Đề và đáp án chính thức tuyển sinh Đại học môn toán khối B năm2009

Bộ giáo dục và đào tạo
Đề chính thức
Đề thi tuyển sinh đại học năm 2009
Môn thi: toán; Khối B
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề)
PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im)
Cõu I (2 im)Cho hm s y = 2x
4
4x
2
(1)
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1).
2. Vi cỏc giỏ tr no ca m, phng trỡnh
2 2
x x 2 m =
cú ỳng 6 nghim thc phõn bit?
Cõu II (2 im)
1. Gii phng trỡnh
3
sin x cos xsin 2x 3 cos3x 2(cos 4x sin x)+ + = +
2. Gii h phng trỡnh
2 2 2
xy x 1 7y
(x, y )
x y xy 1 13y
+ + =



+ + =

Ă
Cõu III (1 im)Tớnh tớch phõn
3
2
1
3 ln x
I dx
(x 1)
+
=
+

Cõu IV (1 im)
Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.ABC cú BB = a, gúc gia ng thng BB v mt phng
(ABC) bng 60
0
; tam giỏc ABC vuụng ti C v
ã
BAC
= 60
0
. Hỡnh chiu vuụng gúc ca im B
lờn mt phng (ABC) trựng vi trng tõm ca tam giỏc ABC. Tớnh th tớch khi t din AABC
theo a.
Cõu V (1 im)
Cho cỏc s thc x, y thay i v tho món (x + y)
3
+ 4xy 2. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu
thc :A = 3(x
4

+ y
4
+ x
2
y
2
) 2(x
2
+ y
2
) + 1
PHN RIấNG (3 im)
A. Theo chng trỡnh chun
Cõu VI.a. (2 im)
1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C) :
2 2
4
(x 2) y
5
+ =
v hai ng thng

1
: x y = 0,
2
: x 7y = 0. Xỏc nh to tõm K v tớnh bỏn kớnh ca ng trũn (C
1
); bit
ng trũn (C
1

) tip xỳc vi cỏc ng thng
1
,
2
v tõm K thuc ng trũn (C)
2. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho t din ABCD cú cỏc nh A(1;2;1), B(-2;1;3),
C(2;-1;1) v D(0;3;1). Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua A, B sao cho khong cỏch t C
n (P) bng khong cỏch t D n (P)
Cõu VII.a (1 im)
Tỡm s phc z tho món :
z (2 i) 10 v z.z 25 + = =
B. Theo chng trỡnh Nõng cao
Cõu VI.b (2 im)
1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cõn ti A cú nh A(-1;4) v cỏc nh
B, C thuc ng thng : x y 4 = 0. Xỏc nh to cỏc im B v C , bit din tớch
tam giỏc ABC bng 18.
2. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): x 2y + 2z 5 = 0 v hai im A(-
3;0;1), B(1;-1;3). Trong cỏc ng thng i qua A v song song vi (P), hóy vit phng
trỡnh ng thng m khong cỏch t B n ng thng ú l nh nht.
Cõu VII.b (1 im)
Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m ng thng y = - x + m ct th hm s
2
x 1
y
x

=
ti 2
im phõn bit A, B sao cho AB = 4.
Ht

BÀI GIẢI GỢI Ý
Câu I.
1. y = 2x
4
– 4x
2
. TXĐ : D = R
y’ = 8x
3
– 8x; y’ = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±1;
x
lim
→±∞
= +∞
x
−∞ −1 0 1 +∞
y'
− 0 + 0 − 0 +
y
+∞ 0 +∞
−2 CĐ −2
CT CT
y đồng biến trên (-1; 0); (1; +∞)
y nghịch biến trên (-∞; -1); (0; 1)
y đạt cực đại bằng 0 tại x = 0
y đạt cực tiểu bằng -2 tại x = ±1
Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0)
Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (0; 0); (±
2
;0)

2. x
2
x
2
– 2 = m ⇔ 2x
2
x
2
– 2 = 2m (*)
(*) là phương trình hoành độ giao điểm của (C’) :
y = 2x
2
x
2
– 2 và (d): y = 2m
2
x
y
−1
1
0
−
2
(C’)
−2
x
y
−1
1
0

−
2
(C)
Ta có (C’) ≡ (C); nếu x ≤ -
2
hay x ≥
2
(C’) đđối xứng với (C) qua trục hoành nếu -
2
< x <
2
Theo đồ thị ta thấy ycbt ⇔ 0 < 2m < 2 ⇔ 0 < m < 1
Câu II.
1. PT:sinx+cosxsin2x+
3
3 cos3x 2(cos 4x sin x)= +
3 1 3sin x sin3x
sin x sin3x 3cos3x 2cos4x
2 2 2
sin3x 3cos3x 2cos4x
1 3
sin3x cos3x cos4x
2 2
sin sin 3x cos cos3x cos4x
6 6
cos4x cos 3x
6
4x 3x k2 x k2
6 6
2

4x 3x k2 x k
6 42 7
−
⇔ + + = +
⇔ + =
⇔ + =
π π
⇔ + =
π
 
⇔ = −
 ÷
 
π π
 
= − + + π = − + π
 
⇔ ⇔
 
π π π
 
= − + π = +
 
 
2.
{
2 2 2
xy x 1 7y
x y xy 1 13y
+ + =

+ + =
y = 0 hệ vô nghiệm
y ≠ 0 hệ ⇔
2
2
x 1
x 7
y y
x 1
x 13
y y

+ + =



+ + =



Đặt a =
1
x
y
+
; b =
x
y
⇒
2 2

2
1 x
a x 2
y y
= + +
⇒
2 2
2
1
x a 2b
y
+ = −
Ta có hệ là
{
2
a b 7
a b 13
+ =
− =
⇔
{
2
a b 7
a a 20 0
+ =
+ − =
⇔
{
a 4
b 3

=
=
hay
{
a 5
b 12
= −
=
. Vậy
1
x 4
y
x
3
y

+ =



=



hay
1
x 5
y
x
12

y

+ = −



=



⇔
{
2
x 4x 3 0
x 3y
− + =
=
hay
{
2
x 5x 12 0
x 12y
+ + =
=
(VN) ⇔
x 1
1
y
3
=




=


hay
{
x 3
y 1
=
=
Câu III :
3 3 3
2 2 2
1 1 1
3
3
1
2
1
1
3
2
2
1
3 ln x dx ln x
I dx 3 dx
(x 1) (x 1) (x 1)
dx 3 3

I 3
(x 1) (x 1) 4
ln x
I dx
(x 1)
+
= = +
+ + +
−
= = =
+ +
=
+
∫ ∫ ∫
∫
∫
Đặt u = lnx
dx
du
x
⇒ =
2
dx
dv .
(x 1)
=
+
Chọn
1
v

x 1
−
=
+
3
3 3 3
2
1
1 1 1
ln x dx ln 3 dx dx ln3 3
I ln
x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2
= − + = − + − = − +
+ + +
∫ ∫ ∫
Vậy :
3
I (1 ln3) ln2
4
= + −
Câu IV.
BH=
2
a
,
2 1 3
3
3 2 2 4
BH a a
BN

BN
= ⇒ = =
;
3
'
2
a
B H =
goïi CA= x, BA=2x,
3BC x=
2
2 2 2
2
2
CA
BA BC BN+ = +
2
2
2 2
3
3 4 2
4 2
a x
x x
 
⇔ + = +
 ÷
 
2
2

9
52
a
x⇔ =
C A
B
M
N
H
Ta có:
3 3
' '
2 2
a
B H BB= =
V=
2 3
2
1 1 3 1 9 3 9
3
3 2 2 12 52 2 208
a a a a
x
 
= =
 ÷
 
Câu V :
3
3 2

2
(x y) 4xy 2
(x y) (x y) 2 0 x y 1
(x y) 4xy 0

+ + ≥

⇒ + + + − ≥ ⇒ + ≥

+ − ≥


2
2 2
(x y) 1
x y
2 2
+
⇒ + ≥ ≥
dấu “=” xảy ra khi :
1
x y
2
= =
Ta có :
2 2 2
2 2
(x y )
x y
4

+
≤
( )
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A 3 x y x y 2(x y ) 1 3 (x y ) x y 2(x y ) 1
 
= + + − + + = + − − + +
 
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
(x y )
3 (x y ) 2(x y ) 1
4
9
(x y ) 2(x y ) 1
4
 
+
≥ + − − + +
 
 
= + − + +
Đặt t = x
2
+ y
2
, đk t ≥
1
2

2
9 1
f (t) t 2t 1, t
4 2
9 1
f '(t) t 2 0 t
2 2
1 9
f (t) f ( )
2 16
= − + ≥
= − > ∀ ≥
⇒ ≥ =
Vậy :
min
9 1
A khi x y
16 2
= = =
Câu VIa.
1. Phương trình 2 phân giác (∆
1
, ∆
2
) :
x y x 7y
2 5 2
− −
= ±
1

2
5(x y) (x 7y)
y 2x :d
5(x y) x 7y
1
5(x y) x 7y
y x : d
2
⇔ − = ± −
= −

− = −


⇔ ⇔


− = − +
=


Phương trình hoành độ giao điểm của d
1
và (C) : (x – 2)
2
+ (– 2x)
2
=
4
5

25x
2
– 20x + 16 = 0 (vô nghiệm)
Phương trình hoành độ giao điểm của d
2
và (C) : (x – 2)
2
+
2
x 4
2 5
 
=
 ÷
 
2
25x 80x 64 0⇔ − + =
⇔ x =
8
5
. Vậy K
8 4
;
5 5
 
 ÷
 
R = d (K, ∆
1
) =

2 2
5
2. TH1 : (P) // CD. Ta có :
AB ( 3; 1;2),CD ( 2;4;0)= − − = −
uuur uuur
(P)có PVT n ( 8; 4; 14) hay n (4;2;7)
(P) :4(x 1) 2(y 2) 7(z 1) 0
4x 2y 7z 15 0
⇒ = − − − =
− + − + − =
⇔ + + − =
r r
TH2 : (P) qua
I(1;1;1)
là trung điểm CD
Ta có AB ( 3; 1;2), AI (0; 1;0)
(P) có PVT n (2;0;3)
(P) :2(x 1) 3(z 1) 0 2x 3z 5 0
= − − = −
⇒ =
− + − = ⇔ + − =
uuur uur
r
Câu VIb.
1.
1 4 4
9
AH
2 2
1 36 36

S AH.BC 18 BC 4 2
9
2 AH
2
− − −
= =
= = ⇔ = = =
Pt AH : 1(x + 1) + 1(y – 4) = 0
x y 4
7 1
H : H ;
x y 3
2 2
− =

 
⇒ −

 ÷
+ =
 

B(m;m – 4)
2 2
2
2
2
BC 7 1
HB 8 m m 4
4 2 2

7 11
m 2
7
2 2
m 4
7 3
2
m 2
2 2
   
⇒ = = = − + − +
 ÷  ÷
   

= + =

 
⇔ − = ⇔

 ÷
 

= − =


Vậy
1 1 2 2
11 3 3 5 3 5 11 3
B ; C ; hay B ; C ;
2 2 2 2 2 2 2 2

       
∧ − − ∧
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
2.
P
AB (4; 1;2); n (1; 2;2)= − = −
uuur r
Pt mặt phẳng (Q) qua A và // (P) : 1(x + 3) – 2(y – 0) + 2(z – 1) = 0
⇔ x – 2y + 2z + 1 = 0. Gọi ∆ là đường thẳng bất kỳ qua A
Gọi H là hình chiếu của B xuống mặt phẳng (Q). Ta có :
d(B, ∆) ≥ BH; d (B, ∆) đạt min ⇔ ∆ qua A và H.
Pt tham số
x 1 t
BH: y 1 2t
z 3 2t
= +


= − −


= +

Tọa độ H = BH ∩ (Q) thỏa hệ phương trình :
x 1 t, y 1 2t,z 3 2t
x 2y 2z 1 0
= + = − − = +



− + + =


10
t
9
⇒ = −

1 11 7
H ; ;
9 9 9
 
⇒ −
 ÷
 
∆ qua A (-3; 0;1) và có 1 VTCP
( )
1
a AH 26;11; 2
9
∆
= = −
uur uuur
Pt (∆) :
x 3 y 0 z 1
26 11 2
+ − −
= =
−
Câu VII.a. Đặt z = x + yi với x, y ∈ R thì z – 2 – i = x – 2 + (y – 1)i

z – (2 + i)=
10
và
z.z 25=
⇔
2 2
2 2
(x 2) (y 1) 10
x y 25

− + − =

+ =

⇔
{
2 2
4x 2y 20
x y 25
+ =
+ =

⇔
{
2
y 10 2x
x 8x 15 0
= −
− + =
⇔

{
x 3
y 4
=
=
hay
{
x 5
y 0
=
=
Vậy z = 3 + 4i hay z = 5
Câu VII.b.
Pt hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là :
2
x 1
x m
x
−
− + =

⇔ 2x
2
– mx – 1 = 0 (*) (vì x = 0 không là nghiệm của (*))
Vì a.c < 0 nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt ≠ 0
Do đó đồ thị và đường thẳng luôn có 2 giao điểm phân biệt A, B
AB = 4 ⇔ (x
B
– x
A

)
2
+ [(-x
B
+ m) – (-x
A
+ m)]
2
= 16 ⇔ 2(x
B
– x
A
)
2
= 16
⇔ (x
B
– x
A
)
2
= 8 ⇔
2
m 8
8
4
 
+
=
 ÷

 
⇔
2
m 24=
⇔ m =
2 6±
.