Đề và đ.án thi thử Toán TN 2010_5

http://ductam_tp.violet.vn/
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2010
MƠN: TỐN
Thời gian: 180 phút khơng kể thời gian giao đề
CÂU I:
a) Khảo sát hàm số:
2
5 4y x x= − +
b) Cho 2 parabol:
2
5 6y x x= − +
và
2
5 11y x x= − − −
Viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 parabol trên
CÂU II:
a) Tìm x , y nguyên dương thỏa phương trình:3x+5y=26
b) Cho a .b .c > 0. Chứng minh rằng :
1 1 1
( )( ) 9a b c
a b c
+ + + + ≥
CÂU III:
a) Giải phương trình :sinx+sin2x+sin3x=0
b) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có
2cot
2
C
tga tgb g+ =
thì tam giác ABC cân
CÂU IV:

a) Từ bốn chữ số 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt?
b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3,4, 5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau?
Thí sinh chọn một trong hai câu Va hoặv Vb dưới đây
CÂU Va:
a) Cho đường tròn
2 2 2
( ) ( )x a y b R− + − =
Chứng minh rằng tiếp tuyến của đường tròn tại điểm
0 0
( , )x y
có phương trình:
2
0 0
( )( ) ( )( )x a x a y b y b R− − + − − =
b) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ của Hyperbol
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
đến các tiệm cận
của nó là 1 số không đổi
CÂU Vb:
Cho tứ diện ABCD . Gọi
1 1 1 1
, , ,A B C D
tương ứng là các trọng tâm của các tam giác BCD, ACD,
ABD, ABC. Gọi G là giao điểm của
1 1

,AA BB
a) Chứng minh rằng:
1
3
4
AG
AA
=
b) Chứng minh rằng:
1 1 1 1
, , ,AA BB CC DD
đồng quy
DAP AN
Câu I:
a) Khảo sát hàm số:
2
5 4y x x= − +
.
• Tập xác đònh: D = R
• y’= 2x - 5
• BBT:
http://ductam_tp.violet.vn/
• Đồ thò:

b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai parapol:
2
( ) : 5 6
1
P y x x= − +
và

2
( ) : 5 11
2
P y x x= − + −
- Gọi
( )
∆
: y= ax + b là tiếp tuyến chung của (P1) và (P2).
-
( )
∆
tiếp xúc với (P1) và (P2).
2
5 6
2
5 11
2
(5 ) 6 0
2
(5 ) 11 0
2
0
10 4 1 0
1
0 2
10 4 19 0
2
3 3
10 5
x x ax b

x x ax b
x a x b
x a x b
a a b
a a b
a a
b b

− + = +

⇔


− + − = +


− + + − =

⇔


− − + + =


∆ =

+ + + =
 
⇔ ⇔
 

∆ =
 
− − − =


= = −

⇔ ∨

= − =

co ùnghiệm kép
co ùnghiệm kép
co ùnghiệm kép
co ùnghiệm kép



Vậy phương trình tiếp tuyến chung là:
y = 3x - 10
hay y = - 3x + 5
CÂU II:
a) Tìm x, y nguyên dương thoả 3x + 5y = 26
Ta có:
http://ductam_tp.violet.vn/
3x + 5y = 26
26 5 1
8 2.
3 3
y y

x y
− −
⇔ = = − +
Ta lại có:
•
,x y ∈¢
1
3
,
1 3 7 5
y
y
t
y t
y t x t
∈


⇔
−
= ∈


∈

⇔

= − ⇒ = +

¢

¢
¢
1 3
, 0
7 5 0
7 1
5 3
1 0 (vì t )
t
x y
t
t
t t
−

• > ⇔

+ >

−
⇔ < <
⇔ = − ∨ = ∈ ¢
Vậy:
2 7
4 1
x x
y y
= =
 
∨

 
= =
 
b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh
1 1 1
( )( ) 9a b c
a b c
+ + + + ≥
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được :
3a b c abc+ + ≥
1 1 1 1
3
3
a b c abc
+ + ≥
(vì a, b, c > 0)
Nhân vế với vế ta được :
1 1 1
( ) 9a b c
a b c
 
+ + + + ≥
 
 
(đpcm)
CÂU III:
a) Giải phương trình:sinx + sin2x + sin3x = 0
Ta có phương trình
2sin 2 cos sin 2 0
sin 2 (2cos 1) 0

sin 2 0
1
cos
2
2
2
2
3
2
( )
2
2
3
x x x
x x
x
x
x k
x k
k
x
k
x k
π
π
π
π
π
π
⇔ + =

⇔ + =
=


⇔

= −

=


⇔

= ± +


=

⇔ ∈


= ± +


¢
http://ductam_tp.violet.vn/
b) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có
2cot
2
C

tgA tgB g+ =
thì
∆
ABC cân.
Ta có:
[ ]
2
2cot
2
cos
sin( )
2
2
cos .cos
sin
2
cos
sin
2
2
cos .cos
sin
2
sin
1
2
cos .cos
sin
2
sin cos .cos

2
1 1
(1 cos ) cos( ) cos( )
2 2
1 cos cos cos( )
cos( ) 1
0
C
tgA tgB g
C
A B
C
A B
C
C
C
A B
C
C
A B
C
A B
C A B A B
C C A B
A B
A B
A B
+ =
+
⇔ =

⇔ =
⇔ =
⇔ =
⇔ − = + + −
⇔ − = − + −
⇔ − =
⇔ − =
⇔ =
Vậy
ABC
∆
cân tại C.
CÂU IV:
a) Từ bốn chữ số 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt:
• Số các số có 1 chữ số:
1
4
A
.
• Số các số có 2 chữ số phân biệt:
2
4
A
.
• Số các số có 3 chữ số phân biệt:
3
4
A
.
• Số các số có 4 chữ số phân biệt:

4
4
A
.
Vậy số các số cần tìm là:
1 2 3 4
64
4 4 4 4
A A A A+ + + =
(số).
b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau:
Gọi số cần tìm có dạng:
1 2 3 4 5
a a a a a
.
• Trường hợp 1 :
0
5
a =
Số cách chọn các vò trí còn lại:
4
5
A

• Trường hợp 2:
{ }
2,4
5
a ∈
http://ductam_tp.violet.vn/

-
5
a
Có 2 cách chọn.
-
1
a
Có 4 cách chọn (vì
1
a
khác 0)
-
, ,
2 3 4
a a a
có
3
4
A
cách chọn.
⇒
Số các số trong trường hợp 2:
3
2.4.
4
A
(số)
Vậy số các số cần tìm là:
4 3
2.4. 312

5 4
A A+ =
(số)
CÂU Va:
a) Đường tròn
2 2 2
( ) ( )x a y b R− + − =
(C)
• Có tâm I(a, b) bán kính R.
• Gọi
( )
∆
là tiếp tuyến của (C) tại
( , )
0 0 0
M x y
.
Ta có:
( , ) ( )
0 0
M x y MM IM∈ ∆ ⇔ ⊥
, 0
0 0
( )( ) ( )( ) 0
0 0 0 0
( )( ) ( )( ) 0
0 0 0 0 0
2 2
( ) ( )
0 0

( )( ) ( )( )
0 0
2
2
( )( ) ( )( )
0 0
MM IM
x x x a y y y b
x a x a a x y b y b b y
x a y b
x a x a y b y b
R
x a x a y b y b R
⇔ =
⇔ − − + − − =
⇔ − − + − + − − + − =
− + −
⇔ − − + − − =
⇔ − − + − − =
uuuuuuruuuur
(vì
( , ) ( )
0 0 0
M x y C∈
)
Vậy phương trình tiếp tuyến tại
( , )
0 0
x y
là:

2
( )( ) ( )( )
0 0
x a x a y b y b R− − + − − =
b)
2 2
1 ( )
2 2
x y
H
a b
− =
Lấy
2 2 2 2 2 2
( , ) ( )
0 0 0 0
M x y H b x a y a b∈ ⇔ − =
Hai tiệm cận của (H) là: bx - ay = 0
( )
1
∆
và bx + ay = 0
( )
2
∆
Ta có:
0 0 0 0
( ,( )). ( ,( ))
1 2
2 2 2 2

2 2 2 2
2 2
0 0
2 2 2
bx ay bx ay
d M d M
a b a b
b x a y
a b
a b c
− +
∆ ∆ =
+ +
−
= =
+
(với c là nửa tiêu cận của (H))
http://ductam_tp.violet.vn/
CÂU Vb:
a)
3
4
1
AG
AA
=
Gọi I, J là trung điểm của CB,
CD và
1
A BI DJ= ∩

.
Ta có:
1
D AJ∈
Và:
1
1 1 1 1
3
JD JA A D
JA JD AD
= = =
Tam giác
1 1
GA A GDA:
.
1
1 1
3
1
3
4
1
D A
GA
GA AD
AG
AA
⇒ = =
⇒ =
b)

Chứng minh tương tự ta có
1
BB
và
1
CC
cũng qua G. Vậy
1
AA
,
1
BB
,
1
CC
,
1
DD
đồng qui tại G.