
.
( )
( )
2

2
2
2
1
V y 5 3 y dy
-
= - + - -ị p
ũ
( )
2
4 2
1
y 11y 6y 16 dy
-
= - + +p
ũ
2
5 3
2
1
y 11y 153
3y 16y
5 3 5
-
ổ ử
p
ữ
ỗ
= - + + =p
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố ứ
.
Vy
153
V
5
p
=
(vtt).
VI. TCH PHN CHA T HP
1. Tớnh I=
( )
1
10
0
1

x dx
p dng kt qu ú hóy tớnh tng sau:
1 2 10
10 10 10
1 1 1
1
2 3 11
= + +
S C C C

2. Tớnh:
( )
1
19
0
1I x x dx=

. p dng kt qu ú hóy tớnh tng sau:
0 1 2 18 19
19 19 19 19 19
1 1 1 1 1

2 3 4 20 21
S C C C C C= + +
.
3. Chng minh rng:
1
1 2
1 1 1 2 1
1
2 3 1 1
n
n
n n n
C C C
n n
+

+ + + + =
+ +

18
BÀI TẬP TỰ GIẢI
1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=
sin cos
sin cos
x x
x x
+
−
, biết rằng
ln2
4
F
π
 
 ÷
 
− =
2. Tính các tích phân sau:
A=
2
1
2 5-7
e
x x
dx
x
+
∫

B=
2
2
-2
-1x dx
∫
C=
2
0
2 ln 2
x
dx
∫
3. Tính các tích phân sau:
A=
3
3cos
0
sin
x
e xdx
π
∫
B=
4
1
ln
e
x
dx

x
∫
C
*
=
2 3
2
5
4
dx
x x
+
∫
D
*
=
2
1
1 -1
x
dx
x
+
∫
4. Tính các tích phân sau:
I=
1
sin(ln )
e
x

dx
x
∫
J=
4
2
6
sin cot
dx
x x
π
π
∫
K=
10
1
lg xdx
∫
L=
ln 5
ln 3
2 3
x x
dx
e e
−
+ −
∫
M=
2

2 2
0
sin 2
cos 4 sin
xdx
x x
π
+
∫
N=
2
2
1
- 9
dx
x
∫
C=
2
2 2
0
sin 2
(1 cos )
x
dx
x
π
+
∫
5. Tính các tích phân sau:

A=
1
2
0
4 -
dx
x
∫
B=
3
2
3
3
dx
x
+
∫
C=
4
2
0
16-
dx
x
∫
D=
ln 2
0
1-
1

x
x
e
dx
e
+
∫
E=
3
2
2
2
1
dx
x −
∫
6. Tính các tích phân sau:
A=
2
1
ln
e
x
dx
x
∫
B
*
=
2

0
sin
1 cos
x x
dx
x
π
+
∫
C
*
=
2
2
1
ln x
dx
x
∫
D
*
=
1
cos(ln )
e
x dx
π
∫
E=
2

4
3
1
3 2x x
dx
x
−
∫
1
2
*
4
1
1
1
x
F dx
x
−
−
=
+
∫
7. Tính:
A=
4
2
0
cos xdx
π

∫
B=
2
3
0
cos xdx
π
∫
C=
1
0
x
xe dx
∫
D=
4
1
x
e
dx
x
∫
E=
2
1
lnx xdx
∫
F=
1
ln 1

e
x
dx
x
+
∫
G=
2
2
0
1 2x x dx+
∫
H=
4
0
1 2x xdx+
∫
I=
2
1
1
x
dx
x +
∫
J=
1
2
0
1

x
dx
x+
∫
8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a. x=1; x=e; y=0 và y=
1 ln x
x
+
b. y=2
x
; y=3−x và x=0
c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x=
3
π
.
9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x
3
−2x
2
+4x−3 (C) và tiếp
tuyến với đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
10. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=π/3, y=0.
a. Tính diện tích hình phẳng D.
b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox.
11. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y
2
=x
3
và y=0, x=1

19
khi nó quay quanh:
A) Trục Ox.
B) Trục Oy.
−Hết−
SỞ GD & ĐT h¶I d¬ng THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2009-2010
TRƯỜNG THPT ninh giang MÔN TOÁN ( Thời gian 180 phút)

20
ĐỀ CH NH THÍ ỨC
I.Phần chung (7 điểm) :dành cho tất cả các thí sinh
Câu I(2 điểm) :Cho hàm số
3 2
y x 2mx (m 3)x 4= + + + +
có đồ thị là (C
m
)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số trên khi m = 2.
2) Cho E(1; 3) và đường thẳng (
∆
) có phương trình x-y + 4 = 0. Tìm m để (
∆
) cắt
(C
m
) tại ba điểm phân biệt A, B, C ( với x
A

= 0) sao cho tam giác EBC có diện tích bằng 4.
Câu II (2 điểm):a.Giải phương trình:
2
3 2 sin 2 1
1 3
2cos sin 2 tanx
+
+ = + +
x
x x
.
b.Giải hệ phương trình :
3 2
4 3 2 2
x y x xy 1
x x y x y 1

− + = −


− + =


Câu III (1 điểm). Tính tính phân sau:
π
2
2
0
dx
I

cos x 3cos x 2
=
+ +
∫
.
Câu IV (1 điểm): Cho hình lăng trụ đứng
/ / /
ABC. A B C
có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh
bên 2a .Gọi E là trung điểm của
/
BB
.Xác định vị trí của điểm F trên đoạn
/
AA
sao cho
khoảng cách từ F đến C
/
E là nhỏ nhất.
Câu V (1 điểm):Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn:
1 1 1
1+ + =
a b c
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
b c c a a b
T
a b c
+ + +

= + +
II. Phần riêng (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2)
Phần 1: Theo chương trình chuẩn
Câu VIa: ( 2 điểm)
1/.Cho
∆
ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM:
2 1 0x y+ + =
và phân giác trong
CD:
1 0x y+ − =
. Viết phương trình đường thẳng BC.
2/. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d :
x 1 2t
y t
z 1 3t
= +


=


= +

.
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn
nhất.
Câu VIIa:( 1 điểm)
Cho m bông hồng trắng và n bông hồng nhung khác nhau. Tính xác suất để lấy được
5 bông hồng trong đó có ít nhất 3 bông hồng nhung?. Biết m, n là nghiệm của hệ sau:

2 2 1
3
1
9 19
2 2
720
m
m n m
n
C C A
P
−
+
−

+ + <



=

Phần 2: Theo chương trình nâng cao
Câu VIb:( 2 điểm)
1/. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các đỉnh: A(-2;3), B(
)0;2(),0;
4
1
C
2/.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;5;6). Viết phương trình mặt

phẳng (P) qua A; cắt các trục tọa độ lần lượt tại I; J; K mà A là trực tâm của tam giác IJK.
Câu VII:( 1 điểm)

21
Giải hệ phương trình :
( )
( )
2 2
3 3
2 2
2 2
log log
4

− = − − +



+ =

y x y x x xy y
x y
Hết
Ghi chú :-Thí sinh không được sử dụng tài liệu . Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu ĐÁP ÁN Điể
m
Ia -Tập xác định , tính y
/
-Nghiệm y

/
và lim
-Bảng biến thiên
-Đồ thị
0,25
0,25
0,25
0,25
Ib
PT hoành độ giao điểm :
3 2
x 2mx (m 3)x 4 x 4
+ + + + = +
(1)
2
x(x 2mx m 2) 0⇔ + + + =
2
x 0
g(x) x 2mx m 2 0 (2)
=

⇔

= + + + =

(d) cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C
⇔
phương trình (2) có 2 nghiệm

phân biệt khác 0.
/ 2
m 1 m 2
m m 2 0
(a)
m 2
g(0) m 2 0
≤ − ∨ ≥
= − − >


⇔ ⇔
 
≠ −
= + ≠


Δ
Diên tích
1
S BC.d(E, BC)
2
=
Khoảng cách
d(E,BC) 2=
Suy ra BC =
4 2
2
B C B C
(x x ) 4x x 16+ − =

2
4m 4(m 2) 16− + =
Giải pt m = 3, m = -2 (loại)
0,25
0,25
0,25
0,25
II a
. Đk:
2
x k
π
≠
Phương trình đã cho tương đương với:
( )
2
3 2
1 3
2 sin 2
+ + − =tan cot x x
x
2 2
2
2
2(sin cos )
3 3 2
sin cos
3 2 3 0
+
⇔ + − =

⇔ + − =
tan cot
tan tan
x x
x x
x x
x x
⇔
3
3
1
3
6
π


= − = − + π


⇔


π
=

= + π





tan
tan
x x k
x
x k
,k∈Z
KL: So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm :
6 2
π π
= +x k
; k∈Z
0,25
0,25
0,25
0,25
IIb.
Hệ tương đương :
3
2 3
x y x(y x) 1
[x(y x)] x y 1

+ − = −


− + =


Đặt
3

u x y,v x(y x)
= = −
0,25

22
Hệ trở thành
2
u v 1
u v 1
+ = −


+ =

Giải hệ
u 0
v 1
=


= −

,
u 3
v 2
= −


=


Với
u 0
v 1
=


= −

giải hệ được
x 1
y 0
= ±


=

Với
u 3
v 2
= −


=

giải hệ (vô nghiệm)
Nghiệm của hệ :
x 1
y 0
=



=

,
x 1
y 0
= −


=

0,25
0,25
0,25
III
π π
2 2
0 0
1 1
I dx dx
1 cos x 2 cos x
= −
+ +
∫ ∫
Tính
π π
2 2
0 0
2
dx dx

1
x
1 cos x
2cos
2
= =
+
∫ ∫
Tính
2
π π
2 2
0 0
2
x
1 tan
dx
2
.dx
x
cos x 2
3 tan
2
+
=
+
+
∫ ∫
.
Đặt

2 2
x x 3
tan 3 tan t (1 tan )dx (1 tan t).dt
2 2 2
= ⇒ + = +
• x = 0 => t = 0
x =
π
2
=> t =
π
6
2
π π
2 2
0 0
2
x
1 tan
dx
2
.dx
x
cos x 2
3 tan
2
+
=
+
+

∫ ∫
=
π
6
0
2
dt
3
∫
=
π
3 3
Vây
π π
2 2
0 0
1 1
I dx dx
1 cos x 2 cos x
= −
+ +
∫ ∫
= 1 -
π
3 3
0,25
0,25
0,25
0,25
IV

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A≡O; B∈Oy; A
/
∈Oz.
Khi đó: A(0;0;0), B(0;a;0); A
/
(0;0;2a),,
/
3
; ;2
2 2
 
 ÷
 ÷
 
a a
C a
và E(0;a;a)
F di động trên AA
/
, tọa độ F(0;0;t) với t ∈ [0;2a]
Vì C
/
E có độ dài không đổi nên d(F,C
/
E ) nhỏ nhất khi
/
ΔFC E
S
nhỏ nhất
Ta có :

/
/
1
,
2
∆
 
=
 
uuuur
uuur
FC E
S EC EF
Ta có:
( )
/
3
; ;
2 2
EF 0; ;
 
= −
 ÷
 ÷
 
= − −
uuuur
uur
a a
EC a

a t a
/
,
 
⇒ =
 
uuuur
uuur
EC EF
( 3 ; 3( ); 3)
2
a
t a t a a
−
− −
/ 2 2 2
, ( 3 ) 3( ) 3
2
 
⇒ = − + − +
 
uuuur
uuur
a
EC EF t a t a a
0,25

23
z
x

C
C
/
F
A
A
/
B
/
B
E
/
2 2
2 2
ΔFC E
a
4t 12at 15a
2
1 a
S . . 4t 12at 15a
2 2
= − +
= − +
Giá trị nhỏ nhất của
/
∆FC E
S
tùy thuộc vào giá trị của tham số t.
Xét f(t) = 4t
2

− 12at + 15a
2
f(t) = 4t
2
− 12at + 15a
2
(t ∈[0;2a])
f '(t) = 8t −12a
3
'( ) 0
2
a
f t t= ⇔ =
/
∆FC E
S
nhỏ nhất
⇔
f(t) nhỏ nhất
⇔
3
2
=
a
t
⇔
F(0;0;t) , hay FA=3FA
/
(
có thể giải bằng pp hình học thuần túy)

0,25
0,25
0,25
V
Đặt
1
x
a
=
,
1
y
b
=
,
1
z
c
=
.vì
1 1 1
1+ + =
a b c
nên x +y +z = 1
Và
2 2 2
1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
= + + + + +
T x y z

y z z x x y
+) Aùp dụng BĐT C.S ta có:
= + + =
2
1 ( )x y z
2
x y z
. y z . z x . x y
y z z x x y
 
+ + + + +
 ÷
 ÷
+ + +
 
2 2 2 2 2 2
x y z x y z
(2x 2y 2z) 2( )
y z z x x y y z z x x y
 
≤ + + + + ≤ + +
 ÷
+ + + + + +
 

+) Ta có:
( )
2 2
2
1 1 1 1 4

( )
 
+ = + + ≥
 ÷
+ +
 
x x
x y z
y z y z y z y z
Tương tự
Do đó
2 2 2
x y z
T 4
y z z x x y
 
≥ + +
 ÷
+ + +
 
2≥
Đẳng thức xảy ra khi
1
3
= = =x y z
hay
3
= = =
a b c
0,25

0,25
0,25
0,25

VIa:1
Cho
∆
ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM:
2 1 0x y+ + =
và phân giác trong
CD:
1 0x y+ − =
. Viết phương trình đường thẳng BC.
Điểm
( )
: 1 0 ;1C CD x y C t t∈ + − = ⇒ −
.
Suy ra trung điểm M của AC là
1 3
;
2 2
t t
M
+ −
 
 ÷
 
.
Điểm
( )

1 3
: 2 1 0 2 1 0 7 7;8
2 2
t t
M BM x y t C
+ −
 
∈ + + = ⇒ + + = ⇔ = − ⇒ −
 ÷
 
Từ A(1;2), kẻ
: 1 0AK CD x y⊥ + − =
tại I (điểm
K BC
∈
).
Suy ra
( ) ( )
: 1 2 0 1 0AK x y x y− − − = ⇔ − + =
.
Tọa độ điểm I thỏa hệ:
( )
1 0
0;1
1 0
x y
I
x y
+ − =


⇒

− + =

.
Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK
⇒
tọa độ của
( )
1;0K −
.
Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình:
1
4 3 4 0
7 1 8
x y
x y
+
= ⇔ + + =
− +

0,25
0,25
0,25

24
0,25
VIa:2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có
phương trình
x 1 2t

y t
z 1 3t
= +


=


= +

. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d
và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng
cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P).
Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có
HIAH ≥
=> HI lớn nhất khi
IA ≡
Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận
AH
uuur
làm véc tơ pháp tuyến.
)31;;21( tttHdH ++⇒∈
vì H là hình chiếu của A trên d nên
)3;1;2((0. ==⇒⊥ uuAHdAH
là véc tơ chỉ phương của d)
)5;1;7()4;1;3( −−⇒⇒ AHH
Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0
 7x + y -5z -77 = 0
0,25

0,25
0,25
0,25
VIIa Cho m bông hồng trắng và n bông hồng nhung khác nhau. Tính xác suất để lấy
được 5 bông hồng trong đó có ít nhất 3 bông hồng nhung?. Biết m, n là nghiệm
của hệ sau:
2 2 1
3
1
9 19
2 2
720
m
m n m
n
C C A
P
−
+
−

+ + <



=

<=>






=
<++
−
+
−
720
2
19
2
9
1
12
3
2
n
mn
m
m
P
AcC
Từ (2):
761!6720)!1( =⇔=−⇔==− nnn
Thay n = 7 vào (1)
m(m 1) 9 19
45 m
2 2 2
−

⇔ + + <
2
m m 90 9 19m⇔ − + + <
2
m 20m 99 0⇔ − + <
119
<<⇔
m
vì
10
=⇒Ζ∈
mm
Vậy m = 10, n = 7. Vậy ta có 10 bông hồng trắng và 7 bông hồng nhung, để lấy
được ít nhất 3 bông hồng nhung trong 5 bông hồng ta có các TH sau:
TH1: 3 bông hồng nhung, 2 bông hồng trắng có:
1575.
2
10
3
7
=CC
cách
TH2: 4 bông hồng nhung, 1 bông hồng trắng có:
350.
1
10
4
7
=CC
cách

TH3: 5 bông hồng nhung có:
21
5
7
=C
cách
⇒
có 1575 + 350 + 21 = 1946 cách.
Số cách lấy 4 bông hồng thường
%45,31
6188
1946
6188
5
17
≈=⇒
=
P
C
0,25
0,25
0,25
0,25
VIb1 Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các đỉnh: A(-2;3),B(
)0;2(),0;
4
1
C
Điểm D(d;0) thuộc đoạn BC là chân đường phân giác trong của góc A
khi và chỉ khi

( )
( )
2
2
2
2
9
1
3
4
4
2
4 3
81 225
9
3
16 16
4 1 6 3 1.
4
16 9 25
d
DB AB
DC AC d
d d d
æö
÷
ç
+ -
÷

ç
-
÷
ç
è ø
= = =Û
-
+ -
+
= = - = - =Þ Þ
+
Đường thẳng AD có phương trình:
0,25

25