DE THI THU DH CO DA CHI TIET

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (223.68 KB, 8 trang )

đề thi thử đại học - NĂM 2010 Môn Toán
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề).
I: PHầN CHUNG CHO TấT Cả THí SINH .
Câu I Cho hàm số
43
23
+= xxy
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Gọi d là đờng thẳng đi qua điểm A(3; 4) và có hệ số góc là m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A,
M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau.
Câu II 1Giải phơng trình:
8
1
3
tan
6
tan
3coscos3sin.sin
33
=

+

+

xx
xxxx
2. Giải hệ phơng trình :

=++
=++
0222
0964
22
224
yxyx
yyxx
.
Câu III 1.Tớnh tớch phõn:
2
3
0
3sin 2cos
(sin cos )
x x
I dx

x x

=
+

Câu IV Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lợt là các
trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a thể tích khối chóp S.AMN, biết rằng mặt phẳng
(AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Câu V Cho
0 x y z<
: Chng minh rng
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
3
2 2 2 2 2 4 2 2
2 4 2
2
2
z y z x y z x z x z z x y xy x y
z z x y xy
x y
x y

+ + + + + + + +

+ + +

+ +
+

II, PHầN RIÊNG. (Thí sinh chỉ làm một trong 2 phần ; phần 1 hoặc phần 2 )
Phần 1( Dành cho thí sinh theo chơng trình chuẩn )
Câu VIa 1. Vit phng trỡnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC vi cỏc nh:
A(-2;3),B(
)0;2(),0;
4
1
C
2. Cho ng thng (D) cú phng trỡnh:
2
2
2 2
x t
y t
z t
= +

=

= +

.Gi

l ng thng qua im A(4;0;-1)
song song vi (D) v I(-2;0;2) l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn (D). Trong cỏc mt phng qua

, hóy vit phng
trỡnh ca mt phng cú khong cỏch n (D) l ln nht
.Câu VIIa Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt :
x10
1).12(48
22
++=++ xxmx
.
Phần 2 ( Dành cho thí sinh theo chơng trình nâng cao ) .
Câu VIb 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; -2);
P(2;0);Q(1;2) lần lợt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phơng trình các cạnh của hình vuông.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đờng thẳng (

) và (
)'
có phơng trình .
( )
( )

+=
=
+=

=
+=
+=

4t'2
t'2y
t'2-2x
: ;
4
2t-1y
t3x
:
'
zz
Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (

) và (
)'
Câu VIIb Giải hệ phơng trình

+=
+=+
+

+
1
)1(2
yxe
xee
yx
yxyx
(x, y
R
)
******** Hết ********
Hớng dẫn chấm môn toán
- Điểm toàn bài không làm tròn.
đề chính thức
- Học sinh làm các khác nếu đúng vẫn đợc điểm tối đa.
- Nếu học sinh làm cả hai phần trong phàn tự chọn thì không tính điểm phần tự chọn.
- Thí sinh dự thi khối B, D không phải làm câu V; thang điểm dành cho câu I.1 và câu III là 1,5 điểm.
Câu Nội dung Điểm
I.1 Khảo sát hàm số
43
23
+= xxy
1,00
1. Tập xác định: R
2. Sự biến thiên:
a) Giới hạn:
+=+==+=
++
)4x3x(limylim,)4x3x(limylim
23

xx
23
xx
0,25
b) Bảng biến thiên: y' = 3x
2
- 6x, y' = 0

x = 0, x = 2
Bảng biến thiên:
x -

0 2 +

y' + 0 - 0 +
y
4 +

-

0
- Hàm số đồng biến trên (-

; 0) và (2; +

), nghịch biến trên (0; 2)
- Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y
CĐ
= 4, đạt cực tiểu tại x = 2, y
CT

= 0.
0,50
3. Đồ thị: Đồ thị giao với trục tung tại (0; 4), giao với trục hoành tại (-1; 0),(2; 0).
Nhận điểm uốn I(1; 2) làm tâm đối xứng
0,25
I.2 Tìm m để hai tiếp tuyến vuông góc 1,00
d có phơng trình y = m(x 3) + 4.
Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của phơng trình

=
=
=+=+
0mx
3x
0)mx)(3x(4)3x(m4x3x
2
223
0,50
Theo bài ra ta có điều kiện m > 0 và
1)m('y).m('y =
0,25
9
35318
m01m36m91)m6m3)(m6m3(
2

==+=+
(thỏa mãn) 0,25

Câu Nội dung Điểm
II.1
Giải phơng trình lợng giác
Điều kiện:
0
3
xcos
6
xcos
3
xsin
6
xsin

+

+

Ta có
1x
6
cot
6
xtan
3
xtan
6
xtan =

=

+

Phơng trình đã cho tơng đơng với
8
1

x3cosxcosx3sin.xsin
33
=+
1 cos2x cos2x cos4x 1 cos2x cos2x cos 4x 1
2 2 2 2 8
+ +
ì + ì =
1,00
x
y
-1
2
O
4
2
1
Câu Nội dung Điểm
2
1
x2cos
8
1
x2cos
2
1
)x4cosx2cosx2(cos2
3
===+
0,5

+

=
+

=

k
6
x
(loại) k
6
x
,
(k )Z
. Vậy phơng trình có nghiệm
+

=
k
6
x
,
(k )Z
0,5

II.2
Giải hệ phơng trình:

=++
=++
0222
0964
22
224
yxyx
yyxx

* Hệ phơng trình tơng đơng với

=++
=+
022)2(
4)3()2(
22
222
xyx

yx
2 2 2
2 2
( 2) ( 3) 4
( 2 4)( 3 3) 2 20 0
x y
x y x

+ =

+ + + =

Dat
2
2
3
x u
y v

=

=

* Thay vào hệ phơng trình ta có:
2 2
4
. 4( ) 8
u v

u v u v

+ =

+ + =

2
0
u
v
=

=

hoặc
0
2
u
v
=

=

thế vào cách đặt ta đợc các nghiệm của hệ là :
2
3
x

y
=

=

;
2
3
x
y
=

=

;
2
5
x
y

=

=

;
2

5
x
y

=

=

;
1,00
0,25
0,25
0,25

0,25
III.1
t
, 0 , 0.
2 2 2
x t dx dt x t x t

= = = = = =
Suy ra:
2 2 2
3 3 3
0 0 0
3sin 2cos 3cos 2sin 3cos 2sin
(sin cos ) (cos sin ) (cos sin )

x x t t x x
I dx dt dx
x x t t x x

= = =
+ + +

(Do tớch
phõn khụng ph thuc vo kớ hiu cu bin s).
Suy ra:
2 2 2
3 3 2
0 0 0
3sin 2cos 3cos 2sin 1
2
(sin cos ) (cos sin ) (sin cos )
x x x x
I I I dx dx dx
x x x x x x

= + = + =
+ + +

=
=
2 2
2
2 2

0 0
0
1 1 1 1
tan 1
2 4 2 4
2cos cos
4 4
dx d x x
x x

= = =
ữ ữ

ữ ữ

. KL: Vy
1
.
2
=I
0,25
0,25
0,25

0,25
C©u Néi dung §iÓm
III.2 1,00
IV TÝnh thÓ tÝch khèi chãp
Ta cã c¸c tam gi¸c SMN vµ AMN c©n t¹i S vµ A. Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN suy ra SI
⊥ MN vµ AI ⊥ MN. Do (SBC) ⊥ (AMN) nªn SI ⊥ (AMN).
Do ®ã
MN.AI.SI
6
1
S.SI
3
1
V
AMNAMN.S
==
1,00
S
A
C
B
M
N
I
K
Cho
0 x y z< ≤ ≤
: Chứng minh rằng
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )

( )
2
2
3
2 2 2 2 2 4 2 2
2 4 2
2
2
z y z x y z x z x z z x y xy x y
z z x y xy
x y
x y
 
+ − − + + − + + + + +
 
 
+ + +
 
≤ + +
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
3
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2
z y z x x y z x z y x y

z y z x
z y z x x y x y
x y
⇔ + + − + + + + − + +
+ +
+ + + ≤ + +
+
(1)
Đặt a=(2z+y); b=2z+x; c=2x+y
Từ (1)
3
2
2
ab
a b c b a c abc c
c
⇔ − + − + ≤ +

( ) ( )
2
2 2a c b c b c a c c ab ab c⇔ − + − + ≤ +
(2)
Ta có:

2 2
(3)
2
b c c b
c b c
ab

a c b c
− +
− ≤ =
⇔ − ≤
Tương tự:
( )
4
2
ab
b c a c− ≤

( )
2
2 5c ab c ab≤ +
Cộng (3); (4); (5) ta được:
( ) ( )
2
2 2a c b c b c a c c ab ab c− + − + ≤ +
đpcm
Dấu bằng xảy ra khi: a=b=2c
a. 2z+y=2z+x=4x+2y
b. x=y=
2
5
z
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu Nội dung Điểm

Gọi K là trung điểm của BC suy ra I là trung điểm của SK, mà AI SK nên tam giác
ASK cân tại A. Do đó
2
3a
AKSA ==
0,5
0,5
MN =
4
a
MN
2
1
NI,
2
a
BC
2
1
===
,
4
3a
2
SA
2
SC
SN ===

4

2a
16
a
16
a3
NISNSI
22
22
===
1,00
4
10a
8
a
4
a3
SISAAI
22
22
===
. Vậy
96
5a
2
a
4
10a
4
2a
6

1
V
3
AMN.S
==
0, 5
0, 5
Chú ý: Thí sinh có thể sử dụng công thức:
4
1
SC
SN
.
SB
SM
.
SA
SA
V
V
ABC.S
AMN.S
==
1,00
+ Ta có: (d
1
) // (d
2
) ( HS phải chứng minh đợc)
0,25

Va
1.(1,0 im)
im D(d;0) thuc on BC l chõn ng phõn giỏc trong ca
gúc A
khi v ch khi

( )
( )
2
2
2
2
9
1
3
4
4
2
4 3
81 225
9
3
16 16
4 1 6 3 1.
4
16 9 25
d
DB AB
DC AC d
d d d

ổử
ữ
ỗ
+ -
ữ
ỗ
-
ữ
ỗ
ố ứ
= = =
-
+ -
+
= = ị - = - ị =
+
ng thng AD cú phng trỡnh:

2 3
3 6 3 9 1
3 3
x y
x y x y
+ -
= - - = - = -
-
,
v ng thng AC:

2 3

3 6 4 12 3 4 6 0
4 3
x y
x y x y
+ -
= - - = - + - =
-
Gi s tõm I ca ng trũn ni tip cú tung l b. Khi ú
honh l
Câu Nội dung Điểm
1 b-
v bỏn kớnh cng bng b. Vỡ khong cỏch t I ti AC cng
phi bng
b nờn ta cú:

( )
2 2
3 1 4 6
3 5 ;
3 4
4
) 3 5 ;
3
1
) 3 5 .
2
b b
b b b
a b b b
b b b b

- + -
= - =
+
- = ị =-
- =- ị =
Rừ rng ch cú giỏ tr
1
2
b =
l hp lý. Vy, phng trỡnh ca
ng trũn
ni tip
ABCV
l:
2 2
1 1 1
2 2 4
x y
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
- + - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
2. (1,0 im)

Mt phng P i qua ng thng d cú phng trỡnh dng:

( ) ( )
( )
2 3 11 2 7 0
2 3 2 11 7 0.
m x y n y z
mx m n y nz m n
+ + + - + =
+ + - + + =
mt phng ny i qua M, phi cú:

( ) ( )
8 15 11 5 6 7 0
12 4 0 3 .
m n
m n n m
- - + + - - + =
- - = =-
Chn
1, 3m n= =-
, ta c phng trỡnh ca P:

2 6 10 0x z+ - =
.
Tip theo, ng thng d i qua
( )
2; 1;1A -
v cú vect ch
phng

( )
2;3; 5m -
ur
. Mt phng P i qua M v d cú hai vect ch
phng l
m
ur
v
( )
6;4; 2MA -
uuur
hoc
( )
3;2; 1n -
r
. Vect phỏp tuyn ca P l:

( )
3; 5 5;2 2;3
, , 7; 13; 5
2; 1 1;3 3;2
p p
ổ ử
- -
ữ
ỗ
ữ
= - -
ỗ
ữ

ỗ
ữ
ữ
ỗ
- -
ố ứ
ur ur
.
Phng trỡnh ca P:
( ) ( ) ( )
7 4 13 5 5 3 0x y z+ - + - - =
hay:
7 13 5 29 0.x y z- - - =
Rừ rng ng thng d phi l giao tuyn ca P v P nờn cú
phng trỡnh:

2 6 10 0
7 13 5 29 0
x z
x y z
ỡ
+ - =
ù
ù
ớ
ù
- - - =
ù
ợ
.

VIa Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt:
m( 2x+1).
1
2
+x
=10x
48
2
++ x

1,00
Câu Nội dung Điểm
Nhận xét : 10x
48
2
++ x
= 2(2x+1)
2
+2(x
2
+1)
Phơng trình tơng đơng với :
2
(
02)
1
12
()
1
12

2
2
2
=+
+
+

+
+
x
x
m
x
x
.
Đặt
t
x
x
=
+
+
1
12
2
Điều kiện : -2< t
5
. Rút m ta có: m=
t
t 22

2
+
Lập bảng biến thiên của hàm số trên
(
]
5,2
, ta có kết quả của m để phơng
trình có hai nghiệm phân biệt là:
5
12
4 < m
hoặc -5 <
4
<
m
0,25
0,75
Vb.1 Trong mặt phẳng với hệ Oxy cho hình vuông ABCD biết các điểm M(2;1) ; N(4; -2)
; P(2; 0); Q(1; 2) lần lợt thuộc cạnh AB; BC; CD và AD. Hãy lập phơng trình các
cạnh của hình vuông trên.
1,00
+ Giả sử đờng thẳng AB qua M và có véc tơ pháp tuyến là
);( ban

(a
2
+ b
2

0) => véc tơ pháp tuyến của BC là:
);(
1
abn

.Phơng trình AB có dạng:
a(x-2) +b(y-1)= 0

ax + by -2a-b =0
BC có dạng: -b(x- 4) +a(y+ 2) =0

- bx + ay +4b + 2a =0
Do ABCD là hình vuông nên d(P; AB) = d(Q; BC)
0,5
Hay

=
=

+
+
=
+

ab
ab
ba

ab
ba
b
2
43
2222
Tr ờng hợp 1: b= -2a; Phơng trình các cạnh cần tìm là:
AB: x- 2y = 0 ; CD : x- 2y-2 =0
BC: 2x +y 6= 0; AD: 2x + y -4 =0
Tr ờng hợp 2: b= -a . Khi đó
AB: -x + y+ 1 =0 BC: -x y + 2= 0
AD: -x y +3 =0 CD: -x + y+ 2 =0
0,25
0,25
Vb
2
Cho ():

=
+=
+=
4
21
3
z
ty

tx
; ()

+=
=
+=
uz
uy
ux
42
2
22

Viết phơng trình đờng vuông góc chung của () và ()
1,0
0
+ Gọi đờng vuông góc chung của () và () là d
Khi đó
[ ]
)1;2;4(',
2
1
==
uuu
d

+ Gọi () là mặt phẳng chứa () và (d) thì () qua N(3; -1; 4) và có véc tơ pháp
tuyến:
[ ]
)10;1;2(,
1
==
d
uun

Vậy phơng trình của () là: 2x- y + 10z - 47 =0
+ Gọi () là mặt phẳng chứa () và (d) thì () qua M(-2; 0; 2) và có véctơ pháp
tuyến:
[ ]
)12;18;6(,'
2
==
d
uun

Vậy phơng trình của () là: x + 3y- 2z + 6 =0
Do đó đờng vuông góc chung của và là giao tuyến của hai mặt phẳng:
2x y + 10z 47 = 0 và x + 3y 2z + 6 =0
+Lập phơng trình tham số của (d).(HS tự làm)

0,25

0,25

0,25

0,25
Câu Nội dung Điểm
VIIb Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) 1,00
+) Ta có
1x
1
1x2y

+=
.
0
1x
1
lim)]1x2(y[lim
xx
=

=

. Do đó (C) có tiệm
cận xiên y = 2x 1.
+)
=

+
+=

+
+