Cơ Khí Học - Ứng Suất Vật Liệu part 4 potx

GV: Lê Đức Thanh
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 15

Thí dụ 2.8 Vẽ biểu đồ nội lực trong khung chòu tải trọng như trên H.2.16.

a
z
1
A
K
1
K
3
1
3
D
z
3
V
D
V
A
H
A
Hình 2.15
1
3
2
2
B

K
2
C
P = q
a
z
2
qa
2
q
a




Giải
Tính phản lực liên kết
Xét sự cân bằng của toàn khung dưới tác dụng của tải trọng ngoài và
các phản lực liên kết ta suy ra:
∑Ngang = 0 ⇒ H
A
= 0

qaVaqaqa
a
qaaV
D
M
Aa
2

5
0
2
0
2
−=→=×++×+×⇒=
∑

∑Đứng = 0 ⇒ V
A
+ V
D
= 0 ⇒ V
D
=

2
5
qa+
( Đúng chiều đã chọn )
Vậy chiều thật của V
A
ngược với chiều đã chọn






a)

+
+
q
a
N
5
2
q
a
5
2
q
a
–
3
2
q
a
2
5
2
q
a
2
M
parabol
e
c
)
d

)

5
2
q
a

5
2
q
a
B
3

2
q
a

2
5
2
q
a

C
qa
5
2
qa
2

5
2
q
a
q
a

2
q
a
q
a
5
2
qa
Q
+
2qa
b
)
–
qa
H 16
q
a

GV: Lê Đức Thanh
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 16

Vẽ biểu đồ nội lực

Đoạn AB: dùng mặt cắt 1-1 và xét cân bằng đoạn AK
1
ta được:


⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−=
−=
=
2
2
2
2
5
2
1
11
11
1
qz
qazM
qzqaQ

qaN
(0 ≤ z
1
≤ a)

Đoạn BC: dùng mặt cắt 2-2 và xét cân bằng đoạn ABK
2
ta được:



⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−=
−=
=
2
2
2
2
2
2
5

2
5
2
5
qazqaM
qaQ
qaN
(0 ≤ z
2
≤ a)


Đoạn CD: dùng mặt cắt 3-3 và xét cân bằng DK
3





⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
−=
0

0
2
5

3
3
3
M
Q
qaN
(0 ≤ z
3
≤ a)
Kiểm tra sự cân bằng nút
Đối với khung, có thể kiểm tra kết quả bằng việc xét cân bằng các nút.
Nếu tách nút ra khỏi hệ thì ta phải đặt vào nút các ngoại lực tập trung
(nếu có) và các nội lực tại các mặt cắt, giá trò của chúng được lấy từ biểu
đồ vừa vẽ.
Sau khi đặt các lực trên, nếu tính đúng các nội lực ở các nút thì nút sẽ
cân bằng, nghóa là các phương trình cân bằng được thỏa mãn. Ngược lại,
nếu các phương trình không thỏa mãn thì các nội lực tính sai.
N

1
M
1
2
q
a
z

1
Q
1
q
a
2
5
K
1
A
q
a

5
2
Q
3
N
3
M
3
Z
3
V =
D
D
K
3
2

q
a
q
a

5
2
N
2
M

2
z

2
a
Q

2
K
2
B
q
a

2
A

GV: Lê Đức Thanh
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 17

Cụ thể đối với khung đang xét, ta tách nút B và đặt vào đó mômen tập
trung qa
2
và các thành phần nội lực trên các đoạn thanh ngang và đứng
như H.2.16d:
- Tại mặt cắt trên thanh ngang có lực dọc +qa hướng ra ngoài mặt cắt,
lực cắt
25
2
qa
có chiều hướng lên và mômen
25
2
qa
gây căng thớ dưới.
- Tại mặt cắt trên thanh đứng có lực dọc
25
q
a+ hướng ra ngoài mặt cắt
(hướng xuống) lực cắt +qa hướng từ phải sang trái và mômen
23
2
qa gây ra
căng thớ trong khung nên chiều quay có mũi tên hướng ra ngoài.
Ta dễ dàng thấy các phương trình cân bằng thỏa mãn:
∑ X = 0 ; ∑ Y = 0 ; ∑ M/B = 0
Tương tự, tách nút C và đặt vào đó lực tập trung qa hướng từ trái sang
phải và các thành phần nội lực trên các đoạn thanh ngang và đứng như
H.2.16d.

- Tại mặt cắt trên thanh ngang có lực dọc +qa hướng ra ngoài mặt cắt,
lực cắt
25qa− có khuynh hướng làm quay phần đoạn thanh đang xét ngược
chiều kim đồng hồ nên có chiều hướng xuống, còn mômen thì bằng không.
- Tại mặt cắt trên thanh thẳng đứng tồn tại lực dọc
25qa− có chiều
hùng vào mặt cắt (hướng lên) và không có lực cắt cũng như mômen.
Ta dễ dàng thấy rằng các phương trình cân bằng được thỏa mãn:

∑
=+−= 0 qaqaX
; 0
2
5
2
5
=+−=
∑
qaqaY ; 0=
∑
BM
Vậy các nút B và C đều cân bằng nghóa là các hệ nội lực tại các
nút đúng.






Thí dụ 2.9 Vẽ BĐNL trong thanh cong (H.2.17)

GV: Lê Đức Thanh
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 18

Giải
Cắt thanh tại tiết diện
1-1, xác đònh bởi góc
ϕ
(0
≤
ϕ
≤ 90
o
), xét cân bằng
của phần trên dưới tác
dụng của các ngoại lực
và các thành phần nội lực
đặt theo chiều dương quy
ước như H.2.17b.

Phương trình cân
bằng hình chiếu các lực
theo phương pháp tuyến với mặt cắt cho: N = 2Psin
ϕ
– Pcos
ϕ
=
P(2sin
ϕ
– cos

ϕ
) (a)
Phương trình cân bằng hình chiếu các lực theo phương đường kính
cho: Q = 2Pcos
ϕ
+ Psin
ϕ
= P(2cos
ϕ
+ sin
ϕ
) (b)
Phương trình cân bằng của các mômen các lực đối với trọng tâm mặt
cắt dẫn đến:
M = – 2PRsin
ϕ
– PR(1 – cos
ϕ
) = – PR(2sin
ϕ
+ 1 – cos
ϕ
) (c)
Cho
ϕ
một vài trò số đặc biệt và tính các trò số nội lực tương ứng, ta vẽ
được biểu đồ.
Lực cắt đạt cực trò khi
0=
ϕ

d
dQ
y
, nghóa là khi:
-2sin
ϕ
+ cos
ϕ
= 0 ⇒ tg
ϕ
= 0,5 ⇒
ϕ
=
ϕ
o
= 26
o
56’
sin
ϕ
o
= 0,4472 ; cos
ϕ
o
= 0,8944
Ta có bảng nội lực sau:
ϕ

0
ϕ

o
45
o
90
0
N
Q
M
– P
2 P
0
0
2,236 P
- PR
0,7 P
2,12 P
-1,7 PR
2 P
+P
-3PR
Khi vẽ cần chú ý đặt các tung độ theo phương vuông góc với trục thanh,
tức là theo phương bán kính như trên H.2.17c,d,e.
P
A
2
P
ϕ
M

N

Q

R
45
o
P

2.12P
Q
max =
2,236
P

ϕ
o
Q
3P
R
b
)
d
)
e)
H. 2.17
1
1,7P
R
P
R
M

ϕ
o
2P
P
A
2
P
ϕ
R
B
ϕ
o
0,7
P
P
2
P
N
a)
c
)
1
1
-
+

GV: Lê Đức Thanh
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 19

2.5 CÁCH VẼ BIỂU ĐỒ NHANH

2.5.1 Phương pháp vẽ từng điểm
Dựa trên các liên hệ vi phân, ta đònh dạng các BĐNL tùy theo dạng tải
trọng đã cho và từ đó ta xác đònh số điểm cần thiết để vẽ biểu đồ.
Trên 1 đoạn thanh
+ q =0 ⇒ Q = hằng số, M = bậc nhất.
+ q = hằng ⇒ Q = bậc nhất, M = bậc hai.
……………………………………………………………………………….

+ Nếu biểu đồ có dạng hằng số , chỉ cần xác đònh một điểm bất kỳ.
+ Nếu biểu đồ có dạng bậc nhất , cần tính nội lực tại hai điểm đầu và cuối
đoạn thanh.
+ Nếu biểu đồ có dạng bậc hai trở lên thì cần ba giá trò tại điểm đầu, điểm
cuối và tại nơi có cực trò, nếu không có cực trò thì cần biết chiều lồi lõm của
biểu đồ theo dấu của đạo hàm bậc hai. Đoạn thanh có lực phân bố q
hướng xuống sẽ âm, nên bề lõm của biểu đồ mômen hướng lên. Ngược lại,
nếu q hướng lên sẽ dương nên bề lõm của biểu đồ mômen hướng xuống.
Tóm lại, đường cong mômen hứng lấy lực phân bố q.












Thí dụ 2.10: Vẽ BĐNL trong dầm cho trên H.2.18 (phương pháp vẽ điểm)

GV: Lê Đức Thanh
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 20

Giải.
Phản lực liên kết

qaVaVqaqaqaBM
CC
2
3
0222 0
222
=⇒=×−++−⇒=
∑


qaVY
B
∑
=⇒=
2
5
0

Nội lực
Đoạn AB: q=0⇒ Q
y
= hằng số,
M

x
= bậc nhất.
Trong trường hợp này Q
y
là hằng
số bằng không vì Q
A
(AB)
= 0.
⇒ M
x


trong đoạn này sẽ là hằng số
M
A
(AB)
= M
B
(BA)

= – M
o
= -qa
2
Đoạn BD: q= hằng ⇒ Q
y
= bậc 1,
M
x

= bậc 2.
Tại B:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=−=
+=
2)(
)(
2
5
qaMM
qaQ
o
BD
B
BD
B


Tại D:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧

=−=
=−=
2
2
2)(
)(
22
3
2
3
2
5
qa
qa
qaM
qaqaqaQ
BD
D
BD
D

Biểu đồ Q
y
trong đoạn này không có vò trí nào =0 ⇒ biểu đồ M
x
không
có cực trò.
Chỉ cần nối hai giá trò mômen tại B và D bằng đường cong bậc hai có
bề lõm sao cho hứng lấy lực q.

Đoạn DC: q= hằng ⇒ Q
y
= bậc 1, M
x
= bậc 2.
Tại D:

2
1
)(
qaQ
DC
D
−= ;
2
2
2)(
22
3
qa
qa
qaM
DC
D
=−=

Tại C:
0 ;
2
3

=−=−=
CCC
MqaVQ

Biểu đồ Q
y
trong đoạn này không có vò trí nào =0 ⇒ biểu đồ M
x
không
có cực trò.
Chỉ cần nối hai giá trò mômen tại D và C bằng đường cong bậc hai có
bề lõm sao cho hứng lấy lực q.
Các biểu đồ lực cắt Q
y
và mômen M
x
lần lượt được vẽ trên H.2.18b,c.

a

a
M
o
= q
a
2
q
q
a

2
a)
b
)
c
)
a
P =
2qa

A
D

C
V
C
=
3
2
q
a
+
–
5
2
q
a
3
2
q

a
1
2
q
a

3
2
q
a
q
a
2
H. 2.18
M
x
Q
y
2
V
B
=
5

q
a

B

GV: Lê Đức Thanh

Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 21

2.5.2 Cách áp dụng nguyên lý cộng tác dụng
Khi thanh chòu tác dụng nhiều loại tải trọng, ta có thể vẽ biểu đồ nội
lực trong thanh do từng tải trọng riêng lẻ gây ra rồi cộng đại số lại để được
kết quả cuối cùng.

Thí dụ 10. Vẽ biểu đồ mô men trong dầm như H.2.18a bằng cách cộng
biểu đồ.
















Giải. Tải trọng trên thanh được chia thành hai trường hợp cơ bản:
+ Hình 2.18b biểu diễn mô men do lực tập trung P gây ra
+ Hình 2.18c biểu diễn mô men do lực phân bố đều q gây ra
Hình 2.18dbiểu diễn mô men tổng hợp cần tìm, các tung độ bằng tổng
đại số các tung độ tại các tiết diện tương ứng trên H.2.18b,c

Bảng tóm tắt dầm console , dầm đơn giản, dầm đầu thừa

a
q
P = 2qa
P
a

H.2.18
a)
b)
c
)

d
)

qa
2
/
2

Pa +
qa
2

/
2


A
B
C
P
L