Công thức Toán đại số 12 pot

ph¹m quang lu
ÔN TẬP TOÁN 12
I.Các công thức đạo hàm:
1)
( )
0'=c
(C là hằng số).
2)
( )
1
.'
−
=
αα
α
xx
3)
)0(
1
'
1
2
≠−=






x
x

x

4)
( )
0
2
1
)'( >= x
x
x
5)
( )
xx cos'sin =
6)
( )
xx sin'cos −=
7)
( )
2
cos
1
'
x
tgx =
8)
( )
2
sin
1
'cot

x
gx −=
9)
( )
xx
ee ='
10)
( )
xaa
xx
ln.'=
11)
( )
x
x
1
'ln =
12)
( )
ax
x
a
ln
1
'log =
1)
( )
uxu '
1−
=

αα
α
2)
)0(
'
'
1
2
≠−=






x
u
u
u
3)
( )
0
2
'
)'( >= x
u
u
u
4)
( )

uuu cos'.'sin =
5)
( )
'.sin'cos uuu −=
6)
( )
2
cos
'
'
u
u
tgu =
7)
( )
2
sin
'
'cot
u
u
gu −=
8)
( )
'.' uee
uu
=
9)
( )
'.ln.' uxaa

uu
=
10)
( )
au
u
u
a
ln
'
'log =
II/Các quy tắc tính đạo hàm:
1)
''')'( wvuwvu ±±=±±
2) (k.u)’ =k.u’
3) (u.v)’ =u’.v + u.v’ 4)
2
'.'.
'
v
vuvu
v
u −
=







(v
0≠
)
5)
2
'
'
1
v
v
v
−
=






(v
0≠
) 6)
xu
uyy
x
'.'' =
7)
2
'
)(

dcx
cbda
dcx
bax
+
−
=








+
+

*Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Một điểm M
0
(x
0
,y
0
)
).(:)( xfyC =∈
Ta có f’(x
0

)=k:là hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp
điểm M
0
.
III/ Nguyên hàm:
1) Định nghĩa:F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên (a;b) F’(x) =f(x)
,
).,( bax∈∀
2) Bảng các nguyên hàm:
3)
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm sồ thường gặp
1
ph¹m quang lu
1)
∫
+= cxdx
2)
∫
+
+
=
+
c
x
dxx
1
1
α
α
α

3)
∫
+= cxdx
x
ln
1
4)
∫
+= cxdxx sin.cos
5)
∫
+−= cxdxx cos.sin
6)
∫
+= ctgxdx
x
.
cos
1
2
7)
∫
+−= cgxdx
x
cot.
sin
1
2
8)
∫

+= cedxe
xx
9)
∫
+= c
a
a
dxa
x
x
ln
1)
∫
+
+
+
=+
+
c
bax
a
dxbax
1
)(
1
)(
1
α
α
2)

∫
++=
+
cbax
a
dx
bax
ln
11
3)
∫
++=+ cbax
a
dxbax )sin(
1
)cos(
4)
∫
++−=+ cbax
a
dxbax )cos(
1
)sin(
5)
∫
++=
+
cbaxtg
a
dx

bax
)(
1
)(cos
1
2
6)
∫
+−=
+
cxg
a
dx
bax
cot
1
)(sin
1
2
7)
∫
+=
++
ce
a
dxe
baxbax
1
8)
∫

+=
+
+
c
a
a
m
dxa
nmx
nmx
ln
1
3)Các phương pháp tích phân:
Dạng 1:
Tích phân của tích , thương phải đưa về tích phân của 1 tổng hoặc 1 hiệu bằng cách
nhân phân phối hoặc chia đa thức.
*Chú ý:
n
m
n m
aa =
Dạng 2:Phương pháp tính tích phân từng phần:
a/ Loại 1 : Có dạng: A=
∫















+
b
a
bax
x
dx
e
x
x
e
xP
cos
sin
).(
Trong đó P(x) là hàm đa thức
Phương pháp:
Đặt u=P(x)
dxxPdu ).('=⇒
dv =
=⇒















+
Vdx
e
x
x
e
bax
x
cos
sin
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần
A=
[ ]
∫
−
b
a
b

a
duvvu
b/Loại 2:có dạng : B=
∫
+
b
a
dxbaxxP ).ln().(
Phương pháp :
Đặt u = ln(ax+b) => du =
dx
bax
a
+
dv = P(x)dx => V =
2
ph¹m quang lu
Áp dụng công thức B =
[ ]
∫
−
b
a
b
a
duvvu
Dạng 3:Phương pháp đổi biến số để tính tích phân:
A=
( )
[ ]

dxxxf
b
a
).'.(.
ϕϕ
∫
Phương pháp :
Đặt t =
dxxdtx ).(').(
ϕϕ
==>
Đổi cận:



==>=
==>=
)(
)(
atax
btbx
ϕ
ϕ
Do đó A =
)(b
ϕ
F(t).dt=
[ ]
)(
)(

)(
b
a
tF
ϕ
ϕ

Dạng 4:Các dạng đặc biệt cơ bản:
a/Loại 1: I=
∫
+
a
xa
dx
0
22
Phương pháp:Đặt x=a.tgt






<<−
22
ππ
t
=> dx=
dtttgadt
x

a
)1(
cos
2
2
+=
.
Đổi cận:
b/Loại 2: J=
dxxa
a
.
0
22
∫
−
Phương pháp: Đặt x=asint






≤≤−
22
ππ
t
=> dx = acost.dt
Đổi cận.
Dạng 5: I =

∫
++
b
a
cbxax
dx
2
Nếu
))((:0
21
2
xxxxacbxax −−=++>∆
Do đó :






−
−
−−
=
++
21211
2
11
)(
11
xxxxxxa

cbxax
Nếu








∆
−






+
=
++
=∆
2
2
2
4
2
11
:0
a

a
b
xa
cbxax
Để tính I=
∫
b
a








∆
−






+
2
2
42
1
aa

b
xa
Phương pháp : Đặt x+
tgt
aa
b
22
∆
=
(làm giống dạng 4)
*Dùng phương pháp đồng nhất thức để tính tích phân hàm số hữu tỉ:
1)Trường hợp 1:Mẫu số có nghiệm đơn
3
ph¹m quang lu
cx
C
bx
B
ax
A
cxbxax
xP
−
+
−
+
−
=
−−− ))()((
)(

.
2)Trường hợp 2: Mẫu số có nghiệm đơn và vô nghiệm
cbxax
CBx
ax
A
cbxaxax
xP
++
+
+
−
=
++−
22
))((
)(
3)Trường hợp 3: Mẫu số có nghiệm bội
bx
E
bx
D
bx
C
ax
B
ax
A
bxax
xP

−
+
−
+
−
+
−
+
−
=
−−
23232
)()(
)(
)()()(
)(
VD:Tính các tích phân sau:
A=
∫
+−
3
2
2
123 xx
dx
; B=
∫
+−
3
2

2
96xx
dx
; C=
∫
++
3
2
2
1xx
dx
Dạng 6: A=
∫∫
dxxhaydxx
nn
cos sin
Nếu n chẵn :
Áp dụng công thức
Sin
2
a=
2
2cos1 a−
Cos
2
a=
2
2cos1 a+
Nếu n lẽ:
A=

xx
n
sin sin
1
∫
−
Đặt t= cosx (biến đổi sinx thành cosx)
Dạng 7: A=
dxxgBhaydxxtg
mm
.cot.
∫∫
=
Đặt tg
2
x làm thừa số
Thay tg
2
x =
1
cos
1
2
−
x

4.Các công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng
1) Cos
2
a=

2
2cos1 a+
1.1) Sin
2
a=
2
2cos1 a−
2) 2sina.cosa = sin2a 2.1) Cosa.cosb =
( )
[ ]
)cos(cos
2
1
baba −++
3) Sina.sinb =
( )
[ ]
)cos(cos
2
1
baba −−+−
3.1) Sina.cosb =
( )
[ ]
)sin(sin
2
1
baba −++
*Các công thức lượng giác cần nhớ:
1) Sin

2
a+cos
2
a = 1 1.1) 1+tg
2
a =
a
2
cos
1
2) 1+cotg
2
a =
a
2
sin
1
2.1) Cos2a = cos
2
a – sin
2
a = 2cos
2
a -1 =
1- 2sin
2
a
3) Tg2a =
atg
tga

2
1
2
−
3.1) Sin 3a = 3sina – 4sin
3
a
4
ph¹m quang lu
4) Cos 3a = 4cos
3
a – 3cosa
*Các giá trị lựơng giác của góc đặc biệt:
IV: Diện tích hình phẳng.
1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
)(:)( xfyc
=
và hai đường thẳng x=a; x=b
Phương pháp:
+ dthp cần tìm là:
)(.)( badxxfS
b
a
<=
∫
+ Hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình:
 Nếu phương trình f(x) = o vô nghiệm. Hoặc có nghiệm không thuộc đoạn [a;b] thì
∫
=
b

a
dxxfS ).(
 Nếu f(x) = 0 có nghiệm thuộc [a;b]. Giả sử
βα
==
xx ;
thì
∫∫∫
∫∫ ∫
++=
++=
b
a
b
a
dxxfdxxfdxxfS
dxxfdxxfdxxfS
β
β
α
α
β
α
β
α
.)(.)(.)(
)()()(
2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
)(:)( xfyc
=

và trục hoành
Phương pháp:
• Hđgđ của (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình : f(x) = 0



=
=
⇔
bx
ax
0
1
1
2
1
2/3
1/2
2/2
2
3
2
2
sin
cos
3
1
2/
π
π

-1
-1
2
3
π
cost
5
ph¹m quang lu
∫ ∫
==
b
a
b
a
dxxfdxxfS ).(.)(
3) Diện tích hình phẳng giởi hạn bởi 2 đường (C
1
): y=f(x) và (C
2
): y=g(x) và 2 đường
x=a; x=b
Phương pháp:
• Dthp cần tìm là:
∫
−=
b
a
dxxgxfS )()(
• Hđgđ của 2 đường (C
1

) và (C
2
) là nghiệm của phương trình.
• f(x) – g(x) = 0
• Lập luận giống phần số 1
V) Thể tích vật thể
1) Một hình phẳng (H) giới hạn bởi: x=a; x=b, trục ox và y=f(x) liên tục trên [a;b]. Khi (H)
quay quanh trục ox tạo ra vật thể có thể tích:
[ ]
∫
=
b
a
dxxfV
2
)(
π
2) Một hình phẳng (H) giới hạn bởi y=a; y=b, trục oy và x=g(y) liên tục trên [a;b]. Khi (H)
quay quanh trục oy tạo ra vật thể có thể tích:
[ ]
∫
=
b
a
dyygV
2
)(
π
VI) Đại số tổ hợp
1) Giai thừa

n! = 1.2.3.4… n
2) Ngắt giai thừa
n!=(n-3)!(n-2).(n-1).n
7!=1.2.3.4.5.6.7
7!=5!.6.7
K!K=(K+1)!
Qui ước:
0!=1
1!=1
3) Số hoán vị của n phần tử
P
n
! = n!
Nnn ∈≥ ,1
4) Số chỉnh hợp chập K của n phần tử
nk
kn
n
A
k
n
≤≤
−
= 1
)!(
!
,
Nn ∈
5) Số tổ hợp chập K của n phần tử
Nnnk

knk
n
C
k
n
∈≤≤
−
= ;0
)!(!
!
* Tính chất của Tổ Hợp:
•
1
0
==
n
nn
CC
•
nC
n
=
10
•
kn
n
k
n
CC
−

=
•
1
1
1 +
+
+
=+
k
n
k
n
k
n
CCC
6) Nhị thức Newtơn
nn
n
kknk
n
n
n
n
n
n
n
n
bCbaCbaCbaCaCba
++++++=+
−−−

)(
222110
Số hạng tổng quát thứ k+1 trong khai triển (a+b)
x
là.
), ,1,(
1
nokbaCT
kknk
nk
==
−
+
7) Khai triển theo tam giác Pascal
n = 3: 1 3 3 1
n = 4: 1 4 6 4 1
n = 5: 1 5 10 10 5 1
n = 6: 1 6 15 20 15 6 1
n = 7: 1 7 21 35 35 21 7 1
6
ph¹m quang lu
VII) Các vấn đề có liên quan đến bài toán
Vấn đề 1: Đường lối chung khảo sát hàm số
Phương pháp:
1)
Tập xác định
2)
Tính y
’




=⇒=
=⇒=
⇔=
yx
yx
y 0
'
3)
Tìm giới hạn và tiệm cận (nếu là hàm số hữu tỷ)
4)
Bảng biến thiên
5)
Tính y
’’
. Lập bảng xét dấu y
’’
.
6)
Điểm đặc biệt.
7)
Vẽ đồ thị.
Vấn đề 2: Biện luận phương trình f(x,m)=0 (1) bằng đồ thị (C)
Phương pháp:
• Chuyển m sang 1vế để đưa về dạng : f(x)=m
• Đặt y=f(x) có đồ thị (C)
• y=m là đường thẳng d cùng phương với trục ox
• Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C) và d
• Dựa vào đồ thị kết luận.

Vấn đề 3: Biện luận theo m số giao điểm của 2 đường (C
1
): y = f(x)và (C
2
): y = g(x)
Phương pháp:
+ Hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
)là nghiệm của phương trình:
)1(0)()()()( =−⇔= xgxfxgxf
+ Biện luận:
• Nếu (1) có n nghiệm =>(C
1
) và (C
2
) có n điểm chung (Hay n giao điểm)
• Nếu (1) vô nghiệm => (C
1
) và (C
2
) không có điểm chung (Hay không có giao điểm)
Chú ý:
Nếu pt (1) có dạng ax + b = 0 chỉ khi biện luận phải xét 2 trường hợp.
1) Nếu a=0
2) Nếu
0≠a
Nếu pt (1) có dạng ax
2

+ bx + c = 0 xét 2 trường hợp
1) Nếu a=0
2) Nếu
0≠a
. Tính
∆
. Xét dấu
∆
. Dựa vào
∆
lập luận
Nếu pt (1): ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0. Ta đưa về dạng :
0)''')((
2
=++− cxbxax
α




=++
=
⇔ )2(
0'''
2
cxbxa

x
α
Thế
∆= TínhptXétmTìmvàox .)2(.).1(
α
Đưa vào
∆
biện luận theo m để tìm số nghiệm của (1) => Số giao điểm của 2 đường (C
1
) và
(C
2
) .
Vấn đề 4: Tiếp tuyến với (C); y = f(x)
1) Trường hợp 1: Tại tiếp điểm M
0
(x
0
,y
0
)
Phương pháp:
7
ph¹m quang lu
+ Tính y’ => y’(x
0
)
+ phương trình tiếp tuyến với (C). Tại M
0
có dạng: y – y

0
= y’(x
0
).(x-x
0
)
2) Trường hợp 2: Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b (d)
Phương pháp:
+ Gọi M
0
(x
0
,y
0
) là tiếp điểm.
+ Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M
0
có dạng y – y
0
= y’(x
0
).(x-x
0
).
+ Vì tiếp tuyến song song với d nên: y’(x
0
).= a (1)
+ Giải (1) tìm x
0
=> y

0
+ Kết luận
* Chú ý:
Biết tiếp tuyến vuông góc. Vuông góc với đường thẳng d: y=ax + b thì
a
xy
axy
1
)('
1).('
0
0
−=
−=
⇔
3) Trường hợp 3: Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x
A
,y
A
)
Phương pháp:
+ Gọi
∆
là đường thẳng đi qua A có hệ số góc là k có phương trình:
y - y
A
= k(x – x
A
)
<=> y = kx – kx

A
+ y
A
.
+
∆
tiếp xúc với đường cong (C) <=> Hệ phương trình sau có nghiệm
( )
)2()('
)1)(
kxf
ykxkxxf
AA
=
+−=
+ Thế (1) vào giải tìm x
+ Thế x vừa tìm được vào (2). Suy ra k.
+ Kết luận.
Vấn đề 5: Tìm m để Hàm số có cực đại và cực tiểu.
1) Trường hợp 1: Hàm số ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0.
Phương pháp.
+ Tập xác định : D = R
+ Tính y’. Để hàm số có cực trị thì y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt




>∆
≠
⇔
0
0a
2) Trường hợp 2: Hàm số :
''
2
bxa
cbxax
y
+
++
=
Phương pháp:
+ Tập xác định D = R\{-b’/a’)
+ Tính
2
)'(
)(
'
bxa
xg
y
+
=
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.






≠−
>∆
⇔
0)
'
'
(
0'
a
b
g
g
Vấn đề 6: Tìm m để Hàm số đạt cực đại tại x
0
(hoặc cực tiểu, cực trị)
8
ph¹m quang lu
Phương pháp:
+ Tập xác định.
+ Tính y’
Thuận: Hàm số đạt cực đại tại x
0



=
=
⇔=⇒

m
m
xf 0)('
0
Đảo: Thế m vào y’. Lập bảng biến thiên để kiểm lại.
+ Kết luận.
Chú ý:
Nếu hàm số đạt cực trị tại x
0
thì y’ chỉ cần đổi dấu khi x đi qua x
0
.
Vấn đề 7: Tìm m (hoặc a, b) để hàm số: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 nhận điểm I(x
0
;y
0
) làm điểm
uốn.
Phương pháp:
9
ph¹m quang lu
3) Phương Trình – Bất Phương Trình Chứa Logarit
- Công Thức.
 Log
a
N=b

)0;1;0( >≠> NAA

Na
N
a
=
log

1log =a
a

01log =
a

BABA
aaa
loglog).(log
+=

BA
B
A
aaa
loglog)(log
−=

.loglog bb
aa
α
α

=
.log
1
log bb
a
a
α
α
=

.loglog bb
a
a
α
β
β
α
=

a
b
b
a
log
1
log
=

ccb
aba

loglog.log
=

a
b
b
c
c
a
log
log
log
=
- Phương Trình – Bất Phương Trình Cơ Bản






>=
≠
>
⇔=
0
1
0
loglog
21
21

αα
αα
a
a
aa
 Nếu a > 1
0loglog
2121
>≥⇔≥
αααα
aa
 Nếu 0 < a < 1
2121
loglog xxaxx
aa
<<⇔≥
- Cách Giải:
 Đưa về cùnng cơ số
 Đưa về pt và bpt cơ bản
 Đặt ẩn số phụ
 Phân khoảng
 Giải pp đặt biệt.
10
ph¹m quang lu
Hàm Số Lượng Giác

ag
aa
aa
tgaga

a
tgaga
aaa
2cot2
cossin2
)cos(sin2
cot*
2sin
2
cot*
2sin1)sin(cos*
22
2
=
−
=−
=+
±=±
 Cos đối
[ ]
α
−
: đối của
α
 Sin bù
( )
απ
−
: Bù của
α

 Khác
π
tg hoặc cotg
( )
απ
+

Lưu ý:
 Hàm số lượng giác
)2(
πα
k
+
= hslg
α

)lg()lg(
)(
cot
)(
cot
abhsbahs
g
tg
k
g
tg
−→−
=+
απα

 Hàm cos không đổi dấu giá trị.
 Hàm sin, tg, cotg đổi

( )
βα
+
: bù nhau
αβ
αβ
αβ
αβ
πβα
gg
tgtg
cotcot
coscos
sinsin
)(180
0
−=
−=
−=
=⇒
=+⇔
gCBAg
tgCBAtg
CBA
CBA
CBAABC
cot)(cot

)(
cos)cos(
sin)sin(
−=+
−=+
−=+
=+⇒
=++=∆
π

:
βα
và
phụ nhau
)(cot)(
)cos()sin(
2
kiagnàytg
kianày
=
=⇔
=+
π
βα
βαβα
2222
coscossinsin +=+
βαβα
ggtgtg cot.cot. =
 Khác

2/
π
αα
π
αα
π
tgg
gtg
−=++
−=++
)
2
(cot
cot)
2
(
Phương Trình – Bất Phương Trình Chứa Căn
 Các tính chất:
-





=
=
⇔≥−
aa
aa
ađkA

2
2
)(
0,
 Phương trình chứa căn bậc 2.
 Phương trình chứa căn bậc 3:
 Cách giải
11